Bài giảng Giải tích I - Chương 1: Giới hạn và liên tục (Tiếp theo) - Đặng Văn Vinh
Hàm cho bởi phương trình tham số. Giả sử tồn tại hàm ngược của một trong hai hàm trên, giả sử của x = x(t) là t = t(x). Cho hai hàm x = x(t), y = y(t) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm t0 . Khi đó tồn tại hàm y = y(t(x)) và hàm này được gọi là hàm cho bởi phương trình tham số: x = x(t) và y = y(t).
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Giải tích I - Chương 1: Giới hạn và liên tục (Tiếp theo) - Đặng Văn Vinh, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Giải tích 1
Chương 1: Giới hạn và liên tục
(tiếp theo)
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)
dangvvinh@hcmut.edu.vn
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I.2 – Giới hạn của hàm số
– Hàm số.
– Giới hạn của hàm số.
– Vô cùng bé, Vô cùng lớn.
Định nghĩa (hàm hợp)
Cho hai hàm .: ; : g X Y f Y Z
Khi đó tồn tại hàm hợp .:f g X Z
( ( ))h f g f g x
Ví dụ. 2( ) 3; ( ) g x x f x x
2( ) ( ( ) ( 3) 3f g x f g x f x x
2 2( ) ( ( )) ( ) 3g f x g f x g x x
1. Hàm số
4) ( ) 2 2 a f g x x x ( ,2]f gD
) ( ) 2 b g f x x 0,4g fD
4) ( ) c f f x x 0,f fD
) ( ) 2 2 d g g x x 2,2g gD
Cho . Tìm các hàm sau và miền
Ví dụ.
( ) ; ( ) 2 f x x g x x
) ; ; ; . b) c) d) a f g g f f f g g xác định của nó:
Đầu vào
Đầu ra
Hàm y = f(x) là hàm 1 – 1 khi và chỉ khi không tồn tại
đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều hơn một điểm.
Hàm y = f(x) được gọi là hàm 1 – 1, nếu
Định nghĩa (hàm 1 – 1)
thì .
1 2 fx x D
1 2( ) ( )f x f x
Hàm 1 – 1
Ví dụ.
Không là hàm 1 – 1
ký hiệu , xác định bởi .
Hàm ngược của y = f(x) là hàm từ E vào D,
Cho y = f(x) là hàm 1 – 1 với miền xác định D và miền
Định nghĩa (hàm ngược)
giá trị E.
1( )x f y 1( ) ( )x f y y f x
Vì , nên (a,b) thuộc đồ thị y = f(x)
Chú ý:
khi và chỉ khi (b,a) thuộc đồ thị của .1f
1( ) ( )a f b b f a
Đồ thị y = f(x) và đồ thị của đối xứng nhau qua
qua đường thẳng y = x.
1f
Ví dụ. Vẽ đồ thị của
1y x Vẽ đồ thị của
và đồ thị hàm ngược.
Xét hàm lượng giác y = sin x
Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Trên đoạn , y = sin x là hàm 1 – 1.
-
,
2 2
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu arcsiny x
Xét hàm lượng giác y = cos x
Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Trên đoạn , y = cos x là hàm 1 – 1. 0,
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu arccosy x
Miền xác định: [-1,1]
Hàm arcsin x
-
,
2 2
Miền giá trị:
Hàm luôn luôn tăng.
Miền xác định: [-1,1]
Hàm arccos x
0,Miền giá trị:
Hàm luôn luôn giảm.
Xét hàm lượng giác y = tanx
Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Trên khoảng , y = tan x là hàm 1 – 1.,
2 2
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu arctany x
Xét hàm lượng giác y = cot x
Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Trên khoảng , y = cot x là hàm 1 – 1. 0,
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu arccot y x
Miền xác định: R
Hàm arctan x
-
,
2 2
Miền giá trị:
Hàm luôn luôn tăng.
Miền xác định: R
Hàm arccotan x
0,Miền giá trị:
Hàm luôn luôn giảm.
