Bài giảng Tập hợp các số thực

PDF by 1 Chöông 1 TAÄP HÔÏP CAÙC SOÁ THÖÏC Ñeå khaûo saùt haøm soá thöïc theo moät bieán soá thöïc, nghóa laø ñeå khaûo saùt caùc aùnh xaï → f : D , trong ñoù D laø moät taäp con khoâng roãng cuûa , ta caàn naém vöõng caùc tính chaát caên baûn cuûa taäp caùc soá thöïc. Do ñoù, trong phaàn 1, chuùng ta giôùi thieäu taäp thoâng qua moät heä thoáng caùc tieân ñeà. Töø caùc tieân ñeà, ta chöùng minh ñöôïc caùc tính chaát thöôøng duøng treân taäp soá thöïc ñeå töø ñoù xaây döïng ñöôïc hai caëp haøm sô caáp cô baûn : haøm luõy thöøa / caên thöùc vaø haøm muõ / loâgarít. Moät soá khaùi nieäm khaùc lieân quan ñeán khoaûng, laân caän, caùc haøm sô caáp cô baûn ... cuõng ñöôïc giôùi thieäu moät caùch coù heä thoáng trong phaàn 2 nhaèm cung caáp caùc coâng cuï caàn thieát trong vieäc khaûo saùt caùc haøm soá trong suoát phaàn coøn laïi cuûa giaùo trình. 1. TAÄP CAÙC SOÁ THÖÏC Taäp caùc soá thöïc, treân ñoù coù trang bò hai pheùp toaùn, pheùp coäng vaø pheùp nhaân, vaø moät quan heä thöù töï, kyù hieäu ( )+ ⋅ ≤ , , , , thoûa caùc tieân ñeà sau, trong ñoù a, b, c laø caùc soá thöïc baát kyø, 1.1. Tieân ñeà cho caùc pheùp toaùn i) caùc pheùp toaùn ñeàu coù tính giao hoaùn : + = +a b b a ; ⋅ = ⋅a b b a ii) caùc pheùp toaùn ñeàu coù tính keát hôïp : ( ) ( )+ + = + +a b c a b c ; ( ) ( )⋅ ⋅ = ⋅ ⋅a b c a b c iii) pheùp coäng coù phaàn töû trung hoøa, kyù hieäu 0 vaø pheùp nhaân coù phaàn töû trung hoøa, kyù hieäu 1 : + =a 0 a ; ⋅ =a 1 a . iv) moïi soá thöïc x ñeàu coù soá ñoái, kyù hieäu −x , vaø moïi soá thöïc ≠x 0 ñeàu coù soá nghòch ñaûo, kyù hieäu −1x : ( )+ − =x x 0; −⋅ =1x x 1 . PDF by 2 v) pheùp nhaân coù tính phaân boá ñoái vôùi pheùp coäng : ( )+ = +a b c ab ac . 1.2. Tieân ñeà cho quan heä thöù töï vi) quan heä thöù töï coù tính phaûn xaï : ≤a a vii) quan heä thöù töï coù tính phaûn ñoái xöùng : neáu ≤a b vaø ≤b a thì =a b viii) quan heä thöù töï coù tính baéc caàu (truyeàn) : neáu ≤a b vaø ≤b c thì ≤a c ix) quan heä thöù töï coù tính toaøn phaàn : hoaëc ≤a b, hoaëc ≤b a x) quan heä thöù töï beàn ñoái vôùi pheùp coäng : neáu ≤a b thì + ≤ +a c b c xi) quan heä thöù töï beàn ñoái vôùi pheùp nhaân caùc soá döông : neáu ≤a b vaø ≤0 c thì ≤ac bc . ª Töø caùc tính chaát neâu treân ngöôøi ta suy ra moïi tính chaát coøn laïi veà pheùp toaùn cuõng nhö quan heä thöù töï treân taäp caùc soá thöïc. Ta lieät keâ moät soá tính chaát thöôøng duøng sau xii) ⋅ =a 0 0 ; ( )− ⋅ = −1 a a ; xiii) neáu =ab 0 thì =a 0 hay =b 0; xiv) Pheùp tröø : phöông trình + =x a b coù nghieäm duy nhaát ( )= + − ≡ −x b a b a ; xv) Pheùp chia : phöông trình ⋅ =a x b , vôùi ≠a 0, coù nghieäm duy nhaát −= ⋅ ≡1 bx b a a . Ngoaøi ra, do caùc pheùp toaùn ñeàu coù tính keát hôïp, ta coù theå ñònh nghóa toång cuõng nhö tích moät soá höõu haïn caùc soá thöïc. 