Bài giảng Phương pháp tính - Chương 6: Giải gần đúng phương trình vi phân

Chương 6 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN I. GIẢI GẦN ĐÚNG PTVP CẤP 1 : Xét bài toán Cauchy : tìm nghiệm y=y(x) của phương trình vi phân với giá trị ban đầu y0 y’ = f(x, y), ∀x ∈ [a,b] y(a) = y0 Các phương pháp giải gần đúng : ➢ Công thức Euler ➢ Công thức Euler cải tiến ➢ Công thức Runge-Kutta 1. Công thức Euler : Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy ta chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với bước h = (b-a)/n xo= a, x1 = x0 +h, ... , xk = x0 + kh, ... , xn = b Nghiệm gần đúng của bài toán là dãy {yk} gồm các giá trị gần đúng của hàm tại xk Ta có yk ≈ y(xk) , k =0, n Công thức Euler : yk+1 = yk + h f(xk, yk) , k = 0, n-1 Ví dụ : Dùng công thức Euler tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy y’ = y – x2 +1, 0≤x≤1 y(0) = 0.5 với n = 5 Tính sai số biết nghiệm chính xác là : y(x) = (x+1)2 – 0.5ex giải ta có h = 0.2 x0 = 0, x1 = 0.2, x2 = 0.4, x3 = 0.6, x4 = 0.8, x5 = 1 Công thức Euler y0 = 0.5 yk+1 = yk + 0.2 (yk - xk 2 +1) k xk yk y(xk) |y(xk) - yk | 0 0 0.5 0.5 0 1 0.2 0.8 0.8292986 0.0292986 2 0.4 1.152 1.2140877 0.0620877 3 0.6 1.5504 1.6489406 0.0985406 4 0.8 1.98848 2.1272295 0.1387495 5 1 2.458176 2.6408591 0.1826831 * Nhận xét : công thức Euler đơn gian, nhưng sai số còn lớn nên ít được sử dụng 2. Công thức Euler cải tiến : yk+1 = yk + (k1+k2)/2 k = 0,1, ..., n-1 k1 = hf(xk, yk), k2 = hf(xk+h, yk + k1) Ví dụ : Làm lại ví dụ trước nhưng dùng công thức Euler cải tiến giải ta có h = 0.2 x0 = 0, x1 = 0.2, x2 = 0.4, x3 = 0.6, x4 = 0.8, x5 = 1 Công thức Euler cải tiến yo = 0.5 yk+1 = yk + (k1 +k2) /2 k1= 0.2(yk - xk 2 +1) k2 = 0.2(yk + k1 – (xk+0.2) 2 +1) k xk yk y(xk) |y(xk) - yk | 0 0 0.5 0.5 0 1 0.2 0.826 0.8292986 0.0033 2 0.4 1.20692 1.2140877 0.0072 3 0.6 1.6372424 1.6489406 0.0117 4 0.8 2.1102357 2.1272295 0.0170 5 1 2.6176876 2.6408591 0.0232 3. Công thức Runge Kutta bậc 4 : * Chú ý : Lập công thức Runge-Kutta bằng máy tính casio không được vì công thức quá dài, không đủ bộ nhớ, ta phải tính trực tiếp Ví dụ : Xét bài toán Cauchy y’ = 2.7xy + cos (x+2.7y), 1.2≤x y(1.2) = 5.4 Dùng công thức Runge-Kutta tính gần đúng y(1.5) với bước h = 0.3 xo = 1.2, yo = 5.4, y1=y(1.5) y1 = y0 + (K1+ 2K2+ 2K3+ K4) /6 Công thức Runge-Kutta bậc 4 giải Bấm máy (lập hàm dùng phím calc) ta được K1 = 4.949578057 K2 = 8.367054617 K3 = 10.33000627 K4 = 19.41193853 y(1.5) = 15.69260639 ≈ 15.6926 II. GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PTVP : Xét hệ phương trình vi phân cấp 1 y’1 = f1(x, y1, y2, ..., ym) y’2 = f2(x, y1, y2, ..., ym) . . . y’m = fm(x, y1, y2, ..., ym) với a≤ x ≤ b và thỏa điều kiện ban đầu y1(a) = α1, y2(a) = α2, .... , ym(a) = αm Nghiệm y = (y1, y2, , ym) Để tìm nghiệm gần đúng, ta chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với bước h = (b-a)/n và các điểm chia xo= a, x1 = x0 +h, ... , xk = x0 + kh, ... , xn = b Công thức Euler : yi k+1 = yi k + h fi(xk, y1 k, , ym k) ∀i=1..m; k = 0.. n-1 Nghiệm gần đúng là dãy { yk=(y1 k, y2 k, , ym k)} với yi k ≈ yi(xk), i=1,m Công thức Euler cải tiến : yi k+1 = yi k + (K1 i + K2 i) / 2 K1 i = h fi(xk, y1 k, , ym k) K2 i = h fi(xk+h, y1 k+K1 1, , ym k+K1 m) ∀i=1,m; k = 0, n-1 Công thức Runge-Kutta bậc 4 : yi k+1 = yi k + (K1 i+2K2 i+2K3 i+K4 i) / 6 K1 i = h fi(xk, y1 k, , ym k) K2 i = h fi(xk+h/2, y1 k+K11/2, , ym k+K1 m/2) K3 i = h fi(xk+h/2, y1 k+K21/2, , ym k+K2 m/2) K4 i = h fi(xk+h, y1 k+K31, , ym k+K3 m) ∀i=1,m; k = 0, n-1 Ví dụ : Sử dụng công thức Euler giải gần đúng hệ pt vi phân y’1 = 3y1 + 2y2 – (2x 2 +1)e2x y’2 = 4y1 + y2 + (x 2 +2x –4) e2x với 0 ≤x≤0.5 điều kiện ban đầu y1(0)=y2(0)=1 bước h = 0.1 Công thức Euler y1 0 = 1 y1 k+1 = y1 k + h (3y1k + 2y2 k – (2xk 2 +1)e2xk) y2 0 = 1 y2 k+1 = y2 k + h (4y1k + y2 k + (xk 2 +2xk –4) e 2xk) xk y1k y2k 0 1 1 0.1 1.4 1.1 0.2 1.9154 1.3071 0.3 2.5903 1.6729 0.4 3.4870 2.2732 0.5 4.6940 3.2187 III. GIẢI GẦN ĐÚNG PTVP CẤP CAO: Xét phương trình vi phân cấp m y(m) = f(x, y, y’, ... , y(m-1)), a≤x≤b với điều kiện ban đầu y(a) = α1, y’(a) = α2, .... , y (m-1)(a) = αm Đặt y1 = y, y2 = y’, y3 = y”, ... , ym = y (m-1) Ta chuyển phương trình vi phân bậc m về hệ m phương trình vi phân cấp 1 với điều kiện ban đầu y1(a) = α1, y2(a) = α2, .... , ym(a) = αm, y’1 = y2 y’2 = y3 . . . y’m-1 = ym y’m = f(x, y1, y2, ... , ym) Ví dụ : Sử dụng công thức Euler giải gần đúng pt vi phân cấp 2 (tính xấp xỉ y và y’) y “ – 2 y’ + 2y = sinx e2x , 0≤x≤0.5 điều kiện ban đầu y(0) = -0.4, y’(0) = -0.6 với bước h = 0.1 đặt y1 = y, y2 = y’ chuyển pt về hệ y’1 = y2 y’2 = sinx e 2x– 2 y1 + 2y2 điều kiện y1(0) = -0.4, y2(0) = -0.6 Công thức Euler y1 0 = -0.4 y1 k+1 = y1 k + 0.1 y2k y2 0 = -0.6 y2 k+1 = y2 k + 0.1 (sinxke 2xk - 2y1k +2y2 k) xk y1 k=y y2 k=y’ 0 -0.4 -0.6 0.1 -0.46 -0.64 0.2 -0.524 -0.6638 0.3 -0.5904 -0.6621 0.4 -0.6566 -0.6226 0.5 -0.7189 -0.5292 Ví dụ : Xét bài toán Cauchy x“(t) = (Mt+5) x2(t) – 2Mx’(t)+1.2t + M, 1≤t điều kiện ban đầu x(1) = 1.3M, x’(1) = 1.8M Dùng công thức Euler cải tiến, xấp xỉ giá trị của hàm x(t) và x’(t) tại điểm t = 1.2 với bước h = 0.2 và M = 2.7 đặt y1 = x, y2 = x’ chuyển pt về hệ y’1 = y2 y’2 = (Mt+5)y1 2-2My2+1.2t+M điều kiện y1(1) = 1.3M, y2(1) = 1.8M giải Công thức Euler cải tiến y1 0 = 1.3M y1 1 = y1 0 + (K11+K21)/2 y2 0 = 1.8M y2 1 = y2 0 + (K12+K22)/2 K11= 0.2*y2 0 K21= 0.2*(y2 0+K12) K12= 0.2( (Mt0+5)y10 2 -2My20+ 1.2t0+M) K22= 0.2( (M(t0+h)+5)(y10 +K11) 2 -2M(y20+K12) + 1.2(t0+h)+M) K11 = 0.972 K12 =14.504154 K21 = 3.8728308 K22 = 13.02027163 x(1.2) = y1 1 =5.9324154 x’(1.2) = y2 1=18.622212816 IV. GIẢI PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 2 BẰNG PP SAI PHÂN HỮU HẠN : Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với điều kiện biên p(x)y” + q(x)y’ + r(x)y = f(x), a≤x≤b y(a) = α, y(b) = β ❖ PP sai phân hữu hạn : ▪ Chia đoạn [a,b] thành n đoạn bằng nhau với bước h=(b-a)/n và các điểm nút x0 = a, x1 = x0 +h, ... , xk = x0 + kh, ... , xn = b ▪ sử dụng các công thức sai phân hướng tâm ta xấp xỉ y’(xk) ≈ (yk+1 – yk-1) /2h y”( xk) ≈ (yk+1 – 2yk + yk-1)/h 2 với yk là giá trị xấp xỉ của hàm tại điểm xk. ▪ thay xk vào phương trình ta được pk (yk+1–2yk + yk-1)/h 2+ qk (yk+1–yk-1)/(2h) +rkyk= fk với pk = p(xk), qk = q(xk), rk = r(xk), fk = f(xk), ▪ biến đổi phương trình trên ta thu được hệ phương trình sau : Đây chính là hệ phương trình tuyến tính Ay = b Với A là ma trận 3 đường chéo Ví dụ : Giải gần đúng pt vi phân cấp 2 y“ - y’ – (x+1)y = x-1, 0≤x≤1 y(0) = 1, y(1) = 0 với bước h = 0.25 giải n = 4 x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5, x3 = 0.75, x4 = 1 k 1 2 3 qk -1 -1 -1 rk -1.25 -1.5 -1.75 fk -0.75 -0.5 -0.25 Vậy nghiệm gần đúng y(0) =1, y(0.25) = 0.8093, y(0.5) = 0.5827, y(0.75)=0.3182, y(1)=0 giải hệ phương trình tuyến tính: Ay = b Ví dụ : Giải gần đúng pt vi phân cấp 2 Mx2y”+xy’-8My = -3M2x2, 1.4≤x≤1.8 y(1.4) = 0.5M, y(1.8) = 1.5M với bước h = 0.1, M= 2.7 giải n = 4 x0 = 1.4, x1 = 1.5, x2 = 1.6, x3 = 1.7, x4 = 1.8 k 1 2 3 pk 6.075 6.912 7.803 qk 1.5 1.6 1.7 rk -21.6 -21.6 -21.6 fk -49.2075 -55.9872 -63.2043 giải hệ phương trình tuyến tính : Ay = b Vậy nghiệm gần đúng y(1.4) =1.35, y(1.5) = 2.0499, y(1.6) = 2.7247, y(1.7)=3.3882, y(1.8)=4.05