Bài giảng Giải tích 2 - Chương 7: Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa - Đặng Văn Vinh

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 2 Chương 7. Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa. • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Khái niệm chuỗi số. Chuỗi có dấu tuỳ ý. Hội tụ tuyệt đối. – Chuỗi không âm. - Chuỗi đan dấu. Tiêu chuẩn Leibnitz. Chuỗi luỹ thừa. Bán kính và miền hội tụ. II. Chuỗi không âm Định nghĩa chuỗi không âm Chuỗi số không âm là chuỗi 1 , ) 0,n n n a n a     ( Nhận xét Với chuỗi không âm, dãy tổng riêng là dãy không giảm Vậy chuỗi không âm hội tụ khi và chỉ khi bị chặn trên. nS Tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi thoả điều kiện 1 1 ,n n n n a b       00 ,n na b n n    Nếu chuỗi hội tụ, thì chuỗi hội tụ. 1 n n b    1 n n a    Nếu chuỗi phân kỳ, thì chuỗi phân kỳ. 1 n n a    1 n n a    Chuỗi hội tụ nên dãy tổng riêng bị chặn 1 n n b     nS ' 0 0 n n n n n n k k S a b S        dãy tổng riêng của bị chặn trên, vậy chuỗi hội 1 n n a    Tiêu chuẩn so sánh 2 chuỗi thoả 1 1 ,n n n n a b      ( 1) (2) 00 ,n na b n n    lim n n n a K b  Nếu chuỗi (2) hội tụ, thì chuỗi (1) hội tụ.0 :K  hữu hạn, : Chuỗi (1) và (2) cùng HT hoặc cùngK 0 Nếu chuỗi (1) HT, thì chuỗi (2) HT.:K   dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi Chuỗi dương 2 1 1 cos ( 1) n n n n a n n         2 2 cos 1 1 ( 1) ( 1) n n n n n n     Chọn chuỗi số 2 1 1 1 n n n b n       lim 1n n n a b  hữu hạn, khác không. Suy ra hai chuỗi cùng tính chất hội tụ. 1 1 ,n n n n a b       Vì chuỗi hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ2 1 nb n       dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 3 1 1 5 3( 1) 2 n n n n a          Chuỗi dương 3 3 5 3( 1) 8 1 0 2 2 2 n n n n       chuỗi hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ 1 1 1 , | | 1 22nn q     Chuỗi dương 3 3 22 ln 2 nn n n n e n e e n           chuỗi FK, nên chuỗi đã cho FK., | | 1 2 2 n e e q          dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 3 3 1 12 ln n n n n e n a n          dụ Khảo sát sự hội tụ 2 1 1 ln(1 sin(1/ ) ln n n n n a n n          Chuỗi dương 2 2 ln(1 sin(1/ ) 1/ 1 ln n n nn n n     chuỗi hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ. 2 1 1 n n    cosh 1na n n        chuỗi HT, nên chuỗi đã cho HT. 2 3/ 22n   dụ Khảo sát sự hội tụ 1 1 cosh 1 n n n n a n              2 2 1/ 2 2 3/ 2 1 1 2 2 n n n            dụ Khảo sát sự hội tụ   1 1 1 ln cosh(1/ ) n n n n a          1 ln cosh(1/ )na n n   chuỗi hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ. 3/ 2 1 1 2n n    2 2 arctan( 2 ) 3 n n n n a n    chuỗi HT, nên chuỗi đã cho HT. 1 3n   dụ Khảo sát sự hội tụ 2 2 1 1 arctan( 2 ) 3 nn n n n n a n          / 2 1 23 3n n     2ln(1 1/(2 ))n n   3/ 2 1 2n   1 sin(1/ )na n n     3 1 1 1 ln ln 6n nn             3 1 1 1 3! n n n              2 1 6 n   dụ Tìm để chuỗi HT   1 1 sin(1/ ) n n n     Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi 1 2   dụ 1 1 1 lnsin ln n n n         Tìm để chuỗi HT 2 1 ln 1 6n            2 1 6 n   Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi 1   3 2 1 1 1 (1/ 1/ 6 ) 2 na n n n n             2 2 1 1 1 1 1/ 6 2 na n n             dụ Tìm để chuỗi HT 1 1 cos(1/ ) sin(1/ )n n n n          2 2 1 1 1 1 6 2 na n n              2 2 1 3 n      Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi 1 2   dụ Tìm để chuỗi HT      2 1 1 1/ 1 cos(1/ ) n n e n n       ln(1 1/ )11 n n ne e e n         2(1/ 1/ 2 )n n ne e   1 1/ 2ne e   1/ 2. ne e e  1 1 2 e e n         2 e n    2 2 1 1 cos(1/ ) 4 n n   2 / 2 4 n e n a n      2 22 e n      Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi 2 1 1     Tiêu chuẩn d'Alembert chuỗi hội tụ.1:D  : không kết luận được, chuỗi có thể HT, hoặc PK1D  Chuỗi dương . Giả sử 1 n n a    1lim n n n a D a    2) chuỗi phân kỳ.1:D  Tiêu chuẩn Cô si chuỗi hội tụ.1:C  : không kết luận được, chuỗi có thể HT, hoặc PK1C  Chuỗi dương . Giả sử 1 n n a    lim n n n a C   2) chuỗi phân kỳ.1:C  dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 1 3 !n nn n n n a n        1 11 3 ( ! ( 1 1 ) ) n nn a n n        Phân lim n n n a  dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 5 1 1 3 2 4 3 n n n n n a n             3 3 ( 1) ! ( 1) ( 1) n n n n n n         3 3 ! ( 1) n n n n     1 3 3 ! ( 1) 3 ! n n n n n n a n n a n n        3 (1 1/ )nn   3 1n e   53 2lim 4 3 n n n n n     3 1 4   HT theo t/c Cô si. 12 5 8 (3( ) 1) 1 6 11 (5( ) 4 1 1 ) n n n a            dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 n n a   2 5 8 (3 1) 1 6 11 (5 4) n n a n          2 5 8 (3 2) 1 6 11 (5 1) n n          2 5 8 (3 1)(3 2) 1 6 11 (5 4)(5 1) n n n n            (3 2) (5 1) n n a n     1 3 2lim lim 5 1 n n n n a n a n        3 1 5   Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn d'Alembert. 1 1 2 5 8 (3( ) 2) 2 ( 1)! 1 1n na n n          dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 n n a   2 5 8 (3 2) 2 ( 1)! n n n a n        2 5 8 (3 5) 2 2 ( 2)!n n n         2 5 8 (3 2) (3 5) 2 2 ( 1)!( 2)n n n n n            (3 5) 2( 2) n n a n     1 3 5lim lim 2 4 n n n n a n a n        3 1 2   Chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn d'Alembert. dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi / 2 1 , 0 (ln( 1))nn n n        / 2 lim lim (ln( 1)) n n n nn n n a n      1 lim 0 1 ln( 1)n n     Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô si với mọi  dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 3 1 1 cos n n n          3 1 lim lim cos n n n n n n a n         2 1 lim cos n n n        22 1 2 1 lim 1 2 n n n              1/ 2e 1 1 e   Hội tụ theo Cô si. dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 3 1 1 1 1 n n n n n           3 3 1 1 lim lim 1 n n nn n n n n a n            42 3 1 ( 1) 1 22 lim 1 1 n n n n n n n                   Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô si. dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2 1 1 2 3 3 n n n n n           1 ( 3) 3 11 lim lim 3 3 1 3 nn n nn n n n a n                    Phân 1 e   3 1 e   II. Chuỗi có dấu tuỳ ý. Hội tụ tuyệt đối. Định nghĩa hội tụ tuyệt đối Chuỗi gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi hội 1 n n a    1 n n a    Định lý Nếu chuỗi hội tụ, thì chuỗi hội tụ. 1 n n a    1 n n a    Theo định lý: chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Mệnh đề ngược lại không đúng: có những chuỗi hội tụ, nhiên chuỗi của trị tuyệt đối không hội tụ. dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 3 7 1 (2 3)cos3 1n n n n n       Chuỗi có dấu tuỳ ý. Xét chuỗi là chuỗi dương 1 | |n n a    3 7 (2 3) cos3 | | 1 n n n a n n     3 7 2 3 1 n n n     7 / 3 2n n  4 / 3 2 n   Hội tụ tuyệt đối dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 4 6 1 arctan( ) 3 1 n n n n n       4 6 | arctan( ) | | | 3 1 n n n a n n     6 / 4 / 2 n   3/ 22n    Hội tụ tuyệt đối II. Chuỗi đan dấu. Tiêu chuẫn Leibnitz. Định nghĩa chuỗi đan dấu hoặc gọi là chuỗi đan dấu 1 ( 1) , , 0n n n n a n a      , 0nn a  Định nghĩa chuỗi Leibnitz Chuỗi đan dấu gọi là chuỗi Leibnitz, nếu: 1 ( 1)n n n a    1) lim 0n n a   2) dãy là dãy giảm.1( )n na   II. Chuỗi đan dấu. Tiêu chuẫn Leibnitz. Định lý (Leibnitz) Chuỗi Leibnitz hội tụ. Tổng của chuỗi này thoả 0 | |S a  dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 1 ( 1) ( 1) 2 n n n nn           Chuỗi không hội tụ tuyệt đối. 1 lim lim 0 2 n n n a n     1 1 2 nn         là dãy giảm. Đây là chuỗi Leibnitz và hội tụ dụ Khảo sát sự hội tụ của 1 1 1 ( 1) ln ( 1) n n n n n n         ln lim lim 0.n n n n a n    1 ln n n n         dãy giảm (có thể k/s đạo Chuỗi Leibnitz nên hội tụ (theo tiêu chuẩn Leibnitz) Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi số Điều kiện cần khoâng Phân kỳ thô Chuỗi dương có có Sử dụng các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi dương không đan dấu có Leibnitz không không có Hội tụ hội tụ 1 n n a    có HT tuyệtkhông Đ/nghĩa, các t/chuẩn khác II. Chuỗi luỹ thừa. Định nghĩa chuỗi luỹ thừa Chuỗi luỹ thừa là chuỗi 0 0 ( )nn n n a x x a R     , (1) Khi ta có chuỗi luỹ thừa 0 n n n n a x a R    , (2)0 0x  Cho một giá trị cụ thể ta có chuỗi số 0 n n n a    x  Định nghĩa miền hội tụ chuỗi luỹ thừa Tập hợp các giá trị của x, khi thay vào chuỗi (1) hoặc được chuỗi số hội tụ, gọi là miền hội tụ của (1) hoặc (2 đề Abel Nếu chuỗi hội tụ tại , thì nó hội tụ tuyệt đối 0 n n n a x    0 0x  trong khoảng . 0 0| |,| |x x Chứng minh Định lý Cho chuỗi . Khi đó tồn tại duy nhất thoả 0 n n n a x    0 R   Chuỗi hội tụ ,x x R  2) Chuỗi phân kỳ ,x x R  Định nghĩa trong định lý gọi là bán kính hội tụ của chuỗi 0n a x   R Định lý (dấu hiệu d'Alembert để tìm bán kính hội tụ) Cho chuỗi . Giả sử và 0 n n n a x    1lim n n n a a    0 0, : 0nn n n a    Khi đó, bán kính hội tụ 1 R   (Qui ước: )1 1, 0 0     Chứng minh. Định lý (dấu hiệu Côsi- Hadamard tìm bán kính hội tụ) Cho chuỗi . Giả sử 0 n n n a x    lim n n n a    Khi đó, bán kính hội tụ 1 R   (Qui ước: )1 1, 0 0     Chứng minh dụ Tìm bán kính hội tụ của 1 (2 1)!! ! n n n x n     1 (2 1)!! !lim lim ( 1)! (2 1)!! n n n n a n n a n n           2 1 1 2 R     dụ Tìm bán kính hội tụ của 1 1 1 1 1 2 3 n n x n              1lim n n n a a     1 1 1 1 1 2 3 1lim 1 1 1 1 2 3 n n n n              1 1 1R     dụ Tìm bán kính và miền hội tụ của 1 ( 1) (1) 2 1 n n n x n      ( 1) lim lim 2 1 n n n n n n a n        1 lim 1 2 1n n    1 1R     Tại có chuỗi số1X  1 1 2 1n n     Phân kỳ theo so sánh hội tụ theo Leibnitz Miền hội tụ của đã cho 1 1x   có chuỗi số1X   1 ( 1) 2 1 n n n      dụ Tìm bán