Bài giảng Giải tích I - Tô Văn Ban

1 PGS TS TÔ VĂN BAN BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH I (Phiên bản bê ta II: 03-09 / 2010) Hà nội - 2010 2 M ỤC L ỤC Mục lục Lời nói đầu Các ký hiệu hay sử dụng 1 4 6 Chương I. Giới hạn, liên tục 7 §1.1. Số thực 7 1.1.1. Mở đầu 7 1.1.2. Các tính chất sơ cấp của số thực 11 1.1.3. Các tính chất cơ bản của  12 1.1.4. Đường thẳng thực mở rộng 15 1.1.5. Lực lượng của ,  16 § 1.2. Giới hạn dãy số 18 1.2.1. Hội tụ - Phân kỳ 18 1.2.2. Dãy đơn điệu 23 § 1.3. Hàm một biến số 30 1.3.1. Các phương pháp biểu diễn hàm số 30 1.3.2. Hàm chẵn, lẻ, 37 1.3.3. Hàm số ngược 37 1.3.4. Các hàm sơ cấp cơ bản 39 1.3.5. Một số hàm thông dụng khác 40 1.3.6. Mô hình toán học 42 § 1.4. Giới hạn hàm số 42 1.4.1. Định nghĩa 42 1.4.2. Các tính chất của giới hạn hàm số 43 1.4.3. Các phép toán về giới hạn 46 1.4.4. Sử dụng VCB, VCL để tìm giới hạn 47 § 1.5. Sự liên tục 48 1.5.1. Định nghĩa 48 1.5.2. Các tính chất sơ bộ 51 1.5.3. Các tính chất của hàm liên tục trên đoạn kín 52 1.5.4. Bổ sung về giới hạn 55 1.5.5. Một số ví dụ 56 Chương 2 Đạo hàm, vi phân 59 §2.1. Đạo hàm và vi phân cấp một 59 2.1.1. Định nghĩa 59 2.1.2. Các phép toán với đạo hàm tại một điểm 60 2.1.3. Đạo hàm của hàm hợp 61 2.1.4. Đạo hàm hàm ngược 61 2.1.5. Đạo hàm theo tham số 62 2.1.6. Bảng các đạo hàm cơ bản 63 2.1.7. Đạo hàm từng phía, đạo hàm vô cùng 64 2.1.8. Vi phân 64 2.1.9. Đạo hàm hàm ẩn 66 §2.2. Đạo hàm và vi phân cấp cao 68 2.2.1. Định nghĩa 68 2.2.2. Quy tắc Leibnitz 69 2.2.3. Vi phân cấp cao 70 §2.3. Các định lý về giá trị trung bình 70 2.3.1. Định lý Rolle 70 2.3.2. Định lý Lagrange 72 2.3.3. Quy tắc L'Hôpital 74 §2.4. Công thức Taylor 76 2.4.1. Thiết lập công thức 76 2.4.2. Khai triển Marlourin của một số hàm sơ cấp 77 2.4.3. Ứng dụng 78 § 2.5. Các ứng dụng của đạo hàm 80 2.5.1. Quy tắc tìm cực trị, giá trị lớn nhất, bé nhất 80 2.5.2. Lồi, lõm, điểm uốn 80 2.5.3. Khảo sát hàm số y f (x) 80 3 2.5.4. Khảo sát đường cong cho dưới dạng tham số 85 2.5.5. Khảo sát đường cong cho dưới dạng tọa độ cực 87 2.5.6. Mối quan hệ giữa các vận tốc 94 Chương III. Tích phân 96 § 3.1. Tích phân 96 3.1.1. Định nghĩa, tính chất 96 3.1.2. Bảng các tích phân cơ bản 98 3.1.3. Phương pháp tính tích phân bất định 98 3.1.4. Tích phân bất định của một số lớp hàm sơ cấp 104 § 3.2. Tích phân xác định 112 3.2.1. Định nghĩa và các tính chất mở đầu 112 3.2.2. Các lớp hàm khả tích 113 3.2.3. Các tính chất của tích phân xác định 115 3.2.4. Cách tính tích phân xác định 118 3.2.5. Tính gần đúng tích phân xác định 125 § 3.3. Ứng dụng của tích phân xác định 128 3.3.1. Tính diện tích hình phẳng 128 3.3.2. Độ dài đường cong 129 3.3.3. Thể tích vật thể 131 3.3.4. Diện tích mặt cong 132 3.3.5. Tọa độ trọng tâm 3.3.6. Moment tĩnh, moment quán tính, công 3.3.7. Định lý biến thiên toàn cục 133 133 133 3.3.8. Hai lược đồ áp dụng tổng quát 134 § 3.4. Tích phân suy rộng 137 3.4.1. Tích phân với cận vô hạn 137 3.4.2. Tích phân của hàm không bị chặn 141 3.4.3. Một số ví dụ 142 Chương 4. Chuỗi 149 § 4.1. Chuỗi số 149 4.1.1. Định nghĩa 149 4.1.2. Điều kiện cần của chuỗi hội tụ 150 4.1.3. Tiêu chuẩn Cauchy 151 4.1.4. Các tính chất về phép toán 151 § 4.2. Chuỗi số dương 152 4.2.1. Các tính chất mở đầu 152 4.2.2. Các quy tắc khảo sát sự hội tụ 153 § 4.3. Chuỗi với dấu bất kỳ 156 4.3.1. Chuỗi đan dấu 156 4.3.2. Hội tụ tuyệt đối 157 § 4.4. Chuỗi hàm số 159 4.4.1. Sự hội tụ, miền hội tụ 159 4.4.2. Hội tụ đều 160 4.4.3. Tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều 161 § 4.5. Chuỗi lũy thừa 162 4.5.1. Khái niệm chuỗi lũy thừa, bán kính hội tụ 162 4.5.2. Quy tắc tìm bán kính hội tụ 163 4.5.3. Tính chất của chuỗi lũy thừa 164 4.5.4. Khai triển một hàm thành chuỗi lũy thừa 165 4.5.5. Ứng dụng 167 4.5.6. Tính tổng một số chuỗi 169 4.5.7. Một số ví dụ 176 4.5.8. Sự tồn tại hàm liên tục không khả vi 178 § 4.6. Chuỗi Fourier 179 4.6.1. Chuỗi lượng giác 179 4.6.2. Chuỗi Fourier 179 Tài liệu tham khảo 186 4 KÝ HIỆU HAY SỬ DỤNG Ký hiệu Ý nghĩa ,   tập các số thực, tập các số thực dương *,  tập các số tự nhiên 0,1,2,, tập các số 1, 2, ...  tập các số nguyên 0;  1;  2;...  tập các số hữu tỷ n không gian Euclide thực n chiều (a;b), [a; b], (a;b],... khoảng suy rộng trên  : khoảng, đoạn, nửa khoảng |a| trị tuyệt đối của số thực a, [x] phần nguyên của số thực x {x} {x} phần phân (lẻ) của số thực x x = x - [x] ; tập hợp gồm một phần tử x n ! giai thừa n ! = 1. 2. 3... n Max A (MinA) phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) của tập A n n lim x  giới hạn của dãy số xn x a lim f (x)  giới hạn của hàm số f(x) khi x dẫn đến a x a x a lim f (x), ( lim f (x))    giới hạn của hàm số f(x) khi x dần đến a từ bên phải (từ bên trái). f(x) hàm số; - giá trị của hàm f tại điểm x. 1f (x) hàm ngược của hàm f(x) BA:f  ánh xạ từ A vào B; - hàm số với tập xác định là A, tập giá trị chứa trong B.     dx xdfxf ;' đạo hàm bậc nhất của hàm f(x) ' ' 0 0f (x ) (f (x ))  đạo hàm phía phải (trái) của hàm f(x) tại x0 n (n) n d f (x)f (x); dx đạo hàm bậc n của hàm f(x). df, d2f,... vi phân cấp một, cấp 2,... của hàm f(x). a f (x)dx   tích phân suy rộng loại I của hàm f(x) trên[a; ) . f (x) o(g(x)) f(x) là vô cùng bé bậc cao hơn so với vô cùng bé g(x) f (x) O(g(x)) f(x) là vô cùng bé cùng bậc so với vô cùng bé g(x) f (x) g(x)  xf là vô cùng bé tương đương với vô cùng bé g(x) VCB vô cùng bé  kết thúc chứng minh # kết thúc ví dụ (☼), (☼) bắt đầu (kết thúc) mục, phần có thể bỏ qua trong lần đọc đầu tiên PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010 ---------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------- PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010 7 Chương 1 GIỚI HẠN, LIÊN TỤC § 1.1. SỐ THỰC 1.1.1. Mở đầu a. Giới thiệu Chúng ta đã có những