Định nghĩa (hàm Hyperbolic)
sin hyperbolic sinh( )
2
x xe e
x
cos hyperbolic cosh( )
2
x xe e
x
tan hyperbolic
sinh( )
tanh( )
cosh( )
x
x
x
cotan hyperbolic
cosh( )
coth( )
sinh( )
x
x
x
cosh( )y xHàm sinh( )y xHàm
tanh( )y xHàm coth( )y xHàm
Có các công thức sau (tương tự công thức lượng giác)
2 21) cosh ( ) sinh ( ) 1 a a
2 22) sinh(2 ) 2sinh( )cosh( ); cosh(2 ) cosh ( ) sinh ( ) a a a a a a
3) cosh( ) cosh( )cosh( ) sinh( )sinh( ) a b a b a b
4) cosh( ) cosh( )cosh( ) sinh( )sinh( ) a b a b a b
5) sinh( ) sinh( )cosh( ) sinh( )cosh( ) a b a b b a
6) sinh( ) sinh( )cosh( ) sinh( )cosh( ) a b a b b b
và các công thức lượng giác hyperbolic khác.
Để thu được công thức lượng giác hyperbolic từ công
thức lượng giác quen thuộc ta thay cos bởi cosh và thay
sin bởi isinh.
Ví dụ. Từ công thức 2 2cos sin 1a a
ta có
2 2 2cosh sin 1ia a
2 2cosh sinh 1a a
Hàm cho bởi phương trình tham số.
Giả sử tồn tại hàm ngược của một trong hai hàm trên,
giả sử của x = x(t) là t = t(x).
Cho hai hàm x = x(t), y = y(t) xác định trong một lân cận
V nào đó của điểm .0t
Khi đó tồn tại hàm y = y(t(x)) và hàm này được gọi là hàm
cho bởi phương trình tham số: x = x(t) và y = y(t).
Ví dụ.
Hàm y = y(x) cho bởi phương trình tham số
2cos
3sin
(1)
x t
y t
Đây chính là phương trình của ellipse.
2 2
1
4 9
x y
cos
2
(1)
sin
3
x
t
y
t
Ví dụ.
Phương trình tham số của đường
tròn tâm O bán kính R:
cos
sin
x R t
y R t
Phương trình tham số của đường
tròn tâm (a,b) bán kính R:
cos
sin
x a R t
y b R t
cos
sin
x a t
y b t
Phương trình tham số của ellipse là
2 2
2 2
1
x y
a b
2. Giới hạn của hàm số
Ví dụ. D = (0,1)
Cho D là tập số thực. Điểm được gọi là điểm tụ của0x
Định nghĩa.
tập D nếu trong mọi khoảng đều chứa vô0 0( , )x x
số các phần tử của tập D.
Điểm tụ của D là [0,1]
D có duy nhất một điểm tụ là 0
1
,D n N
n
1
( 1) ,
2
n nD n N
n
D có hai điểm tụ -1 và 1.
2. Giới hạn của hàm số
0
lim ( )
x x
f x a
0 0
0, | ( ) | .fx D x x f x a
Chú ý:
Trong định nghĩa không đòi hỏi là f(x) phải xác định tại 0x
Ví dụ.
20
1 cos 1
lim
2x
x
x
mặc dù hàm không
xác định tại x = 0.
Định nghĩa. (ngôn ngữ )
Cho x0 là điểm tụ của miền xác định.
2. Giới hạn của hàm số
lim ( )
x
f x a
0 0A
, | ( ) | .fx D x A f x a
Định nghĩa.
lim ( )
x
f x a
0 0B
, | ( ) | .fx D x B f x a
Định nghĩa.
thì f(x) trong
khoảng này
khi x trong khoảng
này
lim ( )
x
f x L
thì f(x) trong
khoảng này
khi x trong
khoảng này
lim ( )
x
f x L
2. Giới hạn của hàm số
0
lim ( )
x x
f x
0M 0
0,| | ( ) .fx D x x f x M
Định nghĩa.
0
lim ( )
x x
f x
0M 0
Định nghĩa.
0,| | ( ) .fx D x x f x M
2. Giới hạn của hàm số
Chú ý: Thường dùng định nghĩa này chứng tỏ hàm
không có giới hạn.
0
lim ( )
x x
f x a
Định nghĩa. (ngôn ngữ dãy )
Cho x0 là điểm tụ của miền xác định.
( ) ,n fx D 0 ,
n
n n ox x x x
( ) nnf x a
Nếu tìm được hai dãy mà' 0( ),( )n nx x x
'( ), ( )n nf x f x
hội tụ về hai số khác nhau thì hàm không có giới hạn.
2. Giới hạn của hàm số
Ví dụ. Chứng tỏ không tồn tại giới hạn
0
1
limsin
x x
Chọn dãy
1
0
2
n
nx
n
( ) sin 2 0 0nf x n
Chọn dãy ,
1
0
2 / 2
n
nx
n
( ) sin(2 ) 1 1
2
nf x n
Suy ra không tồn tại giới hạn
0 0
lim ( ) , lim ( )
x x x x
f x a g x b
Tính chất của giới hạn hàm số
0
1) lim ( ) , R
x x
f a
0
2) lim ( )
x x
f g a b
0
3) lim ( )
x x
f g a b
0
4) lim , 0
x x
f a
b
g b
05) ( ), ( ) ( ) x V x f x g x a b
0 0
( ) ( ) ( )
6) lim lim
x x x x
f x g x h x
f h a
0
lim ( )
x x
g x a
00
lim ( ) 0
lim ( )
x x
x x
u x a
v x b
Mệnh đề
0
( )
lim ( )
v x b
x x
u x a
0 0
( ) ( ) ln ( )
lim ( ) lim
v x v x u x
x x x x
u x e
0
lim ( ) ln( ( ))
x x
v x u x
e
ln .b a be a
1
lim 1
x
x
e
x
1
lim 1
x
x
e
x
1
0
lim 1 x
x
x e
0sin
1) lim 1
x
x
x
0
1
2) lim 1
x
x
e
x
20
1 cos 1
3) lim
2
x
x
x
0
ln(1 )
4) lim 1
x
x
x
0
(1 ) 1
5) lim
x
x
x
Các giới hạn cơ bản thường gặp khi 0x
0
arctan
6) lim 1
x
x
x
0
arcsin
7) lim 1
x
x
x
0
tan
8) lim 1
x
x
x
1/
0
9) lim 1
x
x
x e
1/
0
1
10) lim 1
x
x
x
e
1) lim , 0
x
x
2) lim ln , 0
x
x
3) lim , 1
x
x
a a
1
4) lim 1
x
x
e
x
Các giới hạn cơ bản thường gặp khi x
5) lim sin
x
x không tồn tại
0
1)
0
Các dạng vô định
2)
3) 0 4)
5) 1
06) 0
07)
0 0 0,0fx D x x
Định nghĩa. (giới hạn trái)
Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu
| ( ) | .f x a
0
lim ( )
xx
f x a
ký hiệu
0 0 0,0fx D x x
Định nghĩa. (giới hạn phải)
Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu
| ( ) | .f x a
0
lim ( )
xx
f x a
ký hiệu
Ví dụ
1
1
lim
1x x
1
1
lim
1x x
Ví dụ
1/
0
lim 0x
x
e
1/
0
lim x
x
e
Ví dụ
0
sin
lim 1
x
x
x
0
sin
lim
| |x
x
x
Không tồn tại
Vì
0 0
sin sin
lim lim 1
| |
x x
x x
x x
và
0 0
sin sin
lim lim 1
| |
x x
x x
x x
Định lý.
Hàm số y = f(x) có giới hạn tại x0 khi và chỉ khi nó có giới
hạn trái và giới hạn phải tại x0 và chúng bằng nhau.
Chú ý
Dùng định lý trên để chứng tỏ hàm không có giới hạn.
Chú ý.
Giới hạn một phía thường được dùng trong các trường
hợp hàm chứa căn bậc chẵn, chứa trị tuyệt đối, hoặc
hàm ghép.
Ví dụ. Cho . Tìm
2 3, 0
( ) 1
sin , 0
x x
f x
x x
x
0
lim ( )
x
f x
0 0
lim ( ) lim (2 3) 3
x x
f x x
0 0
1
lim ( ) lim sin 0
x x
f x x
x
Vậy không tồn tại giới hạn.
Ví dụ
Định nghĩa
nếu
Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi 0x x
0
lim ( ) 0.
x x
f x
là một vô cùng bé khi , vì0x3( ) 3sin 2f x x x
3
0
lim 3sin 2 0.
x
x x
Tính chất của VCB
1) Tổng hữu hạn của các VCB là một VCB.
2) Tích của hai VCB là một VCB.
3) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB.
4) Thương của hai VCB có thể không là một VCB.
Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng bé khi .
0x x
Giả sử
0
( )
lim .
( )
x x
f x
k
g x
1) Nếu , thì f(x) gọi là VCB bậc cao hơn g(x).0k
( ) ( ( ))f x g x
2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai
VCB cùng cấp.
3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCB tương đương.1k
( ) ( )f x g x
Định nghĩa
2 4 2 3( ) tan ; ( ) sin 2 f x x x g x x x
Vì .
2 4
2 30 0
( ) tan
lim lim 1.
( ) sin 2
x x
f x x x
g x x x
Ví dụ
Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB tương đương khi .0x
3 2 2( ) sin ; ( ) tan f x x x g x x x
Vì .
2 3
20 0
( ) sin
lim lim 0.
( ) tan
x x
f x x x
g x x x
Ví dụ
Khi đó f(x) là VCB bậc cao hơn g(x) khi .0x
2 2 2( ) sin 2 ; ( ) tan 3 f x x x g x x
Vì .
2 2
20 0
( ) sin 2 1
lim lim .
( ) 3tan 3
x x
f x x x
g x x
Ví dụ
Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi .0x
1 2( ) 1; ( ) 1 xf x e g x x
Vì .
1
1 1 2
( ) 1 1
lim lim .
( ) 21
x
x x
f x e
g x x
Ví dụ
Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi .1
x
1) sin x x
Các vô cùng bé thường gặp khi 0x
2) -1 xe x
2
3) 1- cos
2
x
x
4) ln(1 ) x x
5) (1 ) -1 x x
6) arcsin x x
7) arctan x x
8) tan x x
Chú ý: Đây là các vô cùng bé khi 0x
9) sinh x x
2
10) cosh 1
2
x
x
Các vô cùng bé trên suy ra trực tiếp từ định nghĩa và
các giới hạn cơ bản.
Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
0
lim
Toång höõu haïn caùc VCB
Toång höõu haïn caùc VCBx x
0
lim
VCB baäc cuûa töû
VCB baä
thaáp nhaát
thaáp nhaác cuûa m ãut a
x x
Ví dụ.
Tính giới hạn 2 30
ln(1 tan )
lim
sin
x
x x
I
x x
2ln(1 tan ) tan x x x x x
2 30
ln(1 tan )
lim
sin
x
x x
I
x x
2
20
lim 1.
x
x
x
Ví dụ.
Tính giới hạn 20
ln(cos )
lim
ln(1 )
x
x
I
x
20
ln(1 cos 1)
lim
ln(1 )
x
x
I
x
20
cos 1
lim
x
x
x
2
20
/ 2 1
lim
2
x
x
x
2 3 2sin x x x
Ví dụ.
Tính giới hạn
2
20
cos
lim
sin
x
x
e x
I
x
2 21 xe x
2
1 cos
2
x
x
2
20
1 1 cos
lim
sin
x
x
e x
I
x
2 2
20
/ 2 3
lim .
2
x
x x
x
sin x x
Ví dụ.
Tính giới hạn
sin 5 sin
0
lim
ln(1 2 )
x x
x
e e
I
x
sin 5 sin
0
1 1
lim
ln(1 2 )
x x
x
e e
I
x 0
sin5 sin
lim
2x
x x
x
0
5
lim 2
2x
x x
x
Ví dụ.
Tính giới hạn
1
1
sin 1
lim
ln
x
x
e
I
x
1 1 1 xe x ln ln(1 1) -1 x x x
1
sin( 1)
lim
1
x
x
I
x 1
1
lim 1.
1
x
x
x
Ví dụ.
Tính giới hạn
sinh 3 sinh
0
lim
tan
x x
x
e e
I
x
sinh 3 sinh
0
1 1
lim
x x
x
e e
I
x 0
sinh3 sinh
lim
x
x x
x
0
3
lim 2.
x
x x
x
Ví dụ.
Tính giới hạn
3 40
1 (cos 1)
lim
sin 2
x
x
e x
I
x x
1 xe x 2cos 1 - / 2x x
2
3 40
( / 2)
lim
2x
x x
I
x x
2
30
( / 2) 1
lim
2x
x x
x
Ví dụ.
Tính giới hạn
21/
2 cos(1/ )lim
arctan
x
x
e x
I x
x
2 2
2 1/ 1/(2 )lim
/ 2x
x x
I x
3
Các trường hợp thay VCB ĐÚNG VÀ SAI.
30
tan sin
1) lim
x
x x
x 30
tan
lim
x
x
x
x SAI
30
tan sin
2) lim
x
x x
x
30
sin
lim
x
x x
x
SAI
30
tan sin 2
3) lim
x
x x
x
30
sin 2
lim
x
x x
x
ĐÚNG
Các trường hợp thay VCB ĐÚNG VÀ SAI.
0
tan sin 2
4) lim
sinx
x x
x
0
2
lim
x
x x
x
ĐÚNG
30
tan sin
5) lim
sinx
x x
x
0 3
tan sin
lim
x
x
x
x ĐÚNG
2
2 20
1 cos
6) lim
sinx
x
x x
2
2 20
1 cos
lim
x
x
x x
SAI
Ví dụ.
Cho f(x) là vô cùng bé khi .0x x
0 0
( )
lim höõu haïn, . 0
px x
f x
x x
Định nghĩa
Số p được gọi là bậc của VCB f(x) khi , nếu0x x
2 3( ) sin 1 cos2 f x x x x
là một VCB khi , và bậc của f(x) là 2.0x
vì
2 3
2 20 0
( ) sin 1 cos2
lim lim 3
x x
f x x x x
x x
Tìm bậc của các VCB sau đối với x khi .0x
Ví dụ
3 2 31) ( ) f x x x
2) ( ) sin 2 2 f x x
3) ( ) 2 1 xf x
3 44) ( ) 3sin f x x x
3
5) ( ) cos xf x e x
bậc 2/3.
bậc 1.
bậc 1/2.
bậc 3.
bậc 2.
Ví dụ
1) ( ) cos cos2 f x x x
22) ( ) ln cosf x x
3) ( ) 3 x xf x e
34) ( ) sin 2 ln(1 tan ) f x x x x
25) ( ) 1 2 cos3 f x x x
Tìm để f(x) và là 2 VCB tương đương, 0x, x
3/ 2; 2
1/ 2; 4
ln3; 1/ 2
1
13/ 4; 2
Ví dụ
Định nghĩa (vô cùng lớn)
nếu
Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi 0x x
0
lim ( ) .
x x
f x
là một vô cùng lớn khi , vìx
2( ) 2 3cos f x x x
2lim 2 3cos .
x
x x
Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng lớn khi .
0x x
Giả sử
0
( )
lim .
( )
x x
f x
k
g x
1) Nếu , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x). k
( ) ( ( )) f x g x
2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai
VCL cùng cấp.
3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương.1k
( ) ( )f x g x
Định nghĩa
Qui tắc ngắt bỏ VCL
0
lim
Toång höõu haïn caùc VCL
Toång höõu haïn caùc VCLx x
0
lim
VCL baäc cuûa töû
VCL baä
cao nhaát
cao nhaátc cuûa maãux x
Ví dụ
Tử là tổng của ba VCL:
2
2
4 2 3
lim
4
x
x x x
I
x x
2 4 2 3 3
x
x x x x
Mẫu là tổng của hai VCL:
2 4 2
x
x x x
3 3
lim
2 2
x
x
I
x
I) Tìm các giới hạn sau.
Bài tập
2
22
4
1) lim
2
x
x
x x
5
0
32 2
2) lim
x
x
x
20
cos3 cos7
3) lim
x
x x
x
/ 4
4) lim cot 2 cot( / 4 )
x
x x
21/ sin (2 )2
0
5) lim 1 tan
x
x
x
4
3
1
80
20
2
1/ 4e
21/
0
6) lim cos
x
x
x
1/(1 cos )
0
7) lim cosh
x
x
x
2
2
2
2 3
8) lim
2 1
x
x
x
x
2
2
2
9) lim
2
x
x
x
x
1/ 110) lim
x
x
x
e
x
1/ 2e
e
2e
4(ln 2 1)
2e
22
14
11) lim
2
x
x x
x x
2
2
14
12) lim
2
x
x x
x x
0
1
13) lim tanh
x x
0
1
14) lim tanh
x x
2
20
sin 2 2arctan3 3
15) lim
ln(1 3 sin )
xx
x x x
x x xe
1
7
1
1
2
5 3
2 30
1 10 1 3
16) lim
arcsin(3 ) sinh(2 )
x
x x
x x x x
17) lim ln 1 ln
2 2
x
x x
x
3 3
0
cos4 cos5
18) lim
1 cos3
x
x x
x
30
1 tan 1 sin
19) lim
sin
x
x x
x
0
tan 2 3arcsin 4
20) lim
sin5 6arctan 7
x
x x
x x
1
2
1
3
1/ 4
10 /37
