Bài giảng Hình thái tinh thể

Cơ sở hóa học tinh thể NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006. Tr 22 – 40. Từ khoá: Hình thái tinh thể, hình dạng tinh thể, nhóm điểm đối xứng. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục Chương 2 HÌNH THÁI TINH THỂ..........................................................................2 2.1 Yếu tố đối xứng và sự liên giữa chúng. ............................................................2 2.1.1 Yếu tố đối xứng ......................................................................................2 2.1.2 2.1.2. Sự liên quan giữa các yếu tố đối xứng ...........................................6 2.2 Nhóm điểm đối xứng và hình đơn của chúng....................................................8 2.2.1 Suy đoán nhóm điểm đối xứng ................................................................8 2.2.2 Hạng, hệ tinh thể ...................................................................................12 2.2.3 Kí hiệu nhóm điểm................................................................................12 2.2.4 Khái lược về hình thái tinh thể ..............................................................15 Chương 2. Hình thái tinh thể Trịnh Hân Ngụy Tuyết Nhung 2 Chương 2 HÌNH THÁI TINH THỂ Như đã nói, tinh thể là vật rắn dị hướng, đồng nhất. Các hạt tạo nên tinh thể sắp đặt thẳng đều trong không gian. Bắt nguồn từ bản chất đó, một trong những thuộc tính của tinh thể là khả năng tự tạo hình đều đặn riêng tuỳ đối xứng bên trong của mỗi pha rắn. Trên đa diện tinh thể, các đỉnh, cạnh và mặt hay nói chung các phần bằng nhau của nó có thể lặp lại nhau hoặc trùng nhau nhờ những thao tác đối xứng. Nhờ vậy, trong tinh thể nào đó vốn dĩ dị hướng đối với một tính chất, tính chất ấy có thể bộc lộ giống nhau theo những phương khác nhau (nếu chúng là các phương cân đối [13]). 2.1 Yếu tố đối xứng và sự liên giữa chúng. Hai thao tác đối xứng là phép phản chiếu qua mặt gương hay qua điểm và phép quay quanh trục; chúng cụ thể hoá bằng yếu tố đối xứng các loại. 2.1.1 Yếu tố đối xứng Tính đối xứng bộc lộ rõ trên bề mặt tinh thể; sự lặp lại được xác lập nhờ các thao tác chính sau: - Phép phản chiếu: các phần bằng nhau của tinh thể có thể lặp lại nhau, sau khi phản chiếu trong mặt phẳng (mặt gương) tưởng tượng đi qua trọng tâm của đa diện. - Phép quay: các phần bằng nhau của đa diện trùng lại nhau, sau khi quay quanh đường thẳng tưởng tượng đi qua trọng tâm của đa diện. Tương ứng với hai thao tác ấy là hai yếu tố đối xứng đặc trưng cho hình thái tinh thể là mặt đối xứng hay mặt gương và trục đối xứng hay trục xoay. Ngoài hai yếu tố đối xứng này còn có tâm đối xứng hay tâm nghịch đảo. Đây là phép phản chiếu qua điểm trọng tâm. Đa diện có tâm nghịch đảo thì từng đôi mặt đối của nó phải bằng nhau và song song ngược nhau (hình 2.1). Trong trường hợp này, các đôi mặt đối này phải lặp lại nhau sau khi phản chiếu qua một điểm tưởng tượng nằm trùng với trọng tâm của đa diện. Mặt đối xứng hay mặt gương: Hãy bổ đôi tinh thể muối ăn dạng khối lập phương, nó sẽ vỡ ra thành hai nửa bằng nhau. Đa diện lập phương bất kì luôn có ba mặt gương trực giao, song song với các mặt vuông của đa diện (hình 2.2,a). Ngoài ra, mặt phẳng