Sử dụng dãy số dương delta để khắc phục hiện tượng Gibbs của hàm xấp xỉ Wavelets trong phân giải tín hiệu xử lý thông tin

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC 98 Tạp chí Nghiên cứu khoa học,Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4 (67).2019 Sử dụng dãy số dương delta để khắc phục hiện tượng Gibbs của hàm xấp xỉ Wavelets trong phân giải tín hiệu xử lý thông tin Using positive delta sequenses eliminates the Gibbs phenomenon of Wavelets approximations functions in multiresolution analysis information handling Nguyễn Kiều Hiên Email: nguyenkieuhien@gmail.com Trường Đại học Sao Đỏ Ngày nhận bài: 20/11/2019 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 26/12/2019 Ngày chấp nhận đĕng: 31/12/2019 Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại của hiện tượng Gibbs đối với hàm xấp xỉ Wavelets của hàm bước nhảy có điểm gián đoạn và chỉ ra hiện tượng Gibbs gần bước nhảy. Đồng thời khắc phục hiện tượng Gibbs ta sẽ sử dụng dãy số dương delta (xem [2]). Từ khóa: Phép biến đổi Wavelets; hiện tượng Gibbs; điểm gián đoạn; dãy số dương delta. Abstract: In this paper, we research the existence of Gibbs for a function Wavelets approximation of functions with a jump discontinuity and show the Gibbs phenomenon near the jump. At the same time overcoming the Gibbs phenomenon we will use positive delta sequences (see [2]). Keywords: Transformation Wavelets; Gibbs phenomenon; discontinuity point; positive delta sequences. Người phản biện: 1. PGS.TS. Khuất Vĕn Ninh 2. TS. Nguyễn Viết Tuân 1. GIỚI THIỆU Nĕm 1898, J. Willard Gibbs khi nghiên cứu về sự hội tụ của chuỗi Fourier của một hàm gián đoạn đã phát hiện ra hiện tượng Gibbs. Tuy nhiên, phải đến nĕm 1906 Maxime Bocher mới có lời giải chi tiết về mặt toán học. Sau đó nĕm 1975, Morlet đã phát triển phương pháp đa phân giải. Trong đó, Morlet đã sử dụng một xung dao động, được hiểu là một Wavelets (một sóng nhỏ) cho thay đổi kích thước và so sánh với tín hiệu ở từng đoạn riêng biệt. Kỹ thuật này bắt đầu với sóng nhỏ Wavelets chứa các dao động tần số khá thấp, sóng nhỏ này được so sánh với tín hiệu phân tích để có hình ảnh toàn cục của tín hiệu ở độ phân giải thô. Sau đó sóng nhỏ được nén lại để nâng cao dần tần số dao động. Quá trình này gọi là thay đổi tỉ lệ phân tích. Khi thực hiện tiếp bước so sánh, tín hiệu sẽ được nghiên cứu chi tiết ở độ phân giải cao hơn, giúp phát hiện các thành phần biến thiên nhanh còn ẩn bên trong tín hiệu. Phương pháp đa phân giải Wavelets đã khắc phục được hạn chế của phép biến đổi Fourier là chỉ cung cấp thông tin có tính toàn cục và chỉ thích hợp cho những tín hiệu tuần hoàn không chứa các đột biến hoặc các thay đổi không dự báo được. Trong bài báo này, chúng tôi xây dựng không gian các hàm giảm nhanh Schwartz và chỉ ra hiện tượng Gibbs gần bước nhảy. Đồng thời đưa ra cách khắc phục hiện tượng Gibbs bằng cách sử dụng dãy tựa dãy số dương delta. 