hiểu biết khá tốt về số hữu tỷ ngay từ thời học phổ thông; chúng ta cũng có những hiểu biết nhất định về số vô tỷ, số thực. Để hiểu chúng sâu sắc và chính xác, người ta phải xây dựng hệ thống tiên đề chính xác cho số thực. Sau đây là các loại số mà loài người nhận thức được trong lịch sử phát triển của mình: * Các số tự nhiên khác không 1, 2, ..., n, ... ký hiệu là *; * Các số tự nhiên 0, 1, ..., n, ... ký hiệu là  . * Bởi vì trong  thiếu các phần tử mà cộng với nhau bằng 0, người ta đưa vào các số nguyên âm được ... , 2, 1, 0, 1, 2, ...  , ký hiệu là  . Trong  không có các phần tử mà nhân với 2, 3, ... bằng 1. Vậy người ta đưa thêm vào trong  các phần tử dạng p / q , được các số hữu tỷ *p , q , p q          , ký hiệu là  . Trong đại số ta biết  là một trường. Trong  không có các phần tử kiểu như 2, e, , ... , gọi là các số vô tỷ. Cần đưa vào  các số vô tỷ để được  - tập các số thực - rộng hơn  . Có nhiều cách xây dựng tập các số thực như dùng các số thập phân vô hạn tuần hoàn, lát cắt Dedekin, ... Chúng ta đưa ra phương pháp xây dựng số thực sau đây, dễ hiểu và được chấp nhận rộng rãi. b. Tiên đề số thực Chúng ta công nhận sự tồn tại và duy nhất tập hợp các số thực, ký hiệu là  , ở đó có trang bị hai luật hợp thành trong (phép toán) và . và một quan hệ thứ tự  sau cho: i) ( , , .) là một trường, cụ thể là: (☼) 1) Phép cộng có tính chất kết hợp: a, b, c , (a b) c a (b c)       . 2) Phép cộng có tính chất giao hoán: a,b , a b b a     . PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010 ---------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------- PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010 8 3)  có phần tử trung lập với phép cộng, ký hiệu là 0, thỏa mãn điều kiện: a , a 0 0 a a      . 4) a  đều có phần tử đối, ký hiệu là a thỏa mãn điều kiện: a ( a) ( a) a 0      . 5) Phép nhân có tính chất kết hợp: a, b, c , (a.b).c a.(b.c)   . 6) Phép nhân có tính chất giao hoán: a, b , a.b b.a   7)  có phần tử trung hòa với phép nhân, ký hiệu là 1, thỏa mãn điều kiện: a.1 1.a a  . 8) Mọi phần tử a {0}  đều có phần tử nghịch đảo, ký hiệu là 1a , thỏa mãn điều kiện 1 1a .a a .a 1   . 9) Phép nhân phân phối với phép cộng: a, b, c , a.(b c) a.b a.c     (☼) ii)  là một quan hệ thứ tự toàn phần trong  , cụ thể là: 1)  có tính chất phản xạ: a , a a   . 2)  có tính chất phản đối xứng: a b a, b , a b b a        . 3)  có tính chất bắc cầu: a b a, b, c , a c b c        4)  là quan hệ thứ tự toàn phần: a b a, b b a        Nếu a, b và a b, a b   , ta nói a nhỏ hơn b và viết a b . iii) Giữa các phép toán , . và quan hệ thứ tự  có mối liên hệ sau đây: 1) a b a c b c     2) d 0, a b a.d b.d    iv) Mỗi tập không trống và bị chặn trên đều có cận trên đúng. Các đòi hỏi i) - iv) xem là những tiên đề của số thực. Riêng tiên đề iv) cần có những giải thích tỷ mỉ hơn sau đây. c. Cận, bị chặn Ta nói x là một cận trên (hay biên trên) của tập hợp A   nếu a A, a x   . PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010 ---------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------- PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010 9 Ta nói y là một cận dưới (hay biên dưới) của tập hợp A   nếu a A, y a   . Ta nói x là phần tử lớn nhất (hay giá trị lớn nhất) của tập hợp A   nếu x A và x là một cận trên của A: x A a A, x a     Ký hiệu phần tử lớn nhất của tập hợp A là Max(A). Tương tự những điều trên đối với khái niệm phần tử nhỏ nhất. Ký hiệu phần tử nhỏ nhất của tập hợp A là Min(A). Khi A là hữu hạn, ta dùng ký hiệu 1 nMax(a , ..., a ) hay i 1 i n Max a   thay cho ký hiệu  1 nMax a , ... , a . Tập con A   được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại (ít nhất) một cận trên của nó. Tương tự ta có thể hiểu khái niệm bị chặn dưới. Tập hợp A được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Supremum. Phần tử bé nhất trong các cận trên của tập hợp A, nếu tồn tại, được gọi là cận trên đúng của A, ký hiệu là Sup(A) (đọc là supremum của tập hợp A). Phần tử lớn nhất trong các cận dưới của tập hợp A, nếu tồn tại, được gọi là cận dưới đúng của A, ký hiệu là Inf(A). Có thể xảy ra trường hợp Sup(A) A hoặc (và) Inf (A) A . Chẳng hạn khi A (a; b) . Dễ thấy tiên đề iv) tương đương với: iv') Mỗi tập không trống và bị chặn dưới đều có cận dưới đúng. d. Nhúng  vào  (☼) Ta đã biết tốt về  . Ta đã có  - cái gọi là số thực. Bây giờ ta xây dựng một ánh xạ f :   sao cho nó là 1 đơn ánh. Như đã nêu ở trên, 1 được dùng để ký hiệu phần tử trung lập của phép nhân trong . n  ta xác định một số thực f(n), ký hiệu là n.1 như sau: f   PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010 ---------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------- PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010 10 *1 1 ... 1 khi n n.1 ( 1) ... ( 1) n                (1.1.1) Bây giờ *q , m , n       sao cho mq n  . Ta xác định số thực f(q), ký hiệu là q.1, như sau: 1q.1 (m.1).(n.1) Rõ ràng vế phải là một số thực. Mặt khác, định nghĩa này hợp lý vì nếu q có biểu diễn khác: m' mq n ' n       thì từ chỗ m'n n 'm (m.1).(n '.1) (m'.1)(n.1)   ; nhân 2 vế với số thực 1 1(n '.1) (n.1)  ta được 1 1 1 1(m.1).(n.1) (m '.1).(n.1).(n.1) .(n '.1) (m'.1)(n '.1)     . Vậy, cả hai biểu diễn của q cho ra cùng 1 kết quả. Rõ ràng ánh xạ f là đơn ánh. Vậy ta có thể đồng nhất  với { .1, q } f ( )    là một tập hợp con của  . Như vậy, coi  là 1 bộ phận của  . (☼) e. Các loại khoảng Có 9 loại khoảng suy rộng sau đây trong                    1) a; b x : a x b , 2) [a; b) x : a x b , 3) (a; b] x : a x b , 4) (a; b) x : a x b , 5) [a; ) x : a x , 6) (a; ) x : a x , 7) ( ; a] x : x a , 8) ( ; a) x : x a . 9) ( ; )                                             Các khoảng  a; b ; ( ; a]; [b; ); ( ; )    : đóng (a; b); ( ; a); (b; ); ( ; )    : mở [a; b); (a; b] : nửa đóng, nửa mở. a, b : các mút của khoảng. Khoảng I bỏ đi các mút, nếu có, được gọi là phần trong của I, ký hiệu là o I . PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010 ---------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------- PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010 11 Khoảng I, lấy thêm 2 mút của nó gọi là bao đóng của I, ký hiệu là I . 1.1.2. Các tính chất sơ cấp của số thực a. Các bất đẳng thức Các bất đẳng thức của số thực mà chúng ta đã biết từ phổ thông là đúng, chẳng hạn 1x 0 0 ; x 0 x y x, y, u, v , xu yv. 0 u v              Các bất đẳng thức Cauchy, Cauchy-Bunhiacopski-Schwartz nghiệm đúng. Bất đẳng thức Mincopski (Bất đẳng thức tam giác trong n )   1/2n n n 2 2 2 i i i i i 1 i 1 i 1 (x y ) x y hay || x y || || x || || y || .                   (1.1.2) Chứng minh. Bình phương 2 vế rồi đưa về bất đẳng thức C-B-S. b. Giá trị tuyệt đối. Giá trị tuyệt đối của số thực x là một số thực, ký hiệu là |x|, xác định bởi x khi x 0, | x | x x 0.      Gía trị tuyệt đối có các tính chất đã biết, ví dụ n n i i i 1 i 1 | x | | x |, 1x, y , Max(x, y) (x y | x y |), 2 1Min(x, y) (x y | x y |), 2 | x | | y | | x y |,                    | a | b b a b.     c. Khoảng cách thông thường trong  ĐN. Khoảng cách (thông thường) trong  là ánh xạ d : (x, y) d(x, y) | x y | .         Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa 2 điểm x và y (hay từ x đến y). Tính chất. Các tính chất sau suy trực tiếp từ định nghĩa giá trị tuyệt đối. PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010 ---------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------- PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010 12 1) x, y , d(x, y) 0; d(x, y) 0 x y      : tính xác định dương 2) x, y , d(x, y) d(y, x)   : tính đối xứng 3) x, y, z , d(x, y) d(y,z) d(x,z)    : bất đẳng tam giác 1.1.3. Các tính chất cơ bản của  a. Cận trên Chúng ta nhắc lại tiên đề về cận trên đúng: Mọi tập A không trống và bị chặn trên đều có cận trên đúng Sup(A). Hệ quả. Mọi tập A không trống và bị chặn dưới đều có cận dưới đúng Inf(A). Ví dụ 1.1. Tìm cận trên đúng và cận dưới đúng (nếu có) của tập hợp n * n 1 ( 1)E , n n2           . Giải. 1 1 1 1 1 1 1E 1; ; ; ; ... 2 4 2 8 3 16 4          . * 2k 22k 1 1 1 1 3k , 0 u u 2k 4 2 42          2k 1 12k 1 2k 1 22k 1 1 1 1 1 1u u , 2k 1 2k 1 3 22 1 1 3u u . 8 42                    Như vậy 1 n 2 1 3u u u 2 4      2 1 Sup(E) Max(E) u 3 / 4, Inf (E) Min(E) u 1/ 2.         # Định lý 1.1. Cho A   là tập không trống. Khi đó M là môt cân trên, (*) M Sup(A) 0, a A : M a M. (**)             Chứng minh. a) " " : Cần. Giả sử M Sup(A) . Vậy M là một cận trên. Ta giả sử không xảy ra (**), nghĩa là 0 0,   a A,  0a M .   