chia đôi khối đa diện có thể đi qua đôi đường chéo song song của đôi mặt đối (hình 2.2,b). Khối lập phương có 6 mặt gương loại này và cả thảy nó có 9 mặt gương. Tinh thể các chất có một, hai, ba, bốn, Hình 2.1. Đa diện chứa yếu tố đối xứng duy nhất: tâm đối xứng 3 năm, bảy, chín mặt gương. Ví dụ, tinh thể thạch cao CaSO4.4H2O chỉ có một mặt gương (hình 2.3 và 2.4). Hình 2.2 Khối lập phương với ba mặt gương dọc các cạnh (a) và sáu mặt gương dọc các đường chéo (b) Trục đối xứng: Trong tinh thể thạch cao có yếu tố đối xứng thứ hai là trục đối xứng. Đây là đường thẳng đi qua trọng tâm của hình và vuông góc với mặt gương (hình 2.4). Nếu quay tinh thể 360o quanh trục đối xứng này thì đa diện tinh thể sẽ trùng với chính nó hai lần. Mỗi lần ứng với góc quay180o. Đó là trục xoay (đối xứng) bậc hai hay trục hai. Trong tinh thể khối lập phương của muối ăn, trục bậc hai nối trung điểm từng đôi cạnh đối; do đó nó có 6 trục hai. Ngoài ra, khối lập phương còn có ba trục bậc bốn đi qua trung điểm của từng đôi mặt đối và bốn trục ba nối các đỉnh xuyên tâm đối (hình 2.5). Trục bậc bốn có góc quay cơ sở 90o, trục bậc ba 120o. Vậy, bậc n của trục 360 n °= α với α là góc quay cơ sở, tức là góc quay nhỏ nhất cho phép hình trùng với nó một lần khi xoay quanh trục. Khi α = 180o, n = 2, ta có trục xoay bậc hai; khi α = 120o, n = 3, trục xoay bậc ba; khi α = 90o, n = 4, trục xoay bậc bốn; khi α = 60o, n = 6, trục xoay bậc sáu. Hình 2.3 Tinh thể thạch cao với mặt gương và trục bậc hai vuông góc Trục bậc hai song song mặt hình (a) và vuông góc mặt hình (b) 4 Hình 2.4 Các yếu tố đối xứng của tinh thể thạch cao thể hiện trên biểu đồ hình chiếu nổi (chưa kể tâm nghịch đảo tại giao điểm, xem sau) Hình 2.5 Các trục bậc hai, ba và bốn của khối lập phương Trục đối xứng phức (trục phức).Trên đây đã xét các trục đối xứng đơn (trục đơn). Ngoài phép xoay (180o,120o, 90o, 60o), trục phức chứa phép nghịch đảo gọi là trục nghịch đảo, chứa phép phản chiếu qua mặt gương vuông góc gọi là trục gương. Hình 2.6,a giới thiệu trục nghịch đảo bậc một. Điểm xoay một vòng quanh trục thì trở về điểm xuất phát. Sau phép nghịch đảo điểm a tới vị trí điểm a1. Đó là tác dụng của trục nghịch đảo bậc một. Nếu không nghịch đảo qua tâm, mà phản chiếu qua mặt gương vuông góc với trục thì điểm a sẽ tới trùng với '1a . Đó là tác dụng của trục gương bậc một. Hình 2.6 Trục nghịch đảo và trục gương bậc một (a) và bậc hai (b) Sơ đồ cho thấy, trục nghịch đảo bậc một tương đương tâm đối xứng, còn trục gương bậc một tương đương mặt đối xứng gương. Các bước chuyển hình học của trục nghịch đảo bậc hai thể hiện trên hình 2.6.b. Trên sơ đồ, điểm a xoay 180o quanh trục thì tới a’, rồi nghịch đảo qua tâm của tinh thể thì tới a1. Đó là tác dụng của trục nghịch đảo bậc hai. Bây giờ cho a’ phản chiếu qua mặt gương vuông góc thì nó sẽ về vị trí '1a . Như vậy, nhờ tác dụng của trục gương bậc hai, điểm a tới trùng với ' 1a . Trục nghịch đảo bậc hai tương đương trục gương bậc một hay mặt gương (hình b: từ điểm a sang a1), còn trục gương bậc hai tương đương trục nghịch đảo bậc một hay tâm đối xứng (hình a: từ điểm a sang a1). 