Nhận dạng hàm khả tích
• Đường cong (C) : y = y(x) trơn tại M(x0,y0)
(C) nếu y’(x) liên tục tại x0.
• (C) trơn từng khúc nếu (C) được chia thành
hữu hạn các đoạn trơn.
Nếu f(x,y) liên tục trên miền D đóng, bị chận
và có biên trơn từng khúc thì f khả tích trên
D.
32 trang |
Chia sẻ: thanhle95 | Lượt xem: 311 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Giải tích 2 - Chương 2: Tích phân bội - Phần 1: Tích phân kép, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
TÍCH PHÂN BỘI
Chương 2:
Phần 1: TÍCH PHÂN KÉP
BÀI TOÁN THỂ TÍCH
Xét vật thể hình trụ được giới hạn trên bởi
mặt cong z = f(x, y) > 0, mặt dưới là Oxy, bao
xung quanh là mặt trụ có đường sinh // Oz và
đường chuẩn là biên của miền D đóng và bị
chận trong Oxy. Tìm thể tích .
D
z = f(x, y)z
x
y
D
Xấp xỉ bằng các hình trụ con
Dij
Thể tích xấp xỉ của hình trụ con
* *( ) ( , )ij ij ij ijV S D f x y
,
( ) ij
i j
V V
ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP
Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong miền
D đóng và bị chận.
D
Dk
Phân hoạch D thành các miền con D1, D2, , Dn
Sk là diện tích
của miền con
Dk.
d(Dk) = đường kính Dk = khoảng cách
lớn nhất giữa 2 điểm trong Dk.
1,
max{ ( )}k
k n
d d D
Đường kính phân hoạch
)( kk DSS
Mk
f(Mk)
1
( )
n
n k k
k
S f M S
Tổng tích phân của f
Mk được chọn tùy ý trong Dk
D
1( )
n
n k k
k
S f M S
f khả tích nếu:
0
lim n
d
S
với phân hoạch tùy ý của D
Tích phân kép của f trên D là giới hạn
nếu có của Sn
0
( , ) lim n
dD
f x y ds S
Phân hoạch D theo các đường // ox, oy
Dij
Khi f khả tích, việc tính tích phân không phụ
thuộc vào phân hoạch. Do đó có thể phân
hoạch D theo các đường song song Ox, Oy.
Dk là hình chữ nhật với các cạnh x, y
Thay cách viết tp kép
( , ) ( , )
D D
f x y dxdy f x y ds
Sk = x. y
Nhận dạng hàm khả tích
• Đường cong (C) : y = y(x) trơn tại M(x0,y0)
(C) nếu y’(x) liên tục tại x0.
• (C) trơn từng khúc nếu (C) được chia thành
hữu hạn các đoạn trơn.
Nếu f(x,y) liên tục trên miền D đóng, bị chận
và có biên trơn từng khúc thì f khả tích trên
D.
( ) 11/
D
S D dxdy
Tính chất hàm khả tích
2 / . ( , ) . ( , )
( )
D D
D D D
c f x y dxdy c f x y dxdy
f g dxdy fdxdy gdxdy
Cho D là miền đóng và bị chận
1 2 1 2
1 2 1 23 / ,
D D D D
D D D D D
fdxdy fdxdy fdxdy
vaø khoâng daãm nhau
(toái ña chæ dính bieân)
(Diện tích D)
Định lý giá trị trung bình
0
1
( ) ( , )
( ) D
f M f x y dxdy
S D
D là miền liên thông nếu 2 điểm tùy ý trong D có
thể nối nhau bởi 1đường cong liên tục trong D.
Cho f liên tục trên tập đóng, bị chận, liên
thông D. Khi đó tồn tại M0(x0, y0) D sao cho
1
( , )
( ) D
f x y dxdy
S D
gọi là giá trị trung
bình của f trên D.
CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP
2( )y y x
1( )y y x
1 2( )
:
( )y x y
a
D
x
x b
y
D
a b
2
1
( )
( )
( ,( ), )
yb
a yD
x
x
f x y dyf x y dxdy dx
2
1
( )
( )
( , )
y x
y x
f x y dy
b
a
dx
Cách viết:
Dc
d
2( )x x y
1( )x x y
1 2( )
:
( )x y x
c
D
y
y d
x
2
1
( )
( )
( ,( ), )
xd
c xD
y
y
f x y dxf x y dxdy dy
2
1
( )
( )
( , )
x yd
x yc
f x dy ydx
Cách viết:
VÍ DỤ
D
I xydxdy
0
1
0
x
xydyI dx
1
0
2
0
2
x
x dx
y
1/ Tính
với D là tam giác OAB,O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1)
1
1
O
A
B
1
3
0
1
2 8
x
dx
CÁCH 1
0 1
:
x
D
0 y x
DI xydxdy
1
1
O
A
B
1
2
0
1 1
2 8
y
y dy
11
0 y
xydxdy
1 1
0
2
2
y
y dy
x
CÁCH 2
0 1
:
y
D
1y x
( )
D
I x y dxdy 2/ Tính
với D: x2 + y2 1, y 0
1-1
211
1 0
( )
x
x y dyI dx
212
0
1
1
2
x
dx
y
xy
21y x
1 1
:
x
D
1
2
2
1
1 2
1
2 3
x
x x dx
20 1y x
( )
D
I x y dxdy
1-1
2
2
1 1
0 1
( )
y
y
I dy x y dx
1
2
0
2 1y y dy
21y x
0 1
:
y
D
2
3
2 21 1y x y
( 1)
D
I x dxdy 3/ Tính
với D giới hạn bởi các đường y = x, y = x2
y = x2
2
0 1
:
x
D
x y x
2
1
0
( 1)
x
x
I dx x dy
1
2
0
( 1)( )x x x dx
1
3
0
1
( )
4
x x dx
( 1)
D
I x dxdy 4/ Tính
với D giới hạn bởi các đường y2 + 8x = 16,
y2 – 24x = 48
y2 – 24x = 48 y
2 + 8x = 16
2 2
2 2
: 48 8
24 24
y y
x
D
y
5/ Tính diện tích miền D giới hạn bởi các đường
2(2 ) , 2 y x x y x x
Hoành độ giao điểm
2(2 ) 2
0, 2
0
x x x x
x x
x
2
0 2
:
2 (2 )
x
D
x x y x x
( )
D
S D dxdy
2
2 (2 )
0 2
x x
x x
dx dy
6/ Tính
2
4
y
D
xe
dxdy
y
miền D giới hạn bởi các đường: y = 0,
y= 4 – x2, x 0,
22 4
2
0 0
4
x
yxe
I dx dy
y
Khó lấy
nguyên
hàm
4 4
2
0 0
4
y
yxe
I dy dx
y
4
Đổi thứ tự
2
24y x
4 4
2
0 0
4
y
yxe
I dy dx
y
4
2
0
2
ye
dy
8 1
4 4
e
4 42 2
00
4 2
yye x
dy
y
7/ Tính
D
x y dxdy
miền D giới hạn bởi các đường: y = 0, y= 2 – x2
22
2
1
D1
D2
2 2
6/ Tính
D
x y dxdy
miền D giới hạn bởi các đường: y = 0, y= 2 – x2
2
1
D2
D1
2 2
1
2
( )
( )
D
D
I y x dxdy
x y dxdy
7/ Vẽ miền lấy tích phân và đổi thứ tự lấy tp
trong các VD sau
1 2
0
1 / ( , )
y
y
I dy f x y dx
4 4
0
2 / ( , )
y
y
I dy f x y dx
2 2
1 2
3 / ( , )
y
y
I dy f x y dx
1 2
0
1 / ( , )
y
y
I dy f x y dx
x y
1 2
0
1 / ( , )
y
y
I dy f x y dx
x y
2x y
1 2
0
1 / ( , )
y
y
I dy f x y dx
x y
2x y
2xy y
0 1y
1 2
0
1 / ( , )
y
y
I dy f x y dx
x y
2x y
2xy y
20
0 1
y
x
x
0 2
1 2
y
x
x
0 1
y