Bài giảng Hệ thống điều khiển rời rạc

11 Baøøi giaûûng moân hoâ ïïc Ñieààu Khieåån Töïï Ñoääng GV: Nguyeãn Theá Huøng 01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 201/2009 Chương 7 Hệ thống điều khiển rời rạc 7.1_ Giới thiệu chung 7.2_ Phép biến đổi Z 7.3_ Hàm truyền hệ rời rạc 7.4_ Mô hình trạng thái hệ rời rạc 7.5_ Phân tích hệ thống điều khiển rời rạc 7.6_ Thiết kế bộ PID số 2GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 301/2009 7.1 Giới thiệu chung 7.1.1 Tín hiệu và hệ thống rời rạc Tín hiệu liên tục Tín hiệu rời rạc Tín hiệu số Tín hiệu liên tục Tín hiệu rời rạc Máy tính Tín hiệu số lấy mẫu mã hoá lượng tử biên độ (xấp xỉ) GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 401/2009 7.1 Giới thiệu chung n Tín hiệu liên tục x(t): có biên độ liên tục, thời gian liên tục. Û x và t có thể là số thực bất kỳ (1, 2/5,1.42, ,p,…) Û Đường đồ thị x(t) là đường cong liên tục. 2 n Tín hiệu rời rạc x(kT): có dạng dãy xung với biên độ liên tục, thời gian rời rạc. Biên độ x vẫn là số thực nhưng chỉ tồn tại ở các thời điểm rời rạc kT với T là chu kỳ lấy mẫu, k=(0,1,2,...). n Tín hiệu số x(kT): có biên độ rời rạc, thời gian rời rạc. Biên độ x tại các thời điểm rời rạc kT được xấp xỉ thành số hữu tỉ với độ phân giải nhất định (lượng tử hoá). Ký hiệu: ( ) ( ) { (0), ( ), (2 ),..., ( )}x k x kT x x T x T x kT= = Tổng quát, Tín hiệu có mô tả toán là hàm của thời gian. 3GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 501/2009 7.1 Giới thiệu chung Tại sao dùng tín hiệu số ? n Máy tính và các bộ vi xử lý chỉ làm việc với tín hiệu số. Û Chỉ xử lý được các số hữu tỉ trong khoảng cho phép. Mức cho phép tuỳ thuộc loại máy tính, kiểu biến và ngôn ngữ lập trình. Ví dụ: biến thực kiểu double trong ngôn ngữ C chỉ gồm các số hữu tỉ từ -1,7*10-308 đến 1,7*10308 . n Với hệ thống liên tục, muốn thay đổi thuật toán điều khiển phải thay đổi phần cứng (thiết bị, mạch điện,…). Với hệ thống số, chỉ cần thay đổi phần mềm Þ dễ áp dụng các thuật toán điều khiển phức tạp, điều khiển nhiều biến, nhiều đối tượng cùng lúc,… n Máy tính và các bộ vi xử lý ngày càng phổ biến, tốc độ xử lý nhanh, giá ngày càng rẻ. GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 601/2009 7.1 Giới thiệu chung Hệ thống điều khiển số: Hệ thống điều khiển rời rạc: 4GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 701/2009 7.1 Giới thiệu chung 7.1.2 Khâu lấy mẫu n Là khâu chuyển tín hiệu liên tục x(t) thành rời rạc x*(t). Hoạt động như một khoá điện tử với thời gian đóng ngắt rất nhỏ so với chu kỳ lấy mẫu T. n Hàm lấy mẫu: k s(t) (t kT) ¥ =-¥ = d -å trong đó: d(t-kT) là xung đơn vị phát tại thời điểm kT. (7-1) GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 801/2009 7.1 Giới thiệu chung 7.1.2 Khâu lấy mẫu n Xét khâu lấy mẫu có đầu vào là tín hiệu liên tục x(t) và đầu ra là tín hiệu rời rạc x*(t). Quá trình lấy mẫu có thể mô tả bằng biểu thức toán : x*(t) = x(t). s(t) n Trong các hệ thống điều khiển số thực tế, nếu bỏ qua sai số lượng tử hoá thì các bộ ADC chính là các khâu lấy mẫu. (7-2) Nếu chỉ xét t³0 và coi x(t)=0 khi t <0, ta có : k 0 k 0 x *(t) x(t). (t kT) x(kT). (t kT) ¥ ¥ = = = d - = d -å å (7-3) kTs k 0 X*(s) x(kT)e ¥ - = = åLấy Laplace 2 vế ta được: (7-4) 5GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 901/2009 7.1 Giới thiệu chung 7.1.3 Khâu giữ dữ liệu n Là khâu chuyển tín hiệu rời rạc thành tín hiệu liên tục theo thời gian. Khâu giữ dữ liệu có nhiều dạng, đơn giản nhất và được dùng nhiều nhất là khâu giữ bậc 0 (Zero Order Hold, ZOH). n Khi T®0 thì tín hiệu ra x0(t) sẽ trùng với tín hiệu liên tục. GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1001/2009 7.1 Giới thiệu chung n Nếu tín hiệu vào của ZOH là xung đơn vị d(t) thì tín hiệu ra sẽ là xung vuông có biên độ 1, độ rộng T Þ x0(t)= 1(t) – 1(t-T) n Biến đổi Laplace: Xi(s)= L[d(t)] =1 Ts Ts o 1 e 1 eX (s) L[1(t) 1(t T)] s s s - --= - - = - = Þ Hàm truyền: Tso ZOH i X (s) 1 eG (s) X (s) s -- = = (7-5) n Trong các hệ thống điều khiển số thực tế, nếu bỏ qua sai số lượng tử hoá thì bộ chuyển đổi DAC chính là khâu ZOH. 6GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1101/2009 7.2 Phép biến đổi Z 7.2.1 Định nghĩa n Xét tín hiệu rời rạc x(k) xác định với k³0. Biến đổi Z của x(k) là : k k 0 X(z) Z[x(k)] x(k)z ¥ - = = = å ; z = eTs Miền hội tụ của X(z) là tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z) hữu hạn. (7-6) So sánh với biểu thức lấy mẫu của x(t) ở (7-4), ta thấy: k k 0 Tsz e X(z) x(k)z X*(s) ¥ - = = = =å Þ Bản chất của phép biến đổi Z một tín hiệu chính là rời rạc hoá tín hiệu đó theo thời gian. GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1201/2009 7.2 Phép biến đổi Z 7.2.2 Các tính chất cơ bản 1) Tính tuyến tính Nếu: X1(z) = Z[x1(k)] và X2(z) = Z[x2(k)] Thì: Z [a1x1(k) ± a2x2(k)] = a1X1(z) ± a2X2(z) 2) Định lý hàm chuyển dịch 3) Định lý tỉ lệ Nếu: X(z) = Z[x(k)] Thì: ( )kZ[a .x(k)] X z / a= ( Nhân hàm x(k) với ak Û thay z bằng z/a trong biến đổi Z ) Nếu: X(z) = Z[x(k)] ( Dịch x(k) sang phải/ trái n mẫu Û nhân Z[x(k)] với z -n hoặc zn ) Thì: nZ[x(k n)] z X(z)-- = nZ[x(k n)] z X(z)+ = 7GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1301/2009 7.2 Phép biến đổi Z 7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản 4) Định lý giá trị cuối Nếu X(z) = Z[x(k)] 1 k z 1 z 1 z 1x( ) lim x(k) lim(1 z )X(z) lim X(z) z - ®¥ ® ® -æ ö¥ = = - = ç ÷ è ø Thì: 1) Hàm xung Dirac rời rạc 1 (k) 0 ì d = í î Nếu k=0 Nếu k¹0 k 0 1 2 k 0 Z[ (k)] (k)z (0)z (1)z (2)z ... ¥ - - - - = d = d = d + d + då 0Z[ (k)] (0)z 1-Þ d = d = 0 0 1 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1401/2009 7.2 Phép biến đổi Z 7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản 2) Hàm bậc thang đơn vị 1 1(t) 0 ì = í î nếu t ³0 nếu t <0 1 1(k) 0 ì Þ = í î nếu k³0 nếu k<0 k k 0 Z[1(k)] 1(k)z ¥ - = = =å Nếu |z-1|1) thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, nên: 1 1 zZ[1(k)] z 11 z- = = -- Từ kết quả trên và áp dụng định lý tỉ lệ, ta có: k k z / a zZ[a ] Z[a .1(k)] (z / a) 1 z a = = = - - 1 21 z z ... z- - -¥+ + + + 8GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1501/2009 7.2 Phép biến đổi Z 7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản 3) Hàm mũ akT akT ex(k) e .1(k) 0 - - ì= = í î nếu k³0 nếu k<0 k aT 1 2aT 2 k 0 X[z] x(k)z 1 e z e z ... ¥ - - - - - = = = + + +å aT; e z 1> aT 1 1X[z] 1 (e z) - = = - aT z z e-- Nếu |(eaTz)-1|1) thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, nên: GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1601/2009 Một số biến đổi thường dùng (trang 163) d(t) 1(t) x(t) 7 4 3 2 1 TT 11d(k) 1(k) X(z)X(s)x(k) z z a- 1 z z - 1 s a+ ate- - T Ts ln(a) 1 s aT z z e-- /t Ta ka ( ) a s s a+ 1 1 aT aT z( e ) (z )(z e ) - - - - - 1 ate-- akte- 1 akte-- 9GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1701/2009 7.2 Phép biến đổi Z 7.2.4 Tìm X(z) từ ảnh Laplace X(s) Bước 1: Phân tích X(s) thành tổng các phân thức đơn giản X1(s), X2(s),.. Bước 2: Tra bảng để tìm X1(z), X2(z),.. tương ứng với X1(s), X2(s),… Lưu ý: Ví dụ 1: Tìm X(z) biết X(s) aX(s) s(s a) = + 2 KX(s) s (s a) = + 1X(s) (s a)(s b) = + +a) b) c) GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1801/2009 7.2.4 Tìm X(z) từ ảnh Laplace X(s) Giải. a 1 1Z Z s(s a) s s a é ù é ù= -ê ú ê ú+ +ë ûë û aT aT K K a K z(1 e )Z Z s(s a) a s(s a) a (z 1)(z e ) - - é ù é ù -æ ö æ ö= =ç ÷ ç ÷ê ú ê ú+ + - -è ø è øë û ë û Þ a) 2 2 2 K K 1 a 1Z Z (s a) ss (s a) a s é ù é ù = + -ê ú ê ú++ ë ûë û b) 2 aT 2 K z aTz z z 1a z e (z 1)- æ ö = + -ç ÷-- -è ø aT 2 aT aT 2 2 aT K (aT e 1)z (1 e aTe )z a (z 1) (z e ) - - - - æ ö+ - + - - = ç ÷ - -è ø aT aT aT z z z(1 e ) z 1 z e (z 1)(z e ) - - - - = - = - - - - 10 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1901/2009 7.2.5 Tìm biến đổi Z ngược Đặt vấn đề: Biết X(z), tìm hàm rời rạc x(k) = Z-1 [X(z)] Cách 1: Phân tích X(z) thành tổng các phân thức đơn giản rồi tra bảng tìm biến đổi Z ngược cho từng phân thức. Ví dụ 2: Tìm hàm rời rạc x(k) biết: zX(z) (z 1)(z 2) = - -Giải. Phân tích X(z) thành tổng: ( ) 1 1 z zX(z) z z 1 z 2 z 1 z 2 - -æ ö= + = +ç ÷- - - -è ø Tra bảng ta được: 1 k k kx(k) Z [X(z)] 1 2 1 2-= = - + = - + 1,0552zY(z) (z 1)(z 0,6486) = - + Ví dụ 2b: Tìm hàm rời rạc y(k) biết: 1 2A AY(z) 1,0552 z (z 1)(z 0,6486) (z 1) (z 0,6486) = = + - + - + Giải. Phân tích: GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2001/2009 7.2.5 Tìm biến đổi Z ngược Biến đổi Z ngược ta được: 1 z 1 z 1 Y(z) 1,0552A lim (z 1) lim 0,64 z z 0,6486® ® = - = = + 2 z 0,6486 z 0,6486 Y(z) 1,0552A lim (z 0,6486) lim 0,64 z z 1®- ®- = + = = - - 0,64z 0,64zY(z) z 1 z 0,6486 Þ = - - + ky(k) (0,64)[1 ( 0,6486) ]= - - Nhận xét: nếu a<0 và |a|<1 thì: ak >0 khi k=0,2,4,… ak <0 khi k=1,3,5,… |ak|®0 khi k®¥ 11 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2101/2009 7.2.5 Tìm biến đổi Z ngược Cách 2: Khai triển X(z) thành chuỗi luỹ thừa theo z-1 Þ dãy giá trị x(k) chính là các hệ số của chuỗi luỹ thừa (*) 2 z zX(z) (z 1)(z 2) z 3z 2 = = - - - + Ví dụ 2b: Tìm x(k) biết k 0 1 2 k 0 X(z) x(k)z x(0)z x(1)z x(2)z ... ÑN ¥ - - - = = = + + +å (*) Từ định nghĩa của phép biến đổi Z : Bên cạnh cách biểu diễn x(k) dưới dạng hàm số ta cũng có thể biểu diễn bằng cách liệt kê dãy giá trị của x(k) . { }x(k) x(0); x(1); x(2) ;...= GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2201/2009 7.2.5 Tìm biến đổi Z ngược (*) Giải. Thực hiện phép chia đa thức ta được : 1 2 3 4X(z) z 3z 7z 15z ...- - - -= + + + + { }x(k) 0;1; 3; 7 ;15 ;...= Þ Þ 12 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2301/2009 7.3 Hàm truyền hệ rời rạc 7.3.1 Tìm hàm truyền từ phương trình sai phân Xét hệ thống rời rạc có tín hiệu vào r(k), tín hiệu ra y(k) được mô tả bằng phương trình sai phân : 1 0 1 0( ) ( 1) ... ( ) ( ) ( 1) ... ( )+ + - + + + + - + +n n m ma y k n a y k n a y k b r k m b r k m b r k- -+ = + 1 1 0 1 1 0... ...n k n n k n k m k m m k m ka y a y a y b r b r b r+ - + - + - + -Û + + + = + + + trong đó n gọi là bậc của hệ thống rời rạc, n ³ m. Biến đổi Z hai vế ta được: 1 1 1 0 1 0( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )+ + + + + n n m m n n m ma z Y z a z Y z a Y z b z R z b z R z b R z - - - -+ = 1 1 1 0 1 0( ... ) ( ) ( ... ) ( ) n n m m n n m ma z a z a Y z b z b z b R z - - - -Û + + + = + + + GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2401/2009 7.3.1 Tìm hàm truyền từ phương trình sai phân Ví dụ: Cho hệ rời rạc mô tả bằng phương trình sai phân: m m 1 m m 1 0 n n 1 n n 1 0 b z b z ... bY(z)G(z) R(z) a z a z ... a - - - - + + + = = + + + Hàm G(z) được gọi là hàm truyền của hệ thống rời rạc. Þ Biến đổi Z hai vế : (n m) 1 m 1 m m m 1 1 0 1 n 1 n n n 1 1 0 z [b b z ... b z b z ]Y(z)G(z) R(z) a a z ... a z a z - - - - + - - - - + - - + + + + = = + + + + y(k 3) 5y(k 2) 8y(k 1) 3y(k) 2r(k 2) r(k)+ + + - + + = + + 3 2 2(z 5z 8z 3)Y(z) (2z 1)R(z)+ - + = + Hàm truyền: 2 3 2 Y(z) 2z 1G(z) R(z) z 5z 8z 3 + = = + - + 1 2 1 2 3 z (2 z ) 1 5z 8z 3z - - - - - + = + - + 13 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2501/2009 7.3.2 Tìm hàm truyền từ sơ đồ khối 1) Hai khối nối tiếp qua khâu lấy mẫu 1 2 1 2 Y(z)G(z) Z[G (s)].Z[G (s)] G (z).G (z) U(z) = = = 2) Hai khối nối trực tiếp 1 2 1 2 Y(z)G(z) Z[G (s).G (s)] G G (z) U(z) = = = GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2601/2009 7.3.2 Tìm hàm truyền từ sơ đồ khối 3) Hệ hở có khâu ZOH [ ]ZOH TsY(z) 1 eG(z) Z G (s).G(s) Z .G(s) U(z) s -é ù- = = = ê ú ë û 1 G(s) z 1 G(s)(1 z ).Z Z s z s - -é ù æ ö é ù= - = ç ÷ê ú ê úë û è ø ë û 14 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2701/2009 7.3.2 Tìm hàm truyền từ sơ đồ khối Hàm truyền hệ hở: k Y(z) G(z)G (z) R(z) 1 G(z) = = + z 1 G(s)G(z) Z z s -æ ö é ù= ç ÷ ê úè ø ë û Hàm truyền hệ kín: 4) Hệ kín- cấu trúc 1 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2801/2009 