Bài giảng Mô hình hóa và nhận dạng hệ thống chương 4: Cấu trúc mô hình có tham số

Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ © Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 1 Chương 4 CẤU TRÚC MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ Chương 4: CẤU TRÚC MÔ HÌNH THAM SỐ 4.1. Giới thiệu bài toán nhận dạng mô hình có tham số 4.2. Mô hình hệ tuyến tính bất biến 4.3. Mô hình hệ phi tuyến 4.1 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ Mô hình ARX Cho hệ thống có tín hiệu vào là u(t), tín hiệu ra là y(t). Hình 4.1: Hệ thống Giả sử ta thu thập được N mẫu dữ liệu: { })(),(,),1(),1( NyNuyuZ N K= (4.1) Ta cần nhận dạng mô hình toán của hệ thống. Giả sử quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống rời rạc có thể mô tả bởi phương trình sai phân: )()()1()()1()( 11 kemkubkubnkyakyaky mn +−++−=−++−+ KK (4.2) ⇒ )()()1()()1()( 11 kemkubkubnkyakyaky mn +−++−+−−−−−= KK (4.3) Ký hiệu: [ ]Tmn bbaa KK 11=θ (4.4) [ ]Tmkukunkykyk )()1()()1()( −−−−−−= KKϕ (4.5) Hệ thống u(t) y(t) e(t) u(k) y(k) Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ © Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 2 Với ký hiệu như trên (4.3) có thể viết lại dưới dạng: )()()( kekky T += θϕ (4.6) Biểu thức (4.6) cho thấy ta có thể tính được giá trị tín hiệu ra y(k) khi biết tham số của hệ thống, tín hiệu vào, tín hiệu ra trong quá khứ và nhiễu tác động vào hệ thống. Tuy nhiên nhiễu e(k) không thể biết trước nên ta chỉ có thể dự báo tín hiệu ra của hệ thống khi biết tín hiệu vào và tín hiệu ra trong quá khứ. Để nhấn mạnh giá trị dự báo phụ thuộc vào tham số θ , ta viết bộ dự báo dưới dạng: θϕθ )(),(ˆ kky T= (4.7) Các thuật ngữ: - Biểu thức (4.2) gọi là cấu trúc mô hình. - Vector θ gọi là vector tham số của hệ thống. - Vector ϕ(k) gọi là vector hồi qui (do ϕ(k) gồm tín hiệu vào và tín hiệu ra trong quá khứ); các thành phần của vector ϕ(k) gọi là các phần tử hồi qui. - Mô hình (4.2) gọi là mô hình ARX (Auto-Regressive eXternal input). - Bộ dự báo có dạng (4.7) được gọi là bộ dự báo dạng hồi qui tuyến tính (Linear Regression) Ước lượng tham số: Phương pháp bình phương tối thiểu Cần xác định tham số θ sao cho giá trị dự báo ),(ˆ θky càng gần giá trị đo y(k), ),1( Nk = càng tốt. Cách dễ thấy nhất là chọn θ sao cho bình phương sai số giá trị dự báo là tối thiểu. ( ) ( ) min)()(1),(ˆ)(1),( 1 2 1 2 →−=−= ∑∑ == N k T N k N N kkyN kyky N ZV θϕθθ (4.8) Ký hiệu giá trị θ làm tối thiểu biểu thức Error! Reference source not found. là Nθˆ : ),(minargˆ NNN ZV θθ θ= (4.9) (“arg min” = minimizing argument: đối số làm tối thiểu VN) Do VN có dạng toàn phương nên chúng ta có thể tìm cực tiểu bằng cách cho đạo hàm bậc 1 theo tham số bằng 0. { } 0),( =NN ZVdd θθ Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ © Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 3 ⇒ ( ) ( ) 