Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 8: Lý thuyết tương quan và hồi qui - Phan Văn Tân

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Phan Văn Tân Bộ mô Khí tượng CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.1 Tính độc lập và quan hệ phụ thuộc ngẫu nhiên •  Xét hai đại lượng ngẫu nhiên X, Y •  Giả sử f(x,y) là phân bố đồng thời của hệ (X,Y) •  Khi đó có thể biểu diễn: f(x,y)=f(y/x).f1(x)=f(x/y).f2(y) •  Trong đó f(y/x), f(x/y) là các phân bố có điều kiện còn f1(x), f2(y) là các phân bố riêng ),(),(,),(),( 2 yYxXPyxF yx yxFyxf <<= ∂∂ ∂ = ∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− == dxyxfyfdyyxfxf ),()(,),()( 21 ∫∫ ∞+ ∞− ∞+ ∞− == dxyxf yxfyxf dyyxf yxfxyf ),( ),()/(, ),( ),()/( CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.1 Tính độc lập và quan hệ phụ thuộc ngẫu nhiên •  Nếu X và Y độc lập với nhau: •  f(y/x)=f2(y), f(x/y)=f1(x) è f(x,y)=f1(x).f2(y) •  Tức là sự biến thiên của đại lượng này không ảnh hưởng đến sự biến thiên của đại lượng kia và ngược lại •  Nói chính xác hơn, xác suất để Y nhận giá trị nào đó không bị ảnh hưởng bởi việc cho trước giá trị x của X, và ngược lại •  Nếu X và Y không độc lập với nhau, khi đó ta nói X và Y phụ thuộc lẫn nhau •  Có hai khái niệm phụ thuộc giữa X và Y: –  Phụ thuộc hàm –  Phụ thuộc tương quan CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.1 Tính độc lập và quan hệ phụ thuộc ngẫu nhiên •  Nếu X và Y phụ thuộc hàm với nhau, khi đó có thể biểu diễn: Y = f(X) hoặc X = g(Y) •  Điều đó có nghĩa là nếu X nhận giá trị x nào đó thì tương ứng Y nhận giá trị y=f(x), hoặc khi Y nhận giá trị y nào đó thì X nhận giá trị tương ứng x=g(y) •  Tuy nhiên, trong thực tế các đại lượng ngẫu nhiên thường phụ thuộc lẫn nhau phức tạp hơn nhiều •  Ví dụ: –  Quan hệ giữa nhiệt độ và độ ẩm tương đối không khí trong ngày: Qui luật chung là nhiệt độ tăng thì độ ẩm giảm, nhưng đó là mối quan hệ không đơn trị và không phải là quan hệ hàm –  Quan hệ giữa chiều cao và cân nặng của cơ thể người –  CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.1 Tính độc lập và quan hệ phụ thuộc ngẫu nhiên Minh họa sự phụ thuộc giữa Y và X: Ứng với một giá trị x∈X có thể có nhiều giá trị của Y, và ngược lại – Không phải là quan hệ hàm X Y Tập giá trị Y/X=x (hoặc X/Y=y) sẽ tuân theo luật phân bố nào đó mà ta gọi là phân bố có điều kiện: f(y/x) (hoặc f(x/y) Sự phụ thuộc giữa Y và X trong trường hợp này được gọi là phụ thuộc ngẫu nhiên. Quan hệ giữa Y và X được gọi là quan hệ tương quan CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.2 Hệ số tương quan •  Một trong những đặc trưng quan trọng để nghiên cứu mối quan hệ tương quan giữa hai biến ngẫu nhiên là hệ số tương quan •  Theo định nghĩa, hệ số tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên X, Y là số vô thứ nguyên được xác định bởi: yxyx xy yx yx xy DD YX DDmYMmXM mYmXM YMYMXMXM YMYXMXM ),cov( ])[(].)[( )])([( ]])[[(].])[[( ])][])([[( 22 22 ≡= −− −− = = −− −− =≡ µ ρρ •  Một số ký hiệu thường gặp ),(),( XYYXxy ρρρρ =≡≡ ),cov(),cov( XYYXxy =≡µ )var(22 XD xx ≡≡≡ σσ CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.2 Hệ số tương quan Một số tính chất của hệ số tương quan 1)  Nếu Z1=aX+b, Z2=cY+d (a,b,c,d là các hằng số, a>0, c>0) thì ρ(Z1,Z2) = ρ(X,Y) 2)  Trị số của hệ số tương quan nằm trong khoảng [–1,1]: |ρ| ≤ 1 3)  Điều kiện cần và đủ để |ρxy| = 1 là Y và X thực sự có quan hệ hàm tuyến tính, tức Y=aX+b, hoặc X=cY+d. ρxy = 1 khi và chỉ khi a>0, hoặc c>0, ρxy=–1 khi a<0 (c<0) 4)  Nếu X và Y độc lập với nhau thì ρxy=0. Điều ngược lại không đúng CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.2 Hệ số tương quan Ý nghĩa của hệ số tương quan •  Từ các tính chất của hệ số tương quan suy ra rằng –  Hệ số tương quan là đại lượng đặc trưng cho mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến ngẫu nhiên X và Y –  Hệ số tương quan bằng 0 thì hai biến không có quan hệ tương quan tuyến tính nhưng chưa chắc chúng độc lập với nhau (trừ chúng có phân bố chuẩn) –  Hệ số tương quan dương thì hai biến quan hệ đồng biến với nhau, hệ số tương quan âm hai biến quan hệ nghịch biến với nhau CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.3 Hệ số tương quan mẫu •  Hệ số tương quan ρ đã xét trên đây là hệ số tương quan lý thuyết giữa hai biến ngẫu nhiên. Nó là một hằng số chưa biết •  Xét hai biến ngẫu nhiên (X,Y) và mẫu (X1,Y1),,(Xn,Yn) •  Hệ số tương quan mẫu giữa hai đại lượng ngẫu nhiên X, Y là đại lượng được xác định bởi: yx xy yx xy n i i n i i n i ii xy ss R DDYY n XX n YYXX nrr ≡= −− −− =≡ ∑∑ ∑ == = ~~ ~ )(1)(1 ))((1 1 2 1 2 1 µ •  Khác với hệ số tương quan lý thuyết ρ, hệ số tương quan mẫu r là một đại lượng thống kê nên nó là một biến ngẫu nhiên CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI Ví dụ: Tính hệ số tương quan TT x y x-xtb y-ytb (x-xtb)^2 (y-ytb)^2 (x-xtb)(y-ytb) 1 26 0 1.4 -4.6 1.96 21.16 -6.44 2 25 3 0.4 -1.6 0.16 2.56 -0.64 3 19 9 -5.6 4.4 31.36 19.36 -24.64 4 24 10 -0.6 5.4 0.36 29.16 -3.24 5 24 4 -0.6 -0.6 0.36 0.36 0.36 6 28 2 3.4 -2.6 11.56 6.76 -8.84 7 20 9 -4.6 4.4 21.16 19.36 -20.24 8 29 0 4.4 -4.6 19.36 21.16 -20.24 9 22 4 -2.6 -0.6 6.76 0.36 1.56 10 29 5 4.4 0.4 19.36 0.16 1.76 24.6 4.6 112.4 120.4 -80.6 S2x=11.24; S2y=12.04; Rxy=-8.06; rxy=Rxy/(S2x*S2y)1/2 =-0.6929 CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.3 Hệ số tương quan mẫu •  Mật độ phân bố của r có dạng: •  Phân bố của r chỉ phụ thuộc vào dung lượng mẫu n và hệ số tương quan tổng thể ρ •  Khi n = 2 thì fn(r) = 0, phù hợp với sự kiện hệ số tương quan được tính từ tập mẫu chỉ có 2 quan trắc phải bằng ±1 •  Kỳ vọng của hệ số tương quan mẫu r: M[r]=ρ •  Phương sai của hệ số tương quan mẫu r: ∑ ∞ = −−− −+ −− − = 0 22 4 22 1 2 3 ! )2()) 2 1(()1()1( )2( 2)( i innn n i rinr n rf ρΓρ Γπ ∫ −− −− − = − −−− 1 0 21 2 2 4 22 1 2 1)1( )1()1(2)( x dx rx xrnrf n nnn n ρ ρ π hoặc dạng khác )4442( 4 ][ 0211 13 2011 31 2 11 22 2020 22 2 02 04 2 20 40 2 µµ µ µµ µ µ µ µµ µ µ µ µ µρ −−+++= n rD CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.3 Hệ số tương quan mẫu •  Ước lượng khoảng của hệ số tương quan: Khi đó biến z có phân bố xấp xỉ chuẩn với trung bình và phương sai: Sử dụng phép biến đổi của Fisher: r rz − + = 1 1log 2 1 ρ ρ ζ − + = 1 1log 2 1 )1(2 ][ − += n zM ρζ 3 1][ − = n zD Và khoảng tin cậy của ζ với độ tin cậy 1-α là: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − − − − − −= 3 1 )1(2 , 3 1 )1(2 )ˆ,ˆ( 21 n u n rz n u n rz ααζζ trong đó uα nhận được từ phân bố chuẩn N(0,1): αα =≥ )( uuP •  Cách xác định: –  Cho α tính được uα; từ r tính được z; –  Từ uα, r, z tính được )ˆ,ˆ( 21 ζζ )ˆˆ()ˆ,ˆ( 2121 ρρρρρ <<⇒⇒ CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.3 Hệ số tương quan mẫu •  Kiểm nghiệm độ rõ rệt của hệ số tương quan: –  Trong thực tế, do độ lớn của mẫu (dung lượng mẫu) bị hạn chế nên có thể xảy ra tình huống mặc dù ρ=0 nhưng r≠0, và ngược lại –  Nói cách khác, trong tính toán thực hành nếu nhận được r = 0 thì điều đó không có nghĩa là ρ bằng 0. –  Ngược lại, nếu r≠0 thì cũng không hẳn là ρ khác 0 –  Khi dung lượng mẫu nhỏ thì mặc dù ρ=0 nhưng giá trị của r lại có thể có ý nghĩa (lớn đáng kể) – Để xác minh xem ρ=0 hay ρ≠0 cần phải kiệm nghiệm độ rõ rệt của r (là ước lượng của ρ) CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.3 Hệ số tương quan mẫu •  Kiểm nghiệm độ rõ rệt của hệ số tương quan: – Để kiểm nghiệm, ta đặt giả thiết H0: ρ = 0 –  Thay ρ ≈ r, với giới hạn tin cậy ban đầu d thì khi H0 đúng, xác suất phạm sai lầm loại 1 là α=≥ )( drP 2/1 2 −− = nr rt 2/1 2 −− = nr dtαĐặt Khi H0 đúng, t có phân bố Student với n–2 bậc tự do: t∈St(n–2) αα =≥=≥⇒ )()( ttPdrP Từ đó, với α được chọn ta tính được tα từ St(n–2) Và kết luận: •  Nếu |t| ≥ tα thì bác bỏ H0 và đưa ra kết luật r lớn rõ rệt •  Nếu |t| < tα thì chấp nhận H0 và kết luận r không lớn rõ rệt CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.3 Hệ số tương quan mẫu •  Kiểm nghiệm độ rõ rệt của hệ số tương quan: –  Ví dụ: Từ tập mẫu {(xt, yt), t=1..11} ta tính được hệ số tương quan rxy=0.76. Hãy cho biết với giá trị nhận được như vậy thì hệ số tương quan có lớn rõ rệt không nếu chọn xác suất phạm sai lầm loại 1 là α=0.01? •  Với α=0.01, từ St(11-2) xác định được tα=3.25 < t nên bác bỏ giả thiết Ho và kết luận rxy lớn rõ rệt = −− = 2/1 2 nr r t xy 51.3 211/76.01 76.0 2 = −− Giải: Ta có CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.4 Khái niệm về hồi qui • Xét hai biến ngẫu nhiên (X,Y) • Quan hệ giữa X và Y có thể là: –  Quan hệ hàm –  Quan hệ tương quan •  Khi X và Y có quan hệ tương quan: –  Mỗi giá trị x ∈ X tương ứng với một hàm phân bố (hoặc hàm mật độ) có điều kiện F(y/x) (hoặc f(y/x)) của Y, và ngược lại –  Nghiên cứu mối phụ thuộc tương quan cần xác định được các phân bố có điều kiện )( ),()/( 1 xf yxfxyf = )( ),()/( 2 yf yxfyxf =  Rất khó, phức tạp, và hầu như không thể thực hiện được CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.4 Khái niệm về hồi qui • Một cách làm khác: Chỉ giới hạn xét mối quan hệ phụ thuộc giữa X với một số đặc trưng có điều kiện của Y, như kỳ vọng, trung vị, mốt,.. • Phổ biến hơn cả là xét mối quan hệ giữa X và kỳ vọng có điều kiện của Y: my(x) = M[Y/X=x] •  Người ta gọi đây là sự phụ thuộc hồi qui: Hồi qui của Y lên X Y=my(X) hay y = my(x) •  Hồi qui này được gọi là hồi qui I: y = my(x) có thể là hàm tuyến tính hoặc phi tuyến •  Nói chung, y = my(x) là một hàm bất kỳ, phức tạp, và hầu như không biết được dạng giải tích ∫ +∞ ∞− === dyxyyfxXYMxmy )/(]/[)( CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.4 Khái niệm về hồi qui y=my(x) (xt,yt) CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.5 