Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Hàm số một biến số

Cho a là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số y = f (x) Điểm gián đoạn loại 1, loại 2 1) Điểm gián đoạn loại một: giới hạn trái f(a-) và phải f(a+) tồn tại và hữu hạn. a là điểm khử được: f(a-) = f(a+) a là điểm nhảy: f (a+) (a-) bước nhảy: h = f(a+) - (a-) 2) Điểm gián đoạn loại hai: không phải là loại một. Một trong hai giới hạn (trái hoặc phải) không tồn tại hoặc tồn tại nhưng bằng vô cùng.

pdf80 trang | Chia sẻ: thanhle95 | Lượt xem: 366 | Lượt tải: 1download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Hàm số một biến số, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Chương 2: Hàm số một biến số ĐỊNH NGHĨA HÀM HÀM SỐ • Tập X gọi là miền xác định. • Tập Y=f(X) gọi là miền giá trị. • x gọi là biến độc lập hay còn gọi là đối số. • y=f(x) gọi là biến phụ thuộc hay còn được gọi là hàm số và được gọi là giá trị của hàm f tại x. Cho , ⊂ ℝ, ≠ ∅. Một ánh xạ từ vào được gọi là hàm số của một biến số : → ↦ = ∀, ∈ ; ≠ ⇒ ≠ (). Đơn ánh. Toàn ánh. ∀ ∈ , ∃ ∈ : = . Song ánh (vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh). ∀, ∈ ; ≠ ⇒ ≠ () ∀ ∈ , ∃ ∈ : = . Hàm số chẵn, hàm số lẻ ∀, − ∈ : = − ∀, − ∈ : = −(−) Hàm chẵn Hàm lẻ Hàm số tuần hoàn () tuần hoàn trên với chu kỳ nếu: ∀, + ∈ : = + Hàm số đơn điệu • Ta nói hàm là hàm tăng, nếu( )f x    1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x X x x f x f x     Một hàm tăng hay hàm giảm được gọi chung là hàm đơn điệu. • Ta nói nói hàm là hàm giảm, nếu • Bỏ dấu “ = “ trong định nghĩa ta gọi là tăng (giảm) ngặt.    1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x X x x f x f x     ( )f x Hàm số bị chặn Ta nói hàm bị chặn trên trong bởi ∈ ℝ , nếu ⇒ ≤ , ( )x X f x A   Ta nói hàm bị chặn dưới trong bởi B ∈ ℝ , nếu ⇒ ≥ Một hàm vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi là hàm bị chặn. ( )f x ( )f x , ( )x X f x B   Hàm số hợp Cho hai hàm .: ; : g X Y f Y Z  Khi đó tồn tại hàm hợp .:f g X Z ( ( ))h f g f g x  Cho hai hàm .: ; : g X Y f Y Z  Khi đó tồn tại hàm hợp .:f g X Z ( ( ))h f g f g x  Ví dụ. 2( ) 3; ( ) g x x f x x    2( ) ( ( ) ( 3) 3f g x f g x f x x      2 2( ) ( ( )) ( ) 3g f x g f x g x x     Hàm số hợp Cho . Tìm các hàm sau và miền Ví dụ. ( ) ; ( ) 2 f x x g x x   ) ; ; ; . b) c) d) a f g g f f f g g   xác định của nó: 4) ( ) 2 2 a f g x x x    ( ,2]f gD   ) ( ) 2 b g f x x   0,4g fD  4) ( ) c f f x x  0,f fD   ) ( ) 2 2 d g g x x    2,2g gD   Cho . Tìm các hàm sau và miền Ví dụ. ( ) ; ( ) 2 f x x g x x   ) ; ; ; . b) c) d) a f g g f f f g g   xác định của nó: Hàm số ngược Nếu f : X  Y x  y = f(x) là song ánh thì  : Y  X y  x = (y) , với y = f(x) gọi là hàm ngược của f Ký hiệu hàm ngược :  = f 1 Cách tìm hàm ngược: 1. Từ pt y = f(x) , giải tìm x = (y). 