1.3. Ñònh nghóa. Vôùi daõy caùc soá thöïc 1a , 2a , ..., na , ... Toång n soá haïng ñaàu cuûa daõy naøy, + + + +0 1 2 na a a ... a , ñöôïc vieát taét baèng kyù hieäu ∑ nhö sau = + + + =∑n1 2 n k k 1 a a ... a a PDF by 3 (ñoïc laø “toång caùc ka töø =k 1 ñeán =k n ”). Trong caùch vieát naøy, chæ soá k cuûa ka ñöôïc goïi laø chæ soá caâm, vieäc löïa choïn kyù töï cho chæ soá caâm khoâng laøm aûnh höôûng ñeán giaù trò cuûa toång. Chaúng haïn = = = = = = + +∑ ∑ ∑3 3 3k i j 1 2 3 k 1 i 1 j 1 a a a a a a Hôn nöõa, ta coù theå thay ñoåi vuøng giaù trò cuûa caùc chæ soá vôùi ñieàu kieän duy nhaát laø giaù trò chæ soá ñaàu phaûi nhoû hôn hay baèng giaù trò cuûa chæ soá cuoái. Chaúng haïn = = + + +∑5 k 2 3 4 5 k 2 a a a a a nhöng kyù hieäu = ∑2k 5 ka khoâng ñöôïc xaùc ñònh. Töông töï, ta vieát = ⋅ ⋅ ⋅ =∏ n 1 2 n k k 1 a a ... a a (ñoïc laø “tích caùc ka töø =k 1 ñeán =k n ”). Ví duï 1. = = + + + + =∑n k 1 k 1 2 3 ... n toång n soá nguyeân töï nhieân ñaàu tieân; = = + + + +∑n k 1 1 1 1 11 ... k 2 3 n ; PDF by 4 = = + + + +∑n k 2 n k 0 q 1 q q ... q , vôùi quy öôùc =0q 1 vaø =1q q ; = + = + + + + + =∑n k 0 (2k 1) 1 3 5 ... (2n 1) toång +n 1 soá nguyeân leû ñaàu tieân; = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≡∏ n k 1 k 1 2 3 ... n n! (ñoïc laø “n giai thöøa”); = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≡∏ 1442443 n n n laànk 1 x x x x ... x x . Chuù yù : Toång höõu haïn = ∑n k k 1 a vaø tích höõu haïn = ∏ n k k 1 a ñöôïc ñònh nghóa baèng quy naïp treân n nhö sau : Vôùi =n 1 , ñaët = =∑1 k 1 k 1 a a ; = =∏ 1 k 1 k 1 a a vaø + + = = = +∑ ∑n 1 nk k n 1 k 1 k 1 a a a vaø + + = = ⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ ∏ ∏ n 1 n k k n 1 k 1 k 1 a a a . Chaúng haïn, ta coù = = =∑0 k 0 k 0 q q 1 vaø + + = = = +∑ ∑n 1 nk k n 1 k 0 k 0 q q q . Ñaëc bieät, PDF by 5 = = =∏ 1 k 1 1! k 1 vaø ( ) ( ) ( ) + = = ⎛ ⎞⎜ ⎟+ = = + = ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠ ∏ ∏ n 1 n k 1 k 1 n 1 ! k k n 1 n! n 1 , = = =∏ 1 1 k 1 x x x vaø + + = = ⎛ ⎞⎜ ⎟ = = = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ ∏ ∏ n 1 n n 1 n k 1 k 1 x x x x x x . Nhaéc laïi raèng ta coù quy öôùc =0! 