Bài giảng Giải tích 2 - Chương III: Tích phân đường (Phần 1)

CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG §1: THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG §2: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1 §3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 §1: Tham số hóa đường cong 1. Đường cong trong mặt phẳng: thường được cho bằng 2 cách Trường hợp đặc biệt: Có 2 trường hợp cos sin x a R t y b R t a. Cho bởi pt tham số ( ) ( ) x x t y y t ( ) x t y f t b. Cho bởi pt y=y(x): Ta thường đặt x=t thì pt tham số sẽ là a. Viết phương trình tham số của đường tròn (x-a)2+(y-b)2=R2 ta sẽ đặt §1: Tham số hóa đường cong b. Viết phương trình tham số của đường ellipse 2 2 2 2 1 x y a b 2. Đường cong trong không gian: thường được cho bằng 2 cách a. Được cho sẵn bởi phương trình tham số ( ) ( ) ( ) x x t y y t z z t Ta sẽ đặt : cos sin x a t y b t §1: Tham số hóa đường cong b. Cho là giao tuyến của 2 mặt cong: ( , , ) 0 ( , , ) 0 f x y z g x y z Khi đó, thông thường ta sẽ đặt 1 trong 3 biến bằng t, thay vào 2 phương trình trên để được hpt với 2 pt và 2 ẩn là 2 biến còn lại. Giải hpt đó theo tham số t, ta sẽ ra 2 biến còn lại cũng tính theo t §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 1: Viết phương trình tham số đường cong C là giao tuyến của x2+y2=z2 và ax=y2 (z≥0) Ta đặt y=t thì 22 2 2 2 2 2 2 1 0 1 ( ) x tx y z a ax y y t z z t t a a Ví dụ 2: Viết phương trình tham số đường cong C là giao tuyến của x2=y và x=z (x≥0) 2 2 x t y x y t x z z t Ta đặt x=t thì §1: Tham số hóa đường cong Tuy nhiên, trong một số trường hợp thông thường hay gặp, ta sẽ có cách tham số hóa từng đường cong cụ thể tùy vào những điểm đặc biệt của chúng Ví dụ 3: Viết pt tham số của 2 đường cong C1, C2 là giao tuyến của x2+y2+z2=2, z2=x2+y2 Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y z x y zz x y Tức là C1, C2 vừa là giao tuyến của mặt cầu và mặt nón vừa là giao tuyến của mặt trụ với 2 mặt phẳng. Nói cách khác: C1, C2 là 2 đường tròn đơn vị nằm trên 2 mp đối xứng nhau qua mp z=0. §1: Tham số hóa đường cong Khi đó, ta đặt x=cost thì suy ra y=sint. Vậy pt tham số của C là cos sin 1 x t y t z §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 4: Viết phương trình tham số của đường cong C: x2+y2+z2=a2, x=y Thay x=y vào phương trình mặt cầu 2 2 2 2 2 2 2 cos2 2 sin a x y tx y z a x z a x y x y z a t Ta được: 2x2+z2=a2 , là pt của đường ellipse. Tức là hình chiếu của C trên mp y=0 là đường ellipse 2x2+z2=a2 Đặt 2x2=a2cos2t thì suy ra z2=a2sin2t. Vậy ta được: §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 5: Viết phương trình tham số của đường cong C: x2+y2+z2=4 và x2+y2=2x lấy phần ứng với z dương Từ pt mặt trụ : x2+y2=2x ↔ (x-1)2+y2=1 Ta đặt x-1=cost, suy ra y=sint và thay vào pt mặt cầu 1 cos sin 4 2(1 cos ) x t y t z t 2 2 2 2 2 4 2 x y z x y x §1: Tham số hóa đường cong Để vẽ đường cong này bằng MatLab, ta cũng dùng pt tham số để vẽ Khai báo biến p=linspace(0,2*pi,30) Vẽ đường cong plot3(1+cos(p),sin(p),sqrt(2-2*cos(p))) Vẽ hình chiếu xuống mp z=0: plot(1+cos(p),sin(p)) Vẽ thêm 2 mặt cong Mặt trụ x^2+y^2=2x với z từ 0 đến sqrt(2-2*cos(p)) Mặt cầu z=sqrt(2-2*cos(p)) với y từ -sin(p) đến sin(p) ph=meshgrid(p); t=[] for i=1:length(phi) tam=linspace(0,sqrt(2-2*cos(phi(i))),30); t=[t tam'] end x=1+cos(ph); y=sin(ph);z=t; surf(x,y,z,'FaceColor','m','EdgeColor','w', 'FaceAlpha',.5) §1: Tham số hóa đường cong §1: Tham số hóa đường cong t=[] for i=1:length(phi) tam=linspace(-sin(phi(i)),sin(phi(i)),30); t=[t tam']; end x=1+cos(ph);y=t;z=sqrt(2-2*cos(ph)); mesh(x,y,z,'FaceColor','r','EdgeColor','w',' FaceAlpha',.5) §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 6: Viết phương trình tham số của đường cong C: x2+y2+z2=6z và z=3-x Ta viết lại pt mặt cầu : x2+y2+(3-z)2=9 Thay 3-z=x vào để được hình chiếu của C trên mp z=0 là đường ellipse 2x2+y2=9 Đặt 2x2=9cos2t, thì y2=9sin2t Vậy: 3 cos 2 3sin 3 3 cos 2 x t y t z t 2 2 2 2 26 2 9 3 3 x y z z x y z x z x §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 7: Viết phương trình tham số của đường cong C: x2+y2+z2=2 và x+y+z=0 Thay z=-(x+y) từ pt mặt phẳng vào pt mặt cầu: x2+y2+(x+y)2=2 ↔ x2+y2+xy=1 22 1 3 1 2 2 x y y Do đó, ta được 22 2 2 2 1 cos 2 1 3 12 3 sin2 2 20 x y t x y yx y z y t x y z z x y z x y Vậy pt tham số của C là 1 2 1cos sin , sin , cos sin 3 3 3 x t t y t z t t §2: Tích phân đường loại 1 Định nghĩa: Cho hàm f(x,y) xác định trên cung AB. A B Chia cung AB thành n phần tùy ý bởi các điểm chia A=A0, A1, A2, An=B An Ak+1 Ak A0 A1 Trên mỗi cung nhỏ AkAk+1 có độ dài là Δlk lấy 1 điểm Mk(xk,yk) bất kỳ Mk xk yk Cho max Δlk → 0, nếu Sn có giới hạn hữu hạn không phụ thuộc cách chia cung AB và cách lấy điểm Mk thì giới hạn đó được gọi là tp đường loại 1 của hàm f(x,y) dọc cung AB Lập tổng 0 ( , ) n n k k k k S f x y l §2: Tích phân đường loại 1 Và kí hiệu là max 0 ( , ) lim k n l AB f x y dl S Định nghĩa tương tự cho tp đường loại 1 của hàm 3 biến f(x,y,z) Khi đó, ta nói hàm f(x,y) khả tích trên cung AB Điều kiện khả tích: Hàm f(x,y) liên tục dọc cung trơn từng khúc AB thì khả tích trên cung AB Cung AB có pt tham số x=x(t), y=y(t), a≤t≤b được gọi là trơn nếu các đạo hàm x’(t), y’(t) tồn tại, liên tục và không đồng thời bằng 0 trên đoạn [a,b] và gọi là trơn từng khúc nếu nó có thể chia thành 1 số hữu hạn các cung trơn Từ định nghĩa, ta suy ra cách tính độ dài cung AB AB AB L dl §2: Tích phân đường loại 1 Các tính chất: Các hàm f, g khả tích trên cung AB Tính chất 1: TP đường loại 1 không phụ thuộc vào hướng của đường lấy tp, tức là ( , ) ( , ) AB BA f x y dl f x y dl Tính chất 2: Với λ, μ là các hằng số thì λf+ μg cũng khả tích trên AB và ( ) AB AB AB f g dl fdl gdl Tính chất 3: Cho C là điểm bất kỳ trên cung AB thì AB AC CB fdl fdl fdl §2: Tích phân đường loại 1 Tính chất 4: Nếu f ≥0 trên cung AB thì 0 AB fdl Tính chất 5: AB AB fdl f dl Tính chất 6: Tồn tại điểm M thuộc cung AB sao cho 1 ( ) AB AB fdl f M L Trong đó, LAB là độ dài cung AB. Ta gọi f(M) là giá trị trung bình của hàm f trên cung AB §2: Tích phân đường loại 1 Ta chia thành 3 trường hợp nếu cung AB trong mp Oxy: TH1: Cung AB có pt y=y(x), x1≤x≤x2 thì 2 1 2( , ) ( , ( )) 1 x x AB x f x y dl f x y x y dx TH2: Cung AB có pt x=x(t), y=y(t), t1≤t≤t2 thì 2 1 2 2( , ) ( ( ), ( )) t t t AB t f x y dl f x t y t x y dt TH3: Cung AB có pt r=r(φ), φ1≤φ≤ φ2 thì : 2 1 2 2( , ) ( ( )cos , ( )sin ) ( ) ( ) AB f x y dl f r r r r d §2: Tích phân đường loại 1 Nếu AB là cung