Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân

Chương 5 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN I. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM : Cho hàm y = f(x) và bảng số x xo x1 x2 . . . xn y yo y1 y2 . . . yn Để tính gần đúng đạo hàm, ta xấp xỉ hàm bằng đa thức nội suy Lagrange Ln(x) (hay đa thức nội suy Newton) Ta có 1. TH bảng chỉ có 2 điểm nút : x x0 x1 y y0 y1 Đặt h = x1- x0 Đa thức nội suy Lagrange Suy ra công thức đạo hàm cho 2 điểm : ❖ Ví dụ : Cho hàm f(x) = ln x. Tính xấp xỉ f’(1.8) với h = 0.1, 0.01, 0.001 Ta có giải h f’(1.8) 0.1 0.540672212 0.01 0.554018037 0.001 0.555401292 f’(1.8) = 0.555555555 2. TH bảng có 3 điểm nút cách đều : x x0 x1 x2 y y0 y1 y2 h = x2 - x1 = x1 - x0 Đa thức nội suy Lagrange Do đó với mọi x ∈ [x0, x2] ta có Suy ra đạo hàm cấp 1 Công thức thứ 1 gọi là công thức sai phân tiến Công thức thứ 2 gọi là công thức sai phân hướng tâm thường viết dưới dạng (thay x1 = x0) Công thức thứ 3 gọi là công thức sai phân lùi thường viết dưới dạng (thay x2 = x0) đạo hàm cấp 2 Thay x1 = x0 ta được ❖ Ví dụ : Cho hàm a. Dùng công thức sai phân hướng tâm, tính xấp xỉ f’(1.25) với h = 0.01 b. Tính xấp xỉ f”(1.25) với h = 0.01 giải So với kết quả chính xác f’(1.25)= -0.320422170423379 -0.320416958 So với kết quả chính xác f”(1.25) = -0.526640385697715 -0.526643001 Bài tập : Cho hàm f và bảng số cách đều x 1.2 1.4 1.6 1.8 y 2.32 2.53 2.77 2.89 Xấp xỉ f bằng đa thức Newton tiến, tính gần đúng f’(1.25) xk f(xk) Δyk Δ 2yk Δ 3yk 1.2 1.4 1.6 1.8 2.32 2.53 2.77 2.89 0.21 0.24 0.12 0.03 -0.12 -0.15 Giải : Ta lập bảng các sai phân hữu hạn Newton lùi Newton tiến II. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN : Cho hàm f(x) xác định và khả tích trên [a,b]. Ta cần tính gần đúng tích phân : Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn bằng nhau với bước h = (b-a)/n xo= a, x1 = x0 +h, ... , xk = x0 + kh, ... , xn = b 1. Công thức hình thang mở rộng : ❖ Công thức sai số : 2. Công thức Simpson mở rộng: ❖ Công thức sai số : Chú ý : với công thức simpson n phải là số chẵn ❖ Ví dụ : Tính gần đúng tích phân a. Dùng công thức hình thang mở rộng với n = 5 b. Dùng công thức Simpson mở rộng với n = 8 Công thức hình thang giải a. h=0.2, phân hoạch đoạn [0,1] thành n=5 đoạn bằng nhau x0 = 0 < x1 = 0.2 < x2 = 0.4 < x3 = 0.6 < x4 = 0.8 < x5 = 1 = 0.945078781 Công thức Simpson b. h=0.125, phân hoạch đoạn [0,1] thành n=8 đoạn bằng nhau x0 = 0 < x1 = 0.125 < x2 = 0.25 < x3 = 0.375 < x4 = 0.5 x5 = 0.625 < x6 = 0.75 < x7 = 0.875 < x8 =1 = 0.94608331 ❖ Ví dụ : Dùng phương pháp simpson tính gần đúng tích phân x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 f(x) 0.68 0.95 1.16 2.25 3.46 5.57 6.14 với f cho bới bảng số Công thức Simpson x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 y 2.9584 4.3730 5.8358 14.65 30.9609 76.3038 98.6471 I = 37.1004 giải ❖ Ví dụ : Xét tích phân xác định số đoạn chia tối thiểu n để sai số ≤10-5 giải a.Dùng công thức hình thang mở rộng b.Dùng công thức Simpson mở rộng. Với n vừa tìm được, hãy xấp xỉ tích phân trên a. Công thức sai số hình thang mở rộng Vậy n = 45 b. Công thức sai số Simpson mở rộng Vậy n = 4 phân hoạch đoạn [0,1] thành n=4 đoạn bằng nhau x0 = 0 < x1 = 0.25 < x2 = 0.5 < x3 = 0.75 < x4 = 1 Công thức Simpson = 1.932377388