Bài giảng Giải gần đúng phương trình vi phân

Chương 6 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN I. Mở đầu. * Bài toán Côsi : là bài toán dạng phương trình vi phân với điều kiện bổ sung (điều kiện ban đầu) đã cho tại không quá một điểm. C - hằng số tích phân, phụ thuộc điều kiện ban đầu - Xác định C cần biết thêm 1 điều kiện ban đầu, ví dụ Bài toán Côsi đối với phương trình vi phân cấp 1: - Cho khoảng [x0, X] - Tìm hàm số y = y(x) xác định trên [x0, X] thoả mãn: y’ = f(x,y); y(x0) = η ; ( 1 ) ( 2 ) Trong đó f(x, y) – hàm đã biết; η - số thực cho trước ( 2 ) - điều kiện Côsi hay điều kiện ban đầu. * Bài toán biên. Bài toán giải phương trình vi phân với điều kiện bổ sung được cho tại nhiều hơn 1 điểm. - Cho khoảng [a, b]; - Tìm hàm y = y(x) trên [a, b] thoả mãn: II. Giải bài toán Côsi. 1. Phương pháp chuỗi Taylo. y’ = f(x, y); y(x0) = η ; Khai triển nghiệm y(x) tại x = x0: Đã CM được rằng: Ví dụ 1. Tìm nghiệm xấp xỉ của: Sử dụng chuỗi Taylo; x0 = 1; y(x0) = η = 2. Ví dụ 2. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình vi phân: - Đạo hàm ( a ): - Đạo hàm ( c ): - Tính tiếp: Nhận xét: - Phương pháp Taylo cho nghiệm xấp xỉ dưới dạng chuỗi. 2. Phương pháp Ơ le. - Là phương pháp số; - Xác định từng giá trị của y(x) theo giá trị cụ thể của x Nội dung: xi = x0 + ih; i = 0, 1, 2, . . ., n; xi – nút của lưới; h - bước của lưới: h = const; - y(x) nghiệm đúng của (1), (2) Thành lập công thức tính: - y(xi) – giá trị đúng của y(x) tại xi; - ui – giá trị gần đúng tính được của y(xi); - Giả sử đã biết ui, cần tính ui+1 tại xi+1. y’ = f(x, y); y(x0) = η ; . . . . . . . . . . . . . . . . . Nhận xét: Đơn giản, không phải giải p/trình nào, thuận tiện lập trình giải trên máy tính - Độ chính xác không cao. (8 a) - Ấn định số khoảng chia n; - Tính h = (x – x0)/n ; - Tính xi = x0 + ih; - Đặt u0 = η - Tính ui+1 = ui + h.f(xi,ui) với i = 0, 1, 2, . . ., n ; - Đặt u(xi, h) = ui; thay h = h/2 tính lại; - Sai số: - Ấn định số khoảng chia n; - Tính h = (x – x0)/n ; - Tính xi = x0 + ih; - Đặt u0 = η - Tính ui+1 = ui + h.f(xi,ui) với i = 0, 1, 2, . . ., n ; - Đặt u(xi, h) = ui; thay h = h/2 tính lại; - Sai số: Quy ước viết 0(hk): Đại lượng φ(h) phụ thuộc h và 0 khi h 0. Nếu tồn tại một hằng số dương M1 không phụ thuộc h sao cho thì viết φ(h) = 0(hk) 3. Phương pháp hình thang. Phương pháp Ơle có độ chính xác không cao. u*i+1 trong (11) được tính theo công thức Ơle: Đã chứng minh được phương pháp này có dộ chính xác cấp 2: Để tính nghiệm (11) chính xác hơn khi đã biết ui, có thể dùng phép lặp đơn: Quá trình lặp dừng lại ở bước k khi ε – sai số cho phép. (13) 4. Phương pháp Runge-Kutta. Xét phương pháp Runge – Kutta cấp 4 Đặt u0 = η; trong đó Nhận xét: - Không cần giải