Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 0: Hàm số, giới hạn, liên tục - Nguyễn Văn Tiến

03/04/2017 1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến HÀM SỐ, GIỚI HẠN, LIÊN TỤC CHƯƠNG 0 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa hàm một biến • Cho D, E là tập con của tập số thực R. Hàm số f là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x trong tập D với duy nhất một phần tử f(x) trong tập E. 1 a  f a  1f D E f Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa hàm một biến • D: miền xác định (domain) • E: miền giá trị (range) • x: biến độc lập (independent variable) • f(x): biến phụ thuộc (dependent variable) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đồ thị hàm số • Cho hàm số: • Đồ thị của hàm f là tập hợp tất cả các điểm (x,y) thỏa y=f(x) với xD. • Ký hiệu đồ thị hàm f là G(f). Ta có: • Biểu diễn tập G(f) lên mặt phẳng Oxy ta được một đường (cong hoặc thẳng), đường này gọi là đồ thị của hàm số f. :f D E      ,G f x f x x D  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đồ thị hàm số • Đồ thị hàm số y=2x+x2  2f  2f 2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đồ thị hàm số domain mxd range mgt  y f x 0 x y 03/04/2017 2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tiêu chuẩn đường thẳng đứng • Đường cong trong mặt phẳng Oxy là đồ thị của hàm f khi và chỉ khi không có đường thẳng đứng nào cắt đường cong nhiều hơn một điểm. • Chú ý: đường thẳng đứng trong Oxy có dạng: x=a Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 0 x y Đây là đồ thị của hàm một biến  x a Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 0 x y Đây không phải là đồ thị của hàm một biến  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm xác định từng khúc • Được định nghĩa khác nhau trên mỗi tập con khác nhau của miền xác định. Ví dụ 1: Hàm giá trị tuyệt đối Ví dụ 2:   , 0 ??? , 0 x x f x x mxd x x          2 1 , 1 ??? , 1 x x f x mxd x x        Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm xác định từng khúc 0 x y y xy x    , 0 , 0 x x f x x x       0 0f  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm xác định từng khúc 0 x y 1 1 2y x 1y x        0 1 1 0 2 4 f f f      2 1 , 1 , 1 x x f x x x       Đồ thị f(x) có màu đỏ. 03/04/2017 3 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính đối xứng • Hàm số chẵn: f là hàm chẵn trên miền D nếu: • Hàm số lẻ: f là hàm lẻ trên miền D nếu: • Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy là trục đối xứng. • Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng.    àx D x D v f x f x         àx D x D v f x f x       Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Hàm số sau đây là chẵn, lẻ hay không chẵn không lẻ? • Giải: • Vậy hàm f(x) là hàm lẻ.         5 4 2 ) ) 1 ) ) 3 a f x x x b g x x c h x x x d k x x                 5 5x x x f xxf x         Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ b) Ta có: Vậy g là hàm chẵn. c) Vậy hàm h không chẵn, không lẻ.       4 41 1x gxg x x                   2 2 2 h x x x xh x x x h x h x h x h x x                Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ d) Tập xác định: Vì: Nên hàm số đã cho có tập xác định không đối xứng. Vậy hàm số không chẵn, không lẻ.  ; 3D    4 ; 3 à 4D m D     Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm số tăng, giảm • Hàm số f tăng trên khoảng I nếu: • Hàm số f giảm trên khoảng I nếu: • Đồ thị hàm số tăng đi lên từ trái sang phải. • Đồ thị hàm số giảm đi xuống từ trái sang phải.    1 2 1 2 1 2, ,x x f x f x x x I        1 2 1 2 1 2, ,x x f x f x x x I     Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ  y f x ba 0 c x y d Hàm số đã cho tăng trên đoạn [a;b] và giảm trên đoạn [c;d] 03/04/2017 4 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm số ngược • Định nghĩa hàm 1-1: Hàm số f gọi là hàm 1-1 nếu nó không nhận cùng một giá trị nào đó 2 lần trở lên. Nghĩa là: • Tiêu chuẩn đường nằm ngang: Hàm f là hàm 1- 1 khi và chỉ khi không có đường thẳng nằm ngang nào cắt đồ thị của nó tại nhiều hơn một điểm.    1 2 1 2,f x f x x x   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Hàm f là hàm 1-1; hàm g không là hàm 1-1. 1 2 3 4 10 21 5 6 1 2 3 4 3 15 8 f g Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Hàm số sau có là hàm 1-1? • Ta có: • Theo định nghĩa f là hàm 1-1.   3f x x    3 31 2 1 2 1 2x x x x f x f x     Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Đồ thị hàm số f(x)=x3 • Ta thấy mọi đường nằm ngang chỉ cắt đồ thị tại một điểm duy nhất. Không có đường nào cắt nhiều hơn một điểm. Vậy f là hàm 1-1. 0 x y Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Hàm số: g(x)=x2 có phải hàm 1-1? • Đáp số: Vì 1-1 nhưng g(1)=1=g(-1) nên hàm đã cho không là hàm 1-1. Tuy nhiên xét riêng trên miền [0, +) thì hàm g là hàm 1-1. Vì:       2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , 0; x x x x g x g x x x         Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Xét trên toàn trục số g không là 1-1. • Xét trên miền [0; +) hàm g là 1-1. 0 x y 03/04/2017 5 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm số ngược Định nghĩa: • Cho f là hàm 1-1, có miền xác định A và miền giá trị B. • Hàm ngược của hàm f kí hiệu là f -1, có miền xác định B, miền giá trị A. • Được xác định theo hệ thức sau:    1 ,f y x f x y y B      Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Hàm số ngược của hàm f. 1 2 3 4 10 21 5 6 f  1 10 1f   1 2 3 4 10 21 5 6  1 10f  1f  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chú ý • Miền xác định của f -1 = miền giá trị của f. • Miền giá trị của f -1 = miền xác định của f. • Ta thường ký hiệu y là biến phụ thuộc và x là biến độc lập nên hàm số ngược thường viết dạng:    1y f x f y x   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Hàm ngược của hàm: • Là: • Vì:   3f x x   31 1/3f x x x         3 1/3 1/3f y f x x x   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cách tìm hàm ngược 1. Viết: 2. Giải phương trình trên tìm x theo y (nếu được). 3. Hoán đổi x và y. Ta có kết quả:  1y f x  y f x Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm hàm ngược của hàm: • Giải: • Hoán đổi: • Vậy hàm ngược:   3 2f x x  3 3 32 2 2y x x y x y        3 2y x    31 2y f x x   03/04/2017 6 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm hàm ngược của: • Chú ý: trên miền đã cho g là hàm 1-1 nên có hàm ngược. • Ta có: • Hoán đổi: Vậy hàm ngược:    2, 0g x x x    2 2, 0y x x x y x y       y x x      1 0g x x x    Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chú ý • Từ định nghĩa ta có: • Đồ thị hàm ngược f-1 đối xứng với hàm f qua đường thẳng y=x (phân giác góc phần tư thứ nhất)       1 1 ) , ) , i f f x x x A ii f f x x x B         Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đồ thị Đồ thị hàm ngược f-1 đối xứng với hàm f qua đường thẳng y=x (phân giác góc phần tư thứ nhất) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Các phép toán hàm số • Cho hai hàm số f, g có miền xác định là A, B. Khi đó: • Tổng và hiệu của f và g: • Tích của f và g: • Thương của f và g:       . . ; :f g x f x g x mxd A B        , :f g x f x g x mxd A B            : 0 f xf x mxd x A B g x g g x           Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm số hợp • Cho hai hàm: • Thỏa: • Khi đó tồn tại hàm hợp: • Ta có: : :f X R