Bài giảng Giải tích 1 - Chương 3: Tích phân suy rộng - Đặng Văn Vinh

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 1 Chương 3: Tích phân suy rộng • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 – Tích phân suy rộng. Tài liệu: 1) Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по мат. анализу, Том 2, Москва, 2003. 2) James Stewart. Calculus. 6th edition, USA, 2008 I. Tích phân suy rộng loại một Bài toán Tìm diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi đường cong: , trục hoành, đường thẳng x = a.( ) 0y f x  b ( ) a s f x dx    lim ( ) b b a f x dx      Tích phân suy rộng loại một Tích phân ( ) a f x dx   lim ( ) b b a f x dx    khả tích trên đoạn , với mọi( )y f x  ,a b b a được gọi là tích phân suy rộng loại một. Các tích phân sau cũng là tích phân suy rộng loại một ( ) a f x dx   lim ( ) a b b f x dx    ( )f x dx    ( ) ( ) a a f x dx f x dx      Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng 1) Tính tích phân suy rộng (thường rất phức tạp) 2) Khảo sát sự hội tụ. ( ) lim ( ) b b a a f x dx f x dx     Nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn thì tích phân gọi là hội tụ. Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô cùng, thì tích phân gọi là phân kỳ. Tính tích phân suy rộng (công thức Newton – Leibnitz) ( ) lim ( ) b b a a f x dx f x dx     Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên  ,a   lim ( ) ( ) b F b F a    Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim ( ) : ( ) b F b F    ( ) ( ) ( ) ( ) a a f x dx F x F F a      Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 2 1 y x  , trục hoành và đường thẳng x = 1. 2 1 dx S x    2 1 lim b b dx x   1 1 lim b b x        1 lim 1 1 x b         Diện tích của miền S bằng 1, hữu hạn. S là miền có diện tích vô hạn, bằng  Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 1 y x  , trục hoành và đường thẳng x = 1. 1 dx S x    1 lim b b dx x    1lim ln | | b b x    lim ln x b     Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 2 1 1 y x   , trục hoành. 2 1 dx S x       02 lim arctan b b x    2 0 2 1 dx x      Diện tích của miền S bằng . Ví dụ Tính tích phân 2 1 xI e dx    2 1 xI e dx    2 1 2 xe    2 2 2 e e         2 1 2e  Ví dụ Tính tích phân 2lne dx I x x    2lne dx I x x    2 (ln ) lne d x x    1 ln ex    1 1 ln( ) lne        1. Ví dụ Tính tích phân 2 4 5 6 dx I x x     2 1 1 ( 2)( 3)5 6 x xx x     1 1 3 2x x     4 1 1 3 2 I dx x x           4 3 ln 2 x I x     3 4 3 lim ln ln 2 4 2x x x         1 ln1 ln 2   ln 2 4 4 ln | 3 | ln | 2 |x x       ( ) ( )    Dạng vô định.? Không được phép dùng: lim ( ) lim lim x x x f g f g       khi chưa đảm bảo hai giới hạn vế phải chắc chắn tồn tại. Ví dụ Tính 5 10 1 1 dx I x x x      Đổi biến: Đổi cận: 61 10 5 1 1 1 dx I x x x      5 1 t x  6 1 dt dx x    1 1x t   0x t  0 2 1 1 dt I t t        1 2 0 1/ 2 3/ 4 dt t         1 2 0 ln 1/ 2 1/ 2 3/ 4t t     Ví dụ Tính 2 0 cosxI e xdx    Đặt 2 22x xu e du e dx     cos sindv xdx v x   2 2 0 0 sin 2 sinx xI e x e xdx      2 0 2 sinxI e xdx   Ta có nên  2lim sin 0x x e x   2 22x xu e du e dx     sin cosdv xdx v x     2 2 0 0 2 cos 4 cosx xI e x e xdx       2 4I  2 5 I  Ví dụ Tính   3/ 22 0 arctan 1 x I dx x     arctant xĐổi biến:   3/ 22 0 arctan 1 x I dx x     2 2 1 tan 1 cos x t x t     Đổi cận: 21 dx dt x    0 0x t   2 x t     22 0 arctan 11 x dx xx      / 2 0 cost tdt    1 2    01 a dx x    Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ) Trường hợp 1: 1  1 1 1 1 ax       1 1 1 1 a     hữu hạn, khác 0. 