2. SỰ TỒN TẠI HIỆN TƯỢNG GIBBS VỚI HÀM XẤP XỈ WAVELETS Định nghĩa 1 (xem [2]) Cho không gian Schwartz S !( ) , hoặc không gian các hàm giảm nhanh 𝐶𝐶!(ℝ) được định nghĩa bởi Định nghĩa 2 (xem [2]) Ta định nghĩa không gian các hàm giảm nhanh𝐶𝐶!(ℝ) trong 𝑆𝑆!(ℝ) bởi 𝑆𝑆(ℝ) = {𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶!: |𝑓𝑓"(𝑥𝑥)| ≤ 𝐶𝐶",$(1 + |𝑥𝑥|)%$} , .k l +" Î! NGÀNH TOÁN HỌC 99Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4 (67).2019 Định nghĩa hiện tượng Gibbs đối với hàm xấp xỉ Wavelets được xác định với hàm bước nhảy gián đoạn ở gốc tương tự như định nghĩa sau. Định nghĩa 3 (xem [3]) Cho ∈ 𝐿𝐿!(ℝ) khi đó hàm jj,k được cho bởi ( ) ( )2, ,2 2j jj k j kx x kj j= - thì hệ Wavelets { }, ,j k j kj Î! trực chuẩn trong không gian 𝐿𝐿!(ℝ) . Hơn nữa { }, ,j k j kj Î! là cơ sở trực giao của không gian𝐿𝐿!(ℝ). Khi đó hàm jj,k gọi là các Wavelets, và ∈ 𝐿𝐿!(ℝ) gọi là hàm sinh bởi các Wavelets. Định nghĩa 4 (xem [3]) Đa phân giải một Wavelet, tức là tồn tại một dãy { }j jV Î! không gian con đóng của không gian 𝐿𝐿!(ℝ) thỏa mãn điều kiện sau ) j j iii V Î! " trù mật trong 𝐿𝐿!(ℝ) , )iv Mỗi ( ) 0,j f x VÎ Î! khi và chỉ khi ( )2 j jf x VÎ , )v Mỗi ( ) 0,k f x VÎ Î! khi và chỉ khi ( ) 0f x k V- Î , )vi Nếu tồn tại hàm 0VjÎ là hàm gộp, hoặc hàm sinh bởi các Wavelets, thỏa mãn ( ){ }kx kj Î- ! là cơ sở trực giao của không gian 0V . Định nghĩa 5 (xem [2]) Giả sử hàm f (x) có bước nhảy gián đoạn tại x = 0 Hàm ( ) ( )0 0 .f f+ -¹ Ta nói rằng xấp xỉ Wavelets của hàm f (x) tồn tại hiện tượng Gibbs ở phía phải của x = 0 nếu dãy x j > 0. Tại x = 0 thỏa mãn ( ) ( )0lim 0j jj P f x f+ + ® > nếu ( ) ( )0 0 ,f f+ -> Hoặc ( ) ( )0lim 0j jj P f x f+ + ® < nếu ( ) ( )0 0f f+ -< . Tương tự ta nói rằng xấp xỉ Wavelets của hàm f (x) tồn tại hiện tượng Gibbs ở phía trái của x = 0 nếu dãy x j < 0. Tại x = 0 thỏa mãn ( ) ( )0lim 0j jj P f x f- - ® hoặc ( ) ( )0lim 0j jj P f x f+ + ® > nếu ( ) ( )0 0f f+ -< . Định nghĩa 6 (xem [2]) Ta gọi dãy ( ){ },m x yd trong không gian 𝐿𝐿!