Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 4.4: Ước lượng khoảng cho tỉ lệ tổng thể

BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Giảng viên ThS. Lê Trƣờng Giang TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING KHOA CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ Chƣơng 3 MẪU NGẪU NHIÊN VÀ BÀI TOÁN ƢỚC LƢỢNG Bài 3 ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG CHO TỈ LỆ TỔNG THỂ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT & THỐNG KÊ TOÁN Bài 3. Ước lượng khoảng cho tỉ lệ tổng thể 3.1.2. Ví dụ minh họa 3.1.1. Xây dựng khoảng ƣớc lƣợng 3.1. Ƣớc lƣợng khoảng cho tỷ lệ tổng thể 3.1.3. Bài tập nhóm 3.2.Khoảng ƣớc lƣợng một phía 3.2.1. Tối đa 3.2.2.Tối thiểu Tài liệu tham khảo 1. Bài giảng Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán, Trƣờng Đại học Tài Chính - Marketing. 2. Tập bài giảng Xác suất và Thống kê Toán – Lê Trường Giang. 3. Lê Sĩ Đồng (2013)- Giáo trình Xác suất - Thống kê –NXB GDVN. 4. Lê Khánh Luận, Nguyễn Thanh Sơn (2011)-Lý thuyết xác suất và thống kê-NXBĐHQG TpHCM. 5. Trần Lộc Hùng (2005)- Giáo trình Xác suất Thống kê –NXB GDVN. 6. Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Ngô Văn Thứ (2012) – Giáo trình Lý thuyết xác suất và Thống kê – NXB Đại học Kinh Tế Quốc Dân, HN. Bài 3. Ước lượng khoảng tham số tỉ lệ tổng thể Giả sử trong tổng thể ta quan tâm những phần tử có tính chất A với tỷ lệ là p chưa biết. Từ tổng thể, ta chọn ra một mẫu gồm n phần tử, kiểm tra mẫu này ta có tỷ lệ phần tử có tính chất A là f. Với một mẫu chọn được, cùng với độ tin cậy cho trước , nhiệm vụ của bài toán ƯLTL là cần xác định khoảng sao cho 1   1 2 ,p p       1 2 1P p p p 3.1. Ước lượng khoảng của tỷ lệ tổng thể Cho là mẫu ngẫu nhiên của tổng thể X có tỉ lệ p, F là tỉ lệ mẫu ngẫu nhiên, f là tỉ lệ mẫu cụ thể, n là kích thước mẫu, là độ tin cậy của ước lượng. Ta xây dựng khoảng ước lượng (đối xứng) cho p: 1   1 2, , ..., nX X X XÂY DỰNG KHOẢNG ƢỚC LƢỢNG         0,1 1 d F p G Z N p p n Khi đó 1                                          1 1 1 1 2 2 2 2 1P z G z P G z P G z Theo đlghtt, ta có          1 2 1 2 z z                           1 2 1 2 ; 2 1 . 2 P G z P G z Với ta cần xác định thỏa mãn XÂY DỰNG KHOẢNG ƢỚC LƢỢNG                          1 1 2 2 1 * 1 F p P z z p p n                        1 1 2 2 1 1 1 F F F F P F z p F z n n Khi n đủ lớn, theo đlghtt ta có thể thay Suy ra    1 1X Xp p s F F      Khi đó, từ (*) ta suy ra     2 1 ; ., f f z n f f      Vậy , trên mẫu cụ thể ta thay F bởi f, ta đƣợc khoảng ƣớc lƣợng của p với độ tin cậy 1  0 1 2 z 1 2 z  / 2 / 2 1             30 5 1 5 n nf n f Trƣớc ngày bầu cử tổng thống, một cuộc thăm dò dƣ luận đã tiến hành. Ngƣời ta chọn ngẫu nhiên 100 ngƣời để hỏi ý kiến thì có 60 ngƣời nói rằng họ sẽ bỏ phiếu cho ông A. Hãy ƣớc lƣợng (khoảng đối xứng) tỉ lệ cử tri bỏ phiếu cho ông A với độ tin cậy 95%. Ví dụ 1 Hướng dẫn tra bảng X .