5 Những thao tác thực hiện bằng trục nghịch đảo bậc ba thể hiện trên hình 2.7,a. Mỗi điểm a1, a2 hay a3 thuộc phần trên của tinh thể có thể lần lượt trùng với mỗi điểm a4, a5 hay a6 của phần dưới bằng phép quay 120o quanh trục và phản chiếu qua tâm. Điểm a1 xoay 120o quanh trục tới vị trí a2 rồi nghịch đảo qua tâm để tới trùng với a4; điểm a2 xoay quanh trục để tới a3, rồi phản chiếu qua tâm sẽ trùng với a5; cũng như thế, a3 sang a1 rồi tới a6. Đây là tác dụng của trục nghịch đảo bậc ba. Hình 2.7 Trục nghịch đảo bậc ba (a) và bậc sáu (b) Nếu các điểm phần trên tinh thể sau khi xoay quanh trục, không nghịch đảo qua tâm mà phản chiếu qua mặt gương vuông góc, thì chúng sẽ lần lượt tới trùng với các điểm phần dưới (xem hình 2.7,b). Đây là tác dụng của trục gương bậc ba. Trong trường hợp này, mỗi điểm ở phần trên nằm ngay bên trên điểm phần dưới. Bây giờ, nếu cho mỗi điểm phần trên xoay 60° quanh trục (a1 tới '1a , a2 tới ' 1a v.v..) và lần lượt nghịch đảo qua tâm tinh thể thì chúng sẽ tới các điểm phần dưới. Đây là trường hợp của trục nghịch đảo bậc sáu. Quay lại sơ đồ hình 2.7,a, có thể đưa các điểm phần trên tới trùng các điểm phần dưới bằng phép xoay 60o và phép phản chiếu tiếp theo qua mặt gương vuông góc: thao tác của trục gương bậc sáu. Như vậy, trục nghịch đảo bậc ba tương đương trục gương bậc sáu và trục nghịch đảo bậc sáu tương đương trục gương bậc ba. Mặt khác, trục nghịch đảo bậc ba là sự kết hợp của trục xoay bậc ba và tâm đối xứng; còn trục nghịch đảo bậc sáu (trục gương bậc ba) là sự kết hợp của trục xoay bậc ba và mặt gương vuông góc. Hình 2.8 giới thiệu thao tác của trục nghịch đảo bậc bốn. Để dẫn các điểm a1 và a2 phía trên tinh thể đến các vị trí a3 và a4 ở phía dưới, hãy cho chúng xoay 90° quanh trục rồi phản chiếu qua tâm điểm. Sơ đồ các điểm cho thấy có thể thay phép nghịch đảo qua tâm bằng phép phản chiếu qua mặt gương vuông góc, mà kết quả không khác. 6 Hình 2.8 Trục nghịch đảo bậc bốn (a) thể hiện trên tinh thể (b) và trên biểu đồ hình chiếu nổi (c) Như vậy, trục nghịch đảo bậc bốn và trục gương bậc bốn là những yếu tố đối xứng tương đồng. Nhận xét: - Các trục bậc chẵn chứa góc quay cơ sở của trục hai, riêng trục bậc sáu còn chứa cả góc quay cơ sở của trục bậc ba. - Trục nghịch đảo bậc bốn chứa góc quay cơ sở của trục bậc hai. - Tinh thể không chứa trục bậc năm và trục bậc cao hơn sáu [13]. Tuy vậy, trong thực tế chỉ một dạng trục phức được sử dụng: trục nghịch đảo. Hơn nữa trong đối xứng hình thái chúng hầu hết được thay bằng các yếu tố đối xứng đơn: trục nghịch đảo bậc một thay bằng tâm đối xứng, trục nghịch đảo bậc hai thay bằng mặt gương, trục nghịch đảo bậc ba thay bằng trục xoay bậc ba cộng tâm đối xứng và cuối cùng trục nghịch đảo bậc sáu thay bằng trục xoay bậc ba cộng mặt gương vuông góc. Duy trục nghịch đảo bậc bốn hay trục gương bậc bốn là không thể thay thế bằng bất kì yếu tố đối xứng nào. Vì vậy, tinh thể học hình thái có bảy yếu tố đối xứng thông dụng: 1) Tâm đối xứng, hay tâm nghịch đảo, hay trục (đối xứng) nghịch đảo bậc một, kí hiệu 1 , hay C. 2) Trục xoay (đối xứng) bậc hai hay trục hai, kí hiệu 2, hay L2. 3) Trục xoay (đối xứng) bậc ba hay trục ba, kí hiệu 3, hay L3. 4) Trục xoay (đối xứng) bậc bốn hay trục bốn, kí hiệu 4, hay L4. 5) Trục (đối xứng) nghịch đảo bậc bốn, kí hiệu 4 , hay Li4. 