(ℝ) với tham số𝑥𝑥 ∈ ℝ là dãy số dương nếu thỏa mãn điều kiện sau: i) Nếu tồn tại C > 0 thỏa mãn ii) Nếu tồn tại C > 0 thỏa mãn ( ), 1x c mx c x y dyd + - ®ò khi hội tụ đều trên tập compact của iii) Cho mỗi g > 0 thỏa mãn ( ), 1mx y x y dyg d- > ®ò khi Định nghĩa 7 (xem [2]) Cho dãy ( ){ },m x yd được định nghĩa như Định nghĩa 6. Ta cho điều kiện với mọi x, y ∈! và ( ), 0m x y ³d thì ( ){ },m x yd gọi là dãy số dương delta. Định lý 1 (xem [1]) Cho hàm ϕ ∈S r !( ) và ( ) ( ) ( )0 , k K x y y k x kj j Î = - -å ! . Khi đó Chứng minh i) Vì ( ) ( ) ( )0 0 0, , 1, 1 .K x y K y x K x y= = + + Không mất tính tổng quát giả sử 1x y+ £ và x ≥ y. Nếu k ≥ 0 có Và Từ (1) và (2) ta có S r (!) ={ f ∈C r : f l x( ) ≤Cl ,k 1+ x( ) −k } 0 , , .l r k l +£ £ " Î!𝑓𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓𝑓 ∈ 𝐿𝐿!(ℝ) 1) , ,j ji V V j+Ì " Î! { }) 0 ,j j ii V Î = ! " ( ) ( )00 lim ,xf f x+ + ® = < ¥ ( ) ( )00 lim ,xf f x- - ® = < ¥ ! |𝛿𝛿!(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)|"#" 𝑑𝑑𝑦𝑦 < 𝐶𝐶,  ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ,𝑚𝑚 ∈ ℤ$. ,m®¥ℝ .m®¥ i) K 0 x, y( ) ≤ Cβ 1+ x − y( )β , β ∈!, ii) K 0 x, y( )dy = 1, ∀x ∈−∞ ∞∫ !. 2 2 2 2 2 2 x y x yx k k x y x yk x y x yk + -- = + - - +æ ö æ ö = - - -ç ÷ ç ÷è ø è ø - +³ - - 1 , (1)2 2 x y k-³ - - (1) 2 2 x y x yy k k+ -- = - - 2 2 x y x yk- +æ ö æ ö= - - - -ç ÷ ç ÷è ø è ø 2 2 x y x yk- +³ + - 1 1 . (2)2 2 2 2 x y x yk- -³ + - ³ - (2) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 . (3)4 x k y k x y x yk x y k x y + - + - ³ æ - ö -æ ö- + +ç ÷ç ÷è øè ø = - - + - + (3) NGHIÊN CỨU KHOA HỌC 100 Tạp chí Nghiên cứu khoa học,Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4 (67).2019 Tương tự nếu k < 0 ta được Giả sử rằng ϕ ∈S r !( ) khi đó tồn tại hằng số K và b > 1 sao cho (5) Từ (5) suy ra Và Do vậy Từ (3) và (4) ta có Từ (6) có ( )1 2 2 .t k t kb b+ - ³ - Vì vậy ( ) 1 1 .21 2 t kt k b b£ -+ - Cho cố định t ∈! , nên ta tìm N +ÎZ thỏa mãn 2t k k- ³ với k ≥ N. Khi đó 1 1 .2 kt k b b£- Dùng phép so sánh ta đạt được ( )0 0 0 1 1 21 2 1 , 1. k k k t kt k k b b b b > > > £ -+ - £ å å å Do vậy ( ) ( ) 0 , , 1.1 CK x y x y b b b£ > + - ii) Cho , , ,2n md m n += Î ÎZ Z là số nhị nguyên, và jÎZ thỏa mãn j ≥ n. Biết rằng Nên có ( ) ( )2,0 2 2 .j jj jx x Vj j- -- -= Î Do vậy h x( ) :=ϕ 2− j x( )∈V− j . Dẫn đến ( ) 0 0.jh x V V V-Î Þ Í Vì vậy suy ra ( ) 02 .j x d Vj - + Î Và ( ) ( )( )2 2 2 .j j jx d x mj j- - -+ = + Xác định hình chiếu lên V0 có Chọn hàm ( ) ( ) 02 .jg x x d Vj -= + Î Thu được ( ) ( ) ,g x P g x= ! Và Hơn nữa K 0 (x,y) khả tích và j(x) có điều kiện ràng buộc. Theo sự hội tụ của tích phân Lebesgue cho j →∞ có Bây giờ chỉ ra tồn tại số d là số nhị nguyên thỏa mãn j(d) ≠ 0. Giả sử j(d)=0 với d là số nhị nguyên. Và đồng thời cho a là số thực thỏa mãn j(a) ≠ 0. Theo định nghĩa cần tìm dãy { } 1n nd ¥= thỏa mãn , ,nd a n® ®¥ khi đó Do vậy K 0 x, y( )dy = 1, ∀x ∈−∞ ∞∫ !. Định lý 2 (xem [4]) Cho f là một số thực. Khi đó ( ) ( )00lim 2 2 , 1.jjj P f a K a u du ¥- ®¥ = -ò Bây giờ, ta đưa ra tiêu chuẩn cho sự tồn tại của hiện tượng Gibbs. Định lý 3 (xem [3]) Cho hàm f như sau Và cho ϕ ∈Sr !