2. Hàm số y = (x) là hàm ngược cần tìm. 2 3y x  3 2 y x    13 ( ) 2 x y f x    1. Tìm hàm ngược của y = f(x) = 2x + 3 trên R B1: giải pt y = f(x) B2: Đổi vai trò của x, y trong biểu thức nghiệm: Ví dụ. 2. Tìm hàm ngược của hàm số y = f(x) = x2 trên R+ 2( ) 0 y f x x x      1( )x y f y   Vậy : 1( )y f x x  Các hàm số thông dụng Hàm lũy thừa = Hàm mũ cơ số ∀ ∈ ℝ, () = ,0 1xy a a   , 1xy a a  Hàm logarit cơ số ∀ , ∈ ℝ × ℝ: = log ⟺ = log ( ), 1ay x a  log ( ), 0< 1ay x a  Hàm lượng giác : , y = sinx, y = cosx  MXĐ: R, MGT:[–1, 1],Tuần hoàn chu kỳ = 2 y = tanx (MXĐ: {R\ /2 + k }), y = cotx (MXĐ: R\{ k}); MGT: R, Tuần hoàn chu kỳ = Hàm lượng giác : tan , Hàm biến đổi Cho hàm y = () và > 0. Hàm Hyperbolic sin hyperbolic sinh( ) 2 x xe e x   cos hyperbolic cosh( ) 2 x xe e x   tan hyperbolic sinh( ) tanh( ) cosh( ) x x x  cotan hyperbolic cosh( ) coth( ) sinh( ) x x x  cosh( )y xHàm sinh( )y xHàm tanh( )y xHàm coth( )y xHàm BẢNG CÔNG THỨC HÀM HYPERBOLIC 1cossin 22  xx 1shch 22  xx   yxyxyx sinsincoscoscos    yxyxyx shshchchch    xyyxyx cossincossinsin    xyyxyx chshchshsh    xxx 22 sin211cos22cos    xxx 22 sh211ch22ch    xxx cossin22sin    xxx chsh22sh  2 cos 2 cos2coscos yxyx yx   2 ch 2 ch2chch yxyx yx   2 sin 2 sin2coscos yxyx yx   2 sh 2 sh2chch yxyx yx   Cohná thö ùc lö ôuná áãaùc Cohná thö ùc Hyperbolãc Giới hạn hàm số • Ta gọi −lân cận của điểm ∈ ℝ là khoảng : Ω = ( − , + ) • Gọi A-lân cận của +∞ là khoảng Ω +∞ = (, +∞) với A>0 và khá lớn. • Gọi B-lân cận của −∞ là khoảng Ω −∞ = (−∞, −) với B>0 và khá lớn. Lân cận điểm, điểm tụ Giới hạn hàm số lim ( ) x a f x l   0, 0 : ( )x a f x l             &fx D x a  (hữu hạn) Cho hàm số = () xác định trên miền và là điểm tụ của . Ta nói là giới hạn của khi tiến gần tới (hoặc tại ) nếu lim ( ) x a f x     0A   0   | | ( ) , fx a f x A x D      lim ( ) x a f x     0B   0   | | ( ) , fx a f x B x D      lim ( ) x f x l    0   0A   | ( ) | , fx A f x l x D      lim ( ) x f x l    0   0B   | ( ) | , fx B f x l x D      0  0  , 0fx D a x      Định nghĩa. (giới hạn trái) Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm a, nếu 1 | ( ) | .f x l    1lim ( ) x a f x l  ký hiệu 0  0  ,0fx D x a      Định nghĩa. (giới hạn phải) Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm a, nếu 2 | ( ) | .f x l    2lim ( ) x a f x l  ký hiệu Chú ý: Thường dùng định nghĩa này chứng tỏ hàm không có giới hạn. lim ( ) x a f x l   ( ) ,n fx D  , n n nx a x a   ( ) nnf x l   Nếu tìm được hai dãy mà' 0( ),( )n nx x x '( ), ( )n nf x f x hội tụ về hai số khác nhau thì hàm không có giới hạn. Liên hệ với dãy số Nguyên lý kẹp Cho 3 dãy thỏa mãn Nguyên lý kẹp , ,f g h ( ) ( ) ( )f x g x h x  và ,khi đó Nếu trong lân cận của có và , thì khi đó lim ( ) lim ( ) x a x a f x h x l     lim ( ) x a g x l   ( ) ( )f x g x lim ( ) x a f x    lim ( ) x a g x    00 lim ( ) 0 lim ( ) x x x x u x a v x b         Mệnh đề   0 ( ) lim ( ) v x b x x u x a        0 0 ( ) ( ) ln ( ) lim ( ) lim v x v x u x x x x x u x e    0 lim ( ) ln( ( )) x x v x u x e  ln .b a be a  1 lim 1 x x e x        1 lim 1 x x e x          1 0 lim 1 x x x e    0sin 1) lim 1   x x x 0 1 2) lim 1    x x e x 20 1 cos 1 3) lim 2    x x x 0 ln(1 ) 4) lim 1    x x x 0 (1 ) 1 5) lim       x x x Các giới hạn cơ bản thường gặp khi 0x 0 arctan 6) lim 1   x x x 0 arcsin 7) lim 1   x x x 0 tan 8) lim 1   x x x   1/ 0 9) lim 1    x x x e   1/ 0 1 10) lim 1    x x x e 1) lim , 0       x x  2) lim ln , 0       x x 3) lim , 1    x x a a 1 4) lim 1         x x e x Các giới hạn cơ bản thường gặp khi x BẢNG TÓM TẮT GIỚI HẠN CƠ BẢN 1 lim , lim 0 0 1 lim 0, lim x x x x x x x x a a a a a a                   0 lim , 0 lim 0 x x x x                 1a 0 1a  0 lim ln lim ln x x x x         0  0  LƯU Ý KHI TÍNH GIỚI HẠN 1.Nhớ kiểm tra dạng vô định trước khi lấy giới hạn. 2.Tùy theo dạng vô định, chọn gh cơ bản thích hợp. 3.Nếu dạng VĐ là 0,   , chuyển về 0/0 hoặc / 4.Nếu là dạng VĐ mũ, biến đổi theo các cách sau: a. lấy lim của lnf(x) b.[u(x)]v(x)= ev(x)lnu(x) c.Dạng 1, dùng gh (1+x)1/x  e     0 0 5. lim 0 lim 0 x x x x f x f x      VÍ DỤ 0 1 cos5 1/ lim 1 cos2x x x   2 0 2 1 cos5 (5 ) lim 1 cos2 (2 ) x x x x x     1/ 2 25 1/ 2 4   Dạng 0/0 25 4  2 2 (5 ) (2 ) x x  ln 9 / lim 0, 0     p x x x   1 0 1 / lim 1 x x x e    0 ln (1 ) 2 / lim 1 x x x   0 1 3 / lim 1, x x e x   0 (1 ) 1 5 / lim x x x       0 1 4 / lim ln x x a a x   0 sin 6 / lim 1, x x x  20 1 cos 1 lim 2x x x   0 lim 1, tan x x x  0 arcsin 7 / lim 1, x x x  0 lim 1, arctan x x x  lim 0, 1 xx x a a      0 sinh 8 / lim 1,   x x x 20 cosh 1 1 lim 2   x x x sin 0 1 3 / lim x x e x  sin 0 1 sin lim sin x x e x x x    1 1 1   Dạng 0/0 ln 9 / lim 0, 0     p x x x   1 0 1 / lim 1 x x x e    0 ln (1 ) 2 / lim 1 x x x   0 1 3 / lim 1, x x e x   0 (1 ) 1 5 / lim x x x       0 1 4 / lim ln x x a a x   0 sin 6 / lim 1, x x x  20 1 cos 1 lim 2x x x   0 lim 1, tan x x x  0 arcsin 7 / lim 1, x x x  0 lim 1, arctan x x x  lim 0, 1 xx x a a      0 sinh 8 / lim 1,   x x x 20 cosh 1 1 lim 2   x x x 20 3 4 / lim x x x e x  Dạng 0/0 2 0 1 (3 1) lim x x x e x     2 0 1 3 1 lim 2 2 x x x e x x         2 ln3  Có thể biến đổi như sau:  22 3 13 3 x x x x ee x x   2 0 1 ln 3 x e        ln 9 / lim 0, 0     p x x x   1 0 1 / lim 1 x x x e    0 ln (1 ) 2 / lim 1 x x x   0 1 3 / lim 1, x x e x   0 (1 ) 1 5 / lim x x x       0 1 4 / lim ln x x a a x   0 sin 6 / lim 1, x x x  20 1 cos 1 lim 2x x x   0 lim 1, tan x x x  0 arcsin 7 / lim 1, x x x  0 lim 1, arctan x x x  lim 0, 1 xx x a a      0 sinh 8 / lim 1,   x x x 20 cosh 1 1 lim 2   x x x 30 tan sin 5 / lim x x x x  Dạng 0/0 2 20 1 tan 1 sin lim x x x x xx x      2 20 1 1 lim 0 x x x       SAI ln 9 / lim 0, 0     p x x x   1 0 1 / lim 1 x x x e    0 ln (1 ) 2 / lim 1 x x x   0 1 3 / lim 1, x x e x   0 (1 ) 1 5 / lim x x x       0 1 4 / lim ln x x a a x   0 sin 6 / lim 1, x x x  20 1 cos 1 lim 2x x x   0 lim 1, tan x x x  0 arcsin 7 / lim 1, x x x  0 lim 1, arctan x x x  lim 0, 1 xx x a a      0 sinh 8 / lim 1,   x x x 20 cosh 1 1 lim 2   x x x 30 tan sin 5 / lim x x x x  Dạng 0/0 30 tan (1 cos ) lim x x x x   20 tan 1 cos lim x x x x x    1 1 2   ln 9 / lim 0, 0     p x x x   1 0 1 / lim 1 x x x e    0 ln (1 ) 2 / lim 1 x x x   0 1 3 / lim 1, x x e x   0 (1 ) 1 5 / lim x x x       0 1 4 / lim ln x x a a x   0 sin 6 / lim 1, x x x  20 1 cos 1 lim 2x x x   0 lim 1, tan x x x  0 arcsin 7 / lim 1, x x x  0 lim 1, arctan x x x  lim 0, 1 xx x a a      0 sinh 8 / lim 1,   x x x 20 cosh 1 1 lim 2   x x x 4 3 2 3 6 / lim 2 1 x x x x         (Dạng 1) 2 1 44lim 1 2 1 x x x               4 3 4 lim 1 2 1 x x x         0 4 2 1x (4 3)x  16 2 8e e  ln 9 / lim 0, 0     p x x x   1 0 1 / lim 1 x x x e    0 ln (1 ) 2 / lim 1 x x x   0 1 3 / lim 1, x x e x   0 (1 ) 1 5 / lim x x x       0 1 4 / lim ln x x a a x   0 sin 6 / lim 1, x x x  20 1 cos 1 lim 2x x x   0 lim 1, tan x x x  0 arcsin 7 / lim 1, x x x  0 lim 1, arctan x x x  lim 0, 1 xx x a a      0 sinh 8 / lim 1,   x x x 20 cosh 1 1 lim 2   x x x 220 ln(1 2 ) 8 / lim sinx x x  2 2 2 20 ln(1 2 ) lim 2 2 sinx x x x x     Dạng 0/0 22 20 ln(1 2 ) lim 2 sin2x x x xx         (Biểu thức trong ln tiến về 1) ln 9 / lim 0, 0     p x x x   1 0 1 / lim 1 x x x e    0 ln (1 ) 2 / lim 1 x x x   0 1 3 / lim 1, x x e x   0 (1 ) 1 5 / lim x x x       0 1 4 / lim ln x x a a x   0 sin 6 / lim 1, x x x  20 1 cos 1 lim 2x x x   0 lim 1, tan x x x  0 arcsin 7 / lim 1, x x x  0 lim 1, arctan x x x  lim 0, 1 xx x a a      0 sinh 8 / lim 1,   x x x 20 cosh 1 1 lim 2   x x x 21 100 0 9 / lim x x x e  Dạng 0 2 1 500 2 lim 1 x x e x         50 lim u u e u    ln 9 / lim 0, 0     p x x x   1 0 1 / lim 1 x x x e    0 ln (1 ) 2 / lim 1 x x x   0 1 3 / lim 1, x x e x   0 (1 ) 1 5 / lim x x x       0 1 4 / lim ln x x a a x   0 sin 6 / lim 1, x x x  20 1 cos 1 lim 2x x x   0 lim 1, tan x x x  0 arcsin 7 / lim 1, x x x  0 lim 1, arctan x x x  lim 0, 1 xx x a a      0 sinh 8 / lim 1,   x x x 20 cosh 1 1 lim 2   x x x Vô cùng bé Ví dụ nếu Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi 0x x 0 lim ( ) 0. x x f x   là một vô cùng bé khi , vì0x3( ) 3sin 2f x x x   3 0 lim 3sin 2 0. x x x    Tính chất của VCB 1) Tổng hữu hạn của các VCB là một VCB. 2) Tích của hai VCB là một VCB. 3) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB. 4) Thương của hai VCB có thể không là một VCB. Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng bé khi . 0x x Giả sử 0 ( ) lim . ( )  x x f x k g x 1) Nếu , thì f(x) gọi là VCB bậc cao hơn g(x).0k ( ) ( ( ))f x g x 2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai VCB cùng cấp. 3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCB tương đương.1k ( ) ( )f x g x So sánh VCB 2 4 2 3( ) tan ; ( ) sin 2    f x x x g x x x Vì . 