g Y R          : o o f g X Z h x f g x f g x     g Y X  of g h Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho • Ta có:     23;g x x f x x                   2 2 2 3 3 3 o o f g x f g x f x x g f x g f x g x x          03/04/2017 7 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho hai hàm số: • Xác định và chỉ ra miền xác định của các hàm sau:    ; 2f x x g x x   ) ; ; ; ) ; ; ; o o o o f a f g f g fg g b f g g f f f g g   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải • Ta có: • Vậy:   : 0;f x x mxd A       2 : ;2g x x mxd B          2 : 0;2f g x x x mxd A B             2 : 0;2f g x x x mxd A B          Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải • Vậy:    . 2 : 0;2fg x x x mxd A B                2 : \ 0 0;2 \ 2 0;2 f x x g x mxd A B x g x                           4 0 2 2 : ; 2 2 x xf g x f g x f x mxd          Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải        0 0 : 0 4 : 0; 4 2 0 2g f x g f x g x DK x mx x x d x                           4 0 : 0; xf f x f f x f xx mxd       Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải          0 22 2g g x g g x g x x     2 0 2 : 2 2 2 42 2 0 : 2;2 x x DK x xx mxd                         Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho hàm số: • Tìm các hàm f, g, h sao cho: • Đặt: • Khi đó:    2cos 9F x x  0 0 F f g h       29, cos ,h x x g x x f x x                       0 0 0 0 2 2 9 9 cos 9 cos 9 cos 9 f g h x f g h x f g x f g x f x x x F x                03/04/2017 8 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến CÁC LOẠI HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm tuyến tính • Ta nói y là hàm tuyến tính của x nếu: • Đồ thị hàm y là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ b, hệ số góc là a. y ax b  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đa thức • Hàm P gọi là một đa thức nếu: • a0,a1, , an: hệ số của đa thức • n: bậc của đa thức (an0) • Miền xác định: D=R     1 2 1 2 1 0 ...n n n n P x a x a x a x a x a n           Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm hữu tỷ • Dạng: • Trong đó P, Q là các đa thức. • Miền xác định: là tập các giá trị x thỏa Q(x) 0. • Ví dụ:       P x f x Q x      5 2 2 3 1 ; : 3 9 x x f x mxd x R x x        Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm đại số • Sử dụng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, lấy căn các hàm đa thức ta được hàm đại số. • Ví dụ:       2 2 3 2 5 1 2 4 2 3 f x x x x g x x x x x x           Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm lũy thừa • Dạng: • >0 : hàm số tăng. • <0 : hàm số giảm • Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1,1) và đi qua gốc (0,0) và không qua gốc nếu <0 .  , , 0y x      03/04/2017 9 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm lũy thừa Giá trị của  Miền xác định  Z   * \ 0  Q 0;     \hay    * 0;   • Miền xác định: tùy thuộc vào số mũ  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm số mũ • Dạng: • Miền xác định: D=R . • Miền giá trị: (0; +) . • Nếu a>1: hàm số tăng. • Nếu 0<a<1: hàm số giảm. • Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (0,1), nằm phía trên và tiệm cận với trục hoành. ,( 0, 1)xy a a a   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đồ thị hàm số 2x và (1/3)x Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm số mũ • Tính chất:                 . . 1 . . , , ; 0 x y x y x x y x y x y x x y x x x m n mn i a a a a ii a a a a iii a a iv a b a b v a a m n N n             Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm logarit cơ số a • Dạng: • Miền xác định D= (0; +), miền giá trị: R • Là hàm số ngược của hàm số mũ y=ax. • Logarit với cơ số e (e≈2.71828) gọi là logarit cơ số tự nhiên.  log , 0, 1ay x a a   log y a y x x a   log ln e x x Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Logarit là hàm ngược của hàm mũ 03/04/2017 10 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đồ thị log2x và log1/3 x Hàm số tăng nếu a>1 và giảm nếu 0<a<1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm logarit • Tính chất:           log log ( . ) log log log log log log ( ) log log log . log a a a a a a a a a x a a b i x y x y x ii x y y iii x x iv x a v c b c          Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm logarit • Tính giá trị sau: • Giải: 2 2 2 10 ) log 80 log 5 ? ) log 10. log 4a b   42 2 2 2 2 80 )log 80 log 5 log log 16 log 2 4 5 a           1/2 2 10 2 1 10 0 2 2 ) log 10.log 4 log 10 .log 4 1 1 log . log 4 log 40 2 2 1 1 b     Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm lượng giác • 1. Hàm sin, cos: • Tập xác định R, • Tập giá trị là [-1, 1] • Tuần hoàn với chu kỳ 2π. sin ; cosy x y x      sin 2 sin , cos 2 cos , x k x k Z x k x k Z         Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm lượng giác • Đồ thị hàm sin x và cosx trên [-2; 2] Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm lượng giác • 2. Hàm tan: • Điều kiện xác định: • Tập giá trị là R. • Tăng trên các khoảng: • Tuần hoàn với chu kỳ π. tany x 2 x k    ( , ) 2 2 k k        tan tan ,x k x k Z   03/04/2017 11 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đồ thị hàm tan(x) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 4. Hàm lượng giác • 3. Hàm cot: • Điều kiện xác định: • Tập giá trị là R. • Tăng trên các khoảng: • Tuần hoàn với chu kỳ π. coty x x k ( , )k k    cot cot ,x k x k Z   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Quan hệ hàm lượng giác • Ta hay dùng công thức sau: • Sinh viên tự ôn lại các kiến thức lượng giác. 2 2 2 2 2 2 sin ) sin cos 1 ) tan cos cos ) cot ) tan .cot 1 sin 1 1 ) 1 tan ) 1 cot cos sin x i x x ii x x x iii x iv x x x v x vi x x x          Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm arcsinx • Đồ thị hàm sinx trên [-; ] • Đồ thị y=sinx trên [-/2; /2] Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm lượng giác ngược 1. Hàm arcsin: (đọc là ác – sin) hay sin-1 Là hàm ngược của hàm y=sin(x) Tập xác định: [-1,1]. Tập giá trị: Là hàm lẻ, tăng. 1arcsin siny x x  , 2 2         arcsin sin 2 2 y x x y y             Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm arcsinx • Đồ thị hàm arcsin x: Tập xác định: [-1,1]. Tập giá trị: [-/2; /2] Là hàm lẻ, tăng. 03/04/2017 12 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đồ thị hàm sin(x) và arcsin(x) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính: • Giải: 1 1 1)sin ) tan arcsin 2 3 a b                1 1 1sin ì sin à ; 2 6 6 2 6 2 2 v v                                Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính: • Đặt: • Vậy: 1 )tan arcsin 3 b       1 1 arcsin sin à 3 3 2 2 x x v x         1 1 tan arcsin tan 3 2 2 x         Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm • Giải:   1 1 17)sin sin )sin sin )sin sin 2 6 6 a b c                                   1) ; sin sin 6 2 2 6 6 a                          Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Ta có: • Tính trực tiếp: 17 7 7; sin sin 6 2 2 6 6                          1 17 1sin sin sin 6 2 6 ì sin à ; 6 6 2 2 v v                                                Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm lượng giác ngược 2. Hàm arccos: (đọc là ác – cô sin) hay cos-1 Là hàm ngược của hàm y=cos(x) Tập xác định: [-1,1]. Tập giá trị: [0; ] Là hàm giảm. 1arccos cosy x x   arccos cos , 0y x x y y      03/04/2017 13 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm arccos x y=cosx trên miền [0; 2] y=cosx trên miền [0; 2] Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm arccos(x) và cos(x) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm lượng giác ngược 3. Hàm arctan: (đọc là ác – tang) Là hàm ngược của hàm y=tan(x) Là hàm lẻ, tăng. Tập xác định: R. Tập giá trị: 1arctan tany x x   / 2; / 2  arctan tan , 2 2 y x x y y             Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Đơn giản biểu thức: • Ta có:  1cos tan x 1tan tan , 2 2 y x x y y              2 2 2 2 2 2 1 1 1 tan cos cos 1 tan 1 1 cos 1 tan 1 y y y y y y x            Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm lượng giác ngược 4. Hàm arccot: (đọc là ác – cô tang) Là hàm ngược của hàm y=cot(x) Tập xác định: R. Tập giá trị: Là hàm giảm. 1arccot coty x x   0,  arccot cot , 0y x x y y      Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm siêu việt • Các hàm không phải hàm đại số gọi là hàm siêu việt. • Các hàm siêu việt đã biết: hàm lượng giác, hàm lượng giác ngược, hàm mũ, hàm logarit. 03/04/2017 14 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Một số hàm trong phân tích Kinh tế • Hàm sản xuất: Q=Q(L) • Hàm doanh thu: R=R(Q) • Hàm chi phí: C=C(Q) • Hàm lợi nhuận: π= π(Q)=R(Q)-C(Q) • Hàm cung: Qs=S(p), tăng theo p • Hàm cầu: Qd=D(p), giảm theo p • Ghi chú: L là lao động; Q là sản lượng; p là giá Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ • Giới hạn dãy số • Giới hạn hàm số • Tính chất • Công thức giới hạn cơ bản • Vô cùng lớn • Vô cùng bé • Ngắt bỏ vô cùng bé tương đương Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Dãy số • Dãy số: hàm số xác định trên tập các số tự nhiên khác 0. • Ta thường ký hiệu dãy số là (un). • un gọi là số hạng thứ n của dãy.   *:u N R n u n   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Dãy số • Cho dãy số: • Ta có: • Hỏi: • Khi n rất lớn thì giá trị của dãy số là bao nhiêu?   1 2 1 n u n n    1 2 3 1 4 2; 1; ;... 2. 1 5 1 1 u u u       100 999 9999999 ? ? ?u u u   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Dãy số • 10 giá trị đầu của dãy: n un 1 2 2 1 3 0.8 4 0.714285714 5 0.666666667 6 0.636363636 7 0.615384615 8 0.6 9 0.588235294 10 0.578947368 • Các giá trị tiếp theo: n un 100 0.507537688 101 0.507462687 9999 0.500075011 10000 0.500075004 10000000 0.500000075 100000000 0.500000008 1000000000 0.50000000110^9 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Dãy số • Nhận xét: • Giá trị của dãy càng ngày càng gần với số 0.5. • Khi n càng lớn thì chênh lệch giữa dãy số và 0.5 càng nhỏ (tại số hạng thứ 1 tỷ chênh lệch là 10- 9). • Độ chênh lệch này có thể nhỏ hơn nữa nếu tăng n lên và có thể nhỏ tùy ý miễn là n đủ lớn. • Vậy ta nói giới hạn của dãy số là 0.5.   1 2 1 n u n n    03/04/2017 15 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa giới hạn dãy số • Dãy số (un) có giới hạn là a nếu: • Chênh lệch (un) và a có thể nhỏ tùy ý khi n đủ lớn. • Ký hiệu: 0 0 0 .0, : n nn u an        lim lim n n nn n u a hay u a hay u a      nhỏ tùy ý Chênh lệchn đủ lớn Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Chứng minh: • Bước 1. Lấy >0 • Bước 2. Lập hiệu: • Bước 3. Tìm điều kiện của n để: (nếu có) 1 1 lim 0,5 2 1 2n n n     n u a n u a   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Bước 4. Chọn n0, viết lại dưới dạng định nghĩa và kết luận. • Giải. • Với mọi >0. Ta có:  n n u a n n n n                       1 1 3 2 1 2 2 2 1 3 3 1 2 1 2 4 2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Chọn • Ta có: Vậy theo định nghĩa: 0 3 1 2 2 n  