6) Trục xoay (đối xứng) bậc sáu hay trục sáu, kí hiệu 6, hay L6. 7) Mặt đối xứng hay mặt gương, kí hiệu m, hay P. 2.1.2 Sự liên quan giữa các yếu tố đối xứng Mỗi đa diện tinh thể chỉ có một tổ hợp yếu tố đối xứng để biểu thị tính đối xứng của nó. Nhiều tinh thể, tuy khác nhau về hình dạng, nhưng lại có chung những yếu tố đối xứng. Chẳng hạn, khối lập phương là đa diện tinh thể của muối ăn/halit NaCl và khối bát diện đều là đa diện tinh thể của khoáng vật magnetit Fe3O4; các đa diện này có chung một tổ hợp yếu tố đối xứng, một nhóm điểm: chúng thuộc một lớp tinh thể. Số lượng đa diện tinh thể thì hàng 7 vạn và tăng lên không ngừng theo thời gian. Chúng tập hợp lại trong 32 lớp tinh thể với mỗi lớp một nhóm điểm đặc trưng cho đối xứng mọi cá thể của lớp. Như đã kể trên, trong tinh thể học hình thái có 7 yếu tố đối xứng. Thoạt nhìn, theo cách tổ hợp thông thường, từ 7 yếu tố có thể suy ra số nhóm điểm nhiều hơn 32. Thực ra, tinh thể học có những quy tắc nghiêm ngặt áp dụng cho sự tổ hợp này. 9 Quy tắc một Hai trục bậc hai giao nhau dưới góc 180° : n làm xuất hiện trục bậc n vuông góc với chúng. Nếu các trục hai cùng tên, trục n mới sinh sẽ là trục xoay; nếu chúng khác tên thì trục bậc n mới sinh sẽ là trục nghịch đảo. Nhờ sự tương tác của trục bậc n, các trục hai vuông góc với nó sẽ tăng số lượng tổng bằng n, nếu trục bậc n là trục nghịch đảo thì vuông góc sẽ là các trục bậc hai khác tên xen kẽ nhau. Quy tắc này cụ thể hoá bằng các trường hợp sau. Ví dụ một, vuông góc với hai trục xoay bậc hai dưới góc 45o là trục xoay bậc bốn, ngoài ra các trục xoay bậc hai vuông góc sẽ đạt số tổng là 4. Trong ví dụ hai, giao nhau dưới góc 45° là trục xoay bậc hai và trục bậc hai nghịch đảo (hình 2.9,a). Trục bậc n mới sinh là trục nghịch đảo bậc bốn. Dưới tác dụng của trục bậc hai trong nó, số lượng trục xoay bậc hai vuông góc với nó sẽ là 2, chúng vuông góc với nhau. Xen giữa chúng là 2 trục bậc hai nghịch đảo; trên hình, chúng thay bằng 2 mặt gương thẳng góc (yếu tố đối xứng tương đương). Chúng vuông góc nhau và nhận trục bậc bốn nghịch đảo làm giao tuyến. Trên hình 2.9,b là sơ đồ của ví dụ thứ ba, các trục hai khác tên cắt nhau dưới góc 30°. Trục đối xứng sinh ra là trục nghịch đảo bậc sáu; nó biểu thị bằng trục xoay bậc ba cộng mặt gương vuông góc. 9 Quy tắc hai Mặt đối xứng phân bố trong đa diện tinh thể theo những cách sau : - Vuông góc với trục đối xứng; - Đi qua trục đối xứng, cắt nhau dưới góc bằng một nửa góc quay cơ sở của trục xoay, hay bằng góc quay cơ sở của trục nghịch đảo và nhận trục làm giao tuyến; - Phân đôi góc giữa 2 trục cùng tên (xem hình 2.9). 9 Quy tắc ba Trục cùng tên có thể cắt nhau dưới những góc hoàn toàn xác định: - Trục bậc hai cắt nhau dưới góc 60°, 90°, 120° và 180°; - Trục bậc ba cắt nhau dưới góc 70°31′44″ và 180°; - Trục bậc bốn cắt nhau dưới góc 90° và 180°; - Trục bậc sáu cắt nhau dưới góc 180°. Hình 2.9 Các trục hai khác tên (trục xoay và trục nghịch đảo) cắt nhau sinh trục bậc n nghịch đảo vuông góc a) dưới 45o cho trục bốn và b) dưới 30o cho trục sáu 8 Ví dụ, trong đa diện lập phương, các trục bậc bốn đều cắt nhau dưới góc vuông, còn các trục bậc ba thì dưới góc 70°31′44″ (xem hình 2.5) các trục cùng tên này cũng cắt nhau dưới góc 