( ). Khi đó xuất hiện hiện tượng Gibbs của hàm f gần x=0 nếu tồn tại một số thực a > 0 thỏa mãn. ( )( ) ( )( ) 1 1 1 2 1 1 . (4)4 x k y k x y k x y + - + - ³ - + + - + (4) ( ) ( ) .1 Kx x£ + bj ( ) ( ) ,1 Kx k x k bj - £ + - ( ) ( ) .1 Ky k y k bj - £ + - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 1 1 k k K x y x k y k K K x k y k Î Î £ - - £ + - + - å å b b j j Z Z ( ) ( ) 2 0 1 1( 1 1kK x k y k>= + - + -å b b ( ) ( )0 1 1 ).1 1k x k y k<+ + - + -å b b ( ) ( ) ( ) 2 0 0 4, ( 1 2 1kK x y K x y k x y b b b > £ + - - - +å + 4β 1+ x − y + 2k( )β x − y +1( )βk<0 ∑ ) = 4β K 2 x − y +1( )β 2 1 1+ t − 2k( )βk>0 ∑ , t ∈!. { }, .j j k kV span j- - Î= Z ( ) ( ) (0 2 , 2 . j j g x x d K x y y d dy j j - ¥ - -¥ = + = ò ( ) ( )0 2 , 2 . j j g x x d K x y y d dy j j - ¥ - -¥ +ò ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , , . d K x y d dy d K x y dy j j j ¥ -¥ ¥ -¥ = = ò ò ( ) ( ) , ,nd a nj j® ®¥ ( ) 1 , 1 0 1 , 0 1 0, 1, 1. x x f x x x x x - - - £ <ìï = - î NGÀNH TOÁN HỌC 101Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4 (67).2019 Hoặc tồn tại một số thực 0a < thỏa mãn ( )00 , 0.K a u du ¥ <ò Chứng minh Cho 2 ,jjx a a R-= Î ,do đó Áp dụng định lý 2 có ( ) ( )lim lim .j j jj jP f x f x®¥ ®¥> Nếu ( )00 , 1, 0.K a u du a ¥ > " >ò Hoặc ( ) ( )lim lim ,j j jj jP f x f x®¥ ®¥< Nếu ( )00 , 0, 0.K a u du a ¥ < " <ò Định lý sau phát biểu làm thay đổi điều kiện của hàm ϕ ∈S r !( ). Nhận xét 1 Cho hàm ( )h x được định nghĩa như sau: ( ) 1, 0,1, 0. xh x x ³ì = í- <î Từ Định lý 2 có ( ) ( ) ( )0lim 2 2 , .jjj P f x K x y h y dy ¥- -¥®¥ = ò Giới hạn này còn gọi là hàm Gibbs. Chúng ta xác định hàm r(x) như sau: ( ) ( ) ( ) ( )0 , .r x h x K x y h y dy¥-¥= - ò Áp dụng kết quả Định lý 2 ta chỉ ra hàm Gibbs ( ) ( ) ( )0 00, 2 , 1.K x y h y dy K x y dy ¥ ¥ -¥ = -ò ò Vì vậy thay vào hàm r(x) được Nếu j(x) là hàm liên tục thì ( ) ( ) ( ) ( )0 ,r x h x K x y h y dy¥-¥= - ò liên tục. Tiếp theo chúng ta sử dụng hàm r(x) được phát biểu trong bổ đề sau. Bổ đề 1 (xem [4]) Giả sử j(x) là hàm liên tục trong không gian hàm suy rộng. Khi đó nếu tồn tại 0M > thỏa mãn r x( ) ≤ M 1+ x( ) β−1 x ∈!, Trong đó: r(x) được định nghĩa như (6). Hơn nữa nếu 32b > thì r x( )∈L2 !( ) là trực chuẩn trong 0.V Bổ đề 2 (xem [4]) Giả sử j(x) là hàm liên tục trong không gian hàm suy rộng, nó có thể phân biệt được với số nhị thức d với ( ) 0.dj¢ ¹ Cho g ∈L2 !( ) là trực chuẩn trong 0 ,V và xg x( )∈L 1 !( ). Thì ( ) 0.xg x dx¥-¥ =ò Nếu j(x) thỏa mãn điều kiện (7) thì ϕ ∈S r !( )và sử dụng kết quả Định lý 3. Nếu 0a > thỏa mãn r(x) < 0 thì ( )002 , 1 1.K a u du ¥ - >ò Với ( )00 , 1.K a u du ¥ >ò Định lý 3 chỉ ra rằng hiện tượng Gibbs xảy ra tại phía phải của điểm 0x = . Tương tự, nếu 0a 0 và ( )002 , 1 1.K a u du ¥ - < -ò Khi đó ( )00 , 0.K a u du ¥ <ò Vì vậy kết quả của Định lý 3 chỉ ra rằng hiện tượng Gibbs xảy ra tại phía trái của điểm 0x = . Định lý 4 (xem [4]) Giả sử j(x) là hàm liên tục trong không gian hàm suy rộng, với số nhị thức d thỏa mãn j'(d)≠0 và ϕ x( ) ≤ C 1+ x( ) β x ∈!,C > 0,β > 3. Khi đó hàm xấp xỉ Wavelets tương ứng chỉ ra hiện tượng Gibbs ở phía phải hoặc phía trái của điểm x = 0. Chứng minh Giả sử hàm j(x) thỏa mãn Bổ đề 1. Khi đó tồn tại M>0 thỏa mãn r x( ) ≤ M 1+ x( ) β−1 x ∈!. Trong đó: Hàm r(x) được định nghĩa như (6) Bên cạnh đó, vì b > 3 theo Bổ đề 2 thì r x( )∈L2 !( ) là trực chuẩn trong 0.V Bây giờ ta chỉ ra rằng xr x( )∈L1 !( ) thật vậy ( ) ( ) 1 3.1 xMxr x dx dxx b b-£ +ò ò! ! ( )00 , 1.K a u du ¥ >ò ( ) ( )lim lim 2 1, 0,jjj jf x f a a-®¥ ®¥= = > ( ) ( )lim lim 2 1, 0.jjj jf x f a a-®¥ ®¥= = - < ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 00 00 00 0 0 0 00 2 , 1 2 2 , 0, 1 2 , 1, 0. 2 2 , , 0, 2 , , 0. r x h x K x y dy K x y dy x K x y dy x K x y dy K x y dy x K x y dy x ¥ ¥ ¥ ¥ -¥ -¥ ¥ = - - ì - ³ï = íï- - + <î ì - - ³ï = íï- <î ò ò ò ò ò ò ( ) ( ) 0 0 00 2 , 0, 2 , 1, 0. (6) K x y dy x K x y dy x -¥ ¥ ì ³ï = íï- + <î ò ò (6) ϕ x( ) ≤ C 1+ x( ) β x ∈!,C > 0,β >1. ( (7) NGHIÊN CỨU KHOA HỌC 102 Tạp chí Nghiên cứu khoa học,Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4 (67).2019 Do đó ( ) 0. (8)xr x dx¥-¥ =ò Giả sử rằng r (x) ≥ 0 với x > 0 và r (x) ≤ 0 với x<0. Do vậy r (x) = 0 hầu như ở khắp nơi. Tuy nhiên trong nhận xét 1, r (x) - h (x) liên tục trong khi h (x) là hàm bước nhảy gián đoạn tại x = 0. Khi đó, nếu tồn tại x > 0 thỏa mãn r (x) < 0, hoặc x 0 3. KHẮC PHỤC HIỆN TƯỢNG GIBBS Để khắc phục hiện tượng Gibbs ta sử dụng phương pháp xây dựng dãy tựa dãy số dương delta chỉ ra rằng hàm xấp xỉ Wavelets dùng hạt nhân dãy số dương delta loại trừ hiện tượng Gibbs. Phương pháp này ưu việt ở chỗ nó không chỉ đem lại tính hội tụ, mà còn hội tụ đều tới chính hàm f. Định lý sau chỉ ra rằng dãy số dương delta hội tụ đều hầu khắp nơi loại bỏ được hiệu ứng Gibbs. Định lý 5 Giả sử ( ){ },m x yd là dãy số dương delta. Cho f là hàm liên tục từng mảnh với giá compact trên trục thực. Cho I = [a,b] là khoảng hữu hạn với 0 0. Thì ( ) ( ) ( ),m mm f x x y f y dy Me d e- £ = £ +ò ! [ ], ,x a b" Î + -µ µ Trong đó: inf ,x Im fÎ= Chứng minh Đầu tiên tính chất (i) và(ii) của Định nghĩa 6 là ( ), 1 . 9m x y dy x Id ® " Îò! Giả sử rằng ( )supp f x IÍ . Thì ta có Vì thế, kết hợp (9) ta có Giả sử rằng ( )supp .f x IË Cho ( ) ( ) ( ).I XIf x f x x= Do vậy Ta có Với [ ], ,x a bÎ + -µ µ ta có , .b x x aµ µ- ³ - ³ Do vậy, theo tính chất (ii) của dãy số dương delta (10) hội tụ đều tới 0 hầu khắp nơi trong I . Ta chọn N +ÎZ thỏa mãn (10) thì tồn tại e/2 sao cho Do vậy ta được Điều phải chứng minh. 4. KẾT LUẬN Bài viết trình bày sự tồn tại hiện tượng Gibbs đối với hàm xấp xỉ Wavelets và đưa ra điều kiện mở rộng xấp xỉ hàm Wavelets cho hàm bước nhảy gián đoạn, và chỉ ra hiện tượng Gibbs gần bước nhảy. Ngoài ra khắc phục hiện tượng Gibbs của hàm xấp xỉ Wavelets còn có phương pháp dùng nhân tốt Haar Wavelets. Tuy nhiên, do khuôn khổ bài báo, chúng tôi không đề cập ở đây. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Anders Vretblad (2003), Fourier analy- sis and its applications, SpingerVerlag, New York. [2] Elias M. Stein and Rami Shakarchi (2003), Fourier analysis an introduction, Princeton university Press, Princeton and Oxford. [3] H.T. Shim (1994), On Gibbs phenomenon in wavelet subspaces and summability, Ph.D.thesis, The University of Wisconsin- Milwaukee, Milwaukee. ( ) ( )g x r x=Giả sử hàm r (x) thỏa mãn Bổ đề 2 với (8) sup .x IM fÎ= (9) ( ) ( ) ( ) ( )inf , , ,m mt I f t x y dy x y f y dyd dÎ £ò ò! ! δ m x, y( )!∫ f y( )dy ≤ supt∈I f t( ) δm x, y( )!∫ dy. ( ) ( )inf , ,mt I f t x y dy mdÎ ®ò! sup , .mt I f t x y dy MdÎ ®ò! i f , ,mt I f t x y dy md ®ò! ( ) ( )s , .mt I f t x y dy MdÎ ®ò! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) , , , . m m I m I x y f y dy x y f y dy x y f y f y dy A B d d d = + - = + ò ò ò ! ! ! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , 10 m m I m m XI b m ma a m mb A x y f y dy x y f y dy x y f y dy x y f y y dy x y f y dy x y f y dy x y f y dy x y f y dy d d d d d d d d+¥-¥ = - = - = - = + ò ò ò ò ò ò ò ò ! ! ! ! ! (10) ( ), 1 .2m x y dy M- <ò! ed ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) , , 2 , 2 , 2 sup , 2 12 . m I m XI b ma b mat a b A B x y f y dy x y f y y dy x y f y dy f t x y dy M M M Î + £ = + = + £ + æ ö£ + +ç ÷è ø = + ò ò ò ò ! ! d e d e d e d ee e