1 vaø =0x 1, vôùi moïi ∈ x , vaø vôùi moïi ∈ n , =k 0,1,...,n , ta ñònh nghóa ( )= − k n n!C k! n k ! . 1.4. Meänh ñeà. i) Neáu λ laø soá thöïc ñoäc laäp vôùi caùc chæ soá cuûa toång höõu haïn, ta coù = λ = λ∑n k 1 n ; = = λ = λ∑ ∑n nk k k 1 k 1 a a PDF by 6 ii) ( ) = = = + = +∑ ∑ ∑n n nk k k k k 1 k 1 k 1 a b a b ; ( ) = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∏ ∏ ∏ n n n k k k k k 1 k 1 k 1 a b a b iii) = = = ⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∑∑ 2n n n k i k k 1 i 1 k 1 a a a iv) Vôùi ( ) = = ij i 1,2,...,n j 1,2,...,m a laø hoï goàm ×n m soá thöïc, ta coù = = = = =∑∑ ∑∑n m m nij ij i 1 j 1 j 1 i 1 a a v) = =0 nn nC C 1 , vôùi moïi ∈ n vaø − ++ = k k 1 k n n n 1C C C , vôùi moïi ∈ n vaø =k 1,2,...,n . Chöùng minh. Chuù yù raèng toång cuõng nhö tích höõu haïn ñöôïc ñònh nghóa baèng quy naïp treân n. Do vaäy, moät caùch töï nhieân laø ta chöùng minh caùc tính chaát treân baèng quy naïp. Chaúng haïn, vôùi ñaúng thöùc iii), khi =n 1 , ta coù = = = ⎡ ⎤⎢ ⎥ = =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∑∑ 21 1 1 2 k i k 1 k 1 i 1 k 1 a a a a , nghóa laø ñaúng thöùc iii) ñuùng khi =n 1. Giaû söû ñaúng thöùc iii) ñuùng vôùi moät ∈ n , nghóa laø = = = ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑∑ ∑ 2n n n i k k i 1 k 1 k 1 a a a . Khi ñoù, ta coù PDF by 7 + + + + = = = = ⎛ ⎞⎜ ⎟ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑∑ ∑ ∑n 1n 1 n 1 ni k i k i n 1 i 1 k 1 i 1 k 1 a a a a a a + + + + = = = ⎛ ⎞⎜ ⎟ = + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑n n ni k i n 1 n 1 k n 1 n 1 i 1 k 1 k 1 a a a a a a a a + + + = = = = = + + +∑∑ ∑ ∑n n n n 2i k n 1 i n 1 k n 1 i 1 k 1 i 1 k 1 a a a a a a a + + + = = ⎡ ⎤⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∑ 2n 1 n 2 k n 1 k n 1 k 1 k 1 a 2a a a + + = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∑ ∑ 2 2n n 1 k n 1 k k 1 k 1 a a a , nghóa laø ñaúng thöùc iii) cuõng ñuùng cho +n 1 . Vaäy do pheùp chöùng minh quy naïp, ñaúng thöùc iii) ñuùng vôùi moïi ∈ n . Chöùng minh caùc ñaúng thöùc coøn laïi ñöôïc coi nhö baøi taäp. ª 1.5. Ñònh lyù. Vôùi ∈ a, b vaø ∈ n , ta coù i) Coâng thöùc khai trieån nhò thöùc Newton ( ) − = + =∑nn k n k kn k 0 a b C a b ii) ( ) − − = − = − ∑nn n n k k 1 k 1 a b a b a b Chöùng minh. i) Quy naïp treân n. Khi =n 1, ñaúng thöùc PDF by 8 ( ) − − − = + = + = + =∑n1 0 0 1 0 1 1 1 1 