180°. Dưới ánh sáng của quy tắc này, có thể đưa ra khái niệm trục phân cực; trục nối hai phần khác nhau của tinh thể. Các trục còn lại nối hai đầu giống nhau của tinh thể; nói cách khác, chúng là hai trục cắt nhau dưới góc 180°, do tác động của ít nhất một trong ba yếu tố đối xứng mà chúng chứa: tâm đối xứng, mặt gương/trục bậc hai vuông góc. 9 Quy tắc bốn Nếu tinh thể có phương đơn (là phương không chịu tác dụng của yếu tố đối xứng), mọi yếu tố đối xứng có thể trùng với nó và không thể cắt nó dưới góc bất kì. Riêng trục bậc hai có thể cắt nó dưới góc vuông [13]. Các trục nghịch đảo bậc bốn (a) hay bậc sáu (b) trên hình 2.9 đều trùng với phương đơn; sơ đồ trên hình không cho thấy yếu tố đối xứng nào cắt chúng, trừ các trục bậc hai. 2.2 Nhóm điểm đối xứng và hình đơn của chúng Đa diện tinh thể dù phong phú, chúng đều quy về 47 hình đơn. Tuỳ tính đối xứng của chúng, số hình đơn này được suy đoán bằng các thao tác đối xứng của 32 nhóm điểm. 2.2.1 Suy đoán nhóm điểm đối xứng Như trên đã nói, về mặt hình thái tinh thể chia ra làm 32 lớp; đặc trưng cho đối xứng của mỗi lớp là dạng đối xứng, còn gọi nhóm điểm đối xứng hay nhóm điểm (tất cả các yếu tố đối xứng của nhóm điểm đều nhận trọng tâm của tinh thể làm giao điểm, điểm bất biến). Dưới đây, sẽ suy đoán 32 nhóm điểm bằng việc sử dụng 5 dạng đối xứng đơn giản nhất (hình 2.10). Tương ứng với chúng là 5 hình đơn (tập hợp các mặt liên quan với nhau nhờ các yếu tố đối xứng của nhóm điểm). Tham khảo các chương tương ứng [13,14] để biết thêm các cách suy đoán nhóm điểm và hình đơn. a) Tinh thể dạng này không có yếu tố đối xứng (chỉ có trục bậc một). Hết thảy các mặt trên đa diện tinh thể đều khác nhau, nên không trùng lặp nhau. Mỗi mặt cho một hình đơn. Đó là hình đơn một mặt (hình 2.10,a). 9 b) Tinh thể chứa tâm đối xứng. Mỗi mặt trên đa diện đều có một mặt đối bằng nó, song song ngược chiều với nó. Hai mặt đối này tạo hình đơn gọi là đôi mặt (hình 2.10,b). c) Đối xứng của tinh thể thể hiện bằng trục bậc hai (phân cực). Mỗi mặt đều có thể trùng với mặt khác bằng phép xoay 180° quanh trục. Hai mặt ở vị trí tổng quát này kéo dài sẽ cắt nhau như hai mái nhà (hình 2.10,c) tạo nên hình đơn hai mặt (trục). d) Từng cặp mặt dạng mái nhà đối xứng nhau qua mặt gương duy nhất, cho hình đơn hai mặt (hình 2.10,d). Hình đơn hai mặt này sinh ra do tác động của mặt gương, khác với hai mặt (trục) do trục hai sinh ra. Nhiều tác giả phân biệt hai hình đơn: hai mặt và hai mặt trục, nên số hình đơn sẽ là 48 thay cho 47. e) Đối xứng của đa diện biểu thị bằng tổ hợp 2 yếu tố đối xứng trực giao: trục xoay bậc hai và mặt gương. Nhờ những thao tác đối xứng này, mặt ở vị trí tổng quát này (hình 2.10,e) sẽ sinh ra hình đơn lăng trụ (trực thoi). Dưới tác dụng của mỗi trục đối xứng bậc cao, 5 dạng đối xứng đơn giản kèm hình đơn này sẽ cho 5 dạng đối xứng/hình đơn cao hơn. Hình 2.11 giới thiệu 5 dạng đối xứng/hình đơn khác nhau, hình thành nhờ tác dụng của trục bậc ba đối với 5 dạng đối xứng/hình đơn chính đã kể trên. Chẳng hạn, hình đơn một mặt xoay quanh trục bậc ba phân cực cho hình đơn tháp ba phương (hình 2.11,a). Sau ba lần quay quanh trục bậc ba này, hình đơn đôi mặt tạo hình đơn mặt thoi với các yếu tố đối xứng là trục bậc ba, ba mặt gương nhận nó làm giao tuyến, ba trục bậc hai vuông góc với nó (mỗi trục hai còn vuông góc với một mặt gương) và tâm nghịch đảo (hình 2.11,b). Bằng cách tương tự, hình đơn hai mặt (trục) cho hình đơn mặt thang ba phương với trục đối xứng bậc ba và ba trục xoay bậc hai phân cực vuông góc (hình 2.11,c). Hình 2.11 Năm dạng đối xứng suy ra từ sự kết hợp giữa trục ba với mỗi dạng đối xứng đơn giản Hình đơn hai mặt cho hình đơn tháp ba phương kép với trục bậc ba phân cực và ba mặt gương nhận nó làm giao tuyến (hình 2.11,d). Hình lăng trụ trực thoi cho hình đơn mặt tam giác lệch ba phương với trục bậc ba, ba mặt gương nhận nó làm giao tuyến, ba trục bậc hai và tâm đối xứng (hình 2.11,e). 10 Lần lượt thay trục đối xứng bậc ba bằng các trục đối xứng cao hơn và xử lí như trên sẽ nhận được tất cả các tổ hợp đặc trưng của 32 nhóm điểm (mỗi nhóm lấy tên của hình đơn tổng quát của nó, xem thêm bảng 2.1) như liệt kê dưới đây [13,14]. Không có yếu tố đối xứng: 1) Nhóm điểm một mặt Chỉ có trục đối xứng: 2) Nhóm điểm hai mặt (trục) với trục xoay bậc hai. 3) Nhóm điểm tháp ba phương với trục bậc ba. 4) Nhóm điểm tháp bốn phương với trục bậc bốn. 5) Nhóm điểm tháp sáu phương với trục bậc sáu. 6) Nhóm điểm bốn mặt ba (ngũ giác) với 4 trục bậc ba định hướng như 4 đường chéo của khối lập phương và 3 trục xoay bậc hai trực giao chạy dọc các cạnh của nó. 7) Nhóm điểm bốn mặt trực thoi với 3 trục xoay bậc hai vuông góc. 8) Nhóm điểm mặt thang ba phương với trục xoay bậc ba và 3 trục xoay bậc hai vuông góc. 9) Nhóm điểm mặt thang bốn phương với trục xoay bậc bốn và 4 trục xoay bậc hai vuông góc. 10) Nhóm điểm mặt thang sáu phương với trục xoay bậc sáu và 6 trục xoay bậc hai vuông góc. 11) Nhóm điểm tám mặt ba (ngũ giác) với bốn trục bậc ba định hướng dọc 4 đường chéo của khối lập phương, ba trục xoay bậc bốn dọc các cạnh và 6 trục xoay bậc hai nối trung điểm các cạnh đối của nó. Chỉ có trục nghịch đảo: 12) Nhóm điểm đôi mặt với trục nghịch đảo bậc một (tâm đối xứng). 13) Nhóm điểm hai mặt với trục nghịch đảo bậc hai (mặt gương). 14) Nhóm điểm mặt thoi với trục bậc ba nghịch đảo (trục xoay bậc ba cộng tâm nghịch đảo). 15) Nhóm điểm bốn mặt bốn phương với trục nghịch đảo bậc bốn. Có trục và mặt gương vuông góc (trường hợp trục chính mang bậc chẵn sẽ có thêm tâm đối xứng): 16) Nhóm điểm lăng trụ (trực thoi) với trục xoay bậc hai, mặt gương vuông góc và tâm đối xứng. 17) Nhóm điểm tháp đôi ba phương với trục xoay bậc ba và mặt gương vuông góc. Tổ hợp này tương ứng trục nghịch đảo bậc sáu. 18) Nhóm điểm tháp đôi bốn phương với trục xoay bậc bốn, mặt gương vuông góc. 19) Nhóm điểm tháp đôi sáu phương với trục xoay bậc sáu, mặt gương vuông góc. 11 20) Nhóm điểm mười hai mặt kép với 3 trục bậc hai song song với các cạnh của khối lập phương, 3 mặt gương vuông góc với chúng, và 4 trục bậc ba dọc 4 chéo của khối lập phương. Có trục và các mặt gương đi qua (song song): 21) Nhóm điểm tháp trực thoi với trục xoay đối xứng bậc hai và hai mặt đối xứng gương trực giao nhận nó làm giao tuyến. 22) Nhóm điểm tháp ba phương kép với trục xoay đối xứng bậc ba và ba mặt gương giao nhau dưới góc 120°. 23) Nhóm điểm tháp bốn phương kép với trục xoay đối xứng bậc bốn và bốn mặt đối xứng gươ