Bài giảng môn Hình học họa hình

Bµi gi¶ng Biªn so¹n: TS. Ph¹m V¨n S¬n Bé m«n H×nh ho¹ - VÏ kü thuËt Tr­êng §HBK Hµ néi Hµ néi 2006 Nội dung môn học: 1. Biểu diễn các hình không gian lên mặt phẳng nhờ phép chiếu 2. Giải các bài toán hình học không gian trên hình biểu diễn phẳng. Các bài toán đó là: Giao điểm, Giao tuyến, Độ lớn thật của hình, Các bài về tính song song, tính vuông góc, Các bài quĩ tích,.... Dụng cụ cần thiết: Chì, tẩy, compa, thước I. PhÐp chiÕu xuyªn t©m Πi Cho mÆt ph¼ng Πi, gäi lµ mÆt ph¼ng h×nh chiÕu Mét ®iÓm S kh«ng thuéc mÆt ph¼ng Πi gäi lµ t©m chiÕu S A Ai ChiÕu mét ®iÓm A tõ t©m S lªn mÆt ph¼ng Πi lµ: 1) VÏ ®­êng th¼ng SA 2) VÏ giao ®iÓm cña ®t SA víi mÆt ph¼ng Πi lµ Ai §iÓm Ai lµ h×nh chiÕu xuyªn t©m cña ®iÓm A II. PhÐp chiÕu song song Πi Cho mÆt ph¼ng Πi, gäi lµ mÆt ph¼ng h×nh chiÕu Mét ®­êng th¼ng s kh«ng song song víi mÆt ph¼ng Πi gäi lµ h­íng chiÕu A s Ai ChiÕu mét ®iÓm A theo h­íng s lªn mÆt ph¼ng Πi lµ: 1) Qua A vÏ ®­êng th¼ng d//s 2) VÏ giao ®iÓm cña ®t d víi mÆt ph¼ng Πi lµ Ai §iÓm Ai lµ h×nh chiÕu song song cña ®iÓm A d §Þnh nghÜa: TÝnh chÊt cña phÐp chiÕu song song 1. H×nh chiÕu cña mét ®­êng th¼ng kh«ng song song víi h­íng chiÕu lµ mét ®­êng th¼ng Πi a s A B Ai Bi ai a Cã thÓ x¸c ®Þnh ai nh­ sau * b­íc 1: LÊy 2 ®iÓm A, Ba * bước 2: t×m Ai, Bi theo ®Þnh nghÜa h×nh chiÕu cña 1 ®iÓm * bước 3: Nèi AiBi ta ®­îc ai Chó ý: ai còng lµ giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng α víi mÆt ph¼ng Πi M Mi Ni N d e Πi s Tr­êng hîp ®Æc biÖt 1: H×nh chiÕu cña mét ®­êng th¼ng song song víi h­íng chiÕu lµ mét ®iÓm a ai M LMi Tr­êng hîp ®Æc biÖt 2: Mét ®­êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu th× song song víi h×nh chiÕu cña nã s a ai A B Ai Bi Πi Vµ AB=AiBi b α Më réng: mét h×nh ph¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu th× cã h×nh chiÕu b»ng h×nh thËt Πi 2. Hai ®­êng th¼ng song song (vµ kh«ng song song víi h­íng chiÕu) th× hai h×nh chiÕu song song. Πi k s A B Ai Bi ki a t C D Ci Di ti b Vµ: iiii DCBACDAB ::  3. PhÐp chiÕu song song b¶o toµn thø tù vµ tØ sè ®¬n cña 3 ®iÓm th¼ng hµng Πi A B C Ai Bi Ci AB:BC=AiBi:BiCi s 4. Mét mÆt ph¼ng song song víi h­íng chiÕu th× h×nh chiÕu cña nã suy biÕn lµ mét ®­êng th¼ng Πi α s gLαi≡ M Mi A=Ai s Πi 5. Mét ®iÓm n»m trªn mÆt ph¼ng h×nh chiÕu th× ®iÓm ®ã trïng víi h×nh chiÕu cña nã. III. PhÐp chiÕu vu«ng gãc Πi Cho mÆt ph¼ng Πi, gäi lµ mÆt ph¼ng h×nh