Bài giảng toán học: Phương pháp tính

PHƯƠNG PHÁP TÍNH Chương 1 SAI SỐ I. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối. Các phép đo Các phương pháp tính gần đúng Giá trị gần đúng của đối tượng a. Sai số tuyệt đối. A - đại lượng đúng; a – giá trị gần đúng của A; Δa - sai số tuyệt đối giới hạn; Chọn Δa là số dương nhỏ nhất thoả mãn điều kiện (1. 1) b. Sai số tương đối. Sai số tương đối giới hạn của A: Thực tế : Δa và δa – sai số tuyệt đối và tương đối. Ví dụ: A = e = 2,718281. . . II. Cách viết số xấp xỉ. 1. Chữ số có nghĩa. 2. Chữ số đáng tin. Mọi số thập phân có thể viết: αs - những số nguyên từ 0 đến 9; s = ±1; ±2; ±3; . . . */Ví dụ: 56, 708 = 5.101 + 6.100 +7.10-1 + 0.10-2 + 8.10-3. 125,018 = 1.102 + 2.101 + 5.100 + 0.10-1 + 1.10-2 + 8.10-3. α2 = 1;α1 = 2; α0 = 5; α-1 =0; α-2 = 1; α-3 = 8. */Nếu a - xấp xỉ của A; Δa – sai số tuyệt đối của a: Mọi chữ số có nghĩa bên trái αs – đáng tin; bên phải – đáng nghi 3. Cách viết số xấp xỉ. - Viết kèm sai số : a ± Δa số gần đúng có sai số tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng cuối cùng. III. Quy tròn số và sai số quy tròn. Sai số quy tròn tuyệt đối = số đã quy tròn - số chưa quy tròn. Nguyên tắc : Sai số tuyệt đối quy tròn không lớn hơn nửa đơn vị ở hàng giữ lại cuối cùng bên phải hay 5 đơn vị ở hàng bỏ đi đầu tiên bên trái. 1. Quy tròn số. 2. Sai số của số đã quy tròn. A - số đúng; a - số xấp xỉ của A; Δa – sai số tuyệt đối của a. Sai số tuyệt đối Δa’ của a’: 3. Ảnh hưởng của sai số quy tròn. Ví dụ tính nhị thức Niutơn: Cần quan tâm đến sai số quy tròn khi tính toán. IV. Các quy tắc tính sai số. 1. Sai số của tổng: u = x + y; Δu = Δx + Δy; Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng. - Trường hợp u = x – y; ( x, y cùng dấu) 2. Sai số của tích: u = xy; 3. Sai số tương đối của một thương: u = x/y; với y ≠ 0. δu = δx + δy Sai số tương đối của một tích hoặc thương bằng tổng sai số tương đối của các số hạng. V. Sai số tính toán . Các loại sai số thường gặp phải: - Sai số các số liệu ( do đo đạc hay tực nghiệm ); - Sai số của giả thiết (để lý tưởng hoá, mô hình hoá bài toán); Sai số phương pháp (dùng các phương pháp gần đúng để giải các bài toán phức tạp; Sai số của phép tính (do thực hiện các phép tính đối với số gần đúng, quy tròn các kết quả trung gian). Sai số tính toán = sai số phương pháp + sai số phép tính. Ví dụ: a/ Tính tổng - Tính đến 3 số lẻ và đánh giá sai số quy tròn tương ứng với θ1 = 0; θ2 = 0; θ3 = 1.10-4; (0,037037) θ4 = 4.10-4; (0,015625) θ5 = 0; θ6 = 4.10-4; (0,004629) A = 1,000 – 0,125 + 0,037 – 0,016 +0,008 – 0,005 = 0,899. Δa = 9.10-4; A = 0,899 ± 9.10-4. b/ Tính tổng Với sai số tuyệt đối không quá 5.10-3. Lý thuyết chuỗi: n = 6: B – 0,899 = B – B6 + A – 0,899; VI. Sự ổn định của quá trình tính toán. - Quá trình tính vô hạn ổn định nếu các sai số phép tính (quy tròn) tích luỹ lại không tăng vô hạn - Nếu sai số tích luỹ tăng vô hạn q/trình tính không ổn định không hy vọng tìm được đại lượng cần tính với sai số nhỏ hơn sai số cho phép. Kiểm tra tính ổn định của quá trình tính: - Giả sử sai số chỉ xẩy ra tại một bước; - Các phép tính sau đó đều đúng, không có sai số; - Nếu sai số tích luỹ không tăng vô hạn q/t tính ổn định Ví dụ: Xét quá trình tính yi+1 = qyi; cho trước yo và q. - Giả sử tại bước tính yi mắc sai số Δi nhận được Với Δ > 0. - Tính yi+1 ( a ) ( b ) ( c ) ( a ) – ( c ) = - Tiếp theo: Tổng quát: Hai trường hợp: