Bài giảng Giải tích 2 - Chương: Chuỗi lũy thừa

CHUỖI LŨY THỪA ĐỊNH NGHĨA Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng: 0 1 ( ) ,nn n a x x    na R là giá trị cho trước Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp: 0 1 : ( ) hoäi tuïnn n D x R a x x            Nếu đặt X = x – x0, chuỗi trở thành 1 ,nn n a X    nên không mất tính tổng quát ta chỉ xét chuỗi này. Định lý Abel   0 0 0 1 0 , Neáu hoäi tuï taïi thì hoäi tuï tuyeät ñoái trong xnn n x x x a      Hệ quả:   1 0 0 0, Neáu phaân kyø taïi thì phaân kyø taïi moïi xnn n a x x x x      Chứng minh định lý 1 0 00 lim 0Neáu hoäi tuï taïi x thì n n n n n n a xa x      00 : , n nM a x M n    0 0 0 n n n n n n x x a x a x M x x         0 0 0 , : 1 x x x x x     0 00 hoäi tuï hoäi tuï n n n n n x a x x        Bán kính hội tụ     1 , , Soá sao cho hoäi tuï trong vaø phaân kyø beân ngoaøi goïi laø baùn kính >0 hoäi tuï cuûa chuoãi. n n n R a x R R R R       , goïi laø khoaûng hoäi tuï cuûa chu i. oãR R Vậy nếu đã biết BKHT thì miền hội tụ của chuỗi chỉ cần xét thêm tại R Trường hợp chuỗi tổng quát 0 1 ( )nn n a x x    Khoảng hội tụ: 0 0( , )x R x R      0 1 0 0 ( ) , , Soá sao cho hoäi tuï trong vaø phaâ >0 n kyø beân ngoaøi goïi laø baùn kính hoäi tuï cuûa chuoã. i nn n R a x x x R x R R R        Cách tìm bán kính hội tụ Tính: lim n n n a   0, 1 , 0 , 0 R                hoặc 1lim n n n a a            00 : 0 : , MHT = hoaëc cho chuoãi TQ MHT = R x R       Lưu ý 1.Có thể tính bán kính hội tụ như sau: 1 1 lim lim hay n nn x nn a R R aa     2. Trường hợp R = 0 hay R = , không được gọi là bán kính hội tụ nhưng có thể gọi tạm cho dễ sử dụng. Ví dụ 1 / ( 1 1) Tìm mieàn hoäi tuï n n n x n     ( 1)n na n   1 lim lim 1n nn n n R n a      Khoảng ht: ( 1,1) 1 ,1 ( 1) : chuoãi trôû thaønh ht theo tc L. n n n x      1 1 ,1: chuoãi trôû thaønh phaân kyø n n x       1,1Vaäy mieàn hoäi tuï laø: D   21 ( !) (2 )! 2 / Tìm baùn kính hoäi tuï: n n n x n    2( !) (2 )! n n a n  1 lim n n n a R a     2 2 ( !) (2 )! lim ( 1)! (2 2)! n n n n n     2 (2 1)(2 2) lim 4 ( 1)n n n n      2 1 ( 1) 2 3 / Tìm mieàn hoäi tuï n n n x n     2 1 2 n n a n  21lim lim 2 2 n n nn n n R n a      Khoảng ht: (1 2,1 2)  ( 1,3)  2 2 1 1 ( 2) ( 1) ,1: 2 ht theo tc L. n n n n nn n x           2 2 1 1 2 1 : 2 3 ht . n n n n n x n         1,3 D   1( 3 4 / ) 5 Tìm mieàn hoäi tuï n n n x    1 0 ( 3) 3 55 nn n n n x x             : chuoãi caáp soá nhaân Điều kiện hội tụ: 3 1 8 2 5 x x        8,2Vaäy mieàn hoäi tuï laø: D   Tính chất của chuỗi lũy thừa 1 , ( ) Cho chuoãi luõy thöøa coù baùn kính hoäi tu goï ï i laø toång c i.huoã n n n a x R S x    1/ ( ) lieân tuïc treân mieàn hoäi ï. tuS x  1 1 2 / ( ) ,, nn n S x na R Rx x          1 0 1 ,3 / ( ) , 1 x nn n a S t dt x R n R         Chú ý 1.Chuỗi lũy thừa liên tục trên miền xác định 2.Trong khoảng hội tụ, đạo hàm (tích phân) của tổng chuỗi bằng chuỗi đạo hàm (tích phân) tương ứng. 3.Bán kính hội tụ của chuỗi đạo hàm và chuỗi tích phân bằng BKHT của chuỗi ban đầu. 1 0 1 ( ) ( )n n n n n nS x a x S x na x          Ví dụ áp dụng: tính tổng chuỗi 0 