trong không gian có pt tham số 1 2 ( ) ( ) ( ), x x t y y t z z t t t t Thì 2 1 2 2 2( , , ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) t AB t f x y z dl f x t y t z t x t y t z t dt §2: Tích phân đường loại 1 Ví dụ 1: Tính tích phân đường loại 1 trên biên của ΔABC với A(1,1), B(3,3), C(1,5) của hàm f(x,y)=x+y Biên của ΔABC gồm 3 đoạn AB: y=x, 1≤x ≤3, BC: y=6-x, 1≤x ≤3, CA: x=1, 1≤y≤5 5 C B 1 3 3 1 A I1=IAB+IBC+ICA Trên đoạn AB: thay y=x và 21 ( ) 2y x Ta được : 3 1 ( ) 2ABI x x dx 8 2 §2: Tích phân đường loại 1 Tương tự, ta cũng có 3 1 6 2 12 2BCI dx 5 1 (1 ) 16CAI y dy Vậy 1 ( ) 20 2 16 C I x y dl 5 C B 1 3 3 1 A §2: Tích phân đường loại 1 Cách 2: Viết pt tham số của 3 cạnh BC: x=3-2t, y=3+2t, 0≤t≤1; 1 1 0 (1 2 )2 4 4 6 4 4 (6 4 ) 0 16I t dt dt t dt        5 C B 1 3 3 1 A AB: x=1+2t =y, 0≤t≤1; CA: x=1, y=5-4t, 0≤t≤1 §2: Tích phân đường loại 1 Ví dụ 2: Tính 2 2 2 ( ) C I x y dl Với C là phần đường tròn x2+y2=4, x≥0, y≤0 2 -2 Tính tp I2 bằng 3 cách như sau Cách 1: Tính 24 ,0 2y x x Suy ra 2 2 2 1 ( ) 4 y x x Vậy: 2 2 2 2 2 0 2 ( (4 )) 4 I x x dx x 2 2 2 2sin 0 2 (8sin 4) x t I t dt =0 §2: Tích phân đường loại 1 Cách 2: Viết pt C trong tọa độ cực Suy ra: Vậy: 2 2 2 2 3 2 (4cos 4sin ).2I d 2 2( )cos 2cos , ( )sin 2sin , ( ) ( ) 2x r y r r r =0 32, 2 2 r Cách 3: Viết pt tham số của C bằng cách đặt x=2cost thì y=2sint Suy ra : 2 2( ) ( ) 2x t y t Và ta được tích phân như đã tính trong Cách 2 §2: Tích phân đường loại 1 Ví dụ 3: Tính Với C là giao tuyến của x2+y2+z2=4, x2+y2=1,z≥0 3 2 C I xzdl Đây là tp đường loại 1 trong không gian nên ta bắt buộc phải viết pt tham số của C Thay x2+y2=1 vào pt mặt cầu ta được 3z Nên ta đặt x=cost, để có y=sint Suy ra 2 2 2( ) ( ) ( ) 1x t y t z t Vậy : 2 3 0 2.cos . 3.1I t dt =0 §2: Tích phân đường loại 1 Ví dụ 4: Tính độ dài phần đường parabol y=x2 với 0≤x≤2 Ta có 2 21 ( ) 1 4y x x Vậy : 2 2 0 1 4C C L dl x dx 1 ln(4 17) 17 4 C L §2: Tích phân đường loại 1 Ứng dụng cơ học 1. Khối lượng cung: Giả sử dọc cung C, khối lượng riêng là f(x,y,z) , , C M f x y z dl 2. Moment tĩnh của cung phẳng đối với các trục: . , ; . ,x y C C y xM f x y dl M f x y dl Suy ra tọa độ trọng tâm G của cung phẳng , y x G G M M x y M M §2: Tích phân đường loại 1 Ứng dụng cơ học Giả sử dọc cung C, khối lượng riêng là f(x,y,z) 3. Moment tĩnh của cung trong không gian đối với các mặt phẳng tọa độ : . , , ; . , , ; . , ,xy y C C zx C zM f x y z dl M f x y z dl M f x yz x y z dl Suy ra tọa độ trọng tâm G của cung ; ; yx xyzx G G G M MM x y z M M M 4. Moment quán tính với các trục §2: Tích phân đường loại 1 Ứng dụng cơ học Giả sử dọc cung C, khối lượng riêng là f(x,y,z) 4. Moment quán tính với các trục 2 2 2 2 2 2 , , , , , , C C C x y z I f x y z dl I f x y z dl I f x y z d y z z x x y l Moment quán tính với đt Δ: 2 , , , , C I f x yr x z ly z d Khoảng cách từ M(x,y,z) đến đt là , , ,d M r x y z §2: Tích phân đường loại 1 Bài tập: I. Tính các tích phân sau: 2 2 1 3 2 2 2 ; : 2 , 1 1 ; : ,0 3 2 C C I x y dl C x y x x I x dl C y x x 2 2 2 2 2 3 4 ; : 1 0, 0C x y z I xyzdl C x y z y 2 3 4 3 ; : , , ,0 1 2C I x z dl C x t y t z t t §2: Tích phân đường loại 1 Bài tập: II. Tính độ dài : 1 2 2 : cos , sin , ,0 1 : ,0 2 t t tC x e t y e t z e t C y x x