0 1 a dx x    Trường hợp 2: 1  1 1 a x        Tích phân phân kỳ. tích phân hội tụ. Trường hợp 3: 1  0 1 a dx x    ln | | ax     Tích phân phân kỳ. Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ) 0 11 1 hoäi tuï, neáu phaân kyø, neáu a dx x          2 1 ln I dx x x     1,Neáu thì hoäi tuï.I  1,Neáu thì phaân kyø.I  1, 1,Neáu thì hoäi tuï.I   1, 1,Neáu thì PK.I   Tích phân hàm không âm và khả tích trên  ( ) 0, ( ) 0x a f x g x     ,a  ( ) ( )f x g x ở lân cận của . Khi đó: 1) Nếu hội tụ, thì hội tụ.( ) a g x dx   ( ) a f x dx   2) Nếu phân kỳ, thì phân kỳ.( ) a f x dx   ( ) a g x dx   Tiêu chuẩn so sánh 1. Để khsát sự hội tụ của , thường đem so sánh( ) a I f x dx    với đã biết kết quả. a dx x   Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2 2 1 2 sin 3 dx I x x    Ta có 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 sin 3 2 f x g x x x x     Vì hội tụ 2 1 2 dx x   , nên hội tụ theo tchuẩn so sánh 1.I Chú ý (trong tiêu chuẩn 1): 2) Chỉ cần tồn tại   , ( ) ( )a x f x g x      3) Cận dưới của tích phân là số dương ( ) a dx x   0.a  1) f(x) và g(x) là hai hàm không âm. Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2 2 1 sin 3 dx I x x    Ta có 22 2 1 2 ( ) ( ) sin 3 f x g x x xx     Vì hội tụ 2 1 dx x   , nên hội tụ theo tchuẩn so sánh 1.I Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 3 1 ln 5 xdx I x    Ta có 3ln 1 1 ( ) ( ) 5 5 2 x f x g x x x x       Vì phân kỳ 1 2 dx x   , nên phân kỳ theo tchuẩn ssánh 1.I 5x  Tích phân hàm không âm và khả tích trên  ( ) 0, ( ) 0x a f x g x     ,a  ( ) lim ( )x f x K g x  Khi đó: nếu hội tụ, thì hội tụ.( ) a g x dx   ( ) a f x dx   và cùng HT hoặc cùng PK.( ) a f x dx   ( ) a g x dx   Tiêu chuẩn so sánh 2. 1) :0 K  2) :0 höõu haïn, K  nếu hội tụ, thì hội tụ.( ) a f x dx   ( ) a g x dx  3) : K   Để khảo sát sự hội tụ của ( ) a f x dx   Cách sử dụng tiêu chuẩn so sánh 2. 1) kiểm tra f(x) có là hàm không âm (trong lân cận của ) 2) Tìm hàm g(x) bằng cách: tìm hàm tương đương của f(x) khi x tiến ra dương vô cùng. 3) Tính , kết luận. ( ) lim ( )x f x K g x  Hai hàm f(x) và g(x) không âm: nếu , thì( ) ( ) x f x g x  ( ) ( ) vaø a a f x dx g x dx     cùng tính chất. Hội tụ tuyệt đối Nếu hội tụ, thì hội tụ.( ) a f x dx   ( ) a f x dx   Định lý Nếu hội tụ, thì gọi là hội tụ tuyệt đối( ) a f x dx   ( ) a f x dx   Định nghĩa Nếu hàm f(x) có dấu tùy ý, để khảo sát sự hội tụ của ( ) a f x dx  ( ) a f x dx   ksát sự HT của tích phân hàm không âm để sử dụng được hai tiêu chuẩn so sánh Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 1 5 ln dx I x x     Ta có 1/ 2 1 1 ( ) 5 ln 5 x f x x x x    Chọn 1/ 2 1 ( )g x x  Khi đó: ( ) 1 lim ( ) 5x f x g x  hữu hạn, khác 0. Tích phân và cùng hội tụ hay phân kỳ. 1 ( )f x dx   1 ( )g x dx   Vì phân kỳ ( ), nên tích phân I phân kỳ. 1 ( )g x dx   1 1 2    Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 3 1 3 2 sin3 xdx I x x    Ta có 3 3 2 3 3 3 ( ) 2 sin3 2 2 xx x f x x x x x     Chọn 2 1 ( )g x x  ( ) 1 lim ( ) 5x f x g x   hữu hạn, khác 0. Tích phân và cùng hội tụ hay phân kỳ. 1 ( )f x dx   1 ( )g x dx   Vì hội tụ ( ), nên tích phân I hội tụ. 1 ( )g x dx   2 