chiÕu A Ai ChiÕu vu«ng gãc mét ®iÓm A lªn mÆt ph¼ng Πi lµ: 1) Qua A vÏ ®­êng th¼ng d vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng Πi 2) VÏ giao ®iÓm cña ®t d víi mÆt ph¼ng Πi lµ Ai §iÓm Ai lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm A d 1.5. TÝnh chÊt cña phÐp chiÕu vu«ng gãc * Cã ®Çy ®ñ c¸c tÝnh chÊt cña phÐp chiÕu song song, ngoµi ra cßn cã c¸c tÝnh chÊt riªng. A B Ai Bi Πi ®Æc biÖt: + AiBiAB lµ h×nh thang vu«ng + AiBi nãi chung<AB TÝnh chÊt 1 H×nh chiÕu cña mét ®­êng th¼ng kh«ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu mét ®­êng th¼ng AB Ai=Bi Πi H×nh chiÕu cña mét ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu mét ®iÓm Tr­êng hîp ®Æc biÖt 1 Πi A B Ai Bi Mét ®­êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu th× song song víi h×nh chiÕu cña nã Chó ý: ABAiBi lµ h×nh ch÷ nhËt Tr­êng hîp ®Æc biÖt 2 AB Ai Bi Πi C D Ci Di Hai ®­êng th¼ng song song (vµ kh«ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu) th× hai h×nh chiÕu song song. TÝnh chÊt 2 AB Ai Bi Πi C Ci PhÐp chiÕu vu«ng gãc b¶o toµn thø tù vµ tØ sè ®¬n cña 3 ®iÓm th¼ng hµng TÝnh chÊt 3 AB:BC=AiBi:BiCi TÝnh chÊt 4 Πi α gLαi≡ Mét mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu th× h×nh chiÕu cña nã suy biÕn lµ mét ®­êng th¼ng M Mi A=Ai Πi Mét ®iÓm n»m trªn mÆt ph¼ng h×nh chiÕu th× ®iÓm ®ã trïng víi h×nh chiÕu cña nã. TÝnh chÊt 5 TÝnh chÊt b¶o toµn gãc vu«ng cña phÐp chiÕu vu«ng gãc: * H×nh chiÕu cña mét gãc vu«ng nãi chung kh«ng ph¶i lµ mét gãc vu«ng; * H×nh chiÕu cña mét gãc vu«ng lµ mét gãc vu«ng chØ khi cã Ýt nhÊt mét c¹nh gãc vu«ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu vµ c¹nh kia kh«ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu. Πi A B C Ai Bi Ci ABBC ; AB//Πi; BCΠi  AiBiBiCi TÝnh chÊt 4 Më réng: ii i i ba b a ba          // ba a ba i ii       //      ii ba ba Ýt nhÊt cã mét c¹nh song song víi Πi TÝnh chÊt 4 TÝnh ph¶n chuyÓn cña h×nh biÓu diÔn: + Víi mét ®iÓm A, t×m ®­îc duy nhÊt mét ®iÓm Ai + Cho Ai lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm A, ta kh«ng x¸c ®Þnh ®­îc A VËy biÓu diÔn ®iÓm A b»ng mét h×nh chiÕu Ai lµ kh«ng cã tÝnh ph¶n chuyÓn. Πi A Ai d s Πi Ai Π1 2.1. §å thøc cña ®iÓm trong hÖ thèng hai mÆt ph¼ng h×nh chiÕu Π2 xI II III IV Π1 Gäi lµ mÆt ph¼ng h×nh chiÕu ®øng Π2 Gäi lµ mÆt ph¼ng h×nh chiÕu b»ng Π1 Π2 x A A1 A2 Ax A1 Gäi lµ h×nh chiÕu ®øng, A2 Gäi lµ h×nh chiÕu b»ng §é cao cña A: VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña A so víi Π2; cã dÊu(+) khi A ë phÝa trªn Π2; cã dÊu ©m khi A ë phÝa d­íi Π2. Cã trÞ sè b»ng kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn Π2. xA AAAAz 12  §é xa cña A: VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña A so víi Π1; cã dÊu(+) khi A ë phÝa tr­íc Π1; cã dÊu ©m khi A ë phÝa sau Π1. Cã trÞ sè b»ng kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn Π1. xA AAAAy 21  Π1 x A1 Ax A2 Π2 Π1 x A1 Ax Π2 A2 Π1 x A1 Ax Π2 A2 §å thøc cña ®iÓm trong hÖ thèng hai mÆt ph¼ng h×nh chiÕu xA1 Ax A2 TÝnh chÊt: 1) A1A2x 2) Tån t¹i duy nhÊt 1 ®iÓm A Chó ý: A1Ax=TrÞ sè ®é cao cña ®iÓm A; A2Ax =TrÞ sè ®é xa cña ®iÓm A Π1 x A1 Ax Π2 A2 TÝnh ph¶n chuyÓn Π1 x A1 Ax Π2 A2 Π1 x A1 Ax A2 Π2 Π1 Π2 x A A1 A2 Ax 2.2. §å thøc cña ®iÓm trong hÖ thèng ba mÆt ph¼ng h×nh chiÕu Π1 Π2 x z y O Π1 Π2 x A1 A2 A3Ax Az Ay A A1 lµ h×nh chiÕu ®øng A2 lµ h×nh chiÕu b»ng A3 lµ h×nh chiÕu c¹nh y z Π1 Π2 x A1 A2 A3Ax Az Ay A y z O NhËn xÐt: * A1AzA3AAxOAyA2 lµ h×nh hép ch÷ nhËt AxA2=AzA3 Π1 Π2 x A1 A2 A3Ax Az y z O Ay Π1 x Ax Az z O A3 A1 A2 y Ay Π1 x Ax Az y z O A3 A1 A2 Ay Π1 x Ax z Az y O A3 A1 A2 Ay Π1=Π2 x Ax A1 A2 z Az y O A3 Ay Π1=Π2 x Ax A1 A2 Az z y O A3 Ay Π1=Π2 x Ax A1 A2 Az z y O A3 Ay Π1=Π2=Π3 x Ax A1 A2 Az z y O A3 §å thøc cña ®iÓm trong hÖ thèng ba mÆt ph¼ng h×nh chiÕu Ay x Ax A1 A2 Az z O A3 TÝnh chÊt: A1A2x A1A3z A2Ax=A3Az x Ax A1 A2 Az z O A3 BiÕt hai h×nh chiÕu, vÏ h×nh chiÕu thø ba xAx A1 A2 Az z O A3 BiÕt hai h×nh chiÕu, vÏ h×nh chiÕu thø ba x Ax A1 A2 Az z O A3 BiÕt hai h×nh chiÕu, vÏ h×nh chiÕu thø ba 3.1. BiÓu diÔn ®­êng th¼ng trªn ®å thøc Cã hai c¸ch 1) BiÓu diÔn b»ng c¸ch x¸c ®Þnh 2 ®iÓm 2) BiÓu diÔn b»ng c¸ch cho 2 h×nh chiÕu( Kh«ng cïng vu«ng gãc víi trôc x) 3.1.1. BiÓu diÔn b»ng c¸ch x¸c ®Þnh hai ®iÓm x A1 A2 B1 B2 Ax Bx AB Ai Bi Πi Nh¾c l¹i tÝnh chÊt phÐp chiÕu (H×nh chiÕu cña mét ®­êng th¼ng): ¸p dông, ta cã A1B1lµ h×nh chiÕu ®øng cña AB; A2B2 lµ h×nh chiÕu b»ng cña AB x A1 A2 B1 B2 Ax Bx Mét vÝ dô kh¸c vÒ biÓu diÔn ®­êng th¼ng qua hai ®iÓm x A1 A2 B1 B2 Ax Bx Π1 x Π2 A1 A2 B1 B2 Ax Bx Π1 x Π2 A1 B1 Ax Bx A2 B2 Π1 x Π2 A1 A2 B1 Ax Bx B2 Π1 Π2 x A1 A2 B1 Ax Bx B2 Π1 Π2 x A1 A2 B1 AxBx= B2 A B §­êng th¼ng AB ®­îc gäi lµ ®­êng c¹nh 3.1.2. BiÓu diÔn b»ng c¸ch x¸c ®Þnh h×nh chiÕu( kh«ng cïng vu«ng gãc víi trôc x) x a1 a2 Π1 x Π2 a1 a2 Π1 x Π2 a1 a2 Π1 x Π2 a1 a2 Π1 Π2 x a1 a2 Π1 Π2 x a1 a2 α β a Π1 x Π2 a1 a2 NÕu cho hai h×nh chiÕu cïng vu«ng gãc víi x, sÏ kh«ng x¸c ®Þnh duy nhÊt a: Π1 x Π2 a1 a2 Π1 x Π2 a1 a2 Π1 Π2 x a1 a2 α β a a: bÊt kú thuéc mÆt ph¼ng αLβ 3.2. §iÒu kiÖn ®iÓm thuéc ®­êng th¼ng 3.2.1. §èi víi ®­êng th¼ng th­êng x a1 a2 I1 I2 §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®iÓm I thuéc ®­êng th¼ng a lµ: I1a1; I2a2; I1I2x. Chó ý: I3a3; I1I3z ThÝ dô ¸p dông: Cho ®iÓm I thuéc ®­êng th¼ng a. BiÕt I1, t×m I2 x a1 a2 I1 I2 Gi¶i: 1- Tõ I1 vÏ ®­êng ®ãng x 2- §­êng dãng trªn c¾t a2 lµ ®iÓm I2 cÇn t×m 3.2.1. §èi víi ®­êng th¼ng c¹nh Th­êng ¸p dông hai mÖnh ®Ò sau: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®iÓm M thuéc ®­êng th¼ng AB lµ: M1A1B1; M3A3B3 vµ M1M3z §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®iÓm M thuéc ®­êng th¼ng AB lµ: M1A1B1; M2A2B2 vµ tØ sè ®¬n A1M1:M1B1= A2 M2 :M2 B2 HoÆc: ThÝ dô ¸p dông: Cho ®iÓm M thuéc ®­êng th¼ng AB. BiÕt M1, t×m M2 x A1 A2 B1 B2 Ax Bx M1 z O A3 B3 M3 M2 xA1 A2 B1 B2 Ax M1 M2 Bx M' B' x A1 A2 B1 B2 Ax M1 M2 Bx B' A' M' 3.3. §é lín thËt cña mét ®o¹n th¼ng vµ gãc cña nã so víi c¸c mÆt ph¼ng h×nh chiÕu Bµi to¸n: Cho ®o¹n th¼ng AB x¸c ®Þnh bëi c¸c h×nh chiÕu. H·y t×m ®é dµi thËt cña AB vµ gãc cña nã so víi c¸c mÆt ph¼ng h×nh chiÕu. x A1 A2 B1 B2 Ax Bx Ph©n tÝch: A B A1 B1 Π1 AA1: ®é xa cña A =A2Ax BB1: ®é xa cña B =B2Bx AA1B1B lµ h×nh thang vu«ng E yAB x A1 A2 B1 B2 Ax Bx yAB lµ hiÖu ®é xa A vµ B Gi¶i: 1- LÊy A1B1lµm mét c¹nh cña tam gi¸c vu«ng 3- Dùng 1 ®­êng vu«ng gãc víi A1B1t¹i A1 hoÆc B1, trªn ®ã lÊy 1 ®o¹n = yAB lµm c¹nh thø hai cña tam gi¸c vu«ng 2- X¸c ®Þnh yAB 4- C¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng nµy lµ ®é dµi thËt cña AB. α lµ gãc cña AB so víi Π1 α yAB yAB α Ph©n tÝch: A B A2 B2 Π2 AA2: (®é cao cña A)=A1Ax BB2: (®é cao cña B)=B1Bx AA2B2B lµ h×nh thang vu«ng E zAB x A1 A2 B1 B2 Ax Bx zAB lµ hiÖu ®é cao A vµ B Gi¶i: 1- LÊy A2B2 lµm mét c¹nh cña tam gi¸c vu«ng 3- Dùng 1 ®­êng vu«ng gãc víi A2B2t¹i A2 hoÆc B2, trªn ®ã lÊy 1 ®o¹n = zAB lµm c¹nh thø hai cña tam gi¸c vu«ng 2- X¸c ®Þnh zAB 4- C¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng nµy lµ ®é dµi thËt cña AB. β lµ gãc cña AB so víi Π2 β zAB zAB §DTAB β 3.4. C¸c ®­êng th¼ng cã vÞ trÝ ®Æc biÖt so víi c¸c mÆt ph¼ng h×nh chiÕu C¸c ®­êng th¼ng song song víi c¸c mÆt ph¼ng h×nh chiÕu: 1) §­êng b»ng: Lµ ®­êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu b»ng Π1 Π2 P h h1 h2 A B A2 B 2 A1 B 1 x A1 B 1 A2 B 2 h1 h2 Ax Bx Π1 Π2 f2B 2 x A1 B 1 A2 B 2 f1 f2 2) §­êng mÆt: Lµ ®­êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu ®øng P f A A2 A1 B 1 f1 B xA1 A2 B1 B2 Ax Bx 2) §­êng c¹nh: Lµ ®­êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu c¹nh vµ cã h×nh chiÕu ®øng, h×nh chiÕu b»ng cïng vu«ng gãc víi x Π1 x Π2 A1 A2 B1 B2 Ax Bx Π1 x Π2 A1 B1 Ax Bx A2 B2 Π1 x Π2 A1 A2 B1 Ax Bx B2 Π1 Π2 x A1 A2 B1 Ax Bx B2 Π1 Π2 x A1 A2 B1 AxBx= B2 A B §­êng th¼ng AB ®­îc gäi lµ ®­êng c¹nh A3 B3 C¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi c¸c mÆt ph¼ng h×nh chiÕu: Π1 Π2 4) §­êng th¼ng chiÕu ®øng: Lµ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu ®øng B A2 B2 A1=B1 A x A1=B1 A2 B2 Π1 Π2 4) §­êng th¼ng chiÕu b»ng: Lµ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu b»ng B B1 B2=A2 A1 A x A2=B2 A1 B1 Π1 Π2 4) §­êng th¼ng chiÕu c¹nh: Lµ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu c¹nh. A B A1 B1 A2 B2 A3=B3 A1 B1 A2 B2 x 3.5. VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña 2 ®­êng th¼ng. Trong kh«ng gian, hai ®­êng th¼ng cã thÓ: - C¾t nhau - Song song - ChÐo nhau nÕu kh«ng c¾t nhau vµ kh«ng song song 3.5.1 Tr­êng hîp c¶ hai ®­êng kh«ng ph¶i lµ ®­êng c¹nh          xMM Mba Mba Mba 21 222 111 a1 a2 b1 b2 M2 M1 x a) Hai ®­êng th¼ng c¾t nhau: a1=b1 a2 b2 M2 M1 x a1 a2=b2 b1 M2 M1 x §Æc biÖt: b) Hai ®­êng th¼ng song song:     22 11 // // // ba ba ba x a1 a2 b1 b2 §Æc biÖt: x a1=b1 a2 b2 x a1 a2=b2 b1 c) Hai ®­êng th¼ng chÐo nhau: a1 a2 b1 b2 x a1 a2 b1 b2 x 3.5.2 Tr­êng hîp mét trong hai ®­êng lµ ®­êng c¹nh NhËn xÐt: Hai ®­êng th¼ng nµy kh«ng song song, chØ c¾t nhau hoÆc chÐo nhau A1 B1 A2 B2 C1 D1 D2 C2(?) A1 B1 A2 B2 C1 D1 D2 C2 I' C' I1 I2 C¸ch 1 C¸ch 2 a) Bµi to¸n 1: X¸c ®Þnh vÞ trÝ t­¬ng ®èi A1 B1 A2 B2 D1 D2 C2 I1 C1 A3 B3 D3 C3 I3 A1 B1 A2 B2 C1 D1 D2 C2 C¸ch 3 b)Bµi to¸n 2: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó 2 ®­êng c¾t nhau A1 B1 A2 B2 C1 D1 D2 C2 I' C' I1 I2 3.5.2 Tr­êng hîp c¶ hai ®­êng lµ ®­êng c¹nh x A1 B1 A2 B2 C1 D1 C2 D2(?) x A1 B1 A2 B2 C1 D1 C2 D2(?) Lo¹i 1: Song song hoÆc chÐo nhau Lo¹i 2: Song song hoÆc c¾t nhau xA1 B1 A2 B2 C1 D1 C2 D2 a) Bµi to¸n 1: X¸c ®Þnh vÞ trÝ t­¬ng ®èi: Song song: I1 I2 Trong tr­êng hîp nµy 2 ®­êng kh«ng song song th× chÐo nhau x A1 B1 A2 B2 C1 D1 C2 D2 D3 C3 A3 B3 b) Bµi to¸n 1: X¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn song song: x B1 A2 B2 C1 D1 C2 D2 I1 I2 x A1 B1 A2 B2 C1 D1 C2 D2 D3 C3 A3 B3 4cm xB1 A2 B2 C1 D1 C2 D2(?) Hai ®­êng c¹nh cïng thuéc mÆt 1 ph¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu c¹nh: NÕu h×nh chiÕu c¹nh c¾t nhau th× hai ®­êng th¼ng c¾t nhau, h×nh chiÕu c¹nh song song th× hai ®­êng song song. Bµi to¸n : VÏ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng vµ c¸c mÆt ph¼ng h×nh chiÕu. XÐt xem ®­êng th¼ng ®ã ®i qua c¸c gãc phÇn t­ nµo Π1 Π2 M N M1 M2 =N2 N1 a a1 a2 x x a1 a2 M1 M2 N1 N2 (I) (II)(IV) 3.5. VÕt cña ®­êng th¼ng §­êng th¼ng a c¾t t¹i ®iÓm M, th× ®iÓm M ®­îc gäi lµ vÕt ®øng cña ®­êng th¼ng a §­êng th¼ng a c¾t t¹i ®iÓm N, th× ®iÓm N ®­îc gäi lµ vÕt b»ng cña ®­êng th¼ng a Π1 x Π2 A1 B1 A2 B2 A B A3 B3 M N M1 M2 M3 N2 N1= N3 A1 B1 A2 B2 x z A3 B3 M3M1 M2 N3=N1 N2 I.BiÓu diÔn trªn ®å thøc A1 B1 C1 A2 B2 C2 x α(ABC) a1 b1 a2 b2 α(aGb) x a1 b1 a2 b2 α(a//b) x a1 M1 a2 M2 α(a,M) x M1 M2 c1 c2 α(a//c) M1 M2 N1 N2 c1 c2 α(aGc) II.§iÒu kiÖn ®iÓm, ®­êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng MÖnh ®Ò 1: Cho mÆt ph¼ng α α §­êng th¼ng a α a M §iÓm M a th× Mα MÖnh ®Ò 2: Cho mÆt ph¼ng α α §iÓm M α vµ N α Qua M vµ N vÏ ®­êng th¼ng a th× aα M N a MÖnh ®Ò 3: Cho mÆt ph¼ng α α §­êng th¼ng a α a M §iÓm M α Qua M vÏ mét ®­êng th¼ng b//a th× bα b §iÒu kiÖn ®iÓm thuéc mÆt ph¼ng lµ ®iÓm n»m trªn mét ®­êng th¼ng cña mÆt ph¼ng §iÒu kiÖn ®­êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng lµ ®­êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cña mÆt ph¼ng §iÒu kiÖn ®­êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng lµ ®­êng th¼ng ®i qua 1 ®iÓm cña mÆt ph¼ng vµ song song víi mét ®­êng th¼ng cña mÆt ph¼ng ThÝ dô ¸p dông: A1 C1 A2 B2 C2 x Cho mÆt ph¼ng α(ABC), ®­êng th¼ng gα. BiÕt g1, t×m g2 . B1 g1M1 N1 M2 N2 g2 A1 C1 A2 B2 C2 x B1 g1 M1 M2 g2 A1 A2 B2 x B1 M1 D1 M2 D2 Cho mÆt ph¼ng α(ABC), ®iÓm M α. BiÕt M1, t×m M2 . M1 a1 b1 a2 b2 Cho mÆt ph¼ng α(a//b), ®iÓm M α. BiÕt M1, t×m M2 . M2 g1 g2 III.C¸c mÆt ph¼ng cã vÞ trÝ ®Æc biÖt so víi c¸c mÆt ph¼ng h×nh chiÕu Π1 Π2 α1 g t M g1= t1 M1 1. MÆt ph¼ng chiÕu ®øng lµ mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu ®øng Π1. x α1 M1 g1= t1 Mα gα tα Π1 Π2 α2g2= 2. MÆt ph¼ng chiÕu b»ng lµ mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu b»ng Π2. x α2 M2 g2=t2 Mα gα tα M M2 t t2 g Π1 Π2 α x 4. MÆt ph¼ng b»ng lµ mÆt ph¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu b»ng Π2. α1 α1 A1 B1 C1 A2 B2 C2 Π1 Π2 α x 5. MÆt ph¼ng mÆt lµ mÆt ph¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu ®øng Π1. α2 α2 A2 B2 C2 A1 B1 C1 IV.VÕt cña mÆt ph¼ng 1. VÕt cña mÆt ph¼ng Π1 Π2 x MÆt ph¼ng α c¾t Π1 theo ®­êng th¼ng mα th× ®­êng th¼ng ®ã gäi lµ vÕt ®øng cña α; MÆt ph¼ng α c¾t Π2 theo ®­êng th¼ng nα th× ®­êng th¼ng ®ã gäi lµ vÕt b»ng cña α. NhËn xÐt: mαGnα=αx trªn trôc x m1 = mα ; m2=x n2 = nα ; n1 =x m1 m2=n1 n2 αx 2a C¸ch vÏ vÕt cña mÆt ph¼ng Π1 Π2 x αx a b1 2 3 a1 a2 b1 b2 11 12 21 22 32 31 αxx m1 n 2 A1 B1 C1 A2 C2 x B1 VÏ ®­êng b»ng cña mÆt ph¼ng h1 h2 D1 D2 m1 m2=n1 n2 αxx I2 I1 Trong mét mÆt ph¼ng, c¸c ®­êng b»ng song song víi nhau vµ song song víi vÕt b»ng. A1 B1 C1 A2 C2 x B1 VÏ ®­êng mÆt cña mÆt ph¼ng f1 f2 D1 D2 m1 m2=n1 n2 αxx I2 I1 Trong mét mÆt ph¼ng, c¸c ®­êng mÆt song song víi nhau vµ song song víi vÕt ®øng. 2b C¸ch vÏ vÕt cña mÆt ph¼ng h2 f2 m1 m2=n1 n2 αx h1 f1 11 12 V.Giao cña ®­êng th¼ng víi mÆt ph¼ng. Giao cña hai mÆt ph¼ng 1. Tr­êng hîp ®Æc biÖt: t1 t2 α1 M1 M2 Gi¶ sö M lµ giao ®iÓm cña t vµ α . VËy Mt M1t1; M2t2; M1M2x. Vµ Mα M1  α1 Tõ ®ã M1=t1G α1. Dãng vÒ t2 ta cã M2. VËy M lµ giao ®iÓm cña t vµ α A1 B1 C1 A2 C2 B1 α1 g2 =g1 Gi¶ sö g lµ giao tuyÕn cña α vµ β(ABC). VËy gαg1=α1. MÆt kh¸c gβ. Ta vÏ ®­îc g2 b»ng c¸ch gi¶i bµi to¸n gβ, biÕt g1 t×m g2. g=αGβ(ABC) α1 β2 Gi¶ sö g lµ giao tuyÕn cña α vµ β(ABC). VËy gαg1=α1. MÆt kh¸c gβg2 =β2. =g1 =g2 α1 β1 Gi¶ sö g lµ giao tuyÕn cña α vµ β(ABC). VËy gαg1α1. Vµ gβg1β1. VËy g1 lµ 1 ®iÓm g1  g2 x g2 A1 S1 C1 A2 C2 x S1 a1 b1 a2 b2 A1 A2 B2 B2 t1 t2 t1 t2 VÏ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng t vµ mÆt ph¼ng α Gi¶ sö M lµ giao ®iÓm cña t vµ α Mα vµ Mt. Víi ®iÒu kiÖn Mt M1Lt1 =M1 MÆt kh¸c Mα, nªn biÕt M1 ta sÏ t×m ®­îc M2 M2 Gi¶ sö M lµ giao ®iÓm cña t vµ α Mα vµ Mt. Víi ®iÒu kiÖn Mt M2Lt2 =M2 MÆt kh¸c Mα, nªn biÕt M2 ta sÏ t×m ®­îc M1 M1 2. Tr­êng hîp tæng qu¸t: Ph­¬ng ph¸p mÆt ph¼ng phô trî gi¶i bµi to¸n giao cña ®­êng th¼ng víi mÆt ph¼ng: A1 B1 C1 A2 C2 x B1 t1 t2 α β t 1) VÏ mÆt ph¼ng β chøa ®­êng t (th­êng lÊy β lµ mÆt ph¼ng chiÕu) 2) VÏ giao tuyÕn cña α vµ β (®­êng th¼ng g) g 3) Giao ®iÓm cña t vµ g chÝnh lµ giao ®iÓm cña t vµ α M β1=g1= M2 M1 g2 A1 B1 A2 x B1 t1 t2 β1=g1= M2 M1 g2 Bµi to¸n: VÏ giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng α(ABC) vµ mÆt ph¼ng (t//k) =1k1 =g'1 k2 N2 N1 g'2 C1 C2 Ph­¬ng ph¸p mÆt ph¼ng phô trî gi¶i bµi to¸n giao cña hai mÆt ph¼ng: α β   A B k t k' t' a1 b1 a2 b2 c1 c2 d1 d2 M2 M1 N2 N1 1 1 =g1 g2 =k1 =g'1=k'1 k2 g'2 k'2 ThÝ dô ¸p dông VÏ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng cho b»ng vÕt Π1 Π2 αx βx A B αx βx A B =A1 A2 =B2 B1 AB=αGβ V.§­êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng. Hai mÆt ph¼ng song song. 1. §­êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng §iÒu kiÖn ®Ó mét ®­êng th¼ng song song víi mét mÆt ph¼ng lµ ®­êng th¼ng nµy ph¶i song song víi mét ®­êng th¼ng cña mÆt ph¼ng. α a b b//a; aα  a//α ThÝ dô ¸p dông: VÏ t2 biÕt ®­êng th¼ng t ®i qua M vµ song song víi mÆt ph¼ng α(ABC). A1 C2 A2 B2 C1 t1 t2// M1 M2 B1 VÏ mÆt ph¼ng α(ABC) song song víi ®­êng th¼ng t. A1 C2 A2 B2 C1 t1 t2 M1 M2 I1 I2 B1 1. Hai mÆt ph¼ng song song. §iÒu kiÖn ®Ó hai mÆt ph¼ng song song lµ mÆt ph¼ng nµy chøa 2 ®­êng th¼ng c¾t nhau t­¬ng øng song song víi 2 ®­êng th¼ng c¾t nhau cña mÆt ph¼ng kia α a b β c d aGb=α; cGd=β; a//c; b//d.  α/β ThÝ dô ¸p dông: Qua ®iÓm M vÏ mÆt ph¼ng β song song víi mÆt ph¼ng α(ABC) A1 C2 A2 B2 C1 B1 M1 M2 t1 t2 k1 k2 1- Qua M, vÏ t//AB 2- Qua M, vÏ k//AC 3- MÆt ph¼ng cÇn vÏ lµ β(t,k) Qua ®iÓm M vÏ mÆt ph¼ng β song song víi mÆt ph¼ng α(mα,nα) m1 m2=n1 n2 αx x M1 M2 1- Qua M, vÏ h//n 2- Qua M, vÏ f//m 3- MÆt ph¼ng cÇn vÏ lµ β(h,f) m'1 m'2=n' 1 n'2 h1 h2 f1 f2 4- VÏ c¸c vÕt cña β Vi.§­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng. Mét sè mÖnh ®Ò cÇn chó ý: MÖnh ®Ò 1: NÕu mét ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mét mÆt ph¼ng th× nã vu«ng gãc víi mäi ®­êng th¼ng cña mÆt ph¼ng ®ã MÖnh ®Ò 2: §iÒu kiÖn ®Ó mét ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mét mÆt ph¼ng lµ nã vu«ng gãc víi hai ®­êng th¼ng c¾t nhau cña mÆt ph¼ng ®ã α α d d t a b ii i i ba b a ba          // ba a ba i ii       //      ii ba ba Ýt nhÊt a hoÆc b song song víi i Mét sè bµi to¸n c¬ b¶n: Bµi to¸n 1: Cho ®­êng th¼ng d, Qua ®iÓm M h·y vÏ mÆt ph¼ng α vu«ng gãc víi d M1 M2 d2 d1//x α2 Ph©n tÝch: d//2; dα  α lµ mÆt ph¼ng chiÕu b»ng. MÆt kh¸c ®i α qua ®iÓm M  c¸ch vÏ * Qua M2 vÏ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi d2 d1 d2 M1 M2 h1 h2 f1 f2 Bµi to¸n 1: Cho ®­êng th¼ng d, Qua ®iÓm M h·y vÏ mÆt ph¼ng α vu«ng gãc víi d Ph©n tÝch: ®iÒu kiÖn dα lµ d ph¶i vu«ng gãc víi hai ®­êng th¼ng c¾t nhau cña mÆt ph¼ng α. Chän 2 ®­êng ®ã lÇn l­ît lµ ®­êng b»ng h vµ ®­êng