7.3.2 Tìm hàm truyền từ sơ đồ khối k Y(z) G(z)G (z) R(z) 1 GH(z) = = + z 1 G(s)G(z) Z ; z s -æ ö é ù= ç ÷ ê úè ø ë û Hàm truyền hệ kín: 5) Hệ kín- cấu trúc 2 z 1 G(s)H(s)GH(z) Z z s -æ ö é ù= ç ÷ ê úè ø ë û Trong đó: Nhận xét: Nếu H(s)=1 thì GH(z) G(z)= 15 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2901/2009 7.3.2 Tìm hàm truyền từ sơ đồ khối k Y(z) D(z).G(z)G (z) R(z) 1 D(z).GH(z) = = + z 1 G(s)G(z) Z ; z s -æ ö é ù= ç ÷ ê úè ø ë û Hàm truyền hệ kín: z 1 G(s)H(s)GH(z) Z z s -æ ö é ù= ç ÷ ê úè ø ë û Trong đó: Û 6) Hệ kín- cấu trúc 3 GH(z) G(z)=Nhận xét: Nếu H(s)=1 thì GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3001/2009 7.5 Phân tích hệ thống điều khiển rời rạc 7.5.1 Tính ổn định của hệ rời rạc n Từ chương 4, ta biết : Hệ thống điều khiển liên tục ổn định nếu tất cả các nghiệm của PTĐT đều nằm bên trái mặt phẳng phức. n Với hệ rời rạc, do z=eTs nên ta có kết luận tương ứng: Hệ thống điều khiển rời rạc sẽ ổn định nếu tất cả các nghiệm của PTĐT đều nằm trong vòng tròn đơn vị (tức là |zi|<1). 16 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3101/2009 7.5 Phân tích hệ thống điều khiển rời rạc 7.5.2 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz mở rộng n Để sử dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz cho hệ rời rạc ta đổi biến z thành w : 1 1 + = - wz w n Phép đổi biến z-w biến miền ngoài vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z thành nửa phải của mặt phẳng W, và miền bên trong vòng tròn đơn vị thành nửa trái mặt phẳng W. Phtrình đặc tính A(z)=0 sẽ thành A(w)=0. Ta dùng PTĐT A(w)=0 để xét ổn định. GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3201/2009 7.5 Phân tích hệ thống điều khiển rời rạc Ví dụ. Xét ổn định hệ thống có PTĐT: Đổi biến z=(w+1)/(w–1) ; PTĐT trở thành: 3 26z 2z 4z 1 0+ + + = 3 2w 1 w 1 w 16 2 4 1 0 w 1 w 1 w 1 + + +æ ö æ ö æ ö+ + + =ç ÷ ç ÷ ç ÷- - -è ø è ø è ø 3 2 2 36(w 1) 2(w 1) (w 1) 4(w 1)(w 1) (w 1) 0Û + + + - + + - + - = 3 213w 13w 15w 7w 0Û + + + = Bảng Routh: 7 08 713 1513 Các hệ số ở cột một đều dương nên hệ thống ổn định. 17 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3301/2009 7.5 Phân tích hệ thống điều khiển rời rạc 7.5.3 Tiêu chuẩn Nyquist-Bode mở rộng n Ta không thể sử dụng trực tiếp tiêu chuẩn ổn định Bode của hệ liên tục cho hệ rời rạc trong mặt phẳng Z vì mối quan hệ giữa z và s là z = eTs. Để sử dụng tiêu chuẩn Bode cho hệ rời rạc ta cần thực hiện phép đổi biến : 1 ( / 2) 1 ( / 2) + = - T wz T w Với phép biến đổi này, miền bên trong của vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z được ánh xạ thành nửa trái mặt phẳng W. n Sau khi thực hiện các phép biến đổi G(s) ® G(z) ® G(w) ta thay w=jv và được hàm tần số G(jv). Vẽ biểu đồ Bode với G(jv) và áp dụng tiêu chuẩn ổn định Bode như trường hợp hệ liên tục. GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3401/2009 7.5 Phân tích hệ thống điều khiển rời rạc 7.5.4. Đáp