Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Giảng viên ThS. Lê Trường Giang TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING KHOA CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING KHOA CƠ BẢN BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ Cán bộ giảng dạy: Ths Lê Trường Giang Chương 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Blaise Pascal Pierre de Fermat Vào năm 1651, Blaise Pascal nhận được bức thư của nhà quý tộc Pháp, De Méré, nhờ ông giải quyết các rắc rối nảy sinh trong trò chơi đánh bạc. Pascal đã toán học hoá các trò trơi đánh bạc này, nâng lên thành những bài toán phức tạp hơn và trao đổi với nhà toán học Fermat. Những cuộc trao đổi đó đã nảy sinh ra Lý thuyết Xác suất – Lý thuyết toán học về các hiện tượng ngẫu nhiên. Gottfried Wilhelm Leibniz James BERNOULLI James BERNOULLI là người phát minh ra Luật Số Lớn. Chính vì lý do đó, ngày nay Hội Xác Suất Thống Kê Thế Giới mang tên BERNOULLI Leibniz có nhiều đóng góp quan trọng trong việc xây dựng Lý thuyết Xác suất Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÔNG THỨC XÁC SUẤT Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố Bài 3. Công thức tính xác suất Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố 1. Phép thử ngẫu nhiên 2. Không gian mẫu và biến cố 3. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và sự kiện 1. Phép thử ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên là việc thực hiện một thí nghiệm hay quan sát một hiện tượng nào đó để xem có xảy ra hay không. (khi đó, hiện tượng có xảy ra hay không trong phép thử được gọi là biến cố ngẫu nhiên) Ví dụ 1. Việc gieo một con xúc xắc và quan sắt số chấm xuất hiện ở mặt trên của con xúc xắc là thực hiện một phép thử ngẫu nhiên Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố 2. Không gian mẫu và biến cố Khi thực hiện một phép thử ngẫu nhiên, một và chỉ một kết quả trong tập hợp các kết quả xuất hiện. + Một kết quả trong phép thử này được gọi là kết quả sơ cấp. + Tập hợp tất cả các kết quả sơ cấp được gọi là không gian mẫu. Ta kí hiệu một kết quả sơ cấp là  và không gian mẫu là  . Ví dụ 2. Gieo một con xúc xắc và quan sát số chấm xuất hiện ở mặt trên của con xúc xắc. Khi đó, không gian mẫu là  1,2,3,4,5,6 . Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố 2. Không gian mẫu và biến cố Một biến cố (sự kiện) A trong  là một tập hợp gồm một số kết quả sơ cấp thuộc  Biến cố A là một tập con của không gian mẫu  . A và A xảy ra nếu và chỉ nếu kết quả sơ cấp .A Tập hợp rỗng  gọi là biến cố rỗng Bản thân  được gọi là biến cố chắc chắn. Sự kiện   chỉ chứa một kết quả sơ cấp  được gọi là biến cố sơ cấp. Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố 2. Không gian mẫu và biến cố Ví dụ 3. Gieo một con xúc xắc ta có Biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm nhỏ hơn 7 là  Biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm bằng 7 là  Biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm nhỏ hơn 4 là biến cố ngẫu nhiên. 3. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố a. Tổng của hai biến cố =C A B =C A B Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố kí hiệu xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Ví dụ 4A. Kiểm tra hai lô hàng, gọi 1 A là sự kiện lô hàng thứ nhất có sản phẩm bị lỗi 2 A là sự kiện lô hàng thứ hai có sản phẩm bị lỗi. 1 2 A A A  là sự kiện có sản phẩm bị lỗi trong hai lô hàng. b. Tích của hai biến cố Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố 3. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố Tích của hai biến cố A và B là một biến cố C A B  kí hiệu là .C A B xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B cùng đồng thời xảy ra. Ví dụ 4B. Kiểm tra hai lô hàng, gọi 1 A là sự kiện lô hàng thứ nhất có sản phẩm bị lỗi. 2 A là sự kiện lô hàng thứ hai có sản phẩm bị lỗi. 1 2 .A A A là sự kiện trong hai lô hàng đều có sản phẩm lỗi. c. Quan hệ kéo theo Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố 3. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố Biến cố A được gọi là biến cố thuận lợi cho biến cố B khi và chỉ khi nếu A xảy ra thì B xảy ra, kí hiệu là A B . Ví dụ 5. Gieo một con xúc xắc, gọi A là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 4. Gọi i B là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm là , 1,6.i i  Khi đó ta có 1 2 3 , ,B A B A B A   . Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố 3. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố d. Quan hệ tương đương Hai sự kiện A và B được gọi là bằng nhau (tương đương nhau) khi và chỉ khi A B và .B A Ví dụ 6. Gieo hai con xúc xắc, A là sự kiện tổng số chấm xuất hiện là số lẻ. B là sự kiện một con xúc xắc xuất hiện là số lẻ và một con xuất hiện số chấm là số chẳn. Ta có .A B e. Quan hệ xung khắc Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố 3. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu hai biến cố A và B không cùng xảy ra. Kí hiệu . .A B  Ví dụ 7. Gieo một con xúc xắc, gọi A là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 3. B là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 4. Khi đó hai sự kiện A và B là xung khắc. f. Quan hệ đối lập Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố 3. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố Biến cố đối của biến cố A kí hiệu là A . A và A thỏa đồng thời i và ii i. A A  , ii. . .A A  Ví dụ 8. Gieo một con xúc xắc, gọi A là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 3. A là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 2. Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố 3. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố g. Biến cố độc lập Hai sự kiện A và B được gọi là độc lập nhau nếu sự kiện A xảy ra hay không sẽ không ảnh hưởng đến sự xảy ra hay không của sự kiện B và ngược lại. h. Họ đầy đủ các biến cố Họ các biến cố 1 2, ,..., nA A A được gọi là một họ đầy đủ Thỏa đồng thời i và ii i. Xung khắc từng đôi một  ,   i jA A i j i j ii. Phải có một biến cố trong họ xảy ra 1 2 ...   nA A A . Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố 1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển 2. Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê 3. Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học 4. Định nghĩa xác suất theo quan điểm tiên đề Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố 1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển Xét một không gian các biến cố sơ cấp có n biến cố sơ cấp đồng khả năng và giả sử có m biến cố sơ cấp thuận lợi cho một biến cố ngẫu nhiên A. Khi đó, xác suất của của A kí hiệu P(A).   soá caùcsöï sô caápkieän thuaän lôïi cho [ ] soá caùcsöï kieänsô caápcuûa [ ] A A m P A n      .  Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố 1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển Tính chất của xác suất a)  0 1. P A b)   1, P   0 P . c)    1 . P A P A d) Nếu A B thì    P A P B . Ví dụ 1. Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất. Quan sát số chấm ở mặt trên của con xúc xắc. a. Tính xác suất số chấm là số chẵn? b. Tính xác suất số chấm bé hơn 4? c. Tính xác suất số chấm là 6? Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố 1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển Ví dụ 2. Trong 1 bình kín có 5 cầu trắng, 3 cầu đen giống nhau về hình dạng, kích thước. Lấy ngẫu nhiên 2 quả. Tính xác suất để: a.Lấy được 2 cầu trắng b.Lấy được 2 cầu đen c.Lấy được một cầu trắng và một cầu đen Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố 1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển Ví dụ 3 (BTN). Chọn ngẫu nhiên 5 sản phẩm từ một lô hàng chứa 12 sản phẩm, trong đó có 4 phế phẩm và 8 chính phẩm. Tính xác suất để trong 5 sản phẩm lấy a. Có 2 chính phẩm. b. Có ít nhất 1 phế phẩm. c. Có cả chính phẩm và phế phẩm ít nhất là 2. Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố 1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển Ví dụ 4 (BTN). Trong một hộp kín chứa các quả cầu cùng hình dạng và kích thức. Trong đó có 5 quả màu màu xanh, 4 quả màu đỏ, 3 quả màu trắng? Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 quả cầu. Tính các xác suất sau a. Cả 3 quả cầu cùng một màu b. Đúng hai quả cầu cùng màu c. Ít nhất hai quả cầu cùng màu d. Cả 3 quả khác màu nhau. Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố 2. Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê Định nghĩa. Giả sử một phép thử được thực hiện lập lại n lần trong trong cùng một điều kiện xác định và đếm được A n lần xuất hiện một sự kiện A. Khi đó, tần suất (tỉ lệ) A n n được gọi là xác suất của sự kiện A khi n tăng lên vô hạn   lim .A n n P A n  Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố 3. Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Không gian mẫu có thể được biểu diễn bởi một miền hình học    có độ đo là ( )mes  . Mỗi sự kiện ngẫu nhiên được biểu diễn bởi một miền hình học A   có độ đo là ( )mes A . Xác suất P(A) của sự kiện A được xác định bởi   ( ) . ( ) mes A P A mes   Bài 2. Định nghĩa xác suất của sự kiện 4. Định nghĩa xác suất theo quan điểm tiên đề Cho không gian mẫu  và  - đại số các sự kiện của  . Một hàm P: 0,1   được gọi là một “độ đo xác suất” hay nói gọn là xác suất nếu thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: i.   1P   . ii. Nếu hai sự kiện A và B xung khắc thì      .P A B P A P B   iii. Đối với một dãy giảm các sự kiện 1 2 ... ... n A A A    , , 1,2,... i A i  thuộc  - đại số và 1 2 . ... ... n A A A  đẳng thức sau luôn đúng lim 0 n n A   . Bài 3. Công thức tính xác suất 1. Công thức cộng xác suất 2. Công thức xác suất có điều kiện 3. Công thức nhân xác suất và tính độc lập của các sự kiện 4. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes 5. Công thức Bernoulli Bài 3. Công thức tính xác suất 1. Công thức cộng xác suất Cho A và B là hai sự kiện trong cùng một không gian mẫu. Khi đó đẳng thức sau luôn đúng        . .P A B P A P B P A B    Nếu A và B là hai sự kiện xung khắc thì      .P A B P A P B   Xét trường hợp A, B, C là ba sự kiện ngẫu nhiên                . . . . . . P A B C P A P B P C P A B P BC P AC P A BC           Nếu A, B, C là ba sự kiện đôi một xung khắc thì        .P A B C P A P B P C     Bài 3. Công thức tính xác suất 1. Công thức cộng xác suất Chú ý:      . . .P A B P A P A B  Ví dụ 2. Một nhóm có 10 bạn sinh viên, trong đó có 6 sinh viên học giỏi toán. Chọn ngẫu nhiên 6 bạn sinh viên, tính xác suất để chọn được số sinh viên giỏi toán nhiều hơn không giỏi toán ? ĐS: 23/42. Ví dụ 1. Trong một vùng dân cư tỉ lệ người mắc bệnh tim là 0,09; mắc bệnh phổi là 0,12 và mắc cả hai bệnh là 0,07. Khám ngẫu nhiên một người trong vùng đó, tính xác suất người đó không mắc cả hai bệnh trên. ĐS: 0,86. Bài 3. Công thức tính xác suất 1. Công thức cộng xác suất Ví dụ 3 (BTN). Một lớp học có 80 sinh viên, trong đó có 50 sinh viên giỏi Tin học, 30 sinh viên giỏi Anh văn, 10 sinh viên giỏi cả Tin học và Anh văn. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp đó. Tính xác suất chọn được sinh viên giỏi ít nhất một trong hai môn Tin học và Anh văn? Ví dụ 4 (BTN). Một cửa hàng cần bán 50 sản phẩm, trong đó có 15 sản phẩm không đạt trọng lượng, 10 sản phẩm không đạt chất lượng và 5 sản phẩm không đạt cả chất lượng và trọng lượng. Khách hàng vào chọn mua ngẫu nhiên 1 sản phẩm. a. Tính xác suất chọn phải sản phẩm không đạt ít nhất một trong hai chuẩn trên? b. Tính xác suất chọn được sản phẩm không vi phạm cả hai tiêu chuẩn? c. Tính xác suất chọn sản phẩm đạt chất lượng nhưng không đạt trọng lượng? d. Tính xác suất chọn sản phẩm không đạt chất lượng nhưng đạt trọng lượng? e. Tính xác suất chọn phải sản phẩm chỉ vi phạm 1 tiêu chuẩn? Bài 3. Công thức tính xác suất 1. Công thức cộng xác suất Bài 3. Công thức tính xác suất 2. Công thức xác suất có điều kiện Xét đến trường hợp A và B không độc lập, nghĩa là nếu biết trước sự kiện B đã xảy ra thì sẽ ảnh hưởng đến sự xảy ra của sự kiện A. Xác suất của sự kiện A khi biết sự kiện B đã xảy ra trước đó gọi là xác suất có điều kiện và kí hiệu là P(A/B). Công thức tính xác suất có điều kiện như sau       . / P A B P A B P B  Tính chất. 1.  0 / 1.P A B  2.  / 1P B B  . 3.        / / / . /P A C B P A B P C B P AC B      . Nếu A C  thì      / / /P A C B P A B P C B     . 4.    / 1 /P A B P A B  . Bài 3. Công thức tính xác suất 2. Công thức xác suất có điều kiện Bài 3. Công thức tính xác suất 3. Công thức nhân xác suất và tính độc lập của các sự kiện Gọi A và B là hai sự kiện trên một không gian xác suất      . /P AB P A P B A      . /P AB P B P A B Hai sự kiện A và B độc lập nếu và chỉ nếu      .P AB P A P B . Với A, B, C là ba sự kiện trong một không gian xác suất        . / . / .P ABC P A P B A P C AB Bài 3. Công thức tính xác suất 3. Công thức nhân xác suất và tính độc lập của các sự kiện Ví dụ 5. Một hộp kín chứa 8 quả cầu màu đỏ và 5 quả màu trắng. Lấy ngẫu nhiên hai lần, mỗi lần một quả cầu, không hoàn lại. Tính xác suất lấy được a. Cả hai quả cầu màu đỏ? b. Hai quả cầu khác màu? c. Quả cầu thứ hai màu trắng? ĐS: 14/39; 20/39; 5/13 Ví dụ 6 (BTN). Đề bài tương tự ví dụ 6, nhưng chọn 2 lần và có hoàn lại. Bài 3. Công thức tính xác suất 3. Công thức nhân xác suất và tính độc lập của các sự kiện Ví dụ 7. Hai xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia một cách độc lập, mỗi người bắn một phát. Xác suất để xạ thủ thứ nhất và thứ hai bắn trúng bia lần lượt là 0,7 và 0,8. Tính xác suất để a. Cả hai xạ thủ bắn trúng bia b. Chỉ có xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia ĐS: 0,56; 0,14. Bài 3. Công thức tính xác suất 3. Công thức nhân xác suất và tính độc lập của các sự kiện Ví dụ 8 (BTN). Để dập tắt nạn dịch sâu bệnh hại lúa, đội bảo vệ thực vật đã tiến hành phun thuốc 3 lần liên tiếp trong 1 tuần. Xác suất sâu bị chết sau lần phun thứ nhất là 0,5. Nếu sống sót ở lần phun thứ nhất thì khả năng sâu bị chết ở lần phun thứ hai là 0,7. Nếu sống sót ở lần phun thứ hai thì khả năng sâu bị chết ở lần phun thứ 3 là 0,9. Tính xác suất sâu bị chết sau đợt phun thuốc. Bài 3. Công thức tính xác suất 4. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes 4.1 Công thức xác suất đầy đủ Cho A1, A2,...,An là họ đầy đủ các biến cố. Khi đó, với một biến cố B trong không gian mẫu  ta có       1 / n i i i P B P A P B A   .    , / , 1,2,..., i i P A P B A i n được gọi là xác suất tiên nghiệm, còn các xác suất  / i P A B được gọi là xác suất hậu nghiệm.             / / . i i i i P AB P A P B A P A B P B P B   Ví dụ 9. Có ba lô hàng, tỉ lệ phế phẩm ở từng lô hàng tương ứng là 7%, 5%, 3%. Chọn ngẫu nhiên một lô hàng rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tính xác suất chọn được phế phẩm? ĐS: 0,05. Bài 3. Công thức tính xác suất 4. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes 4.1 Công thức xác suất đầy đủ Ví dụ 10 (BTN). Cửa hàng có một lô hàng 50 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm. Có hai người lần lượt vào mua, mỗi người lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Hỏi người thứ nhất hay người thứ hai có khả năng lấy được phế phẩm cao hơn?. Bài 3. Công thức tính xác suất 4. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes 4.2. Công thức Bayes Giả sử A1, A2,...,An là nhóm biến cố đầy đủ, A là biến cố đã xảy ra cùng với một trong các biến cố Ai.                     1 1 / / / . / i i i i i i n i i P AB P A P B A P A P B A P A B P B P B P A P B A      Nhà Toán học người Anh Thomas Bayes (1702 – 1761). Ví dụ 11. Một kho hàng chứa cùng một loại sản phẩm do ba nhà máy sản xuất, biết số sản phẩm của nhà máy I chiếm 2/3 số sản phẩm của kho hàng, số sản phẩm của nhà máy II chiếm 1/4 số sản phẩm của kho hàng, số sản phẩm còn lại của nhà máy III. Tỷ lệ sản phẩm tốt của mỗi nhà máy lần lượt là 80%, 60% và 40%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho hàng a. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt? b. Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt, tính xác suất để sản phẩm đó do nhà máy II sản xuất? ĐS: 0,72; 9/43. Bài 3. Công thức tính xác suất 4. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes 4.2. Công thức Bayes Ví dụ 12. Trong số 10 xạ thủ có 5 người bắn trúng bia với xác suất 0,9 (nhóm thứ nhất); có 3 người bắn trúng bia với xác suất 0,8 (nhóm thứ hai) và có 2 người bắn trúng bia với xác suất 0,7 (nhóm thứ ba). Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và cho anh ta bắn một viên đạn nhưng kết quả không trúng bia. Tính xác suất để xạ thủ đó thuộc nhóm thứ hai. ĐS: 0,17; 6/17. Bài 3. Công thức tính xác suất 4. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes 4.2. Công thức Bayes Bài 3. Công thức tính xác suất 4. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes 4.2. Công thức Bayes Ví dụ 13 (BTN). Có hai hộp thuốc. Hộp thứ nhất đựng 8 lọ thuốc, trong đó có 3 lọ kém chất lượng; hộp thứ hai đựng 6 lọ thuốc, trong đó có 2 lọ kém chất lượng. a. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ. Tính xác suất để được 1 lọ tốt 1 lọ kém chất lượng? b. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ra một lọ thì được lọ kém chất lượng. Tính xác suất để lọ kém chất lượng đó thuộc hộp 2? Bài 3. Công thức tính xác suất 5. Công thức Bernoulli Xét loại phép thử chỉ có hai kết quả là “thành công” kí hiệu T hoặc “thất bại” kí hiệu T . Nếu xác suất thành công  P T q thì xác suất thất bại sẽ là   1P T q  . Phép thử loại trên được gọi là phép thử Bernuolli, kí hiệu là B(q). Lập lại phép thử B(q) n lần độc lập nhau, xác suất để có k lần thành công 0 k n  , kí hiệu  , n P k q được cho bởi công thức    , 1 . n k k k n n P k q C q q    Nhà Toán học người Thụy Sĩ James Bernoulli (1654 – 1705). Bài 3. Công thức tính xác suất 5. Công thức Bernoulli Ví dụ 14. Tỷ lệ sản xuất ra phế phẩm của một máy là 8%, Kiểm tra một lô hàng gồm 75 sản phẩm. a. Tính xác suất có 10 phế phẩm trong lô hàng? b. Tính xác suất để có ít nhất một phế phẩm? ĐS: 0,0394; 0,998. Ví dụ 15.(BTN) Tỷ lệ sản xuất phế phẩm của một máy là 5%, Kiểm tra một lô hàng gồm 100 sản phẩm. a. Tính xác suất có 6 phế phẩm trong lô hàng? b. Tính xác suất có không ít hơn 3 phế phẩm? Bài 3. Công thức tính xác suất 5. Công thức Bernoulli Ví dụ 16. Người ta muốn lấy ngẫu nhiên một số hạt từ một lô hạt giống có tỉ lệ hạt lép là 3% để nghiên cứu. Hỏi phải lấy ít nhất bao nhiêu hạt sao cho xác suất để có ít nhất một hạt lép không bé hơn 95% ? ĐS: 99. XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!