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2,1 0.0000 0389 0793 1179 1554 1915 2257 2580 2881 3159 3413 3643 3849 4032 1492 4332 4452 4554 4641 4713 4772 4821 0.0040 0438 0832 1217 1591 1950 2291 2611 2910 3186 3438 3665 3869 4049 4207 4345 4463 4564 4649 4719 4778 4826 0.0080 0478 0871 1255 1628 1985 2324 2642 2939 3212 3461 3686 3888 4066 4222 4357 4474 4573 4656 4726 4783 4830 0.0120 0517 0910 1293 1664 2019 2357 2673 2967 3238 3485 3708 3907 4082 4236 4370 4484 4582 4664 4732 4788 4834 0.0160 0557 0948 1331 1700 2054 2389 2703 2995 3264 3508 3729 3925 4099 4251 4382 4495 4591 4671 4738 4793 4838 0.0199 0396 0987 1368 1736 2088 2422 2734 3023 3289 3531 3749 3944 4115 4265 4394 4505 4599 4678 4744 4793 4838 0.0239 0636 1026 1406 1772 2123 2454 2764 3051 3315 3554 3770 3962 4131 4279 4406 4515 4608 4686 4750 4803 4846 0.0279 0675 1064 1443 1808 2157 2486 2794 3078 3340 3577 3790 3980 4147 4292 4418 4525 4616 4693 4756 4808 4850 0.0319 0714 1103 1480 1844 2190 2517 2823 3106 3365 3599 3810 3997 4162 4306 4429 4535 4625 4699 4761 4812 4854 0.0359 0753 1141 1517 1879 2224 2549 2852 3133 3389 3621 3830 4015 4177 4319 4441 4545 4633 4706 4767 4817 4857 Bảng giá trị tích phân Laplace (hàm phân phối xs Gauss)   2 0 0 1 exp 22 x t x dt           750 0.95;  0,475 2 1,96  z z0 2 0,475 2          z 1. .06 Ví dụ 1 + Ta nhận thấy Hƣớng dẫn             100 30 60 5 1 40 5 n nf n f + Sai số (độ chính xác) của ước lượng            2 1 0,6. 1 0,6 1,96. 0,096 100 f f z n + Khoảng ước lượng tỉ lệ       ; 0,504;0,696 .f f Ví dụ 2 Trƣớc ngày bầu cử tổng thống, một cuộc thăm dò dƣ luận đã tiến hành. Ngƣời ta chọn ngẫu nhiên 100 ngƣời để hỏi ý kiến thì có 60 ngƣời nói rằng họ sẽ bỏ phiếu cho ông A. Để ƣớc lƣợng tỷ lệ ngƣời dân bỏ phiếu cho ông A với độ tin cậy 90% và sai số không vƣợt quá 2% thì cần phải điều tra thêm ít nhất bao nhiêu ngƣời nữa. Ví dụ 2 Độ chính xác của ước lượng được xác định   2 1f f z n    Theo giả thiết ta có                      2 0,45 2 2 2 2 1 1 0,02 0,02 0,02 0,6.0,4 1,645 1623,615 0,02 f f f f z n z n n n Vậy cần phải điều tra thêm ít nhất là 1524 người. Hướng dẫn Các bƣớc giải bài toán ƣớc lƣợng tỷ lệ Bƣớc 1 Xác định các tham số (n, f, ) Bƣớc 2 Tính độ chính xác (mức sai số) Bƣớc 3 Kết luận 1     2 2 22 11 f f n z f f n z         ;p f f    3.2. Khoảng ước lượng một phía   1 2 1 . f f p f z n     Khoảng tin cậy tối đa của p với độ tin cậy 1    1 2 1 . f f f z p n     Khoảng tin cậy tối thiểu của p với độ tin cậy 1  Ví dụ 3 Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm do một máy sản xuất thấy có 20 phế phẩm. Với mức ý nghĩa 5%, a) Hãy ƣớc lƣợng tỷ lệ phế phẩm tối đa của máy đó. b) Hãy ƣớc lƣợng tỷ lệ phế phẩm tối thiểu của nhà máy đó. Hướng dẫn tra bảng X .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2,1 0.0000 0389 0793 1179 1554 1915 2257 2580 2881 3159 3413 3643 3849 4032 1492 4332 4452 4554 4641 4713 4772 4821 0.0040 0438 0832 1217 1591 1950 2291 2611 2910 3186 3438 3665 3869 4049 4207 4345 4463 4564 4649 4719 4778 4826 0.0080 0478 0871 1255 1628 1985 2324 2642 2939 3212 3461 3686 3888 4066 4222 4357 4474 4573 4656 4726 4783 4830 0.0120 0517 0910 1293 1664 2019 2357 2673 2967 3238 3485 3708 3907 4082 4236 4370 4484 