k k 1 k1 1 1 k 0 a b a b C a b C a b C a b ñuùng. Giaû söû ñaúng thöùc i) ñuùng vôùi moät ∈ n , nghóa laø ( ) − = + =∑nn k n k kn k 0 a b C a b . Khi ñoù, ta coù ( ) ( ) ( ) ( )+ − = + = + + = + ∑nn 1 n k n k kn k 0 a b a b a b a b C a b ( ) ( − −= + + + +0 n 0 0 1 n 1 1n na b C a b C a b ... ( )− −− − − ⎞+ + ⎟⎠ n n 1n 1 n 1 n n n n n nC a b C a b ( )+ − −+ − + − − −= + + + +n 1 n 10 n 1 0 0 1 n 1 1 1 n 1 n 1n n nC a b C a b ... C a b + − − + − ++ + + +n n 1 n n 0 n 0 0 1 1 n 1 1 1n n nC a b C a b C a b ( )− −− − + − ++ + +n n 1n 1 n 1 1 n n n n 1n n... C a b C a b ( )+ − + −= + + + +0 n 1 0 0 1 0 n 1 1 1n n nC a b C C a b ... ( )− + − − ++ + +n n 1 n 1 n n n n n n 1n n nC C a b C a b + − + −+ += + + + 0 n 1 0 0 1 n 1 1 1 n 1 n 1C a b C a b ... ( )+ − ++ − + ++ ++ + n 1 n 1n n 1 n n n 1 n 1n 1 n 1C a b C a b PDF by 9 + + − + = =∑n 1 k n 1 k kn 1 k 0 C a b , nghóa laø ñaúng thöùc i) cuõng ñuùng cho +n 1 . ii) ( ) − − = − =∑n n k k 1 k 1 a b a b ( ) ( − − − −= − + + +n 1 1 1 n 2 2 1a b a b a b ... ( ) ( )− − − − − − ⎞+ + ⎟⎠ n n 1 n 1 1 n n n 1a b a b − − −= + + + +n n 1 2 n 2 n 1a a b ... a b ab ( )− − −− + + + +n 1 n 2 2 n 1 na b a b ... ab b = −n na b . ª Baèng caùch vieát ( )− = + −a b a b vaø ( )+ = − − nn n na b a b khi n laø soá nguyeân leû, ta ñöôïc 1.6. Heä quaû. Vôùi ∈ a, b vaø ∈ n , ta coù i) ( ) ( ) − = − = −∑nn k k n k kn k 0 a b 1 C a b . ii) Khi n laø soá leû, ta coù ( ) ( ) − − − = + = + −∑n k 1n n n k k 1 k 0 a b a b 1 a b . 1.7. Ñònh lyù. i) Baát ñaúng thöùc Cauchy : Vôùi ∈ a, b , ≥a, b 0 , ta coù PDF by 10 + ≥a b ab 2 . Toång quaùt, vôùi caùc soá thöïc 1a , 2a , ..., ∈ na sao cho ≥1 2 na ,a ,...,a 0 , ta coù + + + ≥ ⋅ ⋅ ⋅1 2 n n 1 2 n a a ... a a a ... a n . ii) Baát ñaúng thöùc Cauchy-Schwarz : Vôùi caùc soá thöïc 1a , 2a , ..., na , 1b , 2b , ..., ∈ nb , ta coù ( ) ( ) ( )+ + + ≤ + + + + + +2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 na b a b ... a b a a ... a b b ... b . iii) Baát ñaúng thöùc Bernoulli : Vôùi ≥ −a 1, ta coù ( )+ ≥ +n1 a 1 na , vôùi moïi ∈ n . Chöùng minh. i) Töø baát ñaúng thöùc ( )− = − + ≥2a b a 2 ab b 0 , ta suy ra + ≥a b ab 2 . Giaû söû baát ñaúng thöùc + + + ≥ ⋅ ⋅ ⋅1 2 n n 1 2 n a a ... a a a ... a n ñuùng vôùi moïi daõy höõu haïn soá thöïc döông ≥1 2 na ,a ,...,a 0 . Vôùi daõy + ≥1 2 n n 1a ,a ,..., a ,a 0 , ta chuù yù raèng baát ñaúng thöùc PDF by 11 + + + + + + ≥ ⋅ ⋅ ⋅1 2 n 1 n 1 1 2 n 1 a a ... a a a ... a n hieån nhieân ñuùng