Bài giảng Giải tích 1 - Chương 5: Lý thuyết chuỗi

5.1: Ví dụ Ta nhận thấy rằng, nếu ta càng cộng nhiều số hạng vào, thì các tổng (riêng phần) càng gần 1. Thật vậy, nếu ta cộng một lượng đủ lớn các số hạng thì tổng riêng phần sẽ gần như là 1. Do đó, ta thấy rằng sẽ hợp lý nếu ta nói chuỗi vô hạn này có giá trị là 1 và ta viết

pdf25 trang | Chia sẻ: thanhle95 | Lượt xem: 207 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Giải tích 1 - Chương 5: Lý thuyết chuỗi, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT CHUỖI Mục tiêu - Định nghĩa sự hội tụ và phân kỳ của một chuỗi số vô hạn. - Xác định xem một chuỗi số là hội tụ hay phân kỳ. Nội dung: Chuỗi số - Các khái niệm chung - Chuỗi số dương - Chuỗi đan dấu - Chuỗi có dấu bất kỳ 5.1 CHUỖI SỐ THỰC 5.1 Các khái niệm chung Định nghĩa chuỗi số. Cho dãy số , ∈ ℝ tức là, , , , , Biểu thức có dạng + + + ⋯ + + ⋯ Được gọi là một chuỗi số vô hạn (hay còn gọi tắt là chuỗi số) và được ký hiệu là hoặc gọi là số hạng tổng quát của chuỗi. 5.1: Ví dụ Ví dụ 1: Chuỗi số 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ + 1 2 + ⋯ Được viết gọn lại thành 1 2 hoặc với = 1 2 5.1: Ví dụ Để xét sự hội tụ/phân kỳ của chuỗi số thì ta sẽ xét sự hội tụ/phân kỳ của dãy tổng riêng phần! Quay trở lại ví dụ 1 ∑ , nếu ta đặt: = = = 0.5 = + = + = = 0.75 = + + = + + = = 0.875 = + + + = + + + = = 0.9375 = + + + + = + + + + = = 0.9687 = = 0.984375, = 0.992188, = 0.996094, = 0.998047, 0.5, 0.75, 0.875, 0.9375, 0.96, 0.98, 0.992, 0.996, 0.998 5.1: Ví dụ Ta nhận thấy rằng, nếu ta càng cộng nhiều số hạng vào, thì các tổng (riêng phần) càng gần 1. Thật vậy, nếu ta cộng một lượng đủ lớn các số hạng thì tổng riêng phần sẽ gần như là 1. Do đó, ta thấy rằng sẽ hợp lý nếu ta nói chuỗi vô hạn này có giá trị là 1 và ta viết 1 2 = 1 5.1: Tổng riêng phần Tổng quát hóa ý tưởng trên, ta đặt = = + = + + = + + + .. = + + + + ⋯ + = Dãy được gọi là dãy tổng riêng phần của chuỗi ∑ ( có thể hội tụ hoặc không). 5.1: Tổng riêng phần Dãy tổng riêng phần có thể hội tụ hoặc không. Trong trường hợp hội tụ và có giới hạn là ( < ∞), tức lim → = Thì ta nói rằng chính là tổng của chuỗi ∑ . 5.1: Định nghĩa: Chuỗi hội tụ/phân kỳ Định nghĩa: Gọi là tổng riêng phần thứ của chuỗi ∑ , tức là = + + + + ⋯ + = Nếu dãy hội tụ và có giới hạn là ( < ∞), tức lim → = , thì ta nói rằng chuỗi ∑ hội tụ và có tổng là . Khi ấy ta viết = Nếu dãy phân kỳ thì ta nói chuỗi ∑ phân kỳ. 5.1: Ví dụ Xét lại Ví dụ 1: Chuỗi số ∑ Ta có tổng riêng phần thứ n là = 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ + 1 2 = 1 − 1 2 Ta có lim → = lim → 1− 1 2 = 1 − lim → 1 2 = 1 − 0 = 1 Vậy ta kết luận chuỗi ∑ hội tụ là có tổng là 1: 1 2 = 1 Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của chuỗi sau và tính tổng (nếu có). 1 ( + 1) Gợi ý: Phân tích 1 ( + 1) = 1 − 1 ( + 1) Rồi xét tổng riêng phần. Định lý 5.2: Nếu chuỗi số ∑ hội tụ thì lim → = 0 Chú ý: - Nếu lim → ≠ 0 thì chuỗi số ∑ phân kỳ. - Nếu lim → = 0 thì không suy ra được chuỗi số ∑ hội tụ. Ví dụ: Chứng minh rằng chuỗi ∑ phân kỳ. Ta nhận thấy rằng lim → 5 + 4 = lim → 1 5 + 4 = 1 5 + 0 = 1 5 ≠ 0 Suy ra chuỗi phân kỳ Tính chất 5.1 (chuỗi hội tụ). Giả sử các chuỗi số = ; = . Khi đó 1.∑ (± ) = ∑ ± ∑ = ± 2.∑ ( ) = ∑ = 3.Chuỗi số ∑ = − ∑ .Hơn nữa, ∑ hội tụ ⟺∑ hội tụ. 5.1.2 Chuỗi số dương Định nghĩa. Chuỗi số = + + ⋯ + + ⋯ Được gọi là một chuỗi số dương nếu > , ∀ ∈ ℕ . Định lý 5.3. Chuỗi số dương hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng phần của nó bị chặn trên ≤ , ∀ ∈ ℕ A Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương 1. Tiêu chuẩn so sánh 1 Cho 2 chuỗi số dương ; () Giả sử ≤ , ∀ ≥ , ∈ ℕ ∗ Khi đó: - Nếu chuỗi (b) hội tụ thì chuỗi (a) hội tụ. - Nếu chuỗi (a) phân kỳ thì chuỗi (b) phân kỳ. 2. Tiêu chuẩn so sánh 2 Cho 2 chuỗi số dương ; () Và lim → = , Khi đó: - Nếu < < +∞ hai chuỗi (a) và (b) cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. - Nếu = và chuỗi (b) hội tụ thì chuỗi (a) hội tụ. - Nếu = +∞ và chuỗi (b) phân kỳ thì chuỗi (a) phân kỳ. 3. Tiêu chuẩn D’Alembert Cho chuỗi số dương (∗) Và lim → = , Khi đó: - Nếu < ìchuỗi (*) hội tụ. - Nếu > thì chuỗi (*) phân kỳ. 4. Tiêu chuẩn Cauchy Cho chuỗi số dương (∗) Và lim → = , Khi đó: - Nếu C< ìchuỗi (*) hội tụ. - Nếu C> thì chuỗi (*) phân kỳ. 5. Tiêu chuẩn tích phân Cho () dương, liên tục và đơn điệu giảm trên [, +∞ ) thỏa mãn điều kiện = , lim → = , thì chuỗi số (∗) hội tụ khi và chỉ khi tích phân suy rộng hội tụ. Và ngược lại. ( )d x k f x   Ví dụ 1 Xét sự hội tụ của chuỗi số + + Ta có = + + → < . Theo tiêu chuẩn Cauchy, suy ra chuỗi đang xét hội tụ. Ví dụ 2 Xét sự hội tụ của chuỗi số ! Ta có = + ! + = . + ! + ( + ) = .! + . = .! + . ! = + = − + → > . Theo tiêu chuẩn D’Alembert, suy ra chuỗi đang xét phân kỳ.