§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Ngoài việc áp dụng khai triển các hàm cơ bản thành
chuỗi Maclaurint vào việc tìm chuỗi Taylor , chuỗi
Maclaurint các hàm bình thường. Ta còn có thể áp
dụng để tính tổng các chuỗi lũy thừa, chuỗi số
Ví dụ: Tính tổng của chuỗi lũy thừa
78 trang |
Chia sẻ: thanhle95 | Lượt xem: 444 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương IV: Chuỗi - Nguyễn Thị Xuân Anh, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CHƯƠNG IV: CHUỖI
§1. CHUỖI SỐ
1.CHUỖI SỐ DƯƠNG
2.CHUỖI ĐAN DẤU
3.CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ
§2. CHUỖI LŨY THỪA
1.CHUỖI LŨY THỪA
2.CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Định nghĩa: Cho dãy số {un}. Ta gọi tổng tất cả các
số hạng của dãy (TỔNG VÔ HẠN)
1
n
n
u là chuỗi số
Ta gọi: 1. un là số hạng tổng quát của chuỗi
2. Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số
hạng đầu tiên : Sn=u1+u2++un
3. Tổng của chuỗi là giới hạn hữu hạn (nếu có)
n
n
S lim S
Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ. Ngược lại, tức là hoặc
không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn ra vô tận thì ta
nói chuỗi phân kỳ
Vậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng
1
limn n
nn
u S S
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi:
1 3 7 15
...
2 4 8 16
2 1
2
n
n n
u
2 3 42 2 2 2
...
1 1.2 1.2.3 1.2.3.4
2
!
n
nu
n
Ví dụ: Tính số hạng un của các chuỗi
1
2
4 1n
n
n
Tính u5? 5
5 2 7
4.5 1 19
u
1
(2 1)!!
( 1)!n
n
n
Tính u6
6
(2.6 1)!! 11!! 1.3.5.7.9.11 99
(6 1)! 7! 1.2.3.4.5.6.7 48
u
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Ta bắt đầu từ việc tính tổng riêng thứ n của chuỗi
21 ... nnS q q q
, 1
1
, 1
1
n
n q
q
q
q
Rõ ràng khi q=1, Sn=n thì chuỗi là phân kỳ
Khi |q|<1:
1
lim
1
n
n
S S
q
qn→0 khi n→∞ nên
Tức là chuỗi hội tụ và có tổng là S
Dãy {Sn} không có giới hạn → chuỗi phân kỳ Khi |q|>1:
Ví dụ: Tính tổng của chuỗi cấp số nhân
0
n
n
q
Vậy chuỗi cấp số nhân
0
n
n
q hội tụ khi và chỉ khi |q|<1
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Ví dụ: Tính tổng của chuỗi
0
1 1
3 5n nn
Áp dụng kết quả ví dụ trên, ta có
0 0
1 1 1 3
( )
13 23 1
3
n
n
n n
0 0
1 1 1 5
( )
15 45 1
5
n
n
n n
Vậy:
0
1 1 3 5 1
2 4 43 5n nn
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Ví dụ: Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của 2
1
1
4 1n n
Tổng riêng: 1 2 ...n nS u u u
Ta có:
Tổng của chuỗi:
2
1 1 1 1
( )
2 2 1 2 14 1
nu
n nn
1 1 1 1 1 1 1 1
2 ...
1 3 3 5 5 7 2 1 2 1
nS
n n
1
2 1
2 1
nS
n
2
1
1 1
lim
24 1
n
nn
S S
n
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
1
1
ln(1 )
n n
Tổng riêng:
1 1
1
ln(1 ) ln(1 ) ln
n n
n
k k
S k k
k
(ln2 ln1) (ln3 ln2) ... (ln( 1) ln )nS n n
ln( 1)nS n
Ta có: lim lim ln( 1)n
n n
S S n
Vậy chuỗi đã cho phân kỳ
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ
Điều kiện cần của sự hội tụ :
1
n
n
uChuỗi hội tụ thì un→0
Ta thường dùng điều kiện này để chứng minh chuỗi
số phân kỳ bằng cách chứng minh
Ví dụ: Các chuỗi sau phân kỳ theo đkccsht
1
, v? lim lim 1 0
1 1
n
n nn
n n
u
n n
1. lim 0
2. lim
n
n
n
n
u
u
1
, v? lim lim 1 0
( 1) ( 1)
nn nn nn
n n
u
n n
1
( 1) ( 1)
, v? lim 1 0
n n
nn
n n
n n
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ
Tính chất 1: Tính hội tụ (phân kỳ) của chuỗi không thay
đổi nếu ta bỏ đi một số hữu hạn các phần tử của chuỗi.
Tức là 2 chuỗi sau cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ
1
v?n n
n n p
u u
Tính chất 2: Cho 2 chuỗi hội tụ
1 1
v?n n
n n
u Q v P
Các chuỗi sau hội tụ với tổng
1 1
, = Qn n n
n n
u v Q P u
Chú ý: Tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PK thì PK
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Khi đó, dãy tổng riêng {Sn} là dãy số không giảm nên
chuỗi HT khi và chỉ khi dãy {Sn} bị chặn trên
Chuỗi số
1
, 0n n
n
u u với tất cả các số hạng
không âm thì gọi là chuỗi không âm
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương, chúng
ta sẽ sử dụng 1 trong 4 tiêu chuẩn :
1.Tiêu chuẩn tích phân Maulaurint – Cauchy
2.Tiêu chuẩn so sánh
3.Tiêu chuẩn Cauchy
4.Tiêu chuẩn d’Alembert
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Tiêu chuẩn tích phân Maclaurint – Cauchy:
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
Cho hàm f(x)≥0, liên tục và đơn điệu giảm trên [1,∞).
Khi ấy, chuỗi
1
( )
n
f n HT khi và chỉ khi tp
1
( )f x dx HT
1
1
n n
* Khi α<0:
1
limn n
n
u u
n
Chuỗi PK theo đkccsht
* Khi α=0: 1 lim 1 0n n
n
u n u
Chuỗi PK theo đkccsht
* Khi α>0: Xét hàm
1
( )f x
x
thỏa các điều kiện của
tiêu chuẩn tích phân CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Vì tích phân
1
1
dx
x
hội tụ khi và chỉ khi α>1 nên
Chuỗi
1
1
n n
Hội tụ khi α>1 và phân kỳ khi α≤1
Ví dụ: Khảo sát sự HT của chuỗi
2
1
(ln )n n n
Xét hàm
1
( )
(ln )
f x
x x
trên [2,+∞), ta có
f(x) không âm, hàm liên tục và khi x tăng thì lnx tăng
nên f(x) giảm tức là hàm f(x) thỏa điều kiện của tiêu
chuẩn tích phân
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Mặt khác
2 2
(ln )
(ln ) (ln )
dx d x
x x x 1
khi 1
1
khi >1
( 1)(ln2)
Vậy chuỗi
2
1
(ln )n n n
HT khi β>1 và PK khi β≤1
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Tiêu chuẩn so sánh 1:
1 1
v?n n
n n
u vCho 2 chuỗi số không âm thỏa
: n np u v n p
Khi ấy:
Ghi nhớ: Chuỗi “lớn” HT kéo theo chuỗi “nhỏ” HT và
ngược lại chuỗi “nhỏ” PK kéo theo chuỗi “lớn” PK
1 1
1. HT HTn n
n n
u v
1 1
2. PK PKn n
n n
v u
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
1
2
3 1
n
n
n
Ta so sánh
2 2
,
3 1 3
n n
n nn n
u v n
Vì
1 1 1
2 2 2
,
3 33
nn
n
n
n n n
q q là chuỗi hội tụ
Suy ra chuỗi đã cho hội tụ
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Tiêu chuẩn so sánh 2:
Khi ấy:
1 1
v?n n
n n
u vCho 2 chuỗi số không âm thỏa
lim n
n
n
u
K
v
1. Nếu K=∞ thì
1 1
HT HTn n
n n
u v
2. Nếu 0<K<∞ thì 2 chuỗi cùng HT hoặc cùng PK
3. Nếu K=0 thì
1 1
HT HTn n
n n
v u
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Khi dùng tiêu chuẩn so sánh, thường xuyên ta sẽ so
sánh với 1 trong 2 chuỗi cơ bản sau
Chuỗi cấp số nhân:
0
1
, 1
1
n
n
q q
q1
n
n
q
Hội tụ khi |q|<1
Phân kỳ khi |q|≥1
Chuỗi điều hòa :
1
1
n n
Hội tụ khi α>1
Phân kỳ khi α≤1
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2
3
1
2 2
1n
n n
n n
Ta dùng T/c so sánh 2 bằng cách tính khi n→∞
Khi n→∞ thì
2
3
2 2 1
1
n n
n n
u v
nn n
Tức là lim 1n
n
n
u
v
Mà
1 1
1
n
n n
v
n
là chuỗi phân kỳ
(hai chuỗi cùng HT hoặc cùng PK)
Vậy chuỗi đã cho phân kỳ
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2
1
1 1
n
n
n
nn
Khi n→∞ thì
2 2
1 1 1
.
n
n n
n
u e v
nn n
Mà chuỗi
2
1 1
1
.n
n n
v e
n
hội tụ
Theo tiêu chuẩn so sánh 2 ta được kết quả: Chuỗi
đã cho HT
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
1
1 2 1
ln
1 1n
n
n n
Ta có : 1 2 1 1 3
ln ln 2(1
1 1 1 2( 1)
n
n
u
n n n n
1 3 ln2 1 3
ln2 ln(1 ) ln(1 )
1 2( 1) 1 1 2( 1)
nu
n n n n n
2
1 3 1 3 3
: ln(1+ ) .
1 2( 1) 1 2( 1) 2( 1)
n
n n n n n
Do
Nên theo t/c so sánh 2: chuỗi đã cho PK vì nó là tổng
của 2 chuỗi
2 2
ln2 1 3
PK v? ln(1 ) HT
1 2 2( 1)n nn n n
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
1
1
1 sin
n
n
n
Khi n→∞ thì
1
0
n
Nên ta có thể khai triển Maclaurint hàm
1
sin
n
Vậy khi n→∞ thì
1
1 sinnu n
n
Mà chuỗi Nên chuỗi đã cho HT
3 3
1 1 1 1
1 ( )
3!
n O
n n n 2
1
6n
2
1
1
6n n
HT
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2
3
2
1
ln
1
n
n
n e n
nn
Khi n →∞ :
2
2
1
0n
n
e
e
Suy ra
2 2
3 3
1 1
ln( ) ln(1 )
1 1
n n
n
n e n n e
u
n nn n
2
3 3 3
1 1 1
ln(1 )
1
n
n
n e n
u
n nn n n
Mà chuỗi
3
1
1
n n
phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Xét chuỗi số dương:
Tiêu chuẩn d’Alembert :
Đặt : • q < 1: Dn < q : chuỗi hội tụ
• Dn 1 : chuỗi phân kỳ
• D < 1 : hội tụ
• D > 1 : phân kỳ
• D = 1 : không có kết luận
1
n
n
u
1n
n
n
u
D
u
1lim lim nn
n n n
u
D D
u
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Tiêu chuẩn Cauchy :
Xét chuỗi số dương:
1
n
n
u
• q < 1: Cn < q : chuỗi hội tụ
• Cn 1 : chuỗi phân kỳ
Đặt :
• C < 1 : hội tụ
• C > 1 : phân kỳ
• C = 1 : không có kết luận
n
n nC u
lim lim nn n
n n
C C u
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Tiêu chuẩn Rapb :
(sử dụng khi D = 1 và Dn < 1 hoặc C=1 và Cn<1)
• R > 1 : hội tụ
• R < 1 : phân kỳ
• R = 1 : không có kết luận
Hoặc
11
lim
n
n
n
n
n
u
R n
u
R R
1
lim
n
n n
n
n
R n u
R R
Đặt
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
2 4
1
( 1)
1
1
ln
1
(2 1)!
1/
4
1
2 /
(2 1)!!
3 /
(2 )!!(2 1)
4 / , 0
n
n n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
a a
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
2 4
1
(2 1)!
1/
4n
n
n
12 4 2 4
(2 1)! (2( 1) 1)!
4 4 ( 1)
n n
n n
u u
n n
2 4
1
2 4
(2 3)! 4
.
(2 1)!4 ( 1)
n
n
u n n
u nn
4
4
(2 2)(2 3)
( 1)
n
n n
n
1lim n
n n
u
u
Chuỗi PK theo tiêu chuẩn d’Alembert
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
( 1)
1
1
2 /
n n
n
n
n
( 1) ( 1)
1 1
n n n
n
n n
n n
u u
n n
( 1)
( 1)
1 1 1
1
1
(1 )
1
n
n
n
n n n n
n
lim u lim lim
n e
n
Vậy chuỗi HT theo tiêu chuẩn Cauchy
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
2
1
(2 1)!! 1
(2 1)(2 2)!! 2 3
(2 1)!! 1 (2 2).(2 3)
(2 )!! 2 1
n
n
n
n
a nn n
D
na n n
n n
1& lim 1n n
n
D D
không dùng tc D’A được
2(2 1)
1 1
(2 2)(2 3)
n n
n
R n D n
n n
1
(2 1)!! 1
(
3
2 )!! 2
/
1n
n
n n
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
6 5
(2 2)(2 3)
n
n
n n
2(2 1)
1 1
(2 2)(2 3)
n n
n
R n D n
n n
3
lim 1
2
n
n
R
chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Rapb
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
(Ta không dùng được tiêu chuẩn Cauchy, d’Alembert)
Biến đổi
ln ln ln lnn n a aa e n
Suy ra chuỗi đã cho là chuỗi điều hòa ln
1
1
a
n n
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
ln
1
4 / , 0n
n
aa
ln
ln
n
n n n
nC a a
0lim 1n
n
C avà
1ln( 1) ln 1
ln ln( 1) 1
ln
n
n n n
n n
a
D a a
a
và 0lim 1n
n
D a
Chuỗi HT khi và chỉ khi lna>1 ↔ a>e
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu
Chuỗi số
gọi là chuỗi đan dấu
1 2 3
1
( 1) ... ( 1) ..., ,n nn n n
n
u u u u u u n n
Tiêu chuẩn Leibnitz :
1
0lim
n n
n
n
u u
u
Nếu thì chuỗi
1
( 1)n n
n
u hội tụ
Khi ấy, ta gọi chuỗi đó là chuỗi Leibnitz và tổng S
của chuỗi thỏa 0≤S≤u1
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
1/Ta có :
1
nu
n
đơn điệu giảm và dần về 0
Nên chuỗi đã cho là chuỗi Leibnitz
1
2
( 1)
1/
( 1)
2 /
1
nn
n
nn
n
n
n
n
2/
1
n
n
u
n
đơn điệu giảm và dần về 0
Nên chuỗi đã cho là chuỗi Leibnitz
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
1
( 1)
( 1)
n
n
n n
Số hạng tổng quát của chuỗi
( 1)
( 1)
n
n n
u
n
không thể viết được dưới dạng ( 1) , 0
n
n nv v
Tức là chuỗi trên không là chuỗi đan dấu
Ta có
2
( 1) ( 1) ( ( 1) ) ( 1) 1
1 1( 1) ( 1)
n n n n
n n n
n n
u
n nn n
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu
Vậy chuỗi đã cho là chuỗi PK vì là tổng của 1 chuỗi
HT và 1 chuỗi PK
Chuỗi là chuỗi đan dấu hội tụ
1
( 1)
1
n
n
n
n
Chuỗi là chuỗi số dương phân kỳ
2
1
1n n
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
1
( 1)
ln
n
n n n
Chuỗi đan dấu với
1
ln
nu
n n
Để khảo sát sự đơn điệu của dãy un ta đặt
1
( )
ln
f x
x x
Tức là hàm f(x) cũng là dãy {un} đơn điệu giảm và
dần về 0.
Vậy chuỗi đã cho HT theo Leibnitz
2
1
( ) 0, 1
( ln )
x
f x x
x x x
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ
Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối:
Nếu chuỗi
1
| |n
n
u hội tụ
Khi đó:
1 1
| |n n
n n
u u
Và ta gọi chuỗi
1
n
n
u là chuỗi hội tụ tuyệt đối
Thì chuỗi hội tụ
1
n
n
u
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ
không suy ra chuỗi
1
| |n
n
u hội tụ
Chú ý 1: Điều ngược lại không đúng, tức là chuỗi
1
n
n
u
Khi chuỗi
1
n
n
u HT và chuỗi
1
| |n
n
u PK thì ta
gọi chuỗi
1
n
n
u là chuỗi bán hội tụ
Chú ý 2: Nếu dùng tiêu chuẩn Cauchy hoặc d’Alembert
mà biết được chuỗi
cũng PK
1
| |n
n
u PK thì chuỗi
1
n
n
u
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
1/ Xét
1 1
tan sinnu
n n 32
1 1 1
, khi n
n n
n
Chuỗi 3
1 2
1
n n
HT, suy ra chuỗi đã cho HTTĐ
1
2
1
1 1
1/ ( 1) tan sin
sin
2 /
3
n
n
n
n
n n
n
2/ Xét
2sin 1 1
33 3
n
n n n
n
u → chuỗi đã cho HTTĐ
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2
1
1
( 1)
2 1
n
n
n
n
Rõ ràng dãy {un} đơn điệu giảm và dần về 0 nên
chuỗi HT theo t/c Leibnitz
1. Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu với
2
1
2 1
n
n
u
n
2. Mặt khác, coi đó là chuỗi có dấu bất kỳ thì
2
1
| |
2 1
n
n
u
n
1
, khi n
2n
Tức là chuỗi 2
1 1
1
| |
2 1
n
n n
n
u
n
PK
Vậy chuỗi đã cho chuỗi bán HT
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2
1
( 1) 1
2
nn
n
n
n
n
Ta có
2
lim lim
1 1
2
n
nn
n n
n n
n
u
n
lim
1 1
1 1
2 2
n
n
e
n
Vậy chuỗi
1
n
n
u PK theo t/c Cauchy nên
chuỗi đã cho cũng PK
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2
arcsin( 1)
( 1)( 1)
n
n n n n
Vì , 2
2
arcsin( 1)
, 2 1
2
n
n k
n k
Nên
3
2
1
khi n
22 ( 1)( 1)
nu
n n n
n
Vậy chuỗi đã cho HTTĐ
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2 1 2
1
1 1
, u ,
3 2 3 1
n n n
n
u u
n n
Ta đi tính tổng riêng thứ 2n của chuỗi
2 1 2 2 1 2...n n nS u u u u
2
1 1 1 1 1 1 1 1
...
5 2 8 5 3 1 3 4 3 2 3 1
nS
n n n n
2 1 2 3 4 2 3 2 2 2 1 2( ) ( ) ... ( ) ( )n n n n nS u u u u u u u u
2
1 1
2 3 2
nS
n
1
2
n Và
2 1 2 2 1n n nS S u
1
2
n
Chuỗi HT lim
1
2
n
n
S SVậy tổng của chuỗi
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0)
n (1) hoặc
un(x)=anx
n (2) phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàm
lũy thừa theo x hoặc (x-x0).
0
0 0
( ) hay n nn n
n n
a x x a x a0, a1, a2, .. là hằng số
Ta có thể đặt X=x-x0 và đưa dạng (1) về thành dạng
(2) nên ta chỉ viết các kết quả sau đây với số hạng
tổng quát dạng (2)
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ
Miền HT của chuỗi lũy thừa
1
n
n
n
a x là tập D nếu
0x x D chuỗi số 0
1
n
n
n
a x HT
Ví dụ: Chuỗi
0
n
n
x
Là chuỗi cấp số nhân nên HT khi và chỉ khi |x|<1
Suy ra MHT của chuỗi là (-1,1)
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Ví dụ: Tìm MHT của chuỗi 2
1
1
1 nn x
§2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ
2
1
( )
1
n n
u x
x
xác định với mọi x
Khi |x|<1: Cho n 2 0nxta được
Khi |x|=1:
chuỗi PK theo đkcssht lim 1n
n
u
2 11, ,
2
n
n
x n u n Chuỗi PK
Khi |x|>1:
Chuỗi HT vì |x|>1
Vậy MHT là (-∞,-1)U(1,+ ∞)
nCho 2 2 2
1 1 1
1 ( ) | |
n
n n n
u
x x x
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Tổng quát: giả sử chuỗi lũy thừa
1
n
n
n
a x HT tại x=x0,
0lim 0
n
n
n
a x
0
0 : ,n
n
M a x M n
Nếu |x|<|x0| thì chuỗi
1
n
n
v HT
Suy ra chuỗi ban đầu HTTĐ theo t/c so sánh.
Vậy ta chứng minh xong định lý Abel sau đây.
tức là chuỗi số 0
1
n
n
n
a x HT. Theo đkccsht ta được
Biến đổi số hạng tổng quát của chuỗi:
0 0
0 0 0
n n n
n n n
n n n
x x x
a x a x a x M
x x x
,
n
v n
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Định lý Abel :
Nếu chuỗi lũy thừa
1
n
n
n
a x HT tại
0
0x thì nó HTTĐ tại
mọi điểm
0 0
( | |,| |)x x x
thì nó PK với mọi x
thỏa |x|>|x1|
Bán kính hội tụ (BKHT):
1
n
n
n
a x HT với mọi x: |x|0 sao cho chuỗi
Hệ quả: Nếu chuỗi
1
n
n
n
a x PK tại x1
PK với mọi x: |x|>R được gọi là BKHT của chuỗi
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Cách tìm BKHT của chuỗi lũy thừa
Đặt: Thì BKHT là
1
R
Cách tìm MHT của chuỗi lũy thừa
Sau khi tìm xong BKHT, ta chỉ còn xét sự HT của
chuỗi tại 2 điểm x=R và x=-R nữa là có kết luận
1
lim | |
| |
lim
| |
n
n
n
n
n
n
a
a
a
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi sau
2
1 1
1. ( ) 2.
2 .
n
n
n
n n
x
nx
n
1. Với chuỗi lũy thừa này, ta đang có an=n
n:
lim lim| |n n
n n
a n 0R
BKHT R=0 tức là MHT chỉ gồm 1 điểm duy nhất {0}
2.
2
1
2 .
n n
a
n
2R
Khi x=2:
2
1
1
n n
là chuỗi số dương HT
Khi x=-2:
2
1
( 1)n
n n
là chuỗi HTTĐ
Vậy MHT [-2,2]
2lim lim
1 1
| |
22 .
n n
n n
n n
a
n
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi:
1. Chuỗi lũy thừa với
1
3 5
n n n
a → R=5
Khi x=± 5: Là 2 chuỗi PK theo đkccsht
1
( 5)
3 5
n
n n
n
BKHT R=5, MHT là (-5,5)
Chú ý: Khi chuỗi số dương PK theo đkccsht thì chuỗi
đan dấu tương ứng cũng PK theo đkccsht
2
1 1
1 1
1
1. 2. ( 1)
2 13 5
( 1)! !
3. 4.
5
nn
n
n n
n n
n
n n n
n n
x n
x
n
n x n
n x
lim lim
1 1
| |
53 5
n n
n n n
n n
a
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
2. Chuỗi lũy thừa với
→ R=2
Ta chỉ xét X=2:
1
1
2
2 1
n
n
n
n
n
Chuỗi PK theo đkccsht vì
3
2 1 2 1
33
2
2 2 3
1 0
2 1 2 1
nn nn
n
n
u n e
n n
Suy ra, chuỗi đã cho HT khi
Vậy BKHT R=2, MHT: (1-√2, 1+√2)