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính một biến • Trong thực tế, để nghiên cứu mối quan hệ tương quan giữa Y và X, người ta thường xấp xỉ my(x) bởi một lớp hàm f(x) nào đó đã biết trước dạng giải tích (Chú ý: f(x) là một hàm nào đó, không phải là hàm mật độ của X) • Trong trường hợp này hàm hồi qui được gọi là hồi qui II • Nguyên tắc xác định hàm f(x) là cực tiểu hóa hệ thức: • Điều đó có nghĩa là tìm trong các hàm φ(X) thuộc lớp hàm Φ một hàm f(X) nào đó thỏa mãn )(~)()( xfyyxfxmy =≈⇒≈ )(~ XfYYHay =≈ ]))([( 2XfYM − ]))([(]))([( 22 XYMXfYM ϕ φϕ −=− ∈(X) min •  Hàm hồi qui II được xác định bằng phương pháp này gọi là hồi qui bình phương trung bình CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.5 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính một biến y=my(x) (xt,yt) =f(x) y~ CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.5 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính một biến y=my(x) (xt,yt) =f(x)=α+βx y~ CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.5 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính một biến •  Trường hợp đơn giản nhất của hồi qui bình phương trung bình là hồi qui bình phương trung bình tuyến tính - f(x) là hàm bậc nhất: Y = f(X) = α + βX Hay y = f(x) = α + βx α, β là các hằng số. (Để đơn giản ta bỏ ký hiệu dấu “ngã” phía trên Y và y) •  Các hằng số α, β được gọi là các hệ số hồi qui •  Từ phương pháp bình phương tối thiểu ta có: ]])[][][][[( ])[(]))([( 2 222 XMXMXYMYMYM XYMXfYMR βββα βα −+−−+−= =−−=−= ( )[ ]2])[][(])[(])[( XMYMXMXYMYM βαβ −−+−−−= [ ]])[][])([(2 ])[][])([(2])[])([(2 ])[][(])[(])[( 2222 XMYMXMX XMYMYMYXMXYMY XMYMXMXYMYM βαβ βαβ βαβ −−−− −−−−+−−− −−−+−+−= CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.5 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính một biến [ ]])[][])([(2 ])[][])([(2])[])([(2 ])[][(])[(])[( 22222 XMYMXMX XMYMYMYXMXYMY XMYMXMXYMYMR βαβ βαβ βαβ −−−− −−−−+−−− −−−+−+−= [ ]][][][][][ ][.][.][][ ][][][][.][.[2 ),cov(2])[][(][][ 2 2 222 XMXMXMYMXM XMXXYMXYMXM YMYMYMXMYYYMYM YXXMYMXDYDR ββαβ ββαββ αβα ββαβ −−+ +++−+ ++−−−+ +−−−++= 2222 22 222 (2 ),cov(2)( xxyxxxyx yxyyyxyy xyxy mmmmmmmm mmmmmmmm YXmmDDR βαβββαββ βαβα ββαβ −−+++− −++−−−+ +−−−++= xyxyxy mmDDR βµβαβ 2)( 222 −−−++= CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.5 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính một biến xyxyxy mmDDR βµβαβ 2)( 222 −−−++= 022)(2 0)(2 2 2 =−+−−−= ∂ ∂ =−−−= ∂ ∂ xyxxxy xy DmmmR mmR µββα β βα α 0)(2 =−−− xy mm βα xy mm βα −=⇒ 0))(( 022)(2 =−+−−−⇒ =−+−−− xyxxxxyy xyxxxy Dmmmmm Dmmm µβββ µββα x xy xyx D D µ βµβ =⇒=− 0 xy x xy mm D βα µ β −== , ][][, )var( ),cov( XMYM X YX βαβ −== X DD mmXfY x xy x xy xy µµ +−== )()( x DD mmy x xy x xy xy µµ +−= )(hay CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.5 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính một biến xy x xy mm D βα µ β −== , x DD mmyX DD mmXfY x xy x xy xy x xy x xy xy µµµµ +−=+−== )(,)()( x y x y xy x y yx xy y y x xy x xy x xy D σ σ ρ σ σ ρ σ σ σσ µ σ σ σ µ σ µµ β ≡===== 22 • Hệ số góc của đường thẳng hồi qui cùng dấu với hệ số tương quan –  Hệ số tương quan dương: Đường thẳng