phương trình; - Thuận lợi để lập trình trên máy tính; - Độ chính xác cao hơn. Đã chứng minh được phương pháp R-K có độ chính xác cấp 4: Ví dụ. Tìm nghiệm của phương trình trong khoảng với y(0) = 1. ( x0 = 0; X = 1 ) Để so sánh, giải với ph/pháp Ơle, ph/ pháp hình thang, R-K và tính nghiệm đúng. - Nghiệm đúng của phương trình trên là: - Tính với h = 0,2. Nhận xét. III. Bài toán Côsi đối với hệ phương trình vi phân cấp 1. Phát biểu bài toán: Cho khoảng [x0, X], tìm các hàm một biến y1(x), y2(x),…, yn(x) xác định trên khoảng [x0, X] và thoả mãn hệ phương trình: với ( 17 ) trong đó f1, f2, . . ., fn – các hàm đã biết. Để đơn giản, xét hệ hai phương trình: Cho khoảng [x0, X], tìm 2 hàm số y = y(x) và z = z(x) xác định trên [x0, X] và thoả mãn các phương trình: y’ = f(x,y,z); z’ = g(x, y, z); ( 18 ) f(x, y, z) và g(x, y, z) là hai hàm số cho trước. η1, η2 là những số thực cho trước; trong đó 1. Phương pháp Taylo. Chuỗi Taylo của nghiệm: với Các đạo hàm từ cấp hai trở lên tại x0 của các hàm f(x) và g(x) được xác định bằng cách đạo hàm hệ phương trình ( 18 ). 2. Phương pháp Ơle. Chia khoảng [x0, X] thành n đoạn con đều nhau bởi các nút Ký hiệu giá trị gần đúng của y(x) là u; Ký hiệu giá trị gần đúng của z(x) là v; 3. Phương pháp hình thang. Để nâng cao độ chính xác của nghiệm, khi đã biết ui, vi, dùng phương pháp lặp để tính ui+1, vi+1 tương tự như đã biết. Dừng quá trình tính khi ε - sai số cho phép. Đối với vi+1 cũng tính tương tự. 4. Phương pháp Runge-Kutta. Đặt u0 = η1 ; v0 = η2 ; Biết ui, tính ui+1; biết vi, tính vi+1 theo công thức: ( 24 ) ( 25 ) với ( 26 ) và IV. Bài toán Côsi với phương trình vi phân cấp cao. Bài toán. Cho khoảng [x0, X], tìm hàm số y = y(x) xác định trên [x0, X] và thoả mãn phương trình vi phân: y(n)(x) = f(x, y, y’, y”, . . ., y(n-1)) với điều kiện y(x0) = y1,0; y’(x0) = y2,0; . . ., y(n-1)(x0) = yn,0 ( 27 ) ( 28 ) Cách giải. Đưa về hệ p/t vi phân cấp 1 bằng cách đặt: y1 = y, y2 = y’, . . ., yn = y(n-1) y’1 = y2 y’2 = y3 y’n = f(x, y1, y2, . . ., yn) y’n-1 = yn . . . . . . . với điều kiện y1(x0) = y1,0; y2(x0) = y2,0; . . ., y n(x0) = yn,0 với điều kiện Xét phương trình vi phân cấp 2: Tìm hàm y = y(x) xác định trên [x0, X] thoả mãn phương trình: y” = f(x, y, y’) điều kiện ban đầu y(x0) = η0; y’(x0) = η1. Đặt: y’ = z z’ = y” = f (x, y, y’) = f(x, y, z) ( 29 ) ( 30 ) ( 29 ) hệ hai phương trình cấp 1: z’ = f(x, y, z) y’ = z ( 31 ) với z(x0) = η1 ; y(x0) = η0 . Ví dụ. Giải p/trình vi phân cấp 2 sau bằng p/pháp Ơle: Giải. Đặt y’ = z; y” = z’ ; Dùng công thức Ơle, chọn h = 0,1. Lập bảng tính: 0,521 -0,551 -0,055 -0,222 -0,022 0,77 0,726 0,679 0,629 0,576 -0,44 -0,473 -0,503 -0,529 -0,044 -0,047 -0,050 -0,053 -0,33 -0,296 -0,260 -0,033 -0,030 -0,026