1   Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2 1 arctan 2 2ln xdx I x x    Ta có 2 arctan ( ) 2 2ln xx f x x x    Chọn 2 1 ( )g x x  ( ) lim ( ) 4x f x g x     hữu hạn, khác 0. Tích phân và cùng hội tụ hay phân kỳ. 1 ( )f x dx   1 ( )g x dx   Vì hội tụ ( ), nên tích phân I hội tụ. 1 ( )g x dx   2 1   2 22 2 4x x     Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 0 (3 1) 1 dx I x x      Ta có 3/ 2 1 1 ( ) 3(3 1) 1 x f x xx x     Chọn 3/ 2 1 ( )g x x  Khi đó: ( ) 1 lim ( ) 3x f x g x  hữu hạn, khác 0. Tích phân và cùng hội tụ hay phân kỳ. 0 ( )f x dx   0 ( )g x dx   Vì hội tụ ( ), nên tích phân I hội tụ. 0 ( )J g x dx    3 1 2    Sai! vì J phân kỳ (xem phần tích phân suy rộng loại hai) Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 0 (3 1) 1 dx I x x      Ta có 3/ 2 1 1 ( ) 3(3 1) 1 x f x xx x     Chọn 3/ 2 1 ( )g x x  Khi đó: ( ) 1 lim ( ) 3x f x g x  hữu hạn, khác 0. Tích phân và cùng hội tụ hay phân kỳ. 1 ( )f x dx   1 ( )g x dx   Vì HT ( ), nên I1 HT, suy ra I HT. 1 ( )g x dx   3 1 2    Cách giải đúng! 1 1 2 0 1(3 1) 1 (3 1) 1 dx dx I I I x x x x            I1 là tích phân xác định nên hội tụ. Xét tích phân I2 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2 1 xI e dx      2 1 ( ) ( )x xx f x e e g x      1 1 1x xe dx e e      HT 1 ( )g x dx    Tích phân đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 1. Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 21/ 1 1 cosxI e dx x          21/ 1( ) cosxf x e x   2 2 2 1 1 3 2 2x x x   HTI Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 1 xe I dx x     Ta có:  1 xx e x   1 1 xe x   2 1 1 ( ) ( ) x f x g x xe x     Tích phân đã cho hội tụ. Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 3 2 3 1 1 3 1 x x I dx x x       3 2 3/ 2 3 3 3/ 2 1 1 ( ) 3 1 xx x x f x x x x x       Tích phân hội tụ. Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 0 arctan 2 x x I dx e    arctan ( ) ( ) 2 2 x x x x f x g x e e      Tính HT, nên tích phân đã cho HT. 0 0 1x xe dx e      Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 3 3/ 1 2arctan 1x x I dx e     3 3/ 2arctan 1x x e    3 3/ 1 2 / 2 arctan 1x x e           3 2 2 / 2 3/ 3 x x x x   HT Ví dụ Chứng minh tích phân hội tụ và tính 2 3 1 dx I x x     22 1 1 ( ) 1 x f x xx x    nên tích phân I hội tụ.2 1   21t x  2 2 1t x   2 2tdt xdx  2 2 3 1 xdx I x x      22 1 tdt t t     2 1 ln 1 t t     1 ln1 ln ln3 3    Ví dụ Chứng minh tích phân hội tụ và tính 4 2 80 1 dx I x x      1 1/ 2 3/ 24 2 1 1 1 ( ) 1 x f x x xx x       nên I hội tụ. 3 1 2    24 1t x  4 2 1t x   34 2t dt xdx  42 2 80 1 xdx I x x        3 4 9 2 1 t dt t t     2 2 9 91 1 dt dt t t        9 9 1 ln arctan 1 t t t      8 ln arctan9 10 2          Ví dụ Chứng minh tích phân phân kỳ và tính giới hạn 1 xe I dx x    1lim tx xx e dt t e    1 1 ( ) ( ) xe x f x g x x x      1 ( )g x dx   FK nên I phân kỳ. Giới hạn có dạng vô định , dùng qui tắc Lôpital     ' 1 'lim tx xx e dt t e        lim x xx e x e   1 lim x x  0 1lim tx xx e dt t e  Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2 1 sin ln 2 xdx I x x    Hội tụ.2 sin ( ) ln 2 x f x x x   2 1 ( ) x g x x   Sai! vì f(x) có dấu tùy ý, không sử dụng so sánh được. Xét tích phân hàm không âm 2 1 sin ln 2 x J dx x x    Hội tụ.2 sin ( ) ln 2 x f x x x   2 1 ( ) x g x x   Tích phân đã cho hội tụ tuyệt đối. 2 1 ln 2x x   2 1 ln 2x x   Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 1 sin xdx I x    Tích phân từng phần: 2 11 1 sin cos cosx x x I dx dx x x x        2 1 1 u du dx x x     sin cosdv xdx v x    cos1 1 J  Xét tích phân 2 1 cos x J dx x    2 2 cos 1x x x  hội tụ hội tụ, suy ra hội tụ.IJ Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 1 sin xdx I x    Xét tích phân hàm không âm 1 sin x J dx x    2sin sin 1 cos2 2 x x x x x x    1 1 1 1 cos2 cos2 2 2 2 x dx x dx dx x x x        1 2I I  1 1 2 dx I x    phân kỳ 2 1 cos2 2 xdx I x    hội tụ (tương tự ví dụ trước) Tích phân đã cho hội tụ, nhưng không hội tụ tuyệt đối Chú ý: 1) Với tích phân chỉ có một điểm suy rộng ( ) a f x dx   khi tách ra có dạng vô định    ( ) ( ) a a G x H x    vẫn chưa kết luận t/phân ban đầu phân kỳ. 2) Với tích phân có hai điểm suy rộng ( )f x dx    khi tách ra thành tích phân ( ) ( ) a a f x dx f x dx     chỉ cần một trong hai tphân PK, thì tphân ban đầu PK. I. Tích phân suy rộng loại hai Định nghĩa Điểm x0 được gọi là điểm kỳ dị của đường cong y = f(x), nếu 0 lim ( ) x x f x    Tích phân suy rộng loại hai của f(x) trên đoạn [a,b] ( ) : lim ( ) b t t ba a f x dx f x dx    Giả sử trên đoạn [a,b] hàm y = f(x) có một điểm kỳ dị duy nhất là x0 = b. I. Tích phân suy rộng loại hai Tích phân suy rộng loại hai của f(x) trên đoạn [a,b] ( ) : lim ( ) b b t aa t f x dx f x dx    Giả sử trên đoạn [a,b] hàm y = f(x) có một điểm kỳ dị duy nhất là x0 = a. I. Tích phân suy rộng loại hai Tích phân suy rộng loại hai của f(x) trên đoạn [a,b] ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx    Giả sử trên đoạn [a,b] hàm y = f(x) có một điểm kỳ dị duy nhất là  ,c a b lim ( ) lim ( ) t b t c t ca t f x dx f x dx       Tích phân vế trái là hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân ở vế phải hội tụ. I. Tích phân suy rộng loại hai Các khái niệm hội tụ, phân kỳ giống như trong tích phân suy rộng loại một. Khái niệm hội tụ tuyệt đối cũng tương tự trong tích phân suy rộng loại một: Hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Tương tự tích phân suy rộng loại một: có hai tiêu chuẩn so sánh cho tích phân hàm không âm. Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim ( ) : ( ) t b F t F b     ( ) ( ) ( ) ( ) bb a a f x dx F x F b F a   Tính tích phân suy rộng (công thức Newton – Leibnitz) ( ) lim ( ) b b t b a a f x dx f x dx    Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên  ,a b  lim ( ) ( ) t b F b F a    Cho x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất của f(x) trên [a,b] Tương tự cho trường hợp x0 = a là điểm kỳ dị. Ví dụ Tính tích phân 4 2 2 dx I x    4 2 2 dx I x      4 1/ 2 2 ( 2) lim 2t t d x x      4 2 lim 2 2 tt x    2 2 2 lim 2 t t     Theo định nghĩa 2 2 Theo công thức Newton – Leibnitz (gọn hơn) 4 2 2 dx I x    4 2 2 2x   2 4 2 2 2    2 2 Ví dụ Tích phân 3 0 1 dx I x   3 0 1 dx I x   3 0 ln | 1|x  Sai! vì có điểm kỳ dị x = 1 trong đoạn [0,3]. ln 2 ln1 ln 2   1 3 0 11 1 dx dx I x x      1 1 1 0 lim 1t dx I x      1 lim ln | 1| t t    1 2I I  Xét tích phân   Vậy tích phân phân kỳ.1I Suy ra tích phân đã cho phân kỳ Ví dụ Tính tích phân 1 0 (2 ) 1 dx I x x     Đặt 1 x t  21 x t   2dx tdt   Đổi cận: 0 1x t   1 0x t   1 0 (2 ) 1 dx I x x       0 2 1 2 1 tdt t t     1 2 0 2 1 dt t    1 0 2arctanI t  2 arctan1 arctan 0  2   Tích phân hàm không âm và khả tích trên  ( ) 0, ( ) 0x a f x g x     ,a b ( ) ( )f x g x ở lân cận của trái của .b Khi đó: 1) Nếu hội tụ, thì hội tụ.( ) b a g x dx ( ) b a f x dx 2) Nếu phân kỳ, thì phân kỳ.( ) b a f x dx ( ) b a g x dx Tiêu chuẩn so sánh 1. Trường hợp x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất. Tương tự cho trường hợp x0 = a là điểm kỳ dị duy nhất. Tích phân hàm không âm và khả tích trên  ( ) 0, ( ) 0x a f x g x     ,a b ( ) lim ( )x b f x K g x  Khi đó: nếu hội tụ, thì hội tụ.( ) b a g x dx ( ) b a f x dx và cùng HT hoặc cùng PK.( ) b a f x dx ( ) b a g x dx Tiêu chuẩn so sánh 2. (x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất) 1) :0 K  2) :0 höõu haïn, K  nếu hội tụ, thì hội tụ.( ) b a f x dx ( ) b a g x dx3) : K   Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ)   11 1 phaân kyø, neáu hoäi tuï, neáu b a dx x a            11 1 phaân kyø, neáu hoäi tuï, neáu b a dx b x          Chú ý: Kết luận ngược lại so với tích phân loại một! Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2 2 1 1 dx I x    Ta có   1 1/ 2 1 1 ( ) ( 1)( 1) 2 1 x f x x x x      Chọn   1/ 2 1 ( ) 1 g x x   ( ) 1 lim ( ) 2x f x g x   hữu hạn, khác 0. Tích phân và cùng hội tụ hay phân kỳ. 2 1 ( )f x dx 2 1 ( )g x dx Vì hội tụ ( ), nên tích phân I hội tụ. 2 1 ( )g x dx 1 1 2    Ví dụ Khảo sát sự hội tụ  5 31 0 ln 1 1x x dx I e     5 3 3/50 2 / 5 ln 1 1 ( ) 1 ( 0) x x x x f x xe x      hội tụ vì 1 1 2    Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 3 3 2 0 2 9 x dx I x      32 ( ) 3 (3 ) x f x x x    hội tụ vì 1 1 2    3 1/ 2 18 ( 3) x x   Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 1 3 0 5 tan x x I dx x x    3 1/ 20 3 5/ 2 5 3 tan / 3 ( 0) xx x x x x x x     phân kỳ vì 5 1 2    Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 4 0 2 dx I x    1 ( ) 2 f x x   phân kỳ vì 1  4 1 4 ( 4) x x   3 3tan ( ) 3 x x x x x x     3 3( ) 3 x x  2 4 x x    Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2 2 0 sin xdx I x    Ta có 2 2 2 sin 1 ( ) x g x x x   Vì HT , nên I1 HT, suy ra I HT. 1 ( )g x dx   1 2 2 1 22 2 0 1 sin sinxdx xdx I I I x x       I1 không là tích phân suy rộng mà là tích phân xác định nên HT 2 20 sin lim 1 x x x  I. Tính các tích phân sau 3 1 1) ( 1)( 2) dx x x     2 1 2) ( 1)( 2)( 3) dx x x x      2 3 (5 3) 3) ( 2)(3 2 1) x dx x x x       2 3 2 ( 1) 4) ( 1) x dx x x       2 3 2 5) 1 ( 1) dx x x     1 ln 2 2 ln 2 3 1 2 ln5 ln 2 4 3   11 1 ln 2 ln3 5 5  3 17 ln 2 16 128   2 0 1 6) 2 dx x x     2 1 3 7) ( 1) x dx x x x      2 6 0 8) 1 x dx x    2 0 9) 4 4 5 dx x x     0 10) x x dx e e    arctan 2 4 2 7 arctan 7 7 3 3 ln3 2 18   6  4  01 11) x x dx e e    2 1 1 12) (ln 1) dx x x    2 0 1 13) cosh ( ) dx x   2 0 14) xxe dx    6 1 15) ( 3) dx x x    1 4 2 2ln 2 2  1 ln 2 9 4 0 16) 1x dx e    0 2 17) 4 1 x x dx    0 18) 1x dx e    2 2 2 19) 1 dx x x    1 20) sinh dx x   1  1 ln 1 e e       4ln 2  ln 2 4 31 21) xe dx    2 22) lne dx x x   0 23) 2x xdx  1 24) (1 ) dx x x    3 2 25) 1 xdx x    2  2 1 3e 1 2 1 ln 2 ln 7 1 5 arctan 6 23 3          2 20 26) 1 dx x x     2 0 27) cos3xe xdx    2 3 28) ( 1) dx x x      2 2 0 29) (4 1) 1 dx x x       2 221 12 30) 1 x dx x     3 9  2 3 3 13 4 3 3  13 4    2 1 31) 2 3 dx x    3/ 2 2 32) ( 3) dx x    32 0 33) xx e dx    3 1 ln 34) xdx x     5 1 1 35) 1 dx