1 1 , 1 1 n n n n xx x x x          Nhắc lại: Điều kiện: |x| < 1 0n n x     1 1 / ( ) n n x S x n      1,1MHT: D   1 1 ( ) n n S x x         1 , 1,1 1 x x      0 (0)( ) 1 x dt S x t S      ln(1 ), 1,1x x      (0) 0Do S  ( ) ln(1 ), 1S x x x     1 ( 1) lim ( ) ln 2 x S S x      1/ ( ) 1)2 ( n n S x n x      1,1MHT: D    1 0 1 ( ) , 1,1 x n n S t dt x x         1 , 1,1n x x x x        2 , 1,1 1 x x x     2 ) 1 ( x S x x           2 2 2 , 1,1 (1 ) x x x x      1)3 / ( n n S x nx      1,1MHT: D   1 1 ( ) n n S x x nx      1 n n x x               2 , 1,1 (1 ) x x x      , 1,1 1 x x x x        11 2 . .( 1 4 / )nn S n n      1 1 1 .2 ( 1).2n nn S n n           Xét chuỗi lũy thừa 1 ( ) n n x S x n       1 2 1,1MHT D    Trong VD1 ta có: ( ) ln(1 ), 1S x x x    11 1 .2 ( 1).2n nn S n n           1 ( ) ln(1 ), 1 n n x S x x x n            1 1 1 1/ 2 1/ 2 2 1 n n n n n n               1 2 1/ 2 1/ 2 2 n n n n n n            1 1/ 2 2 1/ 2 2 S S      ln 2 1  0( 1) 3 (2 4 / 1) n n n S n       Xét chuỗi lũy thừa 2 1 0 ( 1) ( ) 2 1 n n n x S x n          1 3 1,1MHT: D    2 0 ( ) ( 1)n n n S x x      2 0 ( )n n x       2 2 1 1 , 1 ( ) 1 1,1 x x x          2 1 ( ) , 1,1 1 S x x x      0 ( 1) 3 (2 1) n n n S n       2 1 0 ( 1) 1 3 2 1 3 nn n n             ( ) arctan , 1,1S x x x   1 3.arctan 3. 63       CHUỖI TAYLOR 2 1 2 0 3 0( ) 2. ( ) 3. ( )f x a a x x a x x       Nhận xét: vì chuỗi đạo hàm của chuỗi lũy thừa có cùng khoảng htụ với chuỗi ban đầu nên tổng chuỗi lũy thừa là hàm khả vi vô hạn trong khoảng htụ. 2 0 1 0 2 0 0( ) ( ) ( ) ( ) n nf x a a x x a x x a x x          ( ) 1 0( ) ! ( 1)! ( ) n n nf x n a n a x x     0 0 1 0 0 2 ( ) 0 ( ), ( ) ( ) 2! ... ( ) ,... ! n n a f x a f x f x a f x a n              0 0 0 1 0 2 ( ) 0 ( ) , ( ) , ( ) 2! , , ( ) ! ,... n n f x a f x a f x a f x n a         Định nghĩa Cho hàm f khả vi vô hạn trong lân cận x0 khi đó, chuỗi Taylor của f trong lân cận này là ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ! n n n f x x x n    Chuỗi Taylor trong lân cận x0 = 0 gọi là chuỗi Maclaurin. Định lý Nếu f khả vi vô hạn trong lân cận x0 và tồn tại C > 0, R > 0 sao cho  ( ) 0 0( ) , , n nf x C x x R x R     Khi đó   ( ) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , , ! n n n f x f x x x x x R x R n         Chứng minh  0 0, , Trong vôùi ta coù n Nx R x R     ( ) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , ! , n k n k n f x f x x x n x R R x x R         ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( 1)! n n n f x x n R     11 0 , ( 1) 0 ! khi n nn n C x x R n         ( ) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , ! , n k n k n f x f x x x n x R R x x R         11 0 , ( 1)! 0 khi n nn n C x x R n       (1) qua giới hạn (1) ta có:   ( ) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , , ! n n n f x f x x x x x R x R n         Định lý Nếu f khả vi vô hạn trong lân cận x0 và tồn tại C > 0, R > 0 sao cho  ( ) 0 0( ) , , nf x xC x R x R     Khi đó   ( ) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , , ! n n n f x f x x x x x R x R n         Yêu cầu của 1 bài khai triển chuỗi 1.Vận dụng được chuỗi Maclaurin cơ bản . 