0)()()(2)()(1 11 2 =−−=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ − ∑∑ == N k T N k T kkyk N kky Nd d θϕϕθϕθ ⇒ ∑∑ == = N t T N t kkkyk 11 )()()()( θϕϕϕ ⇒ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= ∑∑ = − = N k N k T N kykkk 1 1 1 )()()()(ˆ ϕϕϕθ (4.10) 4.2 CẤU TRÚC MÔ HÌNH HỆ TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN 4.2.1 Mô hình tuyến tính tổng quát Hệ tuyến tính với nhiễu cộng Hệ tuyến tính với nhiễu cộng v(k) có thể mô tả bởi phương trình: )()()()( kvkuqGky += (4.11) trong đó G(q) là hàm truyền của hệ thống ∑+∞ = −= 0 )( l l l qgqG (4.12) Nhiễu v(k) thường được mô tả bằng phổ tần số. Để thuận lợi hơn có thể xem v(k) là nhiễu trắng e(k) qua bộ lọc tuyến tính H(q): )()()( keqHkv = (4.13) Mô tả nhiễu v(k) bằng biểu thức (4.13) tương đương với mô tả v(k) là nhiễu có phổ là: 2 )()( ωλω jv eH=Φ (4.14) trong đó λ là phương sai của nhiễu trắng e(k). Giả sử H(q) được chuẩn hóa về dạng: ∑+∞ = −+= 1 1)( l l lqhqH (4.15) Thay (4.13) vào (4.11) ta được: )()()()()( keqHkuqGky += (4.16) Tham số hóa mô hình tuyến tính Nếu ta chưa biết hàm truyền G và H, chúng ta đưa thêm vector tham số θ vào mô tả (4.16): )(),()(),()( keqHkuqGky θθ += (4.17) Bộ dự báo cho mô hình tuyến tính Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ © Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 4 Cho hệ thống mô tả bởi biểu thức (4.17) và dữ liệu vào–ra đến thời điểm Tk )1( − , ta cần dự báo giá trị tín hiệu ra ở thời điểm kT. Chia hai vế biểu thức (4.17) cho ),( θqH , ta được: )()(),(),()(),( 11 kekuqGqHkyqH += −− θθθ ⇒ )()(),(),()()],(1[)( 11 kekuqGqHkyqHky ++−= −− θθθ (4.18) Do (4.15) ta thấy rằng: ∑+∞ = −− =−=− 1 1 ),( 1 ),( 1),(),(1 l l l qhqHqH qHqH θθ θθ (4.19) nên )()],(1[ 1 kyqH θ−− chỉ chứa các giá trị trong quá khứ của tín hiệu ra. Vế phải của (4.18) đã biết đến thời điểm Tk )1( − , ngoại trừ nhiễu e(k). Do đó có thể dự báo tín hiệu ra ở thời điểm kT bằng biểu thức: )(),(),()()],(1[),(ˆ 11 kuqGqHkyqHky θθθθ −− +−= (4.20) 4.2.2 Các cấu trúc mô hình tuyến tính thường gặp Thông thường G và H trong biểu thức (4.17) là hàm truyền dạng phân thức có tử số và mẫu số là hàm của toán tử trể q−1. nf nf nbnk nb nknk qfqf qbqbqb qF qBqG −− +−−−−− +++ +++== K K 1 1 11 21 1)( )(),( θ (4.21) nd nd nc nc qdqd qcqc qD qCqH −− −− +++ +++== K K 1 1 1 1 1 1 )( )(),( θ (4.22) Thay (4.21) và (4.22) vào (4.17) ta được: )( )( )()( )( )()( ke qD qCku qF qBky += (4.23) Mô hình tuyến tính có dạng (4.23) gọi là mô hình BJ (Box-Jenkins Model). Các trường hợp đặc biệt • C(q) = D(q) = 1: mô hình OE (Output Error Model) )()( )( )()( keku qF qBky += (4.24) Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ © Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 5 • D(q) = F(q) = A(q): mô hình ARMAX (Auto-Regressive Moving Average eXternal Input Model) )()()()()()( keqCkuqBkyqA += (4.25) • D(q) = F(q) = A(q), C(q) = 