Như vậy, 0M   cũng là 1 cận trên của A. Rõ ràng 0M M   . Vậy M không là cận trên nhỏ nhất, mâu thuẫn. b) " " : Đủ. Giả sử xảy ra (1) và (2). Như vậy M là 1 cận trên. Giả sử M không là cận trên nhỏ nhất. Vì A bị chặn trên (ít ra bởi M) nên tồn tại cận trên nhỏ nhất M' và M M.  Đặt M M 0    . Theo (**), a A : M M (M M ) M a M           . PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010 ---------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------- PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010 13 Vậy M không là cận trên, mâu thuẫn.  Lưu ý. Điểm a nói ở (2) có thể chính là Sup(A) hoặc không. b. Căn bậc n của số dương (☼) Cho a  , ta sẽ chứng minh ! b   để nb a , với n nguyên dương: *n . i) Trường hợp 1: a 0 hay a 1  , kết luận là rõ ràng. ii) Trường hợp 2: 1 < a. Đặt nE {x , x a}.   Rõ ràng E không rỗng vì E chứa 1. E bị chặn trên, chẳng hạn bởi a. Theo tiên đề cận trên, b Sup(E)   . Tất nhiên 0 1 b  (vì 1 E) . Ta sẽ chứng minh b chính là phần tử phải tìm, tức là nb a . Giả sử ngược lại, nb a . Xảy ra 2 khả năng Khả năng 1: nb a . Ta sẽ chứng minh tồn tại số thực (0; 1) để n(b ) a  . (*) Khi đó b E, b b   mâu thuẫn với định nghĩa b Sup(E) . Bây giờ ta chứng minh (*). Theo khai triển nhị thức Newton, (0; 1) thì n n n k n k k n k 1 (b ) b C b       . Ta có k 1 n k n n 1 n 1 k 1b b bb            n n n k n 1 n n 1 n n k 1 (b ) b C b b (b )(2 1) a             với  đủ nhỏ. (Chứng minh chi tiết: Chọn số thực  đủ bé sao cho n n n a b0 Min 1; (2 1)b          . Khi ấy 0 1   và n n n n 1 n n(b ) b (2 1)b b a b a         ). Như vậy (*) được chứng minh, tức là khả năng 1 không xảy ra. Khả năng 2: nb a . Chứng minh tương tự, trường hợp này cũng dẫn đến mâu thuẫn. Như vậy khả năng 2 cũng không xảy ra. PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010 ---------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------- PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010 14 Tóm lại nb a . Còn phải chứng minh tính duy nhất của b. Thực vậy, với x, y 0, n nx y a  thì n n n 1 n 2 2 n 1x y (x y)(x y x y ... xy ) 0         x y 0 x y     . iii) Trường hợp 3: 0 a 1  . Đặt t 1 / a . Theo ii), nu mà u t   . Khi đó, n n 1 1 1 a u tu         . Sự duy nhất là tương tự. Ta thu được đpcm.  (☼) Mệnh đề, định nghĩa. a , n   nguyên dương, ! b   sao cho nb a . Phần tử b này được ký hiệu bởi 1/nn a hay a và gọi là căn bậc n của a. Với n 2, ta ký hiệu a thay cho 2 a . Độc giả có thể tự định nghĩa căn bậc lẻ của số âm: 2n 1 a , a 0.  c. Tính chất Archimede - Phần nguyên Định lý 1.2.  có tính chất Archimede sau đây: *0, A 0, n : n A        . Hình ảnh trực quan: Nếu tôi có một cái gậy, thì dù anh có xa tôi mấy đi nữa, tôi đặt liên tiếp các gậy này, tôi sẽ đến và đi quá chỗ anh đứng. Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ngược lại, 0 00, A 0    sao cho * 0 0n A , n    . Khi đó tập hợp 0E {n , n 1, 2, ...}   không trống, bị chặn bởi 0A . Vậy tồn tại cận trên đúng Sup(A) = b. Rõ ràng 0b b   . Mặt khác, theo Định lý 1.1, * 0n  :