Bài giảng Giải tích 2 - Chương IV: Chuỗi

CHƯƠNG IV: CHUỖI §1. CHUỖI SỐ 1.CHUỖI SỐ DƯƠNG 2.CHUỖI ĐAN DẤU 3.CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ §2. CHUỖI LŨY THỪA 1.CHUỖI LŨY THỪA 2.CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Định nghĩa: Cho dãy số {un}. Ta gọi tổng tất cả các số hạng của dãy (TỔNG VÔ HẠN) 1 n n u ¥ = å là chuỗi số Ta gọi: 1. un là số hạng tổng quát của chuỗi 2. Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số hạng đầu tiên : Sn=u1+u2++un 3. Tổng của chuỗi là giới hạn hữu hạn (nếu có) n n S lim S ® ¥ = < ¥ Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ. Ngược lại, tức là hoặc không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn ra vô tận thì ta nói chuỗi phân kỳ Vậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng 1 limn n nn u S S ¥ ® ¥= = =å §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi: 1 3 7 15 ... 2 4 8 16 + + + + 2 1 2 n n n u - Þ = 2 3 42 2 2 2 ... 1 1.2 1.2.3 1.2.3.4 + + + + 2 ! n nu n Þ = Ví dụ: Tính số hạng un của các chuỗi 1 2 4 1n n n ¥ = + - å Tính u5? 5 5 2 7 4.5 1 19 u + Þ = = - 1 (2 1)!! ( 1)!n n n ¥ = - + å Tính u6 6 (2.6 1)!! 11!! 1.3.5.7.9.11 99 (6 1)! 7! 1.2.3.4.5.6.7 48 u - Þ = = = = + §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ta bắt đầu từ việc tính tổng riêng thứ n của chuỗi 21 ... nnS q q q= + + + + , 1 1 , 1 1 n n q q q q ì =ïïï= í - ï ¹ï -ïî Rõ ràng khi q=1, Sn=n thì chuỗi là phân kỳ Khi |q|<1: 1 lim 1nn S S q® ¥ = = - qn→0 khi n→∞ nên Tức là chuỗi hội tụ và có tổng là S Dãy {Sn} không có giới hạn → chuỗi phân kỳKhi |q|>1: Ví dụ: Tính tổng của chuỗi cấp số nhân 0 n n q ¥ = å Vậy chuỗi cấp số nhân 0 n n q ¥ = å hội tụ khi và chỉ khi |q|<1 §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ví dụ: Tính tổng của chuỗi 0 1 1 3 5n nn ¥ = æ ö ÷ç - ÷ç ÷è ø å Áp dụng kết quả ví dụ trên, ta có 0 0 1 1 1 3 ( ) 13 23 1 3 n n n n ¥ ¥ = = = = = - å å 0 0 1 1 1 5 ( ) 15 45 1 5 n n n n ¥ ¥ = = - - = - = = - - å å Vậy: 0 1 1 3 5 1 2 4 43 5n nn ¥ = æ ö ÷ç - = - =÷ç ÷è ø å §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ví dụ: Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của 2 1 1 4 1n n ¥ = - å Tổng riêng: 1 2 ...n nS u u u= + + + Ta có: Tổng của chuỗi: 2 1 1 1 1 ( ) 2 2 1 2 14 1 nu n nn = = - - +- 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ... 1 3 3 5 5 7 2 1 2 1n S n n æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= - + - + - + + -÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷è ø è ø è ø è ø- + 1 2 1 2 1n S n = - + 2 1 1 1 lim 24 1 n nn S S n ¥ ® ¥= = = = - å §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 1 ln(1 ) n n ¥ = +å Tổng riêng: ( ) 1 1 1 ln(1 ) ln(1 ) ln n n n k k S k k k= = = + = + -å å (ln2 ln1) (ln3 ln2) ... (ln( 1) ln )nS n n= - + - + + + - ln( 1)nS n= + Ta có: lim lim ln( 1)n n n S S n ® ¥ ® ¥ = = + = ¥ Vậy chuỗi đã cho phân kỳ §1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ Điều kiện cần của sự hội tụ : 1 n n u ¥ = åChuỗi hội tụ thì un→0 Ta thường dùng điều kiện này để chứng minh chuỗi số phân kỳ bằng cách chứng minh Ví dụ: Các chuỗi sau phân kỳ theo đkccsht 1 , vì lim lim 1 0 1 1nn nn n n u n n ¥ ® ¥ ® ¥= = = ¹ + + å 1. lim 0 2. lim n n n n u u ® ¥ ® ¥ é ¹ ê ê $êë 1 , vì lim lim 1 0 ( 1) ( 1) nn nn nn n n u n n ¥ ® ¥ ® ¥= = = - ¹ - - - - å 1 ( 1) ( 1) , vì lim 1 0 n n nn n n n n ¥ ® ¥= - + - + = ¹å §1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ Tính chất 1: Tính hội tụ (phân kỳ) của chuỗi không thay đổi nếu ta bỏ đi một số hữu hạn các phần tử của chuỗi. Tức là 2 chuỗi sau cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ 1 và n n n n p u u ¥ ¥ = = å å Tính chất 2: Cho 2 chuỗi hội tụ 1 1 và n n n n u Q v P ¥ ¥ = = = =å å Các chuỗi sau hội tụ với tổng ( ) ( ) 1 1 , = Qn n n n n u v Q P ul l ¥ ¥ = = + = +å å Chú ý: Tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PK thì PK Khi đó, dãy tổng riêng {Sn} là dãy số không giảm nên chuỗi HT khi và chỉ khi dãy {Sn} bị chặn trên Chuỗi số 1 , 0n n n u u ¥ = ³å với tất cả các số hạng không âm thì gọi là chuỗi không âm §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương, chúng ta sẽ sử dụng 1 trong 4 tiêu chuẩn : 1.Tiêu chuẩn tích phân Maulaurint – Cauchy 2.Tiêu chuẩn so sánh 3.Tiêu chuẩn Cauchy 4.Tiêu chuẩn d’Alembert §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn tích phân Maclaurint – Cauchy: Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi Cho hàm f(x)≥0, liên tục và đơn điệu giảm trên [1,∞). Khi ấy, chuỗi 1 ( ) n f n ¥ = å HT khi và chỉ khi tp 1 ( )f x dx ¥ ò HT 1 1 n n a ¥ = å * Khi α<0: 1 limn n n u u na ® ¥ = Þ = + ¥ Chuỗi PK theo đkccsht * Khi α=0: 1 lim 1 0n n n u n u ® ¥ = " Þ = ¹ Chuỗi PK theo đkccsht * Khi α>0: Xét hàm 1 ( )f x xa = thỏa các điều kiện của tiêu chuẩn tích phân §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Vì tích phân 1 1 dx xa + ¥ ò hội tụ khi và chỉ khi α>1 nên Chuỗi 1 1 n n a ¥ = å Hội tụ khi α>1 và phân kỳ khi α≤1 Ví dụ: Khảo sát sự HT của chuỗi 2 1 (ln )n n n b ¥ = å Xét hàm 1 ( ) (ln ) f x x x a = trên [2,+∞), ta có f(x) không âm, hàm liên tục và khi x tăng thì lnx tăng nên f(x) giảm tức là hàm f(x) thỏa điều kiện của tiêu chuẩn tích phân §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Mặt khác 2 2 (ln ) (ln ) (ln ) dx d x x x xb b + ¥ + ¥ =ò ò 1 khi 1 1 khi >1 ( 1)(ln2)b b b b - ì + ¥ £ïïï= í ïï -ïî Vậy chuỗi 2 1 (ln )n n n b ¥ = å HT khi β>1 và PK khi β≤1 §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn so sánh 1: 1 1 và n n n n u v ¥ ¥ = = å åCho 2 chuỗi số không âm thỏa : n np u v n p$ ³ " ³ Khi ấy: Ghi nhớ: Chuỗi “lớn” HT kéo theo chuỗi “nhỏ” HT và ngược lại chuỗi “nhỏ” PK kéo theo chuỗi “lớn” PK 1 1 1. HT HTn n n n u v ¥ ¥ = = Þå å 1 1 2. PK PKn n n n v u ¥ ¥ = = Þå å §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 2 3 1 n n n ¥ = + å Ta so sánh 2 2 , 3 1 3 n n n nn n u v n= £ = " + Vì 1 1 1 2 2 2 , 3 33 nn n n n n n q q ¥ ¥ ¥ = = = æ ö ÷ç= = =÷ç ÷è ø å å å là chuỗi hội tụ Suy ra chuỗi đã cho hội tụ §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn so sánh 2: Khi ấy: 1 1 và n n n n u v ¥ ¥ = = å åCho 2 chuỗi số không âm thỏa lim n n n u K v® ¥ = 1. Nếu K=∞ thì 1 1 HT HTn n n n u v ¥ ¥ = = Þå å 2. Nếu 0<K<∞ thì 2 chuỗi cùng HT hoặc cùng PK 3. Nếu K=0 thì 1 1 HT HTn n n n v u ¥ ¥ = = Þå å §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Khi dùng tiêu chuẩn so sánh, thường xuyên ta sẽ so sánh với 1 trong 2 chuỗi cơ bản sau Chuỗi cấp số nhân: 0 1 , 1 1 n n q q q ¥ = = < - å 1 n n q ¥ = å Hội tụ khi |q|<1 Phân kỳ khi |q|≥1 Chuỗi điều hòa : 1 1 n n a ¥ = å Hội tụ khi α>1 Phân kỳ khi α≤1 §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2 3 1 2 2 1n n n n n ¥ = - + + + å Ta dùng T/c so sánh 2 bằng cách tính khi n→∞ Khi n→∞ thì 2 3 2 2 1 1 n n n n u v nn n - + = = + + : Tức là lim 1n n n u v® ¥ = Mà 1 1 1 n n n v n ¥ ¥ = = =å å là chuỗi phân kỳ (hai chuỗi cùng HT hoặc cùng PK) Vậy chuỗi đã cho phân kỳ §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2 1 1 1 n n n nn ¥ = æ ö+ ÷ç ÷ç ÷è ø å Khi n→∞ thì 2 2 1 1 1 . n n n n u e v nn n æ ö+ ÷ç= =÷ç ÷è ø : Mà chuỗi 2 1 1 1 .n n n v e n ¥ ¥ = = =å å hội tụ Theo tiêu chuẩn so sánh 2 ta được kết quả: Chuỗi đã cho HT §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 1 2 1 ln 1 1n n n n ¥ = æ ö+ ÷ç ÷ç ÷è ø- - å Ta có : 1 2 1 1 3 ln ln 2(1 1 1 1 2( 1)n n u n n n n æ öæ ö+ ÷÷ çç= = + ÷÷ çç ÷ ÷çè ø è ø- - - - 1 3 ln2 1 3 ln2 ln(1 ) ln(1 ) 1 2( 1) 1 1 2( 1)n u n n n n n æ ö ÷ç= + + = + +÷ç ÷çè ø- - - - - 2 1 3 1 3 3 : ln(1+ ) . 1 2( 1) 1 2( 1) 2( 1) n n n n n n ® ¥ = - - - - - : Do Nên theo t/c so sánh 2: chuỗi đã cho PK vì nó là tổng của 2 chuỗi 2 2 ln2 1 3 PK và ln(1 ) HT 1 2 2( 1)n nn n n ¥ ¥ = = + - - - å å §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 1 1 sin n n n a¥ = æ ö ÷ç - ÷ç ÷è ø å Khi n→∞ thì 1 0 n ® Nên ta có thể khai triển Maclaurint hàm 1 sin n Vậy khi n→∞ thì 1 1 sinnu n n aæ ö ÷ç= - ÷ç ÷è ø Mà chuỗi Nên chuỗi đã cho HT 3 3 1 1 1 1 1 ( ) 3! n O n n n aæ öæ ö÷÷ç ç= - - + ÷÷ç ç ÷÷ç è øè ø 2 1 6n : 2 1 1 6n n ¥ = å HT §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2 3 2 1 ln 1 n n n e n nn            Khi n →∞ : 2 2 1 0n n e e - = ® Suy ra 2 2 3 3 1 1 ln( ) ln(1 ) 1 1 n n n n e n n e u n nn n - -- + - = = + - - 2 3 3 3 1 1 1 ln(1 ) 1 n n n e n u n nn n n -- = + = - : Mà chuỗi 3 1 1 n n ¥ = å phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Xét chuỗi số dương: Tiêu chuẩn d’Alembert : Đặt : •  q < 1: Dn < q : chuỗi hội tụ • Dn  1 : chuỗi phân kỳ • D < 1 : hội tụ • D > 1 : phân kỳ • D = 1 : không có kết luận 1 n n u ¥ = å 1n n n u D u  1lim lim nn n n n u D D u      §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn Cauchy : Xét chuỗi số dương: 1 n n u ¥ = å •  q < 1: Cn < q : chuỗi hội tụ • Cn  1 : chuỗi phân kỳ Đặt : • C < 1 : hội tụ • C > 1 : phân kỳ • C = 1 : không có kết luận n n nC u lim lim nn n n n C C u     §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn Rapb : (sử dụng khi D = 1 và Dn < 1 hoặc C=1 và Cn<1) • R > 1 : hội tụ • R < 1 : phân kỳ • R = 1 : không có kết luận Hoặc 11 lim n n n n n u R n u R R            1 lim n n n n n R n u R R     Đặt §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau: 2 4 1 ( 1) 1 1 ln 1 (2 1)! 1/ 4 1 2 / (2 1)!! 3 / (2 )!!(2 1) 4 / , 0 n n n n n n n n n n n n n n a a ¥ = -¥ = ¥ = ¥ - = + æ ö- ÷ç ÷ç ÷è ø - + > å å å å §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm 2 4 1 (2 1)! 1/ 4n n n ¥ = + å 12 4 2 4 (2 1)! (2( 1) 1)! 4 4 ( 1) n n n n u u n n + + + + = Þ = + 2 4 1 2 4 (2 3)! 4 . (2 1)!4 ( 1) n n u n n u nn + +Þ = ++ 4 4 (2 2)(2 3) ( 1) n n n n = + + + 1lim n n n u u + ® ¥ Þ = ¥ Chuỗi PK theo tiêu chuẩn d’Alembert §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm ( 1) 1 1 2 / n n n n n -¥ = æ ö- ÷ç ÷ç ÷è ø å ( 1) ( 1) 1 1 n n n n n n n n u u n n - -æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç= Þ =÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 (1 ) 1 n n n n n n n n lim u lim lim n e n - ® ¥ ® ¥ ® ¥ - æ ö- ÷çÞ = = = <÷ç ÷è ø + - Vậy chuỗi HT theo tiêu chuẩn Cauchy 2 1 (2 1)!! 1 (2 1)(2 2)!! 2 3 (2 1)!! 1 (2 2).(2 3) (2 )!! 2 1 n n n n a nn n D na n n n n             1& lim 1n n n D D    không dùng tc D’A được   2(2 1) 1 1 (2 2)(2 3)n n n R n D n n n           1 (2 1)!! 1 ( 3 2 )!! 2 / 1n n n n      §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm 6 5 (2 2)(2 3) n n n n       2(2 1) 1 1 (2 2)(2 3)n n n R n D n n n           3 lim 1 2 n n R    chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Rapb §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm (Ta không dùng được tiêu chuẩn Cauchy, d’Alembert) Biến đổi ln ln ln lnn n a aa e n     Suy ra chuỗi đã cho là chuỗi điều hòa ln 1 1 a n n    §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm ln 1 4 / , 0n n aa     ln ln n n n n nC a a    0lim 1n n C a ® ¥ = =và 1ln( 1) ln 1 ln ln( 1) 1 ln n n n n n n a D a a a             và 0lim 1n n D a ® ¥ = = Chuỗi HT khi và chỉ khi lna>1 ↔ a>e §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Chuỗi số gọi là chuỗi đan dấu 1 2 3 1 ( 1) ... ( 1) ..., ,n nn n n n u u u u u u n n ¥ = - = - + - + + - + ³ "å Tiêu chuẩn Leibnitz : 1 0lim n n n n u u u - ® ¥ ì £ïïïí =ïïïî Nếu thì chuỗi 1 ( 1)n n n u ¥ = -å hội tụ Khi ấy, ta gọi chuỗi đó là chuỗi Leibnitz và tổng S của chuỗi thỏa 0≤S≤u1 §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1/Ta có : 1 nu n = đơn điệu giảm và dần về 0 Nên chuỗi đã cho là chuỗi Leibnitz 1 2 ( 1) 1/ ( 1) 2 / 1 nn n nn n n n n å = å = - - - 2/ 1n n u n = - đơn điệu giảm và dần về 0 Nên chuỗi đã cho là chuỗi Leibnitz §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 ( 1) ( 1) n n n n ¥ å = - + - Số hạng tổng quát của chuỗi ( 1) ( 1) n n n u n - = + - không thể viết được dưới dạng ( 1) , 0n n nv v- ³ Tức là chuỗi trên không là chuỗi đan dấu Ta có 2 ( 1) ( 1) ( ( 1) ) ( 1) 1 1 1( 1) ( 1) n n n n n n n n n u n nn n - - - - - = = = - - -+ - - - §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Vậy chuỗi đã cho là chuỗi PK vì là tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PK Chuỗi là chuỗi đan dấu hội tụ 1 ( 1) 1 n n n n ¥ å = - - Chuỗi là chuỗi số dương phân kỳ 2 1 1n n ¥ å = - §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 ( 1) ln n n n n ¥ å = - - Chuỗi đan dấu với 1 lnn u n n = - Để khảo sát sự đơn điệu của dãy un ta đặt 1 ( ) ln f x x x = - Tức là hàm f(x) cũng là dãy {un} đơn điệu giảm và dần về 0. Vậy chuỗi đã cho HT theo Leibnitz 2 1 ( ) 0, 1 ( ln ) x f x x x x x - ¢Þ = - - §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối: Nếu chuỗi 1 | |n n u ¥ å = hội tụ Khi đó: 1 1 | |n n n n u u ¥ ¥ å å = = £ Và ta gọi chuỗi 1 n n u ¥ å = là chuỗi hội tụ tuyệt đối Thì chuỗi hội tụ 1 n n u ¥ å = §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ không suy ra chuỗi 1 | |n n u ¥ å = hội tụ Chú ý 1: Điều ngược lại không đúng, tức là chuỗi 1 n n u ¥ å = Khi chuỗi 1 n n u ¥ å = HT và chuỗi 1 | |n n u ¥ å = PK thì ta gọi chuỗi 1 n n u ¥ å = là chuỗi bán hội tụ Chú ý 2: Nếu dùng tiêu chuẩn Cauchy hoặc d’Alembert mà biết được chuỗi cũng PK 1 | |n n u ¥ å = PK thì chuỗi 1 n n u ¥ å = §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau: 1/ Xét 1 1 tan sinnu n n = 3 2 1 1 1 , khi n n n n = ® ¥: Chuỗi 3 1 2 1 n n ¥ å = HT, suy ra chuỗi đã cho HTTĐ 1 2 1 1 1 1/ ( 1) tan sin sin 2 / 3 n n n n n n n ¥ å = ¥ å = - 2/ Xét 2sin 1 1 33 3 n n n n n u æ ö ÷ç= £ = ÷ç ÷è ø → chuỗi đã cho HTTĐ §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2 1 1 ( 1) 2 1 n n n n ¥ å = + - - Rõ ràng dãy {un} đơn điệu giảm và dần về 0 nên chuỗi HT theo t/c Leibnitz 1. Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu với 2 1 2 1 n n u n + = - 2. Mặt khác, coi đó là chuỗi có dấu bất kỳ thì 2 1 | | 2 1 n n u n + = - 1 , khi n 2n ® ¥: Tức là chuỗi 2 1 1 1 | | 2 1 n n n n u n ¥ ¥ å å = = + = - PK Vậy chuỗi đã cho chuỗi bán HT §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2 1 ( 1) 1 2 nn n n n n ¥ å = æ ö- + ÷ç ÷ç ÷è ø Ta có 2 lim lim 1 1 2 n nn n nn n n u n® ¥ ® ¥ æ ö+ ÷ç= ÷ç ÷è ø lim 1 1 1 1 2 2 n n e n® ¥ æ ö ÷ç= + = >÷ç ÷è ø Vậy chuỗi 1 n n u ¥ å = PK theo t/c Cauchy nên chuỗi đã cho cũng PK §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2 arcsin( 1) ( 1)( 1) n n n n n ¥ å = - + - Vì , 2 2arcsin( 1) , 2 1 2 n n k n k p p ìï =ïï- = í ï - = +ïïî Nên 3 2 1 khi n 22 ( 1)( 1) nu n n n n p p £ ® ¥ + - : Vậy chuỗi đã cho HTTĐ §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2 1 2 1 1 1 , u , 3 2 3 1n n nn u u n n ¥ å - = - = = + - Ta đi tính tổng riêng thứ 2n của chuỗi 2 1 2 2 1 2...n n nS u u u u-= + + + + 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 5 2 8 5 3 1 3 4 3 2 3 1n S n n n n æ ö æ ö æ ö æ ö- - - -÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= + + + + + + + +÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷è ø è ø è ø è ø- - + - 2 1 2 3 4 2 3 2 2 2 1 2( ) ( ) ... ( ) ( )n n n n nS u u u u u u u u- - -= + + + + + + + + 2 1 1 2 3 2n S n - = + + 1 2 n® ¥ - ¾ ¾ ¾¾® Và 2 1 2 2 1n n nS S u+ += + 1 2 n® ¥ - ¾ ¾ ¾¾® Chuỗi HTlim 1 2nn S S ® ¥ = = -Vậy tổng của chuỗi