Bài giảng Giải tích 2 - Chương: Nhận dạng mặt bậc 2

NHẬN DẠNG MẶT BẬC 2 Nhận dạng mặt bậc 2 Phương trình tổng quát của mặt bậc 2: Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + ax + by + cz + d = 0 trong đó ít nhất 1 số hạng bậc 2 phải khác 0. Phương trình chính tắc của mặt bậc 2 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c    2 2 2 2x y z R   2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c     2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c    Elippsoid Mặt cầu Hyperboloid 1 tầng. Hyperboloid 2 tầng. 2 2 2 2 2 2 0 x y z a b c    Nón 2 2 2 2 2 x y z a b   (Dạng thường gặp của nón) 2 2 2 2 x y cz d a b    2 2 2 2 x y cz d a b    Paraboloid elipptic Paraboloid hyperbolic 2 2y px 2 2 2 2 1 x y a b   2 2 2 2 1 x y a b   Trụ elipptic Trụ hyperbolic Trụ parabolic Hình ảnh các mặt cơ bản 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c    x z y Elippsoid Mặt cầu x y z 2 2 2 2x y z R   Hyperboloid 2 2 2 2 b y a x z  2 2 2 2 b y a x z  2 2 2 2 b y a x z  Hai tầng 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c     Một tầng 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c    z z Nón x z y 2 2 2 2 2 2 z x y c a b   Vẽ nón Vẽ nón Paraboloid elipptic 2 2 2 2 x y z a b   2 22z x y   Vẽ paraboloid elliptic 2 2 2 2 x y z a b   Vẽ paraboloid elliptic 2 2 2 2 x y z a b   Parapoloid hyperbolic 2 2 2 2 x y z a b   Trụ elliptic z x y 1 2 2 2 2  b y a x Cách vẽ các mặt trụ: 1.Vẽ đường chuẩn ( là đường cong bậc 2 trong phương trình mặt) 2.Cho đường bậc 2 di chuyển dọc theo trục không chứa biến xuất hiện trong phương trình mặt Vẽ trụ 2 2 2 2 1 x y a b   Vẽ trụ 2 2 2 2 1 x y a b   Trụ hyperbolic z x y 2 2 2 2 1 x y a b   Trụ parabolic pxy 22  2 2y px x y z 2 2y pz y z x • Đưa dạng toàn phương trong phương trình tổng quát về chính tắc. • Khử các số hạng bậc nhất (nếu có số hạng bậc 2 đi chung) để đưa pt về dạng chính tắc và nhận dạng. Trong chương trình chỉ vẽ những mặt chính tắc. Cách phân loại mặt bậc 2: Ví dụ 2 2 21/ 4 4 8 10 4 4 16 16 8 72 0 x y z xy xz yz x y z           Tìm pt chính tắc và phân loại các mặt bậc 2: Đưa dạng toàn phương (các số hạng bậc 2) về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao: (1) 2 2 2( , , ) 4 4 8 10 4 4Q x y z x y z xy xz yz      2 2 2( , , ) 4 4 8 10 4 4Q x y z x y z xy xz yz      Phép biến đổi 1 2 1 3 2 2 3 1 2 1 3 2 2 3 0 4 3 2 1 3 x x y y z z                            2 29 9x y   2 2 , 3 32 3 2 2 3 2 4 33 2 x y z x y z x y y z z                    Phương trình (1) viết lại 2 29 9x y  2 2 1 8 8 3 x y z       Paraboloid hyperbolic 2 2 24 4 8 10 4 4 16 16 8 72 0x y z xy xz yz x y z          2 , 32 3 2 2 32 3 2 4 33 2 x y z x x y z y y z z                    -16 -16 -8 24 72z  0 2 2 1 8 8 3 x y z      2 2 22 / 6 5 7 4 4 4 4 16 8 0 x y z xy xz x y z          Đưa dạng toàn phương về chính tắc 2 2 2 2 2 26 5 7 4 4 3 6 9x y z xy xz x y z         2 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 x x y y z z                          Phép biến đổi: (2) Phương trình (2) viết lại 2 2 23 6 9 12 12 8 0x y z y z          2 2 23 6 9 18x y z      Elippsoid 2 2 2 1 6 3 2 x y z       22 23 6( 1) 9( 2 3) 18 0x y z         3 / z xy Dùng phép biến đổi Lagrange , ,x x y y x y z z         2 2z x y    Parapoloid hyperbolic Các mặt phẳng song song các mặt tọa độ y = a z = ax = a x x x y y y z z z Một số mặt phẳng z x x + z = 1 x z y x + y = 1 Một số mặt phẳng z y = x 1 x y z a b c    Nhận dạng các mặt cong sau 2 2 0x xy z   2 24z x xy y   2 0xy yz x y    2 2 22 2 9x xy y z    2 2 22 2 5 2 2 4 4 2 0x y z xy x y z       