Bài giảng ôn thi cao học môn Toán kinh tế - Phùng Duy Quang

ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 1 ThS PHÙNG DUY QUANG (chủ biên) BÀI GIẢNG ÔN THI CAO HỌC Môn: TOÁN KINH TẾ HÀ NỘI, 2011 ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 2 Phần 1. Toán cơ sở ứng dụng trong kinh tế TOÁN CAO CẤP 1 Chuyên đề 1. Ma trận và Định thức §1. Ma trận và các phép toán § 2. Định thức của ma trận vuông cấp n § 3. Ma trận nghịch đảo § 4. Hạng của ma trận Chuyên đề 2. Hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng §1. Khái niệm hệ phương trình tuyến tính §2. Phương pháp giải hệ phương trình TOÁN CAO CẤP 2 Chuyên đề 3. Giới hạn, liên tục, vi – tích phân hàm một biến số §1. Giới hạn của dãy số § 2. Giới hạn của hàm số § 3. Hàm số liên tục § 4 Đạo hàm, vi phân và ứng dụng §5. Tích phân hàm một biến số Chuyên đề 4. Phép tính vi phân hàm nhiều biến số và ứng dụng § 1. Giới hạn và liên tục §2. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến § 3 Cực trị hàm nhiều biến Chuyên đề 5. Tổng hợp các dạng Toán cao cấp ứng dụng trong phân tích kinh tế ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 3 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Alpha C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGRAW-HILL Book Copany, 1984. 2. Lê Đình Thúy (chủ biên), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB Thống kê, 2004. 3. Bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB ĐHKTQD, 2008 4. Nguyễn Huy Hoàng, Toán cao cấp T1, T2. NXB Giáo dục Việt Nam, 2010. 5. Nguyễn Huy Hoàng,Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế T1, T2. NXB Giáo dục Việt Nam, 2010. 6. Ngô Văn Thứ, Nguyễn Quang Dong, Mô hình toán kinh tế, NXB Thống kê, 2005. ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 4 TOÁN CAO CẤP 1 Chuyên đề 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC §1. MA TRẬN 1. Các khái niệm Cho m, n là các số nguyên dương Định nghĩa 1. Ma trận là một bảng số xếp theo dòng và theo cột. Một ma trận có m dòng và n cột được gọi là ma trận cấp m×n. Khi cho một ma trận ta viết bảng số bên trong dấu ngoặc tròn hoặc ngoặc vuông. Ma trận cấp m×n có dạng tổng quát như sau:               mn2m1m n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa hoặc             mn2m1m n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa Viết tắt là A = (aij)n xn hoặc A = [aij]n xn Ví dụ 1. Cho ma trận       − = 176 752 A . A là một ma trận cấp 2 x 3 với a11 = 2 ; a12 = 5 ; a13 = - 7 ; a21 = 6 ; a22 = 7 ; a23 = 1 Định nghĩa 2. • Hai ma trận được coi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương ứng của chúng đôi một bằng nhau. • Ma trận chuyển vị của A là AT : AT = [aji]n xn • Ma trận đối của ma trận A là ma trận: -A = [- aij]n x n Ví dụ 2. Cho ma trận           − − = 02 14 31 A . Xác định AT, - A Ta có       −− = 013 241 AT ;           − − − =− 02 14 31 A ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 5 • Ma trận không cấp m x n là ma trận mà mọi phần tử đểu bằng 0 : nxm]0[=θ • Khi n = 1 người ta gọi ma trận A là ma trận cột, còn khi m = 1 người ta gọi ma trận A là ma trận dòng. • Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau và bằng n. Một ma trận có số dòng và số cột cùng bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n. Khi đó các phần từ a11, a22, … , ann gọi là các phần tử thuộc đường chéo chính, còn các phần tử an1, n 12a − , … , a1n gọi là các phần tử thuộc đường chéo phụ. • Ma trận tam giác là ma trận vuông khi có các phần tử nằm về một phía của đường chéo chính bằng 0. +) Ma trận A = [aij]n x n được gọi là ma trận tam giác trên nếu aij = 0 với i > j:                 = −−− − − nn n1n1n1n n21n222 n11n11211 a0...00 aa...00 ............... aa...a0 aa...aa A +) Ma trận A = [aij]n x n được gọi là ma trận tam giác dưới nếu aij = 0 với i < j:                 = − −−−− nn1nn2n1n 1n1n21n11n 2221 11 aa...aa 0a...aa ............... 00...aa 00...0a A Ví dụ 4. Cho một ví dụ về ma trận vuông cấp 3, ma trận tam giác trên, tam giác dưới cấp 3. Giải:           − − = 611 412 521 A ;           − = 600 410 521 B ;           −= 611 012 001 C • Ma trận chéo là ma trận vuông cấp n mà có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 6 • Ma trận chéo có tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị :                 = 10...00 01...00 ............... 00...10 00...01 E • Tập các ma trận cấp m x n trên trường số thực R, ký hiệu: Matm x n(R) • Tập các ma trận vuông cấp n trên trường số thực R, ký hiệu: Mat n(R) Ví dụ 5. Cho ma trận       − = 176 752 A và           − = 2m7 75 62 B a) Tìm AT và – A b) Tìm m để AT = B Giải: a) Ta có           − = 17 75 62 AT và       −−− −− = 176 752 A b) 1m1m m7 75 62 17 75 62 BA 2 2 T ±=⇔=⇔           − =           − ⇔= 2. Phép toán trên ma trận a) Phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với 1 số Định nghĩa 3. Cho hai ma trận cùng cấp m×n: [ ] [ ] nmijnmij bB;aA ×× == Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m×n, kí hiệu A + B và được xác định như sau: [ ] nmiiij baBA ×+=+ Tích của ma trận A với một số α là một ma trận cấp m×n, kí hiệu α A và được xác định như sau: ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 7 [ ] nmija.A ×α=α Hiệu của A trừ B: A – B = A + (-B) Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất cơ bản của phép toán tuyến tính Tính chất 1. Cho A, B, C là các ma trận bất kì cấp m×n, βα ; là các số bất kì ta luôn có: 1) A + B = B + A 2) (A + B) +C = A + (B + C) 3) A + 0 = A 4) A + (-A) = 0 5) 1.A = A 6) α (A + B) = α A + α B 7) (α + β )A = α A + β A 8) (α β )A = α ( β B) Ví dụ 6. Cho các ma trận       − =      − − = 312 212 B; 110 421 A . Khi đó       −−− −− =      − −+      − − =− 1116 1474 312 212).3( 110 421 .2B3A2 Ví dụ 7. Cho ma trận       = 35 31 B . Tìm ma trận C sao cho 3B – 2(B + C) = 2E Giải: Phương trình đã cho      − =      −      =−=⇔ 2/12/5 2/32/1 10 01 35 31 . 2 1EB 2 1C b) Phép nhân ma trận với ma trận Cho hai ma trận : ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 8 A =             mn2m1m n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa ; B =               np2n1n p22221 p11211 b...bb ............ b...bb b...bb Trong đó, ma trận A có số cột bằng số dòng của ma trận B. Định nghĩa 4. Tích của ma trận A với ma trận B là một ma trận cấp m×p, kí hiệu là AB và được xác định như sau: AB =             mn2m1m n22221 n11211 c...cc ............ c...cc c...cc trong đó ( )p,...,2,1j;m,...,2,1i;baba...babac n 1k kjiknjinj22ij11iij ===+++= ∑ = Chú ý 1. • Tích AB tồn tại khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước bằng số dòng của ma trận đứng sau. • Cỡ của ma trận AB: Ma trận AB có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trước và số cột bằng số cột của ma trận đứng sau. • Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử ijc là tích vô hướng của dòng thứ i của ma trận đứng trước và cột thứ j của ma trận đứng sau. Ví dụ 8. Cho hai ma trận       = 13 21 A và       = 231 410 B . Tính A.B và B.A Giải : Ta có       =      +++ +++ =            = 1461 872 2.14.33.11.31.10.3 2.24.13.21.11.20.1 231 410 . 13 21 B.A Nhưng số cột của B khác số dòng của A nên không tồn tại tích BA. ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 9 Ví dụ 9. Cho ma trận       − − = 023 012 A ;           − − = 1203 0112 1321 B . Tính A.B, BA Giải: Ta có       −− − =           − −       − − = 3781 1753 1203 0112 1321 . 023 012 B.A Còn B.A không tồn tại Các tính chất cơ bản của phép nhân ma trận Tính chất 2. Giả sử phép nhân các ma trận dưới đây đều thực hiện được. 1) (AB)C = A(BC) 2) A(B+C) = AB+AC; (B+C)D =BD +CD 3) α (AB) = (α A)B = A(α B) 4) AE = A; EB =B Đặc biệt , với ma trận vuông A: AE = EA = A 5) ( )T T TAB B A= Chú ý 2. Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán. Nếu θ=B.A thì chưa chắc θ=A hoặc θ=B . Ví dụ 10. Cho các ma trận       =      = 01 00 B; 00 10 A . Khi đó       =      = 10 00 A.B; 00 01 B.A và BAAB ≠ Ví dụ 11. Cho       =      = 10 00 B; 00 01 A , ta có       =            = 00 00 10 00 . 00 01 B.A ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 10 c) Luỹ thừa của ma trận vuông: Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta xác định A0 = E; An = An -1. A ( n là số nguyên dương) Ví dụ 12. Cho       = dc ba A . Chứng minh rằng, ma trận A thoả mãn phương trình θ=−++− )bcad(X)da(X 2 Giải: Ta có       −+      +−            =−++− 10 01).bcad( dc ba).da( dc ba . dc ba E)bcad(A)da(A 2 = θ=      =      − − +      ++ ++ −      ++ ++ 00 00 bcad0 0bcad )da(d)da(c )da(b)da(a dbcc)da( b)da(bca 2 2 . (đpcm) Ví dụ 13. Cho ma trận       = 10 11 A . Tính A2, A3, ..., An (n là số tự nhiên) Giải: Ta có       =            = 10 21 10 11 10 11 A 2 ;       =            = 10 31 10 11 10 21 A 3 ; .... ; tương tự ta có thể dự đoán       = 10 n1 A n . Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp công thức An. Định nghĩa 5. Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A = [aij]m x n là các phép biến đổi có dạng i) đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau: )cc(dd jiji ↔↔ ii) nhân một dòng (cột) với một số khác 0: )kc(kd ii iii) nhân một dòng (cột) với một số rồi cộng vào dòng (cột) khác: )chc(dhd jiji ++ Ví dụ 15. Cho ma trận           − − − = 4211 5212 6421 A . Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau: (1) nhân dòng 2 với 2 (2) hoán vị dòng 1 cho dòng 2 ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 11 (3) nhân dòng 2 với – 2 cộng vào dòng 3 Định nghĩa 6. Ma trận dạng bậc thang là ma trận có tính chất i) Các dòng khác không (tức là có một phần tử khác 0) nếu có thì luôn ở trên các dòng bằng không (tức là hàng có tất cả các phần tử bằng 0). ii) Ở hai dòng khác 0 kề nhau thì phần tử khác 0 đầu tiên ở dòng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên ở dòng trên. Ví dụ 15. Các ma trận sau là ma trận dạng bậc thang             − − = 00000 52000 53110 86511 A ;             − − − = 10000 11200 18210 74311 B ;           − = 000 120 211 C ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 12 §2. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG 1. Khái niệm định thức Cho ma trận A =             nn2n1n n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa . Xét phần tử aij của A, bỏ đi dòng i và cột j của A ta được ma trận vuông cấp n -1, ký hiệu Mij: gọi là ma trận con con ứng với phần tử aij. Ví dụ 1.           = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A . Tìm các ma trận con ứng với các phần tử của A Định nghĩa 1. Cho một ma trận A vuông cấp n: A =             nn2n1n n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa . Định thức của A, ký hiệu det(A) hoặc A được định nghĩa như sau: * Định thức cấp 1: A = [a11] thì det(A) = a11 * Định thức cấp 2:       = 2221 1211 aa aa A thì 21122211 2221 1211 aaaa aa aa)Adet( −== Ví dụ 2. Tính định thức 22.614.1 142 61 =−= Ví dụ 3. Giải phương trình: 0 49 25x 2 = Giải: Tính định thức ta được: VT = 4x2 – 25.9 2 15 x 4 9.25 xPT 2 ±=⇔=⇔ * Định thức cấp 3: ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 13 322311332112312213322113312312332211 333231 232221 131211 a.a.aa.a.aa.a.aa.a.aa.a.aa.a.a aaa aaa aaa Adet −−−++== Quy tắc Sariut: Định thức cấp 3 có 6 số hạng, mà mỗi số hạng là tích của 3 phần tử mà mỗi dòng, mỗi cột chỉ có một đại biểu duy nhất. * Các số hạng mang dấu cộng: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo chính hoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với đường chéo chính. * Các số hạng mang dấu trừ: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo phụ hoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với đường chéo phụ.Để nhớ quy tắc tính định thức cấp 3, người ta thường dùng “quy tắc Sarrus” sau: • • • • • • • • • • • • • • • • • • Từ quy tắc Sarrus trên, chúng ta còn một quy tắc khác để tính nhanh định thức cấp 3: ghép thêm cột thứ nhất và cột thứ hai vào bên phải định thức hoặc ghép thêm dòng thứ nhất và dòng thứ hai xuống bên dưới định thức rồi nhân các phần tử trên các đường chéo như quy tắc thể hiện trên hình: Ví dụ 4.Tính định thức 122 102 321 3 − − =∆ Giải: Ta có =∆3 1.0.1 + 2.(-2).1 + 3.2.(-2) – 3.0.2 – 1.(-2).2) – 1.1.(-2) = -10 Dấu + Dấu - 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 a b c a b a b c a b a b c a b Dấu - Dấu + 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c a b c a b c Dấu - Dấu + ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 14 Ví dụ 5. Giải phương trình 0 124 111 1xx 2 = Giải: Ta có    = = ⇔=+−= 2x 1x 02x3x 124 111 1xx 2 2 • Định thức cấp n (n 3≥ ): det(A) = )Mdet()1(a ijji n 1j ij + = −∑ (với i bất kỳ) hoặc det(A) = )Mdet()1(a ijji n 1i ij + = −∑ (với j bất kỳ) Ví dụ 6. Giải phương trình : 0 1242008 1112009 1xx2010 0002011 2 = Giải : Đặt 1242008 1112009 1xx2010 0002011 2 4 =∆ . Sử dụng công thức khai triển định thức theo dòng 1 ta có )2x3x.(2011 124 111 1xx )1.(2011 2 2 11 4 +−=−=∆ + .    = = ⇔=+−⇔ 2x 1x 02x3xPT 2 2. Tính chất của định thức A =[aij]n x n với )Adet(n =∆ Dòng i của định thức được gọi là tổng của 2 dòng nếu: ( ) ( ) ( )i1 i2 ij in i1 i2 ij in i1 i2 ij in ij ij ija a ....a ....a b b ....b ....b c c ....c ....c ;a b c ( j 1,n)= + = + ∀ = Dòng i là tổ hợp hợp tuyến tính của các dòng khác nếu ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 15 )n,1j(aa kj n k 1k kij =∀α=∑ ≠ = . Ký hiệu ∑ ≠ = α= n ik 1k kki dd ; dk = (ak1 ak2 ... akn) Tính chất 1. (Tính chất chuyển vị) Định thức của ma trận vuông bằng định thức của ma trận chuyển vị của nó: det(AT) = det(A) Ví dụ 1. Cho       = dc ba A . CMR det(AT) =det(A) Bạn đọc tự giải Chú ý 1. Từ tính chất chuyển vị, mọi tính chất của định thức đúng cho dòng thì cũng đúng cho cột và ngược lại. Do đó, trong các tính chất của định thức, chỉ phát biểu cho các dòng, các tính chất đó vẫn giữ nguyên giá trị khi thay chữ "dòng" bằng chữ "cột". Tính chất 2. (Tính phản xứng). Đổi chỗ hai dòng cho nhau và giữ nguyên vị trí các dòng còn lại thì định thức đổi dấu. Ví dụ 2. Xét dc ba và ba dc Bạn đọc tự giải Hệ quả 1. Một định thức có hai dòng giống nhau thì bằng không. Chứng minh Gọi định thức có hai hàng như nhau là n∆ . Đổi chỗ hai hàng đó ta được, theo tính chất 2 ta có n∆ = - n∆ 002 nn =∆⇒=∆⇔ Tính chất 3. (Tính thuần nhất). Nếu nhân các phần tử một dòng nào đó với cùng một số k thì được định thức mới bằng k lần định thức cũ nn2n1n in2i1i n11211 nn2n1n in2i1i n11211 a ... ... ... a ... a ... a...aa ............ a...aa .k a ... ... ... a ... a ... ka...kaka ............ a...aa = Định lý này có thể phát biểu: Nếu một định thức có một dòng có nhân tử chung thì đưa nhân tử chung ra ngoài dấu định thức ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 16 Hệ quả 2. Một định thức có hai dòng tỉ lệ với nhau thì bằng không. Chứng minh: Thật vậy, nếu đưa hệ số tỷ lệ ra ngoài dấu định thức thì được một định thức có hai dòng giống nhau nên nó bằng không. Ví dụ 2.19. Chứng minh định thức sau chia hết cho 17: 91176 4112 204356817 76212 4 − −− − =∆ Giải: Ta có D.17 91176 4112 12241 76212 .17 91176 4112 )12.(172.17)4.(171.17 76212 4 = − −− − = − −− − =∆ . Vì D là định thức tạo bởi các số nguyên nên D cũng là số nguyên. Do đó 174 M∆ Tính chất 3. (Tính cộng tính). Nếu định thức có một dòng là tổng hai dòng thì định thức bằng tổng của hai định thức. 11 12 1n 11 12 1n 11 12 1n i1 i1 i2 i2 in in i1 i2 in i1 i2 in n1 n2 nn n1 n2 nn n1 n2 nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a = ++ + + L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L Hệ quả 3. Nếu định thức có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định thức ấy bằng không. Đó là hệ quả của tính chất cộng tính và tính thuần nhất. Hệ quả 4. Nếu cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định thức không đổi. Từ các tính chất của định thức, ta thường sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận trong quá trình tính định thức cấp n: * Đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau: )cc(dd jiji ↔↔ , phép biến đổi này định thức đổi dấu * Nhân một dòng (cột) với một số khác 0: )kc(kd ii , phép biến đổi này định thức tăng lên k lần. ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 17 * Nhân một dòng (cột) với một số cộng vào dòng (cột) khác: )chc(dhd jiji ++ , phép biến đổi này không làm thay đổi giá trị của định thức. Ví dụ 4. Tính định thức y'ccxy'bbxy'aax 'c'b'a cba 3 +++ =∆ Giải: Nhân dòng 1 với (-x), dòng 2 với (-y) cộng vào dòng 3 ta được: 0 000 'c'b'a cba 321 dydxd 3 ==∆ +−− Ví dụ 5. Tính định thức 2222 2222 2222 2222 4 )3d()3c()3b()3a( )2d()2c()2b()2a( )1d()1c()1b()1a( dcba ++++ ++++ ++++ =∆ Giải: Nhân dòng 1 với (-1), rồi cộng lần lượt vào dòng 2, dòng 3, dòng 4 được: 9d69c69b69a6 4d44c44b44a4 1d21c21b21a2 dcba 2222 dd 4,3,2i4 i1 ++++ ++++ ++++ =∆ +− = Sau đó nhân dòng 2 với (- 2) cộng vào dòng 3, nhân dòng 2 với (-3) cộng vào dòng 4 được: 6666 2222 1d21c21b21a2 dcba 2222 dd2 dd34 32 42 ++++ =∆ +− +− = 0 (vì có 2 dòng tỷ lệ nhau) Ví dụ 6. Tính định thức 1 2 ac 2 cb 2 ba 1bac 1acb 1cba 4 +++ =∆ Giải: ThS Phùng Duy Quang Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội 18 Cộng các cột vào cột 1 ta được: 1 2 ac 2 cb1cba 1ba1cba 1ac1cba 1cb1cba 4 ++ +++ +++ +++ +++ =∆ Đặt nhân tử chung của cột 1 ra ngoài: 0 1 2 ac 2 cb1 1ba1 1ac1 1cb1 ).1cba(4 = ++ +++=∆ 3.Các phương pháp tính định thức Cho định thức cấp n: nmnj1n inij1i n1j111 n a...a...a ............... a...a...a ............... a...a...a =∆ a) Sử dụng định nghĩa bằng công thức khai triển: • Phần bù đại số của ija Xóa đi dòng thứ i và cột thứ j (dòng và cột chứa phần tử ija ) của A ta được một ma trận con (n - 1), kí hiệu là ijM . Định thức của ijM được gọi