khi toàn taïi moät soá haïng =ia 0 . Do ñoù, ta coù theå giaû söû + >1 2 n n 1a ,a ,..., a ,a 0. Khi ñoù, baèng caùch ñaët + + = ⋅ ⋅ ⋅ 1 1 n 1 1 2 n 1 a b a a ... a , + + = ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 n 1 1 2 n 1 a b a a ... a , ... + + + + = ⋅ ⋅ ⋅ n 1 n 1 n 1 1 2 n 1 a b a a ... a , ta ñöôïc ( ) − +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =1 2 n 1 n n 1b b ... b b b 1 vaø do giaû thuyeát quy naïp, − ++ + + + ⋅ ≥1 2 n 1 n n 1b b ... b b b n . Töø ñoù suy ra ++ + + + =1 2 n n 1b b ... b b ( ) ( )+ += + + + − ⋅ − + ⋅1 2 n n 1 n n 1b b ... 1 b b 1 b b +≥ + + + ⋅ + = +1 2 n n 1b b ... b b 1 n 1 , nghóa laø + + + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 n 1 n 1 1 2 n 1 1 2 n 1 a a ... a a ... a a a ... a + + + + + + + ≥ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ n n 1 n 1 n 1 1 2 n 1 1 2 n 1 a a n 1 a a ... a a a ... a PDF by 12 vaø baát ñaúng thöùc Cauchy cho tröôøng hôïp +n 1 soá thöïc ñöôïc chöùng minh. ii) Duøng quy naïp treân n. Khi =n 2 , ta coù ( ) ( ) ( ) + = + + ≤ + + + ≤ + + 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 a b a b a b a b 2a b a b a b a b a b a b a a b b Giaû söû baát ñaúng thöùc ( ) ( ) ( )+ + + ≤ + + + + + +2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 na b a b ... a b a a ... a b b ... b ñuùng vôùi moïi 1a , 2a , ..., na , 1b , 2b , ..., ∈ nb . Khi ñoù, vôùi 1a , 2a , ..., na , +n 1a , 1b , 2b , ..., nb , + ∈ n 1b , ta coù ( )+ ++ + + + 21 1 2 2 n n n 1 n 1a b a b ... a b a b ( )= + + + +21 1 2 2 n na b a b ... a b ( ) + + + ++ + + + + 2 21 1 2 2 n n n 1 n 1 n 1 n 12 a b a b ... a b a b a b ( ) ( )≤ + + + + + + +2 2 2 2 2 21 2 n 1 2 na a ... a b b ... b ( ) ( )+ + + ++ + + + + +2 2 2 2 2 2 2 21 n 1 1 n 1 2 n 1 2 n 1a b b a a b b a ... ( )+ + + ++ + +2 2 2 2 2 2n n 1 n n 1 n 1 n 1a b b a a b ( ) ( )≤ + + + + + + +2 2 2 2 2 21 2 n 1 2 na a ... a b b ... b ( ) ++ + + + +2 2 2 21 2 n n 1a a ... a b ( ) + + ++ + + + +2 2 2 2 2 21 2 n n 1 n 1 n 1b b ... b a a b PDF by 13 ( ) ( )+ += + + + + + + + +2 2 2 2 2 2 2 21 2 n n 1 1 2 n n 1a a ... a a b b ... b b iii) Cuõng duøng quy naïp treân n. Baát ñaúng thöùc ñuùng khi =n 1 do ( )+ = + ≥ + ⋅11 a 1 a 1 1 a . Giaû söû baát ñaúng thöùc ( )+ ≥ +n1 a 1 na ñuùng vôùi moät ∈ n . Ta suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( )++ = + + ≥ + +n 1 n1 a 1 a 1 a 1 a 1 na ( ) ( )= + + + ≥ + +21 n 1 a na 1 n 1 a . Vaäy, do pheùp chöùng minh quy naïp, baát ñaúng thöùc Bernoulli ñuùng vôùi moïi soá nguyeân ∈ n . ª Vôùi taäp caùc soá höõu tyû, ta ñaõ bieát raèng khoâng toàn taïi ∈ x sao cho =2x 2 . Moät caùch tröïc giaùc, toàn taïi caùc “loã hoång” giöõa caùc soá höõu tyû. Cuï theå, vôùi ( ) ( ){ }= ∈ > ∧ < 2A x x 0 x 2 vaø ( ) ( ){ }= ∈ > ∧ > 2B x x 0 x 2 , ta coù caû hai ñeàu laø nhöõng taäp con khoâng roãng cuûa thoûa ∀ ∈ ∈ ≤x A, y B, x y nhöng khoâng toàn taïi ∈ a giöõa A vaø B. Ñieàu naøy coù nghóa laø coù moät “loã hoång” giöõa A vaø B. Ngöôïc laïi vôùi , ta coù tieân ñeà sau, goïi laø tieân ñeà ñaày ñuû, cho taäp caùc soá thöïc nhö sau PDF by 14 1.8. Tieân ñeà ñaày ñuû. Cho A vaø B laø hai taäp con khoâng roãng cuûa sao cho ∀ ∈ ∈ ≤x A, y B, x y . Khi ñoù, toàn taïi soá thöïc α sao cho ∀ ∈ ∈ ≤ α ≤x A, y B, x y . Vôùi tieân ñeà ñaày ñuû naøy, ngöôøi ta coù theå bieåu dieãn taäp caùc soá thöïc baèng moät ñöôøng thaúng, goïi laø ñöôøng thaúng thöïc : Moãi ñieåm bieåu dieãn moät soá thöïc vaø ngöôïc laïi, moãi soá thöïc ñöôïc bieåu dieãn baèng moät ñieåm treân ñöôøng thaúng thöïc. Chaúng haïn, xeùt ( ) ( ){ }= ∈ > ∧ < 2A x x 0 x 2 vaø ( ) ( ){ }= ∈ > ∧ > 2B x x 0 x 2 . Chuùng laø nhöõng taäp con khoâng roãng cuûa thoûa ∀ ∈ ∈ ≤x A, y B, x y vaø do ñoù, duøng tieân ñeà ñaày ñuû, toàn taïi soá thöïc α ∈ sao cho ∀ ∈ ∈ ≤ α ≤x A, y B, x y . Ta seõ chöùng minh baèng phaûn chöùng raèng α =2 2 . Neáu α 0 sao cho ( )α + ε <2 2 . Nhö vaäy α + ε ∈ A vaø ta nhaän ñöôïc ñieàu voâ lyù do ∀ ∈ ≤ αx A, x . Ngöôïc laïi, neáu α >2 2 , ta coù theå choïn ε > 0 sao cho α − ε > 0 vaø ( )α − ε >2 2 . Ñieàu naøy voâ lyù vì ∀ ∈ α ≤y B, y . Toùm laïi, ta phaûi coù α =2 2 vaø ta kyù hieäu α ≡ ∈ 2 . ª Toång quaùt, PDF by 15 1.9. Ñònh lyù. Cho ∈ x , >x 0 vaø ∈ n . Toàn taïi duy nhaát soá thöïc ∈ y , >y 0 , sao cho =ny x vaø ta kyù hieäu ≡ ny x . Chöùng minh. Ñaët ( ) ( ){ }= ∈ > ∧ < nA a a 0 a x vaø ( ) ( ){ }= ∈ > ∧ > nB a a 0 a x . Chuùng laø nhöõng taäp con khoâng roãng cuûa thoûa ∀ ∈ ∈ ≤x A, y B, x y . Do tieân ñeà ñaày ñuû, toàn taïi (duy nhaát) ∈ y , >y 0, sao cho ∀ ∈ ∈ ≤ ≤a A,b B,a y b . Neáu 0 sao cho ( )+ ε <ny x , ta ñöôïc + ε ∈y A . Ñieàu naøy voâ lyù vì ∀ ∈ ≤a A,a y . Ngöôïc laïi, neáu >ny x , thì baèng caùch choïn ε > 0 sao cho − ε >y 0 vaø ( )− ε >ny x , ta nhaän ñöôïc ñieàu voâ lyù do ∀ ∈ ≤b B, y b. Töø ñoù suy ra =ny x vaø ñònh lyù ñöôïc chöùng minh. ª Nhaän xeùt : Ñònh lyù 1.9 cho thaáy hai haøm soá ( ) ( )+∞ → +∞ a n f : 0, 0, x x vaø PDF by 16 ( ) ( )+∞ → +∞ a n g : 0, 0, x x vôùi ∈ n , laø caëp haøm ngöôïc cuûa nhau, ∀ > = ⇔ = nnx, y 0, x y y x . ª Baây giôø, xeùt caùc taäp con cuûa , ( )⎧ ⎫⎪ ⎪= + ∈⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ n1 n A 1 n ; ( ) +⎧ ⎫⎪ ⎪= + ∈⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ n 11 n B 1 n . Deã daøng chöùng minh ñöôïc raèng ∀ ∈ ∈ ≤x A, y B, x y . Do tieân ñeà ñaày ñuû, toàn taïi soá thöïc, kyù hieäu laø e, sao cho ∀ ∈ ∈ ≤ ≤x A, y B,x e y , vaø ñieàu naøy coù nghóa laø, vôùi moïi ∈ n , ( ) ( ) ++ ≤ ≤ +n n 11 1n n1 e 1 . Chuù yù raèng soá e laø duy nhaát do khoaûng caùch giöõa e vaø na luoân nhoû hôn ( ) ( ) ( )++ − + = + ≤n 1 n n1 1 1 1 4n n n n n1 1 1 maø ñaïi löôïng naøy seõ coù theå nhoû tuøy yù khi n ñuû lôùn. Do ñoù, ta goïi e laø giôùi haïn cuûa daõy soá ( )na khi n taêng ra voâ cuøng, kyù hieäu →∞ = nn e lim a (xem chöông 2). Ta ñöôïc ñònh nghóa cho soá Neùper PDF by 17 1.10. Ñònh nghóa. ( ) →∞ = + n1 nn e lim 1 . Tieáp theo, vôùi >a 1 vaø ∈ x , = m n x , trong ñoù ∈ m , ∈ n , ta coù theå ñònh nghóa = np ma a . Khi ∈ x \ , vôùi { }= ∈ <pA a p ,p x vaø { }= ∈ >pB a p ,p x , ta coù ∀ ∈ ∈ ≤a A,b B,a b . Do tieân ñeà ñaày ñuû, toàn taïi (duy nhaát) α ∈ sao cho ∀ ∈ ∈ ≤ α ≤a A,b B,a b , vaø ta coù theå ñònh nghóa = αxa . Nhö vaäy, haøm soá → a x f : x a ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh. Ngöôïc laïi, vôùi >x 0, { }= sB a s x , ta coù A vaø B laø caùc taäp con khoâng roãng cuûa thoûa ∀ ∈ ∈ ≤s A, t B,s t . Cuõng do tieân ñeà ñaày ñuû, toàn taïi (duy nhaát) α ∈ sao cho ∀ ∈ ∈ ≤ α ≤s A, t B,s t , maø ta deã daøng chöùng minh raèng α =a x . Ñaët α = alog x vaø do vaäy, haøm soá PDF by 18 ( )+∞ → a a f : 0, x log x ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh. Nhö vaäy, do ñònh nghóa, hai haøm soá ( )→ +∞ a x f : 0, x a vaø ( )+∞ → a a g : 0, x log x cuõng laø moät caëp haøm ngöôïc, ∀ ∈ > = ⇔ = xax , y 0, log y x a y . ª 2. TAÄP HÔÏP ( )+ ⋅ , , , 2.1. Haøm giaù trò tuyeät ñoái . Giaù trò tuyeät ñoái cuûa soá thöïc x ñöôïc xaùc ñònh bôûi { }= −x max x, x , nghóa laø ⎧ ≥ = ⎨ − <⎩ x khi x 0x x khi x 0 Töø ñònh nghóa, ta suy ra =x 0 neáu vaø chæ neáu =x 0; ≤x a neáu vaø chæ neáu − ≤ ≤a x a ; PDF by 19 ≥x a neáu vaø chæ neáu ≥x a hay ≤ −x a . 