Bài giảng Giải tích 2 - Phần 2 : Đổi biến trong tích phân kép

ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP TỌA ĐỘ CỰC M y r  x [0,2 ] [ , ]      ha y cos , sin x r y r   2 2 0r x y   TÍCH PHÂN KÉP TRONG TỌA ĐỘ CỰC D     Dij j 1j   * *,i jr   : a r b D         Tổng tích phân * * * * * , ( cos , sin )n i j i j i i j S f r r r r      0 ( , ) lim n d D f x y dxdy S   0 lim ( cos , sin )n d D S f r r rdrd       Công thức đổi biến sang tọa độ cực ( , ) ( cos , sin ) D D dxdy drdrf x y f r r    cos , sin x r y   Một số đường cong và miền D trong tọa độ cực 2 2 2x y R r R     cos , sin x r y r   2 2 2 0 0 2 r R x y R             R R -R D -R R R 2 2 2x y Rx  2 2 2x y Rx   R 2R 2 cosr R  0 2 cos 2 2 r R             2 2 2x y Ry  0 2 sin 0 r R        R 2R 2 sinr R  2 2 2x y Ry  1( )r r  2( )r r    D 1 2( ) ( ): r r r D           (0 2 )     ( cos , sin ) D f r r rdrd    2 1 ( ) ( ) ( cos , sin ) r r d f r r rdr          VÍ DỤ 2 2 D I x y dxdy  cos , sin x r y r   2 2 1 : 0 x y D y      1/ Tính: với 1-1 r = 1 0 1 0 : r D        1 2 0 0 . D I r rdrd d r dr       0 1 3 3 d     r = 2 r = 1 1 2 3 4 4 : r D          cos , sin x r y r   ( ) D I x y dxdy  2 21 4 : , x y D y x y x         2/ Tính: ( cos sin ). D r r rdrd     3 24 2 1 4 (cos sin )d r dr        ( ) D I x y dxdy  3 4 4 8 1 (cos sin ) 3 3 d            7 2 3   1 2 3 4 4 : r D          0 2sin : 3 4 r D           r = 2sin 2sin 2 3 0 4 cos cos D I r rdrd d r rdr           1 6   cos , sin x r y r   D I xdxdy  2 2 2 : x y y D y x       3/ Tính: với 2 2 2 24 , 2 , , 0x y x x y x y x y      4/ Tính diện tích miền D giới hạn bởi: cos , sin x r y r  r = 4cos r = 2cos 2cos 4cosr   0 4       D ( ) 1 D S D dxdy  D rdrd   4cos4 0 2cos d rdr       3 3 4 2    2cos 4cosr   0 4       D DI xydxdy  2 2 : 3 0 x y x D x y        5/ Tính: với r = - cos 3y x 0 cosr    4 0 3       ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT ( , ) ( , )x y D u v D   D x y x = x(u,v), y= y(u,v) Công thức đổi biến 1 ( , ) ( , ) J D u v D x y  ( , ) ( ( , ), ( , )) D D f x y dxdy f x u v y vv J dudu    ( , ) ( , ) u v u v x xD x y J y yD u v       Áp dụng đổi biến tổng quát cos , sin x r y r   cos sin sin cos r r x x r J r y y r               ( , ) ( cos , sin ) D D f x y dxdy f r r rdrd       Tọa độ cực: 2 2 2 ( , ) ( , ).1 D u v R f x y dxdy g u v dudv     cos , sinu r v r   b u D: (x – a)2 + (y – b)2  R2 Dời gốc tọa độ đến tâm x = u + a, y = v + b Đổi tiếp sang tọa độ cực:  a x y 1 0 1 0 1 u v u v x x J y y        Hình tròn tâm tùy ý: v a b x y u v D: (x – a)2 + (y – b)2  R2 x = a + rcos, y = b + rsin J = r Tóm tắt: r  0 : 0 2 r R D         ( , ) ( cos , sin ) D D f x y dxdy f a r b dr r rd         Đổi biến trong ellippse 2 2 2 2 : 1 x y D a b   D a b x = arcos, y = brsin J = abr ( , ) ( cos , sin ) D D f x y dxdy f ar br drdabr       0 : 0 1 2 r D         2 2 2 2 2 x y r a b   x = 2 + rcos, y = -1 + rsin J = r (2 cos )( 1 sin ) D I r r rdrd         0 3 : 0 r D         u v D I xydxdy 1/ Tính: hình tròn: (x – 2)2 + (y + 1)2  9 với D là nửa trên của (2 cos )( 1 sin ) D I r r rdrd         3 2 0 0 ( 2 cos 2 sin sin cos )d r r r rdr            9 18   Ví dụ 2 1 3 cos 0,2 sin 0 r r r       2 2 , : 1; 0; 0 9 4 D x y I xydxdy D y x    2/ Tính: 3 2 x = 3rcos, y = 2rsin J = 3.2.r = 6r Miền D được viết lại: 12 0 0 3 cos .2 sin .6 D xydxdy d r r rdr       9 2  0 1 : 0 2 r D        0 1 cos 0,sin 0 r         2 1 3 cos 0,2 sin 0 r r r       3/ Tính diện tích miền giới hạn bởi 2 2 1, 0, , 0 3 x ellipse y y y x x     3 cos , sinx r y r   Miền D được viết lại: 2 2 1, 0 3 x y y x    0 1, 0 sin 3 cos r r r         3J r 0 1, sin 0 tan 3 cos r           0 1, 0 sin 3 cos r r r        0 1 0 3 r          13 0 0 ( ) 3 D S D dxdy d rdr      Tính đối xứng của miền D trong tính tp kép D D1 D đối xứng qua oy D1 = D {(x,y)/ x  0} f(x,y) chẵn theo x: 1 ( , ) 2 ( , ) D D f x y dxdy f x y dxdy  f(x,y) lẻ theo x: ( , ) 0 D f x y dxdy 