Bài giảng môn Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 1 - Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo

Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo 54 TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 Hướng dẫn học Để học tốt bài này, sinh viên cần tham khảo các phương pháp học sau:  Học đúng lịch trình của môn học theo tuần, làm các bài luyện tập đầy đủ và tham gia thảo luận trên diễn đàn.  Đọc tài liệu: 1. Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, phần I: Đại số tuyến tính, NXB Đại học KTQD, 2012. 2. Bộ môn toán cơ bản, 2009, Bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB Thống kê. 3. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2008, Toán cao cấp 1, NXB Giáo dục. 4. Alpha C.Chiang, 1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc. Graw–Hill, Inc. 5. Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England.  Sinh viên làm việc theo nhóm và trao đổi với giảng viên trực tiếp tại lớp học hoặc qua email.  Tham khảo các thông tin từ trang Web môn học. Nội dung  Phép nhân ma trận với ma trận;  Ma trận nghịch đảo;  Ứng dụng của ma trận nghịch đảo. Mục tiêu  Sinh viên nắm được định nghĩa phép hệ phương trình Cramer.  Hiểu và áp dụng thành thạo việc giải hệ phương trình Cramer theo hai phương pháp: Phương pháp ma trận nghịch đảo và phương pháp Cramer.  Nắm được mô hình cân bằng thị trường. Áp dụng được vào bài tập.  Nắm được mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô và áp dụng được vào các bài tập liên quan. BÀI 5 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 55 Tình huống dẫn nhập Tính doanh thu của một cửa hàng Một cửa hàng gạo chuyên kinh doanh ba mặt hàng: gạo Bắc Hương, gạo Tám Điện Biên và gạo Tám Thái Lan với giá tương ứng là 18.000 đồng/1kg; 20.000 đồng/1kg và 19.000 đồng/1kg. Trong 3 tháng đầu năm, cửa hàng bán được số lượng cụ thể như sau: Đơn vị: kg Tháng Loại gạo 1 2 3 Bắc Hương 345 340 350 Tám Điện Biên 315 330 370 Tám Thái Lan 430 425 425 Hãy sử dụng ma trận, tính doanh thu của cửa hàng trong từng tháng. Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo 56 TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 5.1. Phép nhân ma trận với ma trận 5.1.1. Định nghĩa phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận: 11 12 1p11 12 1n 21 22 2p21 22 2n n1 n2 npm1 m1 mn b b ... aa a ... a b b ... aa a ... a A = , B = ... ... ... ...... ... ... ... b b ... aa a ... a                     Trong đó ma trận A có số cột bằng số dòng của ma trận B. Định nghĩa: Tích của ma trận A và ma trận B là một ma trận cấp m×p, ký hiệu là AB và được xác định như sau 11 12 1p 21 22 2p m1 m2 mp c c ... c c c ... c AB = ... ... ... ... c c ... c         Trong đó: cij = ailblj + ai2b2j + + ainbnj (i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , p) Để thực hiện phép nhân ma trận với ma trận theo định nghĩa trên bạn cần lưu ý mấy điểm sau đây: Tồn tại tích AB khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước (ma trận A) bằng số dòng của ma trận đứng sau (ma trận B); Cấp của ma trận AB (khi có nghĩa): Ma trận AB có số dòng bằng số dòng của ma trận A và số cột bằng số cột của ma trận B. Tính các phân tử của ma trận AB; Phần tử cij thuộc dòng i và cột j của ma trận AB là tích của dòng thứ i của ma trận A với cột thứ j của ma trận B theo quy tắc nhân một dòng với một cột như sau: 1 2 1 2 n 1 1 2 2 n n n y y [x x ... x ] = x y + x y + + x y y         Ví dụ 1: Cho 2 ma trận 3 1 2 0 2 5 1 A = 2 5 4 , B = 1 3 0 1 1 0 3 5 1 4 1                     Trong trường hợp này tích AB có nghĩa vì số cột của A và số dòng của B cùng 3, nhưng tích BA không có nghĩa vì số cột của B (ma trận đứng trước) bằng 4, trong khi số dòng của A (ma trận đứng sau) bằng 3. Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 57 Ma trận AB là một ma trận cấp 3×4: 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 c c c c AB = c c c c c c c c       Để tính các phần tử thuộc dòng thứ nhất của AB ta lấy dòng thứ nhất của A nhân lần lượt với các cột của B theo quy tắc nhân một dòng với một cột:  11 0 c = 3 1 2 1 = 3.0 + 1.1 + ( 2).( 5) = 11 5          12 2 c = 3 1 2 3 = 3.2 + 1.3 + ( 2).( 1) = 11 1          13 5 c = 3 1 2 0 = 3.( 5) + 1.0 + ( 2).4 = 23 4           14 1 c = 3 1 2 1 = 3.1 + 1.( 1) + ( 2).1 = 0 1          Để tính các phần tử thuộc dòng thứ hai của AB ta lấy dòng thứ hai của A nhân lần lượt với các cột của B: 21 22 23 24 c = 2.0 + 5.1 + 4.( 5) = 15 c = 2.2 + 5.3 + 4.( 1) = 15 c = 2.( 5) + 5.0 + 4.4 = 6 c = 2.1 + 5.( 1) + 4.1 = 1      Để tính các phần tử thuộc dòng thứ ba của AB ta lấy dòng thứ ba của A nhân lần lượt với các cột của B 31 32 33 34 c = ( 1).0 + 0.1 + ( 3).( 5) = 15 c = ( 1).2 + 0.3 + ( 3).( 1) = 1 c = ( 1).( 5) + 0.0 + ( 3).4 = 7 c = ( 1).1 + 0.( 1) + ( 3).1= 4               Kết quả là: 11 11 23 0 AB = 15 15 6 1 15 1 7 4        Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo 58 TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 Ví dụ 2: Cho 2 ma trận: 2 1 1 1 2 0 A = 0 8 5 , B = 4 7 1 5 6 2 5 2 1                    Hai ma trận đã cho là hai ma trận vuông cấp 3. Theo quy tắc nhân ma trận thì AB và BA cũng có nghĩa và cả hai tích đó đều là ma trận vuông cấp 3. Bạn hãy tự tính toán các phần tử của các ma trận tích và đối chiếu với các kết quả sau đây: 3 13 0 2 15 9 AB = 7 66 3 , BA = 2 66 41 . 19 36 4 5 5 3                     Chú ý: Trong phạm vi các ma trận vuông cùng cấp ta có thể nhân hai ma trận bất kỳ và tích của hai ma trận vuông cấp n là một ma trận vuông cấp n. Tuy nhiên, ngay cả trong phạm vi các ma trân vuông cùng cấp phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán (ví dụ trên là một trường hợp AB ≠ BA). 5.1.2. Các tính chất cơ bản của phép nhân hai ma trận Phép nhân ma trận với ma trận có các tính chất cơ bản sau đây. Chúng tôi bỏ qua phần chứng minh. Bạn cần đọc kỹ để hiểu chính xác nội dung của các tính chất đó. (1) Tính chất kết hợp: (AB)C = A(BC) Trong đó A, B, C là ba ma trận bất kỳ thỏa mãn điều kiện: số cột của A bằng số dòng của B và số cột B bằng số dòng của C. Do phép nhân có tính chất kết hợp, khi viết tích của ba hoặc nhiều ma trận ta có thể bỏ các dấu ngoặc. (2) Tính chất phân phối của phép nhân hai ma trận đối với phép cộng: A(B + C) = AB + AC, (B + C)D = BD + CD Trong đó B và C là hai ma trận cùng cấp có số dòng bằng số cột của ma trận A và số cột bằng số dòng của ma trận D. (3) Với A, B là hai ma trận sao cho tích AB có nghĩa và α là một số bất kỳ ta luôn có: α(AB) = (αA)B = A(αB) Tính chất này cho ta một quy tắc: Khi nhân một số với tích của hai ma trận ta có thể nhân số đó với một trong hai ma trận đó. (4) Tính chất nhân với ma trận đơn vị AE = A, EB = B Đặc biệt, trong tập hợp các ma trận vuông cùng cấp ta luôn có: AE = EA = A (5) Ma trận chuyển vị của ma trận AB (khi tích AB có nghĩa) bằng tích của ma trận chuyển vị của B với ma trận chuyển vị của A: (AB)’ = B’A’ (6) Định thức của tích các ma trận vuông cùng cấp bằng tích các định thức của chúng: AB = A . B Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 59 Chú ý: Tính chất thứ sáu có thể mở rộng cho tích của một số hữu hạn các ma trận vuông cùng cấp: 1 2 n 1 2 nA A ...A = A . A ... A Đối với ma trận vuông, ta có thể sử dụng ký hiệu lũy thừa nguyên dương như sau: A2 = AA, A3 = AAA, An = AAA (n lần) Từ tính chất 6 suy ra: nnA = A 5.2. Ma trận nghịch đảo 5.2.1. Khái niệm ma trận nghịch đảo Như ta đã biết, trong tập hợp tất cả các số thực số 1 giữ vai trò phần tử trung hòa của phép nhân (a.1 = a, a  R) và được gọi là số đơn vị. Trong tập hợp tất cả các ma trận vuông cùng cấp, ma trận đơn vị E cũng có vai trò tương tự: AE = EA = A Trong số học, số nghịch đảo của một số thực a ≠ 0 là số thực a–1 thỏa mãn điều kiện a.a–1 = 1. Khái niệm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cũng được định nghĩa tương tự. Định nghĩa: Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông A là một ma trận vuông X (cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện: AX = XA = E Chú ý rằng khái niệm ma trận nghịch đảo chỉ áp dụng cho ma trận vuông. Từ định nghĩa ta suy ra rằng nếu ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo thì nó chỉ có một ma trận nghịch đảo duy nhất. Thật vậy, giả sử X và Y cùng là ma trận nghịch đảo của ma trận A, tức là: AX = XA = E và AY = YA = E Khi đó ta có: X(AY) = XE = X và (XA)Y = EY = Y Do phép nhân ma trận có tính chất kết hợp nên từ hai đẳng thức này suy ra X = Y Như vậy, nếu ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo thì ma trận nghịch đảo của nó được xác định duy nhất. Ta sẽ dùng ký hiệu A–1 để chỉ ma trận nghịch đảo của ma trận A. Theo định nghĩa ta có: AA–1 = A–1A = E Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo thì ta còn nói A là ma trận không suy biến. 5.2.2. Ma trận phụ hợp của ma trận vuông Trước khi đề cập đến điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo ta đưa vào khái niệm sau: Định nghĩa: Ma trận phụ hợp của một ma trận vuông cấp n Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo 60 TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn a a ... a a a ... a A= ... ... ... ... a a ... a        là ma trận vuông cấp n, ký hiệu là A*, có phần tử thuộc dòng i và cột j là phần bù đại số của phần tử aji của ma trận A: 11 21 n1 12 22 n2* * ij n x n 1n 2n nn A A ... A A A ... A A = a = ... ... ... ... A A ... A           (5.1) Để lập ma trận phụ hợp A* của ma trận vuông A ta phải tính phần bù đại số Aij của tất cả các phần tử aij và xếp Aij vào dòng j, cột i của A*. Ví dụ: Lập ma trận phụ hợp của ma trận 3 2 2 A = 1 2 5 7 6 2        Giải: Trước hết ta tính phần bù đại số của tất các các phần tử 11 12 13 2 5 1 5 1 2 A = + = 26, A = = 33, A = + = 8 6 2 7 2 7 6       21 22 23 2 2 3 2 3 2 A = = 16, A = + = 20, A = = 4 6 2 7 2 7 6         31 32 33 2 2 3 2 3 2 A = = 14, A = = 17, A = + = 4 2 5 1 5 1 2      Ma trận phụ hợp của ma trận A là: 11 21 31 * 12 22 32 13 23 33 A A A 26 16 14 A = A A A = 33 20 17 A A A 8 4 4                   Giữa ma trận vuông A và ma trận phụ hợp của nó có mối liên hệ với nhau thể hiện ở định lý sau: Định lý: Tích của một ma trận vuông A bất kỳ với ma trận phụ hợp A* của nó bằng tích của ma trận đơn vị E với định thức của ma trận A: * * d 0 ... 0 0 d ... 0 AA = A A = dE = (d = A ) ... ... ... ... 0 0 ... d        (5.2) Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 61 Ví dụ: Với A cho ở ví dụ trên đây ta có d = |A| = −4. Với ma trận phụ hợp đã tìm được bạn hãy thử thực hiện phép nhân để kiểm tra kết quả sau đây * * 4 0 0 AA = A A 0 4 0 0 0 4       5.2.3. Điều kiện tồn tại và công thức tìm ma trận nghịch đảo Như ta đã biết, một số thực a có số nghịch đảo khi và chỉ khi a ≠ 0. Đối với các ma trận vuông ta cũng có kết quả tương tự: Định lý: Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo là d = |A| ≠ 0. Khi đó ma trận nghịch đảo của ma trận A được xác định theo công thức: 11 21 n1 12 22 n21 * 1n 2n nn A A ... A A A ... A1 1A = A ... ... ... ...d d A A ... A          (5.3) Một ma trận vuông có định thức khác 0 được gọi là ma trận không suy biến. Định lý này khẳng định rằng điều kiện không suy biến là điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông có ma trận nghịch đảo. Ví dụ 1: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp 2 a b A= c d     Giải: Muốn biết ma trận nghịch đảo có tồn tại hay không ta phải tính định thức của A: |A| = ad – bc Nếu ad – bc = 0 thì ma trận A không có ma trận nghịch đảo. Khi ad – bc ≠ 0 ta có: 11 21-1 * 12 22 A A1 1A = A = A AA ad bc d b d b1 ad bc ad bc= = c a c aad bc ad bc ad bc                     Ví dụ 2: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận 2 1 4 A 1 3 3 3 2 1         Giải: Trước hết ta tính định thức của ma trận A 2 1 4 d = 1 3 3 = 6 + 9 + 8 ( 36 1 12) = 60 3 2 1         Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo 62 TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 Ma trận A có ma trận nghịch đảo: 11 21 31 1 * 12 22 32 13 23 33 A A A 1 1A = A = A A A 60 60 A A A        Ta tính phần bù đại số: 11 12 13 3 3 1 3 1 3 A = = 3, A = =10, A = =11 2 1 3 1 3 2      21 22 23 1 4 2 4 2 1 A = = 9, A = = 10, A = = 7 2 1 3 1 3 2       31 32 33 1 4 2 4 2 1 A = = 15, A = = 10, A = = 5 3 3 1 3 1 3    Ma trận nghịch đảo của ma trận A đã cho là: 1 1 3 1 20 20 43 9 15 1 1 1 1A = 10 10 10 = 60 6 6 6 11 7 5 11 7 1 60 60 12                      Ví dụ 3: Cho ma trận 1 2 3 3 2 3 1 1 B = 3 4 2 1 3 5 2 m          Hãy tìm điều kiện đối với m để ma trận B có ma trận nghịch đảo. Với điều kiện đó, hãy tính phần tử thuộc dòng thứ hai cột thứ ba của ma trận B–1. Giải: Trước hết ta tính định thức của ma trận B 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 3 2 3 1 1 0 1 7 7 0 1 7 7 B = 3(m 2) 3 4 2 1 0 2 11 10 0 0 3 4 3 5 2 m 0 1 7 m 9 0 0 0 m 2                          Ma trận đã cho có ma trận nghịch đảo khi và chỉ khi: B = 3(m + 2) 0 m 2    Khi m ≠ –2 ta có: 1 *1B = B 3(m+2)  Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 63 Phần từ thuộc dòng thứ hai và cột thứ ba của ma trận phụ hợp B* là phần bù đại số của phần tử thuộc dòng thứ ba và cột thứ hai của ma trận B: * 23 32 1 3 3 b = B = 2 1 1 = 7m + 14 3 2 m    Gọi x23 là phần tử thuộc dòng thứ hai và cột thứ ba của ma trận B–1, ta có: 32 23 B 7m + 14 7x = = = 3(m + 2) 3(m + 2) 3 5.2.4. Các tính chất của ma trận nghịch đảo (1) Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo thì (A−1) −1 = A, |A−1| = |A|−1 Điều này suy ra trực tiếp từ định nghĩa ma trận nghịch đảo. (2) Nếu hai ma trận vuông cùng cấp A và B có ma trận nghịch đảo thì ma trận AB cũng có ma trận nghịch đảo và: (AB) −1 = B−1A−1. Thật vậy, theo tính chất của phép nhân ma trận, ta có: (B−1A−1)(AB) = B−1(A−1A)B = B−1EB = B−1B = E; (AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AEA−1= A−1A = E. Theo định nghĩa thì điều này chứng tỏ B−1A−1 là ma trận nghịch đảo của ma trận AB. 5.3. Ứng dụng ma trận nghịch đảo Trong đại số sơ cấp ta đã biết rằng phương trình bậc nhất ax = b (a ≠ 0) có một nghiệm duy nhất: 1bx = = ba a  Tương tự, trong tập hợp các ma trận vuông cấp n (n cố định) ta xét các phương trình: AX = B (5.4) YA = B (5.5) Trong đó A và B là các ma trận cho trước. Xét trường hợp ma trận A có ma trận nghịch đảo. Trong trường hợp này, nhân hai vế của phương trình (5.4) với A−1 về bên trái ta được: X = A−1B (5.6) Tương tự, nhân hai vế của phương trình (5.5) với A−1 về bên phải ta được: Y = BA−1 (5.7) Như vậy, khi ma trận A có ma trận nghịch đảo thì mỗi phương trình (5.4) và (5.5) có một nghiệm duy nhất được xác định theo các công thức (5.6) và (5.7). Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo 64 TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 Ví dụ: Cho hai ma trận 2 1 0 1 1 5 A = 3 1 1 , B = 2 0 3 1 3 2 4 1 0                  Do det(A) = 5 nên ma trận A có ma trận nghịch đảo: 1 1 2 1 1A = 7 4 2 5 10 5 5          Phương trình AX = B có một nghiệm duy nhất là ma trận: 1 1 2 1 1 1 5 1X A B 7 4 2 2 0 3 5 10 5 5 4 1 0 7 2 11 5 5 57 2 11 1 9 9 47 9 9 47 5 5 5 5 20 15 65 4 3 13                                                  Phương trình YA = B có một nghiệm duy nhất là ma trận: 1 1 1 5 1 2 1 1Y BA 2 0 3 7 4 2 5 4 1 0 10 5 5 42 19 22 5 5 542 19 22 1 32 19 17 32 19 17 . 5 5 5 5 3 4 2 3 4 2 5 5 5                                                 Chú ý: Công thức (5.6) có thể áp dụng để giải phương trình (5.4) với B là ma trận cấp n×p bất kỳ. Tương tự, công thức (5.7) có thể áp dụng để giải phương trình (5.5) với B là ma trận cấp q×n bất kỳ. Ví dụ: Giải phương trình AX = B, với 3 2 2 0 4 A = , B = 1 1 3 1 5            Ma trận A có ma trận nghịch đảo: 11 211 12 22 A A 1 21 1A = = A A 1 3A 5           Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 65 Nghiệm của phương trình là: 1 4 2 6 1 2 2 0 4 4 2 61 1 5 5 5X A B 1 3 3 1 5 11 3 19 11 3 195 5 5 5 5                                 Trong trường hợp ma trận A không có ma trận nghịch đảo ta có thể giải các phương trình (5.4) và (5.5) bằng cách quy về hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số là các phần tử của ma trận phải tìm X. Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo 66 TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 Tóm lược cuối bài  Tích của ma trận A và ma trận B là một ma trận cấp m  p, ký hiệu là AB = (cij)m×p được xác định như sau: cij = ailblj + ai2b2j + + ainbnj  Tồn tại tích AB khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước (ma trận A) bằng số dòng của ma trận đứng sau (ma trận B).  Ma trận AB có số dòng bằng số dòng của ma trận A và số cột bằng số cột của ma trận B.  Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông A là một ma trận vuông X (cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện: AX = XA = E. ký hiệu A−1 để chỉ ma trận nghịch đảo của ma trận A.  Ma trận phụ hợp của ma trận A: 11 21 n1 12 22 n2* * ij n n 1n 2n nn A A ... A A A ... A A = a = ... ... ... ... A A ... A             Tích của một ma trận vuông A bất kỳ với ma trận phụ hợp với A* của nó bằng tích của ma trận đơn vị E với định thức của ma trận A.  Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo là: d = |A| ≠ 0. Khi đó ma trận nghịch đảo của ma trận A được xác định theo công thức: 1 *1A = A d   Phương trình ma trận AX = B trong trường hợp ma trận A vuông và có ma trận nghịch đảo có nghiệm duy nhất tính theo công thức: X = A–1B.  Phương trình ma trận YA = B trong trường hợp ma trận A vuông và có ma trận nghịch đảo có nghiệm duy nhất tính theo công thức: Y = BA−1  Trong trường hợp ma trận A không có ma trận nghịch đảo ta có thể giải các phương trình ma trận trên bằng cách quy về hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số là các phần tử của ma trận phải tìm X và Y. Bài 5: Phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo TXTOCB02_Bai5_v1.0014104226 67 Câu hỏi ôn tập 1. Điều kiện để hai ma trận nhân được với nhau? 2. Phép nhân ma trận có tính chất giao hoán không? 3. Một ma trận nhân được với chính nó khi nào? 4. Nêu công thức tính phần tử nằm trên dòng i cột k của tích AB với A là ma trận cấp m×n, B là ma trận cấp n×p. 5. Nêu tính chất của phép nhân hai ma trận. 6. Nêu định nghĩa phép lấy lũy thừa một ma trận. 7. Nêu khái niệm và tính chất của ma trận phụ hợp của ma trận vuông. 8. Nêu định nghĩa ma trận nghịch đảo. 9. Nêu điều kiện và công thức tính ma trận nghịch đảo. 10. Nêu các tính chất của ma trận nghịch đảo. 11. Nêu công thức tính phần tử nằm trên dòng i cột k của ma trận phụ hợp, ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A có det(A)≠ 0. 12. Nêu công thức tính các phần tử nằm trên dòng i của ma trận phụ hợp của ma trận vuông A. 13. Nêu công thức tính các phần tử nằm trên cột k của ma trận phụ hợp của ma trận vuông A. 14. Nêu ứng dụng của ma trận nghịch đảo trong việc giải phương trình ma trận.