ứng quá độ hệ rời rạc 18 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3501/2009 Nhận xét (cách giải) k e( ) r( ) y( ) 1 lim y(k) ®¥ ¥ = ¥ - ¥ = - 1y(k) Z [Y(z)]-= k k z 1Y(z) R(z).G (z) G (z) z -æ ö= = ç ÷ è ø k Y(z) D(z).G(z)G (z) R(z) 1 D(z).G(z) = = + z 1 G(s)G(z) Z z s -æ ö é ù= ç ÷ ê úè ø ë û D(z) và G(s) : đã cho GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3601/2009 Ví dụ 7.12 (tr. 178) Cho hệ thống rời rạc có SĐK: Trong đó: 1G(s) s 6 = + ; D(z)=10; T= 0,01sec. Tìm đáp ứng quá độ và sai số xác lập của hệ với r(t)=1(t). Giải. z 1 G(s) z 1 1G(z) Z Z z s z s(s 6) - - é ùæ ö é ù æ ö= =ç ÷ ç ÷ ê úê ú +è ø ë û è ø ë û G(z) 6T 6T 1 (1 e ) 0,009706 6 z 0,9418(z e ) - - -æ ö= =ç ÷ --è ø 6T 6T z 1 z(1 e ) z (z 1)(z e 1 6 ) - - - -æ öæ ö= ç ÷ç ÷ - -è øè ø 19 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3701/2009 Ví dụ 7.12 (tr. 178) Hàm truyền hệ kín: k Y(z) D(z)G(z) 10G(z) 0,09706G (z) R(z) 1 D(z)G(z) 1 10G(z) z 0,8447 = = = = + + - Tín hiệu vào: zr(t) 1(t) R(z) z 1 = Þ = - k z 0,09706Y(z) R(z).G (z) z 1 z 0,8447 æ öæ öÞ = = ç ÷ç ÷- -è øè ø 1 2A AY(z) 0,09706 z (z 1)(z 0,8447) (z 1) (z 0,8447) Þ = = + - - - - 1 z 1 z 1 Y(z) 0,09706A lim (z 1) lim 0,625 z z 0,8447® ® = - = = - 2 z 0,8447 z 0,8447 Y(z) 0,09706A lim (z 0,8447) lim 0,625 z z 1® ® = - = = - - GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3801/2009 Ví dụ 7.12 (tr. 178) Biến đổi Z ngược ta được: Þ 0,625z 0,625zY(z) z 1 z 0,8447 = - - - k ky(k) (0,625)(1 0,8447 )= - Giá trị xác lập: k y( ) lim y(k) 0,625(1 0) 0,625 ®¥ ¥ = = - = k y( ) lim y(k) ®¥ ¥ =Hoặc: Sai số xác lập: e( ) 1 y( ) 0,375¥ = - ¥ = T=0.05 T=0.01 T=0.001 kz 1 limG (z) 0,625 ® = = Nhận xét: nếu 0<a<1 thì: ak >0 với mọi k |ak|®0 khi k®¥ 20 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 3901/2009 Bài tập 3 KG(s) s a = + ; K=14 ; a=6 ; T= 0,1sec ; e -aT = e-0,6 =0,5488 Tìm đáp ứng quá độ và sai số xác lập của hệ với r(t)=1(t). Giải. z 1 G(s) z 1 14G(z) Z Z z s z s(s 6) - - é ùæ ö é ù æ ö= =ç ÷ ç ÷ ê úê ú +è ø ë û è ø ë û 6T 6T 7 (1 e ) 3 (z e ) - - -æ ö= =ç ÷ -è ø 1,0528 z 0,5488- 6T 6T z 1 z(1 e ) z (z 1)(z e 14 6 ) - - - -æ öæ ö= ç ÷ç ÷ - -è øè ø GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 4001/2009 Bài tập 3 Hàm truyền hệ kín: k Y(z) G(z)G (z) R(z) 1 G(z) = = = + Tín hiệu vào: zr(t) 1(t) R(z) z 1 = Þ = - k z 1,0528Y(z) R(z).G (z) z 1 z 0,504 æ öæ öÞ = = ç ÷ç ÷- +è øè ø 1 2A AY(z) 1,0528 z (z 1)(z 0,504) (z 1) (z 0,504) = = + - + - + 1 z 1 z 1 Y(z) 1,0528A lim (z 1) lim z z 0,504® ® = - = = + 2 z 0,504 z 0,504 Y(z) 1,0528A lim (z 0,504) lim z z 1®- ®- = + = = - 0,7 0,7- 1,0528 z 0,504+ 21 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 4101/2009 Bài tập 3 Đáp ứng quá độ: Þ Giá trị xác lập: k y( ) lim y(k) 0,7 ®¥ ¥ = = Sai số xác lập: e( ) 1 y( ) 0,3¥ = - ¥ = 0,7z 0,7zY(z) z 1 z 0,504 = - - + 1y(k) Z [Y(z)]-= = Bảng giá trị và đồ thị: k(0,7) [1 ( 0,504) ]-- GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 