Bài giảng Giải tích 2 - Chương mở đầu :Hàm nhiều biến những khái niệm cơ bản

HÀM NHIỀU BIẾN NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CHƯƠNG 0: NỘI DUNG 1.Dãy điểm trong Rn. 2.Tập đóng, tập mở, tập bị chận, tập compact. 3.Hàm nhiều biến. 4.Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến. DÃY ĐIỂM TRONG Rn 1 1 , lim (0,0),n n n x x n n         Dãy điểm trong Rn là tập hợp các điểm được gán chỉ số trong N, một dãy điểm tương ứng với n dãy số thực. {Xm} = {X1, X2, Xm, } Xm = (x1 m, x2 m, , xn m), m = 1, 2, Xm  X0 = (x1 0, x2 0, , xn 0)  Rn  xi m  xi 0, khi m  , i = 1, 2, , n 2lim ( , ) (0,1) nn n e n   CÁC DẠNG TẬP HỢP CƠ BẢN A  Rn là tập đóng  mọi dãy trong A có giới hạn thì giới hạn cũng nằm trong A. (A lấy tất cả các đường biên có thể có) A  Rn là tập mở  phần bù của A trong Rn là đóng (A không lấy bất kỳ phần nào của biên) 2 2 2x y R  A đóng 2 2 2x y R  A mở A đóng A đóng 2 2 2 2 1 2R x y R   A đóng A không đóng, không mở 2 2 2 2 1 2R x y R  (A có thể được bao bọc bởi một mặt cầu (hoặc đường tròn)) A là tập compact  A là tập đóng và bị chận A compact A không compact A = {(x,y)/ y 0} A không compact A là tập bị chận  tồn tại M >0 sao cho x A, ||x||  M 2 2 1 nx x x   HÀM NHIỀU BIẾN Hàm nhiều biến là một ánh xạ biến 1 tập con D của Rn thành một tập con của R. 1 1 : ( ,..., ) ( ,..., ) n n n f D R R x x x f x x     D gọi là miền xác định của f. VD: 1/ z = f(x,y) = ln(x2 + y2), D = R2 \ {(0,0)} 2/ z = f(x,y) = xy, D = {(x,y)/ x > 0} 3/ F(x,y,z) = xz+z2y + 2 = 0 (hàm ẩn z = z (x,y)) Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA HÀM 2 BIẾN D Hàm số z = f(x,y) biểu diễn một mặt cong trong không gian GIỚI HẠN HÀM 2 BIẾN 0 0 0 0 ( , ) ,( , ) ( , ) : lim ( , ) ( , ) lim ( , ) n n n n n n n n n n x y D x y x y x y x y f x y a         Cho f(x, y), (x,y) D. f hội tụ về a khi (x,y) (x0, y0) nếu: Cách viết giới hạn: 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) lim ( , ) x x x y x y y y f x y f x y a      Lưu ý: không lấy giới hạn theo x trước, y sau hoặc ngược lại. 0 0 01 / ( , ) , lim ( , ) , x x y y f x y x f x y x     Vì D = R2 và (xn, yn)  (x0, y0) 0 0 0( , ) , lim ( , ) , x x y y f x y y f x y y      f (xn, yn) = xn  x0,  (xn, yn)  xn  x0, yn  y0 Vậy Ví dụ 1 1 2 2 / lim , ln( ) ln 2x y x y x y     Lấy (xn, yn)  (1,1) 2 ( , ) ln( ) ln 2 n n n n n n x y f x y x y     Ví dụ • Các phép toán và tính chất của giới hạn hàm 1 biến vẫn còn đúng cho hàm nhiều biến(tổng, hiệu, tích , thương, giới hạn kẹp,) • Thay tương đương VCB, VCL, khai triển Taylor, qtắc L’Hospitale chỉ áp dụng nếu chuyển được sang hàm 1 biến. • Để ý dạng vô định khi tính giới hạn. Một số lưu ý trong tính giới hạn 1 1 2 2 3 / lim 1x y xy x y x      0 0       1 1 1 1 ( 1) 2( 1) lim lim( 2) 1 1x x y y y x x y x             ( , ) (0,0) 1 1 4 / lim ln(1 )x y xy xy    0 0 1 1 12lim lim ln(1 ) 2u u u u u u        2 2 5 / ( , ) xy f x y x y   Không có ghạn khi (x,y) (0, 0) Chọn 2 dãy điểm: 1 1 1 (0, ) (0,0), ( , ) (0,0)n nX Y n n n     nhưng 1 lim ( ) 0 lim ( ) 2n nn n f X f Y      22 2 0 0 6 / ( , ) 0 x y x y f x y x y     22 2 2 2 2 0 | ( , ) | x yx y f x y x y x y      vì nên 0 0 lim ( , ) 0 x y f x y    2 2 2 2 ( )x y y x y    0 0 0 x y y     HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẤT f(x, y) liên tục tại (x0, y0)  D nếu: 0 0 0 0lim ( , ) ( , ) x x y y f x y f x y    • Các hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định, • f liên tục trên tập A đóng và bị chận thì f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên A. Những tính chất quan trong của hàm số liên tục Lưu ý: mọi phát biểu trên không gian n chiều cũng tương tự trên không gian 2 chiều.