4582 4664 4732 4788 4834 0.0160 0557 0948 1331 1700 2054 2389 2703 2995 3264 3508 3729 3925 4099 4251 4382 4495 4591 4671 4738 4793 4838 0.0199 0396 0987 1368 1736 2088 2422 2734 3023 3289 3531 3749 3944 4115 4265 4394 4505 4599 4678 4744 4793 4838 0.0239 0636 1026 1406 1772 2123 2454 2764 3051 3315 3554 3770 3962 4131 4279 4406 4515 4608 4686 4750 4803 4846 0.0279 0675 1064 1443 1808 2157 2486 2794 3078 3340 3577 3790 3980 4147 4292 4418 4525 4616 4693 4756 4808 4850 0.0319 0714 1103 1480 1844 2190 2517 2823 3106 3365 3599 3810 3997 4162 4306 4429 4535 4625 4699 4761 4812 4854 0.0359 0753 1141 1517 1879 2224 2549 2852 3133 3389 3621 3830 4015 4177 4319 4441 4545 4633 4706 4767 4817 4857 Bảng giá trị tích phân Laplace (hàm phân phối xs Gauss)   2 0 0 1 exp 22 x t x dt           450  0 0,5 0,450,05 0,5 0,45 1,645z z        1.6 .05 Ví dụ 3 Ta có            1 2 20 0,05 400 1 0,05.0,95 1,645. 0,0179 400 f f f z n a) Khoảng tin cậy tối đa    0,0679p f b) Khoảng tin cậy tối thiểu    0,0321p f Các bƣớc giải bài toán ƣớc lƣợng tỷ lệ Bước 1: Xác định  Kích thước mẫu: n  Tỉ lệ mẫu: f  Độ tin cậy: Bước 2: Tính độ chính xác I. Đối xứng II. Một phía   2 1f f n z   Bước 3: Kết luận i. Khoảng tin cậy đối xứng ii. Khoảng tin cậy tối đa iii. Khoảng tin cậy tối thiểu 1     ;p f f    p f   p f     1 2 1f f z n     Bài 1. Một vùng có 3000 hộ gia đình. Để điều tra nhu cầu tiêu dùng một loại hàng hóa tại vùng đó ngƣời ta nghiên cứu ngẫu nhiên 100 gia đình và thấy có 74 gia đình có nhu cầu về loại hàng hóa trên. Với độ tin cậy 95% hãy ƣớc lƣợng số gia đình trong vùng có nhu cầu về loại hàng hóa đó. Bài 2. Để ƣớc lƣợng tỷ lệ ngƣời dân có mức thu nhập trên 10 triệu đồng ở TP. HCM với độ tin cậy 95%, sai số không vƣợt quá 2% thì cần phải điều tra với số lƣợng bao nhiêu ngƣời, biết rằng tỉ lệ thực nghiệm là 0,8. Bài 1 + Ta nhận thấy Hƣớng dẫn Bài 1             100 30 74 5 1 26 5 n nf n f + Độ chính xác của ước lượng            2 1 0,74. 1 0,74 1,96. 0,086 100 f f z n + Khoảng ước lượng tỉ lệ  0,654;0,826 . + Kết luận (1962; 2478) + Gọi M , suy ra 3000 M p  Bài 2 Độ chính xác của ước lượng được xác định   1 2 1f f z n     Theo giả thiết ta có                       2 2 2 2 2 2 1 1 0,02 0,02 0,02 0,8.0,2 1,96 1536,64 0,02 f f f f z n z n n n Vậy cần phải điều tra ít nhất là 1537 người Hướng dẫn Bài 2 Bài 3. Từ một lô hàng gồm 5000 sản phẩm, ngƣời ta chọn ngẫu nhiên ra 500 sản phẩm để kiểm tra thì thấy có 450 sản phẩm loại A. a) Hãy ƣớc lƣợng số sản phẩm loại A có trong lô hàng với độ tin cậy 95%? b) Nếu muốn ƣớc lƣợng số sản phẩm loại A của lô hàng đạt độ chính xác nhƣ câu a) và độ tin cậy 99% thì cần kiểm tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa? c) Nếu muốn ƣớc lƣợng tỷ lệ sản phẩm loại A của lô hàng đạt độ chính xác ε = 2, 5% thì độ tin cậy là bao nhiêu %? Đáp số a) (4369; 4632) sản phẩm. b) cần phải điều tra 364 sản phẩm nữa. c) độ tin cậy là 93.72%. Đáp số a) (4369; 4632) sản phẩm. b) cần phải điều tra 364 sản phẩm nữa. c) độ tin cậy là 93.72%. XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!