hồi qui có hướng “đi lên” từ trái sang phải –  Hệ số tương quan âm: Đường thẳng hồi qui có hướng “đi xuống” từ trái sang phải Đây là phương trình đường thẳng hồi qui với hệ số góc β CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.5 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính một biến x y x y CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.5 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính một biến xyxyxy mmDD XYMXfYMR βµβαβ βα 2)( ]))([(]))([( 22 222 −−−++= +−=−= xy x xy mm D βα µ β −== , •  Sai số của phương pháp )1(12 2)( 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 4 2 22 ρσ σσ µ σ σ µ σ σ µ σ µ σ µ σ µ ββσ σ µ σ −=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=−=−+= −−+−++= y yx xy y x xy y x xy x xy y xy x xy xxyyx x xy y mmmmR •  Vì |ρ|≤1 nên sai số R2 càng nhỏ khi |ρ| càng gần 1 •  Nói cách khác, nếu Y và X quan hệ tuyến tính với nhau càng chặt chẽ thì sai số của phép xấp xỉ my(x) ≈ f(x) càng chính xác •  Khi hệ số tương quan |ρ|=1, ứng với trường hợp Y và X có quan hệ hàm tuyến tính, thì R2=0 CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.6 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính nhiều biến (hồi qui bội) •  Xét mối quan hệ tương quan giữa biến ngẫu nhiên Y với m biến ngẫu nhiên (X1,...,Xm) •  Quan hệ giữa Y và (X1,...,Xm) có thể được mô tả bởi các phân bố đồng thời f(y, x1,...,xm) hoặc phân bố có điều kiện f(y/x1,...,xm) •  Tuy nhiên, điều đó thường không thực hiện được, và thay cho điều đó người ta xét quan hệ giữa Y với (X1,...,Xm) thông qua các đặc trưng có điều kiện •  Ở đây ta xét kỳ vọng có điều kiện: my(x1,...,xm)=M[Y/X1=x1,...,Xm=xm] ∫ +∞ ∞− == dyxxyyfxxmy mmy ),...,/(),...,( 11 ),...,( 1 my XXmY = •  Đây được gọi là mặt hồi qui I giữa Y và (X1,...,Xm) •  Tương tự như trường hợp một biến, mặt hồi qui I my(x1,...,xm) là một hàm phức tạp và nói chung không thể xác định được CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.6 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính nhiều biến (hồi qui bội) •  Do đó, thay cho hàm hồi qui I người ta xét hồi qui II là một hàm m biến nào đó f(x1,...,xm) được chọn làm xấp xỉ cho kỳ vọng có điều kiện my(x1,...,xm)=M[Y/X1=x1,...,Xm=xm] ),...,(),...,(),...,( 111 mmmy XXfYxxfxxmy ≈≈= hay •  Trong trường hợp f(x1,...,xm) thuộc lớp hàm tuyến tính ta có: •  Trong đó các βj, j=0..m là các hệ số hằng số, được xác định sao cho ∑ = +=≈ m 1j j jm xxxfy ββ01 ),...,( ∑ = +=≈ m 1j jhay jm XXXfY ββ01 ),...,( min])),...,([( 2 0 2 1 → ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−=−= ∑ = m 1j j 2 MR jm XYMXXfY ββ CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.6 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính nhiều biến (hồi qui bội) •  Phương trình hồi qui tìm được trong trường hợp này gọi là hồi qui bình phương trung bình tuyến tính nhiều biến •  Xác định các hệ số hồi qui: •  Từ hệ thức: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−= ∑ = 2 0 m 1j j 2R jXYM ββ •  Lần lượt lấy đạo hàm theo βk và cho bằng 0, ta được hệ: mkXXYM XYM kj k j ,..,1,02 02 0 == ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−−= ∂ ∂ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−−= ∂ ∂ ∑ ∑ = = m 1j j0 2 m 1j j0 2 R R ββ β ββ β CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.6 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính nhiều biến (hồi qui bội) mkXXYM XYM kj k j ,..,1,02 02 0 == ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−−= ∂ ∂ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−−= ∂ ∂ ∑ ∑ = = m 1j j0 2 m 1j j0 2 R R ββ β ββ β ),..,1( 0][][][0 0][][0 mk XXMXMYXMXXYM XMYMXYM kjkkkj jj = =−−⇒= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− =−−⇒=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− ∑∑ ∑∑ == == m 1j j0 m 1j j0 m 1j j0 m 1j j0 ββββ ββββ ⇒=−− ∑ = 0][][ m 1j j0 jXMYM ββ ∑ = −= m 1j j0 ][][ jXMYM ββ CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.6 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính nhiều biến (hồi qui bội) ),..,1(,0][][][ mkXXMXMYXM kjkk ==−− ∑ = m 1j j0 ββ ∑ = −= m 1j j0 ][][ jXMYM ββ ),..,1( 0][][][][][][ mk XXMXMXMXMYMYXM kjkjkk = =−+− ∑∑ == m 1j j m 1j j ββ ),..,1( 0])[][][(][][][ mk XMXMXXMXMYMYXM kjkjkk = =−−− ∑ = m 1j jβ ),..,1(,0 mk kjk xxyx ==−∑ = m 1j jµβµ Ký hiệu: jkxx ykyx kj k µµ µµ ≡ ≡ ),..,1(, mkykjk ==∑ = µµβ m 1j j •  Đây là một hệ phương trình đại số tuyến tính m phương trình, m ẩn số è Có nhiều cách giải: Khử Gauss, Crame, nghịch đảo MT,... CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.6 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính nhiều biến (hồi qui bội) ∑ = −= m 1j j0 ][][ jXMYM ββ),..,1(, mkykjk ==∑ = µµβ m 1j j ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −−−= =+++ =+++ =+++ mmy ymmmmm ym ym mmm βββ µβµβµβµ µβµβµβµ µβµβµβµ ... ... ... ... ... 110 21 222221 111211 m21 m21 m21 jj y mXM mYM ≡ ≡ ][ ][ Ký hiệu: Có thể kết hợp lại thành hệ đầy đủ CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.6 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính nhiều biến (hồi qui bội) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ym y y y mm m m m mm mmmm µ µ µ β β β β µ µ µ µµ µµ µµ ......... ...0 ............ ...0 ... ... 0 1 2 1 0 2 1 21 2221 12 2 11 1 m 2 1 µβ =Σ µβ 1−Σ= •  Dưới dạng ma trận CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.6 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính nhiều biến (hồi qui bội) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ym y y mmmm m m µ µ µ β β β µµµ µµµ µµµ ...... ... ............ ... ... 2 1 21 22221 11211 m 2 1 yxxx B ∑=∑ yxxxB ∑∑= −1 x T y mBm −=0β •  Cách biểu diễn khác CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.6 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính nhiều biến (hồi qui bội) mmmm m m xx µµµ µµµ µµµ ... ............ ... ... det 21 22221 11211 =∑=Δ mm m m mj j j ym y y mj j j m j µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ ... ... ... ... ... ......... ... ... ... ... ... 2 1 1 12 11 2 1 1 12 11 1 21 11 + + + − − − =Δ mjjj ,...,2,1, =Δ Δ =β ∑ = −= m j jjy mm 1 0 ββ •  Tìm nghiệm theo phương pháp Crame CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.6 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính nhiều biến (hồi qui bội) yxxxB ∑∑= −1 j m j jy mm ∑ = −= 1 0 ββ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−= ∑ = 2 0 m 1j j 2R jXY