1: mô hình ARX (Auto-Regressive eXternal Input Model) )()()()()( kekuqBkyqA += (4.26) • D(q) = F(q) = A(q), B(q) = 0: mô hình ARMA (Auto-Regressive Moving Average Model) )()()()( keqCkyqA = (4.27) • D(q) = F(q) = A(q), B(q) = 0, C(q) = 1: mô hình AR (Auto-Regressive Model) )()()( kekyqA = (4.28) • D(q) = F(q) = A(q) = 1, C(q) = 1: mô hình FIR (Finite Impulse Response Model) )()()()( kekuqBky += (4.29) Bộ dự báo cho mô hình tuyến tính thường gặp Bộ dự báo có dạng: θϕθ )(),(ˆ kky T= (4.30) được gọi là bộ dự báo dạng hồi qui tuyến tính (vì bộ dự báo tuyến tính theo tham số θ). Bộ dự báo của mô hình ARX, AR, FIR có dạng hồi qui tuyến tính. Mô hình ARX: [ ]Tnbn bbaa KK 11=θ (4.31) [ ]Tnbnkkunkkunakykyk )1()()()1()( +−−−−−−−= KKϕ (4.32) Mô hình AR: [ ]Tnaaa K1=θ (4.33) Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ © Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 6 [ ]Tnakykyk )()1()( −−−−= Kϕ (4.34) Mô hình FIR: [ ]Tnbbb K1=θ (4.35) [ ]Tnbnkkunkkuk )1()()( +−−−= Kϕ (4.36) Bộ dự báo hồi qui tuyến tính (4.30) có vector hồi qui không phụ thuộc vào tham số. Nếu vector hồi qui phụ thuộc tham số ta viết (4.30) lại dưới dạng: θθϕθ ),(),(ˆ kky T= (4.37) (4.37) gọi là bộ dự báo hồi qui tuyến tính giả (Pseudo Linear Regression) Bộ dự báo của mô hình ARMAX, OE, BJ có dạng hồi qui tuyến tính giả. Mô hình ARMAX: Áp dụng công thức (4.20) với )( )()( qA qBqG = , )( )()( qA qCqH = ta được: )( )( )()( )( )(1),(ˆ ku qC qBky qC qAky +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=θ ⇒ [ ] )()()()()(),(ˆ)( kuqBkyqAqCkyqC +−=θ ⇒ [ ] [ ] ),(ˆ)(1)()()()()(),(ˆ θkyqCkuqBkyqAqCky −++−=θ ⇒ [ ] [ ][ ]),(ˆ)(1)()()()()(1),(ˆ θkykyqCkuqBkyqAky −−++−=θ (4.38) Đặt: Sai số dự báo: ),(ˆ)(),( θθ kykyk −=ε (4.39) Vector tham số: [ ]Tncnbna ccbbaa KKK 111=θ (4.40) Vector hồi qui: [ KK )()()1(),( nkkunakykyk −−−−−=θϕ ]Tnckknbnkku ),(),1()1( θθ −−+−− εε K (4.41) (4.38) có thể viết lại dưới dạng hồi qui tuyến tính giả (4.37). Mô hình OE: Áp dụng công thức (4.20) với )( )()( qF qBqG = , 1)( =qH , ta được: )( )( )(),(ˆ ku qF qBty =θ Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ © Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 7 ⇒ )()(),(ˆ)( kuqBkyqF =θ ⇒ [ ] ),(ˆ)(1)()(),(ˆ θθ kyqFkuqBky −+= (4.42) Đặt: Biến phụ: )( )( )(),(ˆ),( ku qF qBkykw == θθ (4.43) Vector tham số: [ ]Tnfnb ffbb KK 11=θ (4.44) Vector hồi qui: [ ]),(),1()1()(),( θθθϕ nfkwkwnbnkkunkkuk −−+−−−= KK (4.45) (4.42) có thể viết lại dưới dạng hồi qui tuyến tính giả (4.37). Mô hình BJ: Áp dụng công thức (4.20) với )( )()( qF qBqG = , )( )()( qD qCqH = ta được: )( )()( )()()( )( )(1),(ˆ ku qFqC qBqDky qC qDky +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=θ Đặt: )( )( )(),( ku qF qBkw =θ [ ] ),(1)()()(),( θθ kwqFkuqBkw −−= ⇒ )( )( )()( )( )(1),(ˆ kw qC qDky qC qDky +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=θ ⇒ [ ]),()( )( )()(),(ˆ θθ kwky qC qDkyky −−= Đặt: ),()(),( θθ kwkykv −= ⇒ ),( )( )()(),(ˆ θθ kv qC qDkyky −= ⇒ ),()()()(),(ˆ)( θθ kvqDkyqCkyqC −= ⇒ [ ] ),()()()(),(ˆ)(1),(ˆ θθθ kvqDkyqCkyqCky −+−= ⇒ [ ] [ ] ),(),(1)()()(),(ˆ)(1),(ˆ θθθθ kvkvqDkyqCkyqCky −−−+−= ⇒ [ ] [ ] ),()(),(1)()()(),(ˆ)(1),(ˆ θθθθ kwkykvqDkyqCkyqCky +−−−+−= Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ © Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 8 ⇒ [ ][ ] [ ] ),(),(1)(),(ˆ)()(1),(ˆ θθθθ kwkvqDkykyqCky +−−−−= Đặt: ),(ˆ)(),( θθ kykyk −=ε (4.46) ⇒ [ ][ ] [ ] [ ] ),(1)()()(),(1)(),(1)(),(ˆ θθθθ kwqFkuqBkvqDkqCky −−+−−−= ε (4.47) Vector tham số: [ ]Tnfndncnb ffddccbb KKKK 1111=θ (4.48) Vector hồi qui: [ ),1()(),( +−−−= nbnkkunktuk Kθϕ ),(),1( θθ nckk −− εε K ),(),1( θθ ndkvkv −−−− K ]Tnfkwkw ),(),1( θθ −−−− K (4.49) (4.47) có thể viết lại dưới dạng hồi qui tuyến tính giả (4.37). 4.2.3 Mô hình chuổi hàm cơ sở trực giao Mô hình FIR: ∑ = −= n l l lqbqG 1 ),( θ (4.50) • Có hai ưu điểm: - có dạng hồi qui tuyến tính (trường hợp đặc biệt của mô hình ARX) - có dạng mô hình sai số ngõ ra (trường hợp đặc biệt của mô hình OE) Do đó tham số của mô hình FIR: - có thể ước lượng dễ dàng (đặc điểm của mô hình ARX) - bền vững so với nhiễu (đặc điểm của mô hình OE). • Có một khuyết điểm: có thể cần nhiều tham số. Nếu hệ thống thực có cực nằm gần vòng tròn đơn vị thì đáp ứng xung suy giảm rất chậm, do đó cần chọn n đủ lớn mới có thể xấp xỉ được hệ thống. ⇒ Cần cấu trúc mô hình vừa giữ được dạng hồi qui tuyến tính và bền vững với nhiễu, vừa có thể mô tả được hệ thống có đáp ứng xung suy giảm chậm. Tổng quát, mô hình đó phải có dạng chuổi hàm: ∑ = = n l ll qBqG 1 ),(),( αθθ (4.51) Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ © Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 9 trong đó ),( αqBl là hàm cơ sở trực giao (orthonormal basic function), α là tham số của hàm cơ sở. Hàm cơ sở trực giao là hàm thỏa mãn tính chất: ⎩⎨ ⎧ = ≠== ∫ + − − )( ,0 )( ,1 )()( 2 1)(,)( nm nm deBeBeBeB jn j m j n j m π π ωωωω ωπ (4.52) Đơn giản nhất, có thể chọn: αα −= − q qqB l l ),( )11( ≤≤− α (4.53) Hai hàm cơ sở trực giao được sử dụng nhiều nhất là: • Hàm Laguerre: 12 11),( − ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ − − − −= l l aq aq aq aaqL )11( ≤≤− a (4.54) Hàm Laguerre thích hợp để mô hình hóa hệ tuyến tính có đáp ứng xung suy giảm chậm và không dao động (hệ thống cần nhận dạng chỉ có cực thực). • Hàm Kautz: 1 2 2 2 2 12 )1( 1)1( )1( )1()1( ),,( − − ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−+ +−+− −−+ −−= l l cqcbq qcbcq cqcbq qc cbqψ (4.55) 1 2 2 2 22 2 )1( 1)1( )1( )1)(1( ),,( − ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−+ +−+− −−+ −−= l l cqcbq qcbcq cqcbq bc cbqψ (4.56) )11,11( ≤≤−≤≤− cb Hàm Kautz thích hợp để mô hình hóa hệ tuyến tính có đáp ứng xung suy giảm chậm và có dao động (hệ thống cần nhận dạng có cực phức). ♦Biểu thức bộ dự báo của mô hình chuỗi hàm cơ sở trực giao: Toång quaùt (ñuùng cho moïi moâ hình chuoãi haøm cô sôû tröïc giao) ∑ = == n l ll kuqBkuqGky 1 )(),()(),(),(ˆ αθθθ (4.57) Đặt: [ ]Tn kuqBkuqBkuqBk )(),()(),()(),()( 21 ααα K=ϕ (4.58) [ ]Tnθθθ K21=θ (4.59) Biểu thức bộ dự báo có thể viết lại dưới dạng hồi qui tuyến tính: θϕθ )(),(ˆ kky T= (4.60) Cuï theå: • Moâ hình Laguerre: Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ © Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 10 )(11)(),()( 12 ku aq aq aq akuaqLt l ll − ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ − − − −==ϕ (4.61) − Vôùi 1=l : )(1)( 2 1 kuaq ak − −=ϕ ⇒ )(1)()1( 1211 kuqakaq −− −=− ϕ ⇒ )1(1)1()( 211 −−+−= kuakak ϕϕ (4.62) − Vôùi nl ≤<1 : )(111)( 22 ku aq aq aq a aq aqk l l − ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ − − − −⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ − −=ϕ ⇒ )(1)( 1 kaq aqk ll −⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ − −= ϕϕ ⇒ )()()()1( 111 kaqkaq ll −−− −=− ϕϕ ⇒ )()1()1()( 11 kakkak llll −− −−+−= ϕϕϕϕ (4.63) • Moâ hình Kautz: )(),()( kuaqk ll ψϕ = (4.64) − Vôùi 1=l : )( )1( )1()1( )( 2 2 1 kucqcbq qck −−+ −−=ϕ ⇒ )()()1()(])1(1[ 212121 kuqqckcqqcb −−−− −−=−−+ ϕ ⇒ [ ])2()1()1()2()1()1()( 2111 −−−−+−+−−= kukuckckcbk ϕϕϕ (4.65) − Vôùi 2=l : )( )1( )1)(1( )( 2 22 2 kucqcbq bck −−+ −−=ϕ ⇒ )()1)(1()(])1(1[ 22221 kubckcqqcb −−=−−+ −− ϕ ⇒ )2()1)(1()2()1()1()( 22222 −−−+−+−−= kubckckcbk ϕϕϕ (4.66) − Vôùi nl ≤−< 121 : )( )1( 1)1()( 322 2 12 kcqcbq qcbcqk ll −− ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−+ +−+−= ϕϕ ⇒ )(])1([)(])1(1[ 32211221 kqqcbckcqqcb ll −−−−−− +−+−=−−+ ϕϕ Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ © Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 11 ⇒ )2()1()1()( )2()1()1()( 323232 121212 −+−−+− −+−−= −−− −−− kkcbkc kckcbk lll lll ϕϕϕ ϕϕϕ (4.67) − Vôùi nl ≤< 22 : )( )1( 1)1()( 222 2 2 kcqcbq qcbcqk ll −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−+ +−+−= ϕϕ ⇒ )(])1([)(])1(1[ 2221221 kqqcbckcqqcb ll −−−−− +−+−=−−+ ϕϕ ⇒ )2()1()1()( )2()1()1()( 222222 222 −+−−+− −+−−= −−− kkcbkc kckcbk lll lll ϕϕϕ ϕϕϕ (4.68) 4.2.4 Mô hình không gian trạng thái Hệ thống tuyến tính có thể mô tả bằng phương trình trạng thái: ⎩⎨ ⎧ ++= ++=+ )()()()( )()()()1( kvkukky kwkukk DCx BAxx (4.69) Cần ước lượng các ma trận A, B, C, D để mô tả được quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra của hệ thống. Vấn đề gây ra khó khăn ở đây là có vô số phương trình dạng (4.69) có thể mô tả được hệ thống tùy thuộc vào cách chọn biến trạng thái. Ta xét 2 trường hợp: Trường hợp 1: Nếu phương trình trạng thái (4.69) được rút ra từ mô hình vật lý thì các biến trạng thái hoàn toàn xác định. Giả sử trong thí nghiệm thu thập số liệu ta không chỉ đo được y(k), u(k) mà còn đo được cả các biến trạng thái x(k), k = 1,2,…, N. Do các biến trạng thái đã xác định nên phương trình (4.69) các ma trận A, B, C, D cũng xác định. Đặt: ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += )( )1()( ky kk xY (4.70) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= DC BAΘ (4.71) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= )( )()( ku kk xΦ (4.72) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= )( )()( ke kwkE (4.73) Phương trình (4.69) có thể viết lại dưới dạng hồi qui tuyến tính: )()()( kkk EY += ΘΦ (4.74) Trường hợp 2: Trong thí nghiệm thu thập số liệu ta chỉ đo được y(k) và u(k). Cần ước lượng các biến trạng thái x(k). Khi đã có x(k) trở về trường hợp 1 (xem phụ lục 4A – Ljung 1999). Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ © Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 12 4.3 CẤU TRÚC MÔ HÌNH HỆ PHI TUYẾN 4.3.1 Mô hình có đặc tính phi tuyến Đặc tính phi tuyến rất đa dạng, cần cấu trúc mô hình đủ linh hoạt để mô tả được đặc tính phi tuyến tổng quát ⇒ mô hình phi tuyến tổng quát phức tạp hơn và có nhiều tham số hơn mô hình tuyến tính cùng bậc (vô số tham số). Có thể sử dụng thông tin biết trước về đặc tính vật lý phi tuyến bên trong hệ thống cần nhận dạng để đưa ra cấu trúc mô hình thích hợp ⇒ xây dựng được mô hình đơn giản, ít tham số, dễ ước lượng. Phương pháp này gọi là mô hình hóa bán vật lý (semi-physical modeling). ♦ Mô hình Wiener và mô hình Hammerstein Hình 4.2: (a) Mô hình Hammerstein (b) Mô hình Wiener Trong nhiều trường hợp hệ thống có thể mô tả bằng mô hình tuyến tính ghép nối tiếp với khâu phi tuyến tĩnh ở đầu vào và/hoặc đầu ra. Mô hình có khâu phi tuyến tĩnh ở đầu vào gọi là mô hình Hammerstein, có khâu phi tuyến tĩnh ở đầu ra gọi là mô hình Wiener, có khâu phi tuyến tĩnh ở cả đầu vào và đầu ra gọi là mô hình Wiener–Hammerstein. Đặc tính phi tuyến tĩnh có thể do sự bão hòa của phần tử tác động (actuator), do tính phi tuyến của cảm biến đo lường hay do giới hạn vật lý của tín hiệu vào/ra. Bộ dự báo: • Mô hình Hammerstein: )),((),(),,(ˆ ηθηθ kufqGky = (4.75) • Mô hình Wiener: )),(),((),,(ˆ ηθηθ kuqGfky = (4.76) trong đó θ và η lần lượt là tham số của khâu tuyến tính và khâu phi tuyến tĩnh. Mô hình tuyến tính f u(k) y(k) f(u(k)) Mô hình tuyến tính f u(k) z(k) y(k)=f(z(k)) (a) (b) Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ © Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 13 ♦ Mô hình hồi qui tuyến tính Bằng cách chọn các phần tử hồi qui thích hợp, có thể dự báo tín hiệu ra của hệ phi tuyến bằng bộ dự báo dạng hồi qui tuyến tính. θϕθ )(),(ˆ kky T= (4.77) trong đó các phần tử hồi qui là hàm (phi tuyến) bất kỳ của tín hiệu vào và tín hiệu ra trong quá khứ. )()( 1−= kii Zk ϕϕ (4.78) Thí dụ 4.1: Nhận dạng mô hình lò nhiệt: phần tử hồi qui nên chọn là )1( −ky , )1(2 −ku trong đó )(ky là nhiệt độ lò và )(ku là điện áp cấp cho điện trở đốt nóng. Nhận dạng hệ bồn chứa chất lỏng, phần tử hồi qui nên chọn là )1( −ky , )1( −ky và )(ku , trong đó )(ky là mực chất lỏng trong bồn chứa và )(tu là điện áp cấp cho máy bơm. Nhận dạng hệ thống sưởi ấm dùng năng lượng mặt trời: xem (Ljung, 1999) 4.3.2 Mô hình hộp đen phi tuyến Bộ dự báo tổng quát cho hệ phi tuyến có dạng: )),((),(ˆ θϕθ kgky = (4.79) Tùy thuộc vào cách chọn: • vector hồi qui )(kϕ từ tín hiệu vào và tín hiệu ra trong quá khứ; • hàm phi tuyến ),( θϕg mà ta có các dạng mô hình phi tuyến khác nhau. 4.3.2.1 Phần tử hồi qui cho mô hình phi tuyến Mô hình Các phần tử hồi qui NFIR u(k – l) NAR y(k – l) NARX y(k – l) và u(k – l) NARMAX y(k – l), u(k – l) và ε(k – l,θ) NOE u(k – l) và w(k – l,θ) NBJ y(k – l), u(k – l), ε(k – l,θ) và v(k – l,θ) 4.3.2.2 Hàm phi tuyến Hàm phi tuyến ),( θϕg thường được chọn có dạng khai triển hàm: ∑= )(),( ϕθϕ ii gg α (4.80) Hàm gi gọi là hàm cơ sở (basic function). Hàm gi được chọn như sau: Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ © Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 14 • Tất cả các hàm gi được rút ra bằng cách tham số hóa hàm cơ sở gốc (mother basic function) κ(x). • Hàm κ(x) là hàm của đại lượng vô hướng x. • gi là phiên bản tỉ lệ và tịnh tiến của κ(x). Trường hợp vector hồi qui ϕ(k) chỉ có một chiều ( )1dim == ϕd thì : ))((),,()( iiiiig γϕβκγβϕκϕ −== (4.81) trong đó β i và γ i là tham số xác định tỉ lệ và vị trí của hàm )(ϕig . Trường hợp vector hồi qui ϕ(k) nhiều chiều (d > 1) có 3 cách xây dựng gi: ♦ Dạng lưới: )(),,()( i T iiiii gg γκγ +== ϕββϕϕ (4.82) Cấu trúc lưới có đặc điểm là giá trị hàm cơ sở của tất cả các phần tử hồi qui nằm trên cùng một siêu phẳng sẽ có cùng một giá trị. Hình 4.3: Hàm cơ sở nhiều biến cấu trúc dãy ♦ Dạng xuyên tâm: )(),,()( iiiiii gg βγϕγβϕϕ −== κ (4.83) chuẩn . thường chọn là chuẩn toàn phương: ϕβϕϕ β iTi = 2 (4.84) Cấu trúc xuyên tâm có đặc điểm là giá trị hàm cơ sở của tất cả các phần tử hồi qui nằm trên cùng một siêu cầu sẽ có cùng một giá trị. Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ © Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 15 Hình 4.4: Hàm cơ sở nhiều biến cấu trúc xuyên tâm ♦ Dạng tích tensor: ∏∏ == −== d j ijjij d j jii gg 11 ))(()()( γϕβκϕϕ (4.85) Hình 4.5: Hàm cơ sở nhiều biến cấu trúc tích tensor Hai dạng hàm cơ sở gốc thường dùng: ♦ Hàm Gauss: 2/ 2 2 1)( xex −= πκ (4.86) Hàm cơ sở dạng Gauss là hàm cơ sở cục bộ vì sự thay đổi của hàm chỉ chủ yếu xảy ra trong một miền cục bộ. ♦ Hàm sigmoid: xe x −+= 1 1)(κ (4.87) Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ © Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động 16 Hàm cơ sở dạng sigmoid là hàm cơ sở toàn cục vì sự thay đổi của hàm xảy ra ở toàn bộ trục thực. Cách xây dựng hàm cơ sở như trình bày ở trên bao hàm hầu hết tất cả các cấu trúc mô hì