2 4 2 30 0 ( ) tan lim lim 1. ( ) sin 2     x x f x x x g x x x Ví dụ Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB tương đương khi .0x 3 2 2( ) sin ; ( ) tan    f x x x g x x x Vì . 2 3 20 0 ( ) sin lim lim 0. ( ) tan     x x f x x x g x x x Ví dụ Khi đó f(x) là VCB bậc cao hơn g(x) khi .0x 2 2 2( ) sin 2 ; ( ) tan 3   f x x x g x x Vì . 2 2 20 0 ( ) sin 2 1 lim lim . ( ) 3tan 3     x x f x x x g x x Ví dụ Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi .0x Các vô cùng bé thường gặp khi 0x Chú ý: Đây là các vô cùng bé khi 0x 1) sin x x 2) -1 xe x 2 3) 1- cos 2 x x  4) ln(1 ) x x  5) (1 ) -1 x x   6) arcsin x x 7) arctan x x 8) tan x x 9) sinh x x 2 10) cosh 1 2   x x Ví dụ. Tính giới hạn 2 30 ln(1 tan ) lim sin   x x x I x x 2ln(1 tan ) tan   x x x x x 2 30 ln(1 tan ) lim sin    x x x I x x 2 20 lim 1.    x x x Ví dụ. Tính giới hạn 20 ln(cos ) lim ln(1 )  x x I x 20 ln(1 cos 1) lim ln(1 )    x x I x 20 cos 1 lim    x x x 2 20 / 2 1 lim 2     x x x 2 3 2sin x x x  Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao 0 lim Toåná hö õu haun caùc VCB Toåná hö õu haun caùc VCBx x 0 lim VCB baäc cuûa tö û VCB baä thaáp nhaát thaáp nhaác cuûa m ãut a  x x 2 3 3 2 2 2 3 ~ 3 sin 2 ~ 2 x x x x x x x     VD: khi x 0 Tìm bậc của các VCB sau đối với x khi .0x Ví dụ 3 2 31) ( )  f x x x  2) ( ) sin 2 2  f x x 3) ( ) 2 1 xf x 3 44) ( ) 3sin f x x x 3 5) ( ) cos xf x e x bậc 2/3. bậc 1. bậc 1/2. bậc 3. bậc 2.   ~ , khi 0px ax x  21 / ( ) sin( 2 )x x x   2~ 2x x ~ 2x 22 / ( ) sin( tan 2 )x x x   2~ tan 2x x 2~ 2x x  a = −2, p = 1  a = −2, p = 1 Tìm các hằng số a và p sao cho 3 / ( ) sin tan 2x x x   ~ 2x x x   a = -1, p = 1 34 / ( ) ln 1 sin ( 1)xx e      3~ sin ( 1)xe  3~ ( 1)xe  3~ x  a = 1, p = 3 VÍ DỤ 2x 3 / ( 1)( 1) sinxe x x   21 / arctan sinx x x 24 / ln( 1) sinx x x   x1x 2xx x x x x x x 2 / tan sinx x Chỉ thay tương đương qua hiệu nếu 2 VCB ban đầu không tương đương Ví dụ nếu Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi 0x x 0 lim ( ) .    x x f x là một vô cùng lớn khi vìx2( ) 2 3cos f x x x 2lim 2 3cos .     x x x Vô cùng lớn Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng lớn khi . 0x x Giả sử 0 ( ) lim . ( )  x x f x k g x 1) Nếu , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x). k ( ) ( ( )) f x g x 2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai VCL cùng cấp. 3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương.1k ( ) ( )f x g x Qui tắc ngắt bỏ VCL cấp cao 0 lim  Toåná hö õu haun caùc VCL Toåná hö õu haun caùc VCLx x 0 lim   VCL baäc cuûa tö û VCL baäc cao nhaát cao cuûnh a ãaát maux x 2 3 32 3 ~ 2x x x x   VD: khi x +∞ 1. Chỉ được thay tương đương qua tích các VCL 2. Nguyên tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp: tổng các VCL khác cấp tương đương với VCL bậc cao nhất 3. (x) ~ 1(x), khi xxo, 0 lim ( ) 0 x x f x a    ( ) ( )f x x ~ ( )a x 1~ ( )a x 4. Nguyên tắc thay tương đương trong tính giới hạn: giống VCB Nguyên tắc thay thế VCL 5. f(x) bị chận trong lân cận x0, (x) là VCL khi x x0  (x) + f(x) (x) khi x x0. 