kính và miền hội tụ của 1 5 ( 2) 1 n n n n x n       5 ( 3) lim lim 1 n n n n n n n a n         5 1 1 5 R     có chuỗi số 1 5 X  1 5 ( 2) ( 1) 5 n n n n n        Phân kỳ theo so sánh hội tụ (tách ra tổng) Miền hội tụ của đã cho 1 1 5 5 x   có chuỗi 1 5 X   1 5 ( 2) ( 1) ( 1) 5 n n n n n n         dụ Tìm bán kính và miền hội tụ của 2 1 2 ( 1) (1) ln ( 1) n n n x n n      Đặt 1X x  Xét chuỗi 2 1 1 2 (2) ln ( 1) n n n n n n X a X n n         2 2 lim lim ln ( 1) n n n n n n a n n       2 1 1 2 R     Tại có chuỗi số 1 2 X  2 1 2 1 2ln ( 1) nn n n n           hội tụ. Tại có chuỗi số 1 2 X   2 1 2 1 2ln ( 1) nn n n n           hội tuyệt đối Miền hội tụ của (1) 1 1 1 2 2 x    3 1 2 2 x     dụ Tìm miền hội tụ của 1 ( 1) 3 - 2 ln (1) 3 21 n n x n nn      Đặt 1X x  Xét chuỗi 1 1 3 - 2 ln (2) 3 21 n n n n n X n a X nn         1 3 - 2 lim lim ln 3 21 n n n n n n a nn       1 1 1R     Tại có chuỗi số1X  1 1 3 - 2 ln 3 21n n nn     hội tụ. Tại có chuỗi số1X   1 ( 1) 3 - 2 ln 3 21 n n n nn      hội tụ tuyệt đối Miền hội tụ của (1) 1 1 1x    2 0x    dụ Tìm miền hội tụ của 3 3 1 2 1 2 1 ( 3) (1)n n n n x n       Đặt 3X x  Xét chuỗi 3 3 1 1 2 1 2 1 ( 3)n n n n n n x a X n           3 32 1 2 1 lim limn nn n n n n a n         1 1 1R     có chuỗi số1X  3 3 1 2 1 2 1 n n n n       Hội tụ. có chuỗi1X   3 3 1 2 1 2 1 ( 1)n n n n n       HT tuyệt đối Miền hội tụ của (1) 1 3 1x    4 2x     Tính chất của chuỗi luỹ thừa Tổng của chuỗi luỹ thừa là một hàm liên tục trên miền hội tụ của nó. Trong khoảng hội tụ: Đạo hàm của tổng bằng tổng các đạo hàm:   ' 1 1 0 0 'n n n n n n n n n a x a x na x                  Trong khoảng hội tụ: Tích phân của tổng bằng tổng các tích phân:   1 0 00 0 0 1 x x n n n n n n n n n x a t dt a t dt a n                  dụ Tính tổng của 1 3nn n   Ta có 0 1 , ( 1,1) 1 n n x x x         Đạo hàm hai vế (đạo hàm của tổng bằng tổng các đạo hàm) 1 2 1 1 (1 ) n n nx x       1 1 9 4 3nn n   Cho ta có: 1 3 x  Nhân hai vế cho 1/3: 1 3 4 3nn n   dụ Tính tổng của 2 1 1 2 5 n n n n     Theo ví dụ trước: 1 2 1 1 (1 ) n n nx x       1 1 1 875 2 81 5 n n n n      Cho ta có: 2 5 x  Nhân hai vế cho 2/25: 1 1 70 2 81 5 n n n n      Nhân hai vế cho x, đạo hàm hai vế: 2 1 3 1 1 ( 1) n n x n x x        dụ Tính tổng của 3 2 1 3 4 5 4nn n n     có: Từ ví dụ này ta có: Nhân hai vế cho x, đạo hàm hai vế ta được: Số hạng cuối cùng tính trực tiếp, số hạng thứ hai tính 3 2 1 3 4 5 4nn n n     3 2 1 1 1 1 3 4 5 4 4 4n n nn n n n n           theo ví dụ vừa rồi. 2 1 3 1 1 ( 1) n x n x x       2 3 1 4 1 4 1 ( 1) n n x x n x x          từ đây tính ra được số hạng đầu Qua 3 ví dụ, ta có thể tính tổng ( )k n P n a   dụ Tính tổng của 1 1 2nn n     Xét chuỗi 1 ( ) n n x S x n    Miền hội tụ: 1 1x   Đạo hàm ta được: ' 0 ( ) n n S x x     1 1 x   ( 1,1)x   ( ) 1 dx S x x    ln 1 x C    (0) 0 0S C  Vì ( ) ln 1S x x    1 1 2nn n     1 2 S        ln |1 1/ 2 |   ln 2 dụ Tính tổng của 1 2 ( 1) 3 n n n n n      Xét chuỗi 1 1 ( ) ( 1) n n x S x n n      Miền hội tụ: 1 1x   Đạo hàm ta được: ' 1 ( ) n n x S x n    ln(1 )x   ( ) ln(1 )S x x dx    (1 ) ln(1 )x x x C     (0) 0S C    ( ) (1 )ln(1 )S x x x x     1 2 ( 1) 3 n n n n n      2 3 S        2 2 2 1 ln 1 3 3 3                vdụ trước 2 ln3 3   dụ Tính tổng của 2 4 ( 1) ( 4 3) 3 n n n I n n         4 ( 1) ( 3)( 1) 3 n n n I n n         4 4 1 ( 1) 1 ( 1) 2 2( 3) 3 ( 1) 3 n n n n n nn n               3 3 4 1 ( 1) ( 1) ( 3) 3 3 n N n N n N J n N              , ta có:3N n  1 1 ( 1) 27 n       1 ln 1 n n x x n     Thay vào ta được . 