2.2. Meänh ñeà. Vôùi moïi soá thöïc x vaø y, i) = ⋅xy x y ii) + ≤ +x y x y iii) − ≤ −x y x y Chöùng minh. i) Töø tính chaát ⎧ ≥ = ⎨ − <⎩ x khi x 0x x khi x 0 ta chöùng minh ñöôïc ñaúng thöùc i) baèng caùch xem xeùt boán tröôøng hôïp xaûy ra treân daáu cuûa x vaø y. Chaúng haïn, khi ≥x 0 vaø <y 0, ta coù ( )= − = ⋅ − = ⋅xy xy x y y x . ii) Deã thaáy raèng ∀ ∈ ≤x , x x vaø − ≤x x , maø töø ñoù, ta ñöôïc caùc baát ñaúng thöùc x x y y x y x y ≤ ≤ + ≤ + vaø ( ) − ≤ − ≤ − + ≤ + x x y y x y x y Ñieàu naøy cho thaáy +x y lôùn hôn moïi phaàn töû cuûa ( ){ }+ − +x y, x y . Do ñoù PDF by 20 ( ){ }+ = + − + ≤ +x y max x y, x y x y . iii) Baèng caùch vieát ( )= − +x x y y , do ii), ta suy ra ≤ − +x x y y vaø do ñoù − ≤ −x y x y . Töông töï, ta cuõng coù − ≤ − = − − = − ⋅ − = −y x y x ( 1)(x y) 1 x y x y . Toùm laïi, ta ñöôïc − ≤ −x y x y ( )− − ≤ −x y x y vaø do ñoù − ≤ −x y x y . ª 2.3. Khoaûng trong vaø laân caän cuûa moät ñieåm Caùc taäp con sau cuûa , goïi laø caùc khoaûng, ñoùng moät vai troø quan troïng trong pheùp tính vi tích phaân. Vôùi ∈ a, b , ( ) { }= ∈ < <a, b x a x b goïi laø khoaûng môû vôùi caùc caän a vaø b; { }⎡ ⎤ = ∈ ≤ ≤⎣ ⎦ a, b x a x b , goïi laø khoaûng ñoùng, hay ñoaïn, vôùi caùc caän a vaø b; ) { }⎡ = ∈ ≤ <⎣ a, b x a x b ; ( { }⎤ = ∈ < ≤⎦ a, b x a x b ; ( ) { }+∞ = ∈ <a, x a x ; ) { }⎡ +∞ = ∈ ≤⎣ a, x a x ; ( ) { }−∞ = ∈ <, a x x a ; ( { }⎤−∞ = ∈ ≤⎦ ,a x x a ; PDF by 21 ( )−∞ +∞ = , . Chuù yù i) Deã thaáy raèng ( ) ( )⎤ ⎡= = = ∅⎦ ⎣a,a a,a a,a vaø { }⎡ ⎤ =⎣ ⎦a,a a . Ngoaøi ra, neáu <b a , thì ( ) ( )⎤ ⎡ ⎡ ⎤= = = = ∅⎦ ⎣ ⎣ ⎦a, b a, b a, b a, b . ii) Chín loaïi khoaûng cuûa neâu treân coù theå ñaëc tröng baèng moät tính chaát chung nhö sau : Cho I laø moät taäp con cuûa . Ta coù I laø moät khoaûng cuûa neáu vaø chæ neáu ( )∀ ∈ ⊂a, b I, a, b I iii) Caùc khoaûng môû cuûa goàm ( )a, b , ( )+∞a, , ( )−∞,a vaø ( )−∞ +∞, . Caùc khoaûng ñoùng cuûa goàm ⎡ ⎤⎣ ⎦a, b , )⎡ +∞⎣a, , ( ⎤−∞ ⎦,a vaø ( )−∞ +∞, . Khi I laø moät khoaûng môû cuûa , ta coù ( )∀ ∈ ∃α > − α + α ⊂x I, 0, x , x I, trong ñoù ( )− α + αx , x ñöôïc goïi laø khoaûng môû taâm a, baùn kính α > 0 . Deã thaáy raèng tính chaát naøy khoâng ñuùng cho khoaûng ñoùng ⎡ ⎤⎣ ⎦a, b vì vôùi =x a , khoâng coù khoaûng ( )− α + αx , x naøo coù theå chöùa trong ⎡ ⎤⎣ ⎦a, b . 2.4. Bieåu dieãn tham soá cho khoaûng ( )a, b Xeùt khoaûng ( )a, b , <a b. Ta coù ( )∈ ⇔ < < ⇔ < − < −x a, b a x b 0 x a b a ( )− −⇔ < < ⇔ = λ ∈ − − x a x a0 a 0,1 b a b a ( )⇔ = λ + − λx b 1 a , ( )λ ∈ 0,1 PDF by 22 ( )⇔ = μ + − μx a 1 b , ( )μ ∈ 0,1 ⇔ = α + βx a b , ( )α β ∈, 0,1 , α + β = 1 Töø tính chaát neâu treân, ngöôøi ta goïi caùch vieát ( ) ( ) ( ){ }= μ + − μ μ ∈