1. Khi x +, m > n >0: xm là VCL bậc cao hơn xn. 2. Khi x +, p > 0,  > 0, a > 1: ln ≪ ≪ /2 1 / lim x xx xe x e  /2 lim x xx xe e  /2lim xx x e  /2 2lim 2 0 xx x e   /2 2 / lim x xx xe x e  /2 lim x x xe x  /2lim 0x x e    Ví dụ Liên tục của hàm số Hàm được gọi là liên tục tại , nếu xác định( )y f x tại điểm này và a lim ( ) (a). x a f x f   Nếu hàm không liên tục tại , ta nói hàm gián đoạn tạia điểm này. Hàm liên tục tại một điểm Hàm liên tục một phía tại một điểm lim ( ) (a) x a f x f   lim ( ) (a) x a f x f   f liên tục phải tại a nếu: f liên tục trái tại a nếu: f liên tục tại a  f liên tục phải và trái tại a. sin , 0, ( ) 1, 0. x x xf x x       0 0 sin lim ( ) lim 1 x x x f x x     0 0 sin lim ( ) lim 1 x x x f x x       VD  f liên tục phải nhưng không liên tục trái tại x = 0. Điểm gián đoạn loại 1, loại 2 1) Điểm gián đoạn loại một: Cho là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số ( )y f xa giới hạn trái f() và phải f() tồn tại và hữu hạn. a là điểm khử được: f() = f() 2) Điểm gián đoạn loại hai: không phải là loại một. Một trong hai giới hạn (trái hoặc phải) không tồn tại hoặc tồn tại nhưng bằng vô cùng. a là điểm nhảy: (a ) (a )f f  bước nhảy: (a ) (a )h f f    (a ) lim ( ) x a f f x     (a ) lim ( ) x a f f x     x = 2 là điểm gián đoạn loại một khử được. x = 0 là điểm gián đoạn loại hai. Tính chất của hàm số liên tục Cho là hai hàm liên tục tại , khi đó( ), ( )y f x y g x  a liên tục tại .1) ( ); ( ) ( ); ( ) ( )f x f x g x f x g x   2) Nếu , thì liên tục tại .( ) 0g x  ( ) ( ) f x g x Nếu f(x) liên tục tại a, g(y) liên tục tại b= f(a) thì g(f(x)) liên tục tại a . Phép hợp các hàm số liên tục 1.Hàm số f liên tục trên [a, b] f liên tục tại mọi x nằm trong (a, b), f liên tục phải tại a, liên tục trái tại b.  2.* f liên tục trên [a, b] thì f bị chận trên [a, b] * f liên tục trên [a, b] thì f đạt gtln và gtnn trên [a, b] Hàm số liên tục trên [a,b] Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một x0 thuộc [a,b] sao cho f(x0) = 0. Định lý Bozano- Côsi ( giá trị nhị trung gian). Nếu liên tục trên đoạn [a,b] và f(a) = A, f(b) = B( )y f x thì tồn tại sao cho[ , ]C A B   0 ,x a b 0( ) .f x C Hàm số liên tục trên [a,b] Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản: 1/ hàm hằng 2/ hàm lũy thừa y x  3/ hàm mũ ; 0, 1 xy a a a   4/ hàm logarit log ; ( 0, 1)ay x a a   5/ hàm lượng giác 6/ hàm lượng giác ngược 7/ hàm hyperbolic Hàm sơ cấp cơ bản Hàm sơ cấp là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản bằng cách sử dụng hữu h