1 3 x   J 1 1 4 3 ( 1) ( 1) ( 1) 3 3 n N n N n N K n N              , ta có:1N n  3 1 ( 1) 3 n       Tương tự J, tính được K. III. Chuỗi Taylor Maclaurint. Định nghĩa chuỗi Taylor Hàm có đạo hàm vô hạn lần trong lân cận của ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ! (1)    n n n f x x x n ( )y f x điểm . Chuỗi gọi là chuỗi Taylor0x của hàm tại lân cận của .( )y f x 0x Chuỗi Taylor trong lân cận của gọi là chuỗi Maclaurint 0 0x III. Chuỗi Taylor Maclaurint. Định lý Nếu hàm cùng các đạo hàm mọi cấp của nó bị( )y f x chặn trong lân cận của điểm , tức là tồn tại số thực M,0x trong lân cận của ta có0x ( )( ), ( )nn N f x M   ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) !     n n n f x f x x x n Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng: 0 1) !     n x n x e n 1 ( 1) 2) ln(1 )      n n n x x n   2 1 0 3) sin 1 (2 1)!       n n n x x n   2 0 4) cos 1 (2 )!     n n n x x n Miền hội tụ: R Miền hội tụ:  1,1 Miền hội tụ: R Miền hội tụ: R 01 6) 1      n n x x 0 1 7) ( 1) 1       n n n x x   2 1 0 8) arctan 1 2 1       n n n x x n 2 0 9) cosh (2 )!     n n x x n 0 ( 1) ( ( 1)) 5) (1 ) !             n n x x n Miền hội tụ: ( 1,1) Miền hội tụ: ( 1,1) Miền hội tụ: ( 1,1) Miền hội tụ:  1,1 Miền hội tụ: R 2 1 10) sinh (2 1)!     nx x n Miền hội tụ: R dụ Tìm chuỗi luỹ thừa của hàm ln(2 3 )y x  trong lân cận của 0 1.x  Đặt 1X x  Tìm khai triển Maclaurint của hàm ln(2 3( 1))f X   1x X   ln(5 3 )f X  3 3 ln5 1 ln5 ln 1 5 5 X X                 1 1 3 / 5 ln5 ( 1) n n n X f n        1 1 3 1 ln5 ( 1) 5 nn n n n x n           dụ Tìm chuỗi luỹ thừa của hàm 2 2 1x y x x    trong lân cận của 0 2.x  Đặt 2X x  Tìm khai triển Maclaurint của hàm 2 5 ( 2)( 3) X f X X     2x X   1 1 2 3 f X X     1 1 1 1 2 1 / 2 2 1 /3X X       0 0 1 1 ( 1) ( 1) 2 22 3 n n n n n n n n X X f              1 1 1 ( 1) 2 2 2 3 nn n n f x             dụ Tìm chuỗi Maclaurint của hàm 2 1 , | | 1 (1 ) y x x    Ta có 0 1 1 n n x x      Đạo hàm hai vế (trong miền hội tụ, đạo hàm của tổng bằng tổng các đạo hàm )   1 2 1 1 1 n n nx x       0 ( 1) n n n x     dụ Tính tích phân 1 0 ln(1 )x I dx x    2 2 2 2 1 1 1 1 , 6 8(2 1) n nn n          biết rằng có 1 1 1 0 ( 1)n n n x n I dx x       1 1 1 10 ( 1)n n n x dx n       11 2 1 0 ( 1)n n n I x n     1 2 1 ( 1)n n n     2 2 1 1 1 1 1 4(2 1)n nn n          2 12   dụ Tính tích phân 1 0 1 ln 1 I dx x   có 1 0 ln(1 )I x dx   1 10 ( 1) ( ) n n n x dx n      1 1 1 0 1 ( 1) n n I x n n       1 1 ( 1)n n n      lim 1nS  1 10 n n x dx n     1 2 ...n nS a a a    1 1 1 ... 1.2 2.3 .( 1)n n      1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 3 1 1 nS n n n            dụ Tính tổng của 2 2 ( 1) 2        n n I n n 2 ( 1) ( 1)( 2)        n n I n n 2 2 1 ( 1) 1 ( 1) 3 1 3 2             n n n nn n 1 2 1 ( 1) ( 1) 1            n N n N J n N Đặt :1 N n 1 1 ( 1)     n n n 2 2