4201/2009 7.6 Thiết kế bộ điều khiển PID số 7.6.1 Khái quát n Có nhiều sơ đồ điều khiển khác nhau có thể áp dụng cho hệ rời rạc và hệ số. Thường dùng nhất trong công nghiệp là hiệu chỉnh nối tiếp với bộ điều khiển PID số. n Thiết kế bộ điều khiển PID số là xác định hàm truyền với các thông số tối ưu của bộ PID số để hệ thống thoả mãn yêu cầu về độ ổn định, chất lượng quá độ, sai số xác lập. n Thực tế bộ PID số và các bộ điều khiển số nói chung chính là các thuật toán phần mềm (chương trình máy tính) . Từ hàm truyền của bộ điều khiển ta suy ra được phương trình sai phân mô tả quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra của bộ điều khiển. Quan hệ này được sử dụng để lập trình phần mềm điều khiển chạy trên máy tính hoặc vi xử lý. 22 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 4301/2009 7.6 Thiết kế bộ điều khiển PID số 7.6.2 Mô tả toán bộ PID số n Từ mô tả toán học của bộ PID liên tục: P I Du(t) u (t) u (t) u (t)= + + ( ) t P I D 0 de(t)K e t K e(t)d(t) K dt = + +ò n Khi chuyển sang mô hình PID số thì u(t) thay bằng uk=u(k): P I D k k k ku u u u= + + 1) Khâu tỉ lệ uP(t) = KP e(t) được thay bằng: P k P ku K e= Þ Hàm truyền khâu tỉ lệ: PP P U (z)G (z) K E(z) = = Đối tượng điều khiển liên tục GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 4401/2009 7.6 Thiết kế bộ điều khiển PID số 7.6.2 Mô tả toán bộ PID số 2) Khâu vi phân uD(t) = KD.(de/dt) được thay bằng sai phân lùi: Biến đổi Z hai vế, ta được: D k k 1 k D e eu K T --= 1 1D D D D K KE(z) z E(z) z 1U (z) K (1 z )E(z) E(z) T T T z - -- -= = - = Þ Hàm truyền khâu vi phân: D D D U (z) K z 1G (z) E(z) T z -æ ö= = ç ÷ è ø 23 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 4501/2009 7.6 Thiết kế bộ điều khiển PID số 7.6.2 Mô tả toán bộ PID số 2) Khâu tích phân có nhiều cách tính: a) Tích phân chữ nhật lùi: k I I k I i k 1 I k i 1 u K Te u K Te- = = = +å b) Tích phân chữ nhật tới: c) Tích phân hình thang: k I I k I i 1 k 1 I k 1 i 1 u K Te u K Te- - - = = = +å k I Ii 1 i k 1 k k I k 1 i 1 e e e eu K T u T 2 2 - - - = + + = = +å GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 4601/2009 7.6 Thiết kế bộ điều khiển PID số 7.6.2 Mô tả toán bộ PID số n Trong ba cách tính trên, tích phân hình thang cho k ết quả chính xác nhất, do đó thực tế ta thường dùng công thức: I I k 1 k k k 1 e eu u T 2 - - + = + ( )1 1II K TU (z) z U(z) z E(z) E(z)2 - -= + + Þ Hàm truyền khâu tích phân: 1 I I I I 1 U (z) K T K T1 z z 1G (z) E(z) 2 2 z 11 z - - æ ö+ +æ ö= = = ç ÷ç ÷ -- è øè ø n Từ các hàm truyền cơ bản vừa phân tích ở trên, ta rút ra được hàm truyền của bộ PI, PD, PID số như sau: Þ 24 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 4701/2009 7.6 Thiết kế bộ điều khiển PID số 7.6.2 Mô tả toán bộ PID số I PI P K T z 1G (z) K ; 2 z 1 +æ ö= + ç ÷-è ø D PD P K z 1G (z) K T z -æ ö= + ç ÷ è ø I D PID P K T Kz 1 z 1G (z) K 2 z 1 T z + -æ ö æ ö= + +ç ÷ ç ÷-è ø è ø Sơ đồ khối bộ PID số: