Bài giảng Giải tích 2 - Chương 2: Tích phân bội - Phần 1: Tích phân kép

TÍCH PHÂN BỘI Chương 2: Phần 1: TÍCH PHÂN KÉP BÀI TOÁN THỂ TÍCH Xét vật thể hình trụ  được giới hạn trên bởi mặt cong z = f(x, y) > 0, mặt dưới là Oxy, bao xung quanh là mặt trụ có đường sinh // Oz và đường chuẩn là biên của miền D đóng và bị chận trong Oxy. Tìm thể tích . D z = f(x, y)z x y D Xấp xỉ  bằng các hình trụ con Dij Thể tích xấp xỉ của hình trụ con * *( ) ( , )ij ij ij ijV S D f x y  , ( ) ij i j V V   ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong miền D đóng và bị chận. D Dk Phân hoạch D thành các miền con D1, D2, , Dn Sk là diện tích của miền con Dk. d(Dk) = đường kính Dk = khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm trong Dk. 1, max{ ( )}k k n d d D   Đường kính phân hoạch )( kk DSS  Mk f(Mk) 1 ( ) n n k k k S f M S    Tổng tích phân của f Mk được chọn tùy ý trong Dk D 1( ) n n k k k S f M S    f khả tích nếu: 0 lim n d S    với phân hoạch tùy ý của D Tích phân kép của f trên D là giới hạn nếu có của Sn 0 ( , ) lim n dD f x y ds S   Phân hoạch D theo các đường // ox, oy Dij Khi f khả tích, việc tính tích phân không phụ thuộc vào phân hoạch. Do đó có thể phân hoạch D theo các đường song song Ox, Oy. Dk là hình chữ nhật với các cạnh x, y  Thay cách viết tp kép ( , ) ( , ) D D f x y dxdy f x y ds   Sk = x. y Nhận dạng hàm khả tích • Đường cong (C) : y = y(x) trơn tại M(x0,y0)  (C) nếu y’(x) liên tục tại x0. • (C) trơn từng khúc nếu (C) được chia thành hữu hạn các đoạn trơn. Nếu f(x,y) liên tục trên miền D đóng, bị chận và có biên trơn từng khúc thì f khả tích trên D. ( ) 11/ D S D dxdy  Tính chất hàm khả tích 2 / . ( , ) . ( , ) ( ) D D D D D c f x y dxdy c f x y dxdy f g dxdy fdxdy gdxdy          Cho D là miền đóng và bị chận 1 2 1 2 1 2 1 23 / , D D D D D D D D D fdxdy fdxdy fdxdy        vaø khoâng daãm nhau (toái ña chæ dính bieân) (Diện tích D) Định lý giá trị trung bình 0 1 ( ) ( , ) ( ) D f M f x y dxdy S D   D là miền liên thông nếu 2 điểm tùy ý trong D có thể nối nhau bởi 1đường cong liên tục trong D. Cho f liên tục trên tập đóng, bị chận, liên thông D. Khi đó tồn tại M0(x0, y0)  D sao cho 1 ( , ) ( ) D f x y dxdy S D  gọi là giá trị trung bình của f trên D. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP 2( )y y x 1( )y y x 1 2( ) : ( )y x y a D x x b y       D a b 2 1 ( ) ( ) ( ,( ), ) yb a yD x x f x y dyf x y dxdy dx   2 1 ( ) ( ) ( , ) y x y x f x y dy b a  dx Cách viết: Dc d 2( )x x y 1( )x x y 1 2( ) : ( )x y x c D y y d x       2 1 ( ) ( ) ( ,( ), ) xd c xD y y f x y dxf x y dxdy dy   2 1 ( ) ( ) ( , ) x yd x yc f x dy ydx          Cách viết: VÍ DỤ D I xydxdy  0 1 0 x xydyI dx  1 0 2 0 2 x x dx y        1/ Tính với D là tam giác OAB,O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1) 1 1 O A B 1 3 0 1 2 8 x dx  CÁCH 1 0 1 : x D     0 y x  DI xydxdy  1 1 O A B 1 2 0 1 1 2 8 y y dy    11 0 y xydxdy  1 1 0 2 2 y y dy x        CÁCH 2 0 1 : y D     1y x  ( ) D I x y dxdy 2/ Tính với D: x2 + y2  1, y  0 1-1 211 1 0 ( ) x x y dyI dx     212 0 1 1 2 x dx y xy          21y x  1 1 : x D      1 2 2 1 1 2 1 2 3 x x x dx           20 1y x   ( ) D I x y dxdy  1-1 2 2 1 1 0 1 ( ) y y I dy x y dx      1 2 0 2 1y y dy  21y x  0 1 : y D     2 3  2 21 1y x y     ( 1) D I x dxdy 3/ Tính với D giới hạn bởi các đường y = x, y = x2 y = x2 2 0 1 : x D x y x      2 1 0 ( 1) x x I dx x dy   1 2 0 ( 1)( )x x x dx   1 3 0 1 ( ) 4 x x dx   ( 1) D I x dxdy 4/ Tính với D giới hạn bởi các đường y2 + 8x = 16, y2 – 24x = 48 y2 – 24x = 48 y 2 + 8x = 16 2 2 2 2 : 48 8 24 24 y y x D y          5/ Tính diện tích miền D giới hạn bởi các đường 2(2 ) , 2 y x x y x x    Hoành độ giao điểm 2(2 ) 2 0, 2 0 x x x x x x x         2 0 2 : 2 (2 ) x D x x y x x        ( ) D S D dxdy  2 2 (2 ) 0 2 x x x x dx dy      6/ Tính 2 4 y D xe dxdy y miền D giới hạn bởi các đường: y = 0, y= 4 – x2, x  0, 22 4 2 0 0 4 x yxe I dx dy y     Khó lấy nguyên hàm 4 4 2 0 0 4 y yxe I dy dx y     4 Đổi thứ tự 2 24y x  4 4 2 0 0 4 y yxe I dy dx y     4 2 0 2 ye dy  8 1 4 4 e   4 42 2 00 4 2 yye x dy y           7/ Tính D x y dxdy miền D giới hạn bởi các đường: y = 0, y= 2 – x2 22 2 1 D1 D2 2 2 6/ Tính D x y dxdy miền D giới hạn bởi các đường: y = 0, y= 2 – x2 2 1 D2 D1 2 2 1 2 ( ) ( ) D D I y x dxdy x y dxdy       7/ Vẽ miền lấy tích phân và đổi thứ tự lấy tp trong các VD sau 1 2 0 1 / ( , ) y y I dy f x y dx     4 4 0 2 / ( , ) y y I dy f x y dx   2 2 1 2 3 / ( , ) y y I dy f x y dx       1 2 0 1 / ( , ) y y I dy f x y dx     x y 1 2 0 1 / ( , ) y y I dy f x y dx     x y 2x y  1 2 0 1 / ( , ) y y I dy f x y dx     x y 2x y  2xy y  0 1y 1 2 0 1 / ( , ) y y I dy f x y dx     x y 2x y  2xy y  20 0 1 y x x    0 2 1 2 y x x     0 1 y 