2.Viết được dạng chuỗi lũy thừa theo (x-x0) n với hàm f cho trước. 3.Chỉ ra miền hội tụ của chuỗi tìm được, đó chính là miền mà hàm f được khai triển thành chuỗi Taylor. Chuỗi Maclaurin cơ bản 0 1 2 / , 1 n n x x      0 1 ( 1) , 1 n n n x x         1 ( 1)...( 1) 3 / 1 1 ! n n n x x n             0 1/ , ! n x n x e n     MKT: D R  1,1D         , 1,1 , 0 1,1 , 1 0 1,1 , 1 R N D                   2 1 0 2 0 5 / sin ( 1) (2 1)! cos ( 1) (2 )! n n n n n n x x n x x n             D R 1 1 4 / ln(1 ) ( 1) , n n n x x n        1,1D     2 1 0 6 / arctan ( 1) , 2 1 1,1 n n n D x x n         Ví dụ 1/ 2 ( ) ln( 2) Tìm chuoãi Taylor trong laân caän x f x x    2 X x Đặt:  ( ) ln 4 ln 4 ln 1 4 X f x X          1 1 ( 1) ln 4 , 4 nn n X n              1,1 4 X MKT :   11 ( 1) ( ) ln 4 , 4 nn n X f x n              1,1 4 X MKT :   1 1 ( 1) ln 4 ( 2) , .4 n n n n x n         2,6hay x   2 1,1 4 x   với 22 / ( ) ln(1 2 )Tìm chuoãi Maclaurin : f x x x   1 ( ) ln 2( 1) ln(1 )(1 2 ) 2 f x x x x x              ln(1 ) ln(1 2 )x x    1 1 ( ) ( 1) n n n x n       1 1 (2 ) ( 1) n n n x n      1 1x    1 2 1x  Điều kiện: và 1 1 2 2 x     1 1 1 1 ( ) (2 ) ( ) ( 1) ( 1) n n n n n n x x f x n n             1 1 ( 2)n n n x n        1 1 2 2 x    Với: 3 / ( ) (1 )Tìm chuoãi Maclaurin : xf x e x  0 ( ) ( ) (1 ) ! n n x f x x n       0 0 ( ) ( ) ! ! n n n n x x x n n          1 0 0 ( 1) ( 1) ! ! n n n n n n x x n n           1 0 1 ( 1) ( 1) ! ( 1)! n n n n n n x x n n             10 1 ( 1) ( 1) (1 ) ! ( 1)! n n x n n n n x e x x n n               1 1 1 ( 1) ( 1) 1 ! ( 1)! n n n n n n x x n n              1 1 ( 1) ( 1) 1 ! ( 1)! n n n n x n n              D = R  1 ( 1) 1 1 ! n n n n x n        24 / ( ) ln 1Tìm chuoãi Maclauri : n f x x x   2 2 2 1 11( ) 1 1 x xf x x x x        Khai triển cho f’(x). 2 4 2 1 1 1 1 2 2 ( ) 1 2 2! 1 1 1 1 1 2 2 2 ! n f x x x n x n                                      21 1.3.5...(2 1) ( ) 1 ( 1) 2 ! n n n n n f x x n        Điều kiện: 20 1 1 1x x      0 ( ) ( ) (0) x f x f t dt f  2 1 1 1.3.5...(2 1) ( 1) 2 !(2 1) n n n n n x x n n          Điều kiện: 1 1x   Các ví dụ về tính tổng 2 1 2 1 ( 1)! n n e n        1 2 1 2 2 1 ( 1)! n n e n         1 ( 1). ! / 2 1 n n n S n      1 1 2 2 . ! ! n n n n s n n n        2 0 2 2 1 ! n n e n      2 2 232 1 1ee e     11 1 1 ( 1)/ 1 3 2 n n n S n            Xét 2 chuỗi lũy thừa: 1 1 ( ) ( 1)n n n R x x      1 1 ( ) ( 1) n n n x T x n     và   1 ( ) ( ) 1, 1 1,n n x R x x x x             ( ) ln(1 ) 1,, 1T x x x    1 1 3 3 S R T            1 1 ( 3 .5 3 ) ( 2) / n n n S n n        1 1 1 1 3 ( 1) 10 2 5 n n n S n n              2 2 1 1 1 1 3 3 1 55 5 ( 1) ( 1) 10 3 2 n n n n n nn n                                      22 1 1 1 1 3 3 1 55 5 ( 1) ( 1) 10 3 2 n n n n n nn n                                      1 3 3 1 3 9 5 ln 1 ( 1) 10 5 25 n n n n                            1 3 9 3 3 1 9 ln 1 ln 1 . 10 5 25 5 5 2 25                       1 8 189 16ln 250 5 2       1 3 3 1 3 9 5 ln 1 ( 1) 10 5 25 n n n n                           