Bài giảng Toán tài chính - Chương 3: Hàm nhiều biến

HÀM NHIỀU BIẾN CHƯƠNG 3 KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN Định nghĩa: Cho không gian: Ánh xạ: Được gọi là hàm hai biến xác định trên tập hợp D Mỗi cặp (x,y)∈ tương ứng với một số thực z x, y là các biến độc lập; z là biến phụ thuộc ( ) ( ) : , , f D R x y z f x y ® =a ( ){ }2 2, : ,R x y x y R va D R= Î Ì KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN Mỗi cặp (x,y)∈ tương ứng với một số thực z x, y là các biến độc lập; z là biến phụ thuộc Tập D là miền xác định (domain) Miền giá trị (range) của hàm f     , ,T f x y x y D  TẬP XÁC ĐỊNH HÀM HAI BIẾN Khái niệm. Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các cặp (x,y) sao cho giá trị biểu thức f(x,y) là số thực. Ví dụ 1. Với 2D = ¡ và 3 2( , ) .f x y x x xy   Miền xác định của hàm số là cả không gian 2.¡ Ứng với cặp số ( , ) (2, 1)x y D   , ta có 3 2(2, 1) 2 ( 1) 2.( 1) 5z f        Ứng với cặp số ( , ) (3,2) ,x y D  ta có 3 2(3,2) 3 2 3.2 29.z f     Ví dụ 2. Với mỗi hàm số sau, tìm f(3,2) và miền xác định. a)   1 , 1 x y f x y x     b)    2, lnf x y x y x  TẬP XÁC ĐỊNH HÀM HAI BIẾN A) Ta có: Tập xác định: b) Ta có: Tập xác định:   3 2 1 6 3,2 3 1 2 f        , 1 0, 1D x y x y x        23,2 3ln 2 3 0f      2,D x y x y  VÍ DỤ 1 Tìm và vẽ tập xác định của các hàm số sau: ( ) ( ) ( ) 2) , ) , ln 2 1 a f x y y x b f x y x y = - = - + KHÁI NIỆM HÀM BA BIẾN Định nghĩa: Cho không gian: Ánh xạ: Được gọi là hàm ba biến xác định trên tập hợp D Mỗi cặp (x,y,z)∈ tương ứng với một số thực u x, y, z là các biến độc lập; u là biến phụ thuộc Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các cặp (x,y,z) sao cho giá trị biểu thức f(x,y,z) là số thực. ( ) ( ) : , , , , f D R x y z u f x y z ® =a ( ){ }3 3, , : , ,R x y z x y z R va D R= Î Ì ĐỒ THỊ. Định nghĩa. Nếu f là hàm hai biến với miền xác định D thì đồ thị của f là tập hợp tất cả các điểm (x,y,z) sao cho    , ,z f x y x y D  ĐỒ THỊ HÀM MỘT BIẾN ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN   2, 2f x y x y y  ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN   2 2,f x y x y  ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN   3 2, 3 2f x y x x y   ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN     2 22, 4 1 x yf x y x e   HÀM NHIỀU BIẾN TRONG KINH TẾ a) Hàm sản xuất b) Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận c) Hàm lợi ích d) Hàm cung, hàm cầu VÍ DỤ 2 Tìm các giới hạn sau Sinh viên tự tham khảo thêm                   2 2 3 2 2 2, 0,1 , 1,2 2 2 2 2 2 2, 1,2 , 0,0 3 ) lim ) lim 2 3 3 ) lim ) lim x y x y x y x y x y a b x y x y xy x y x y x y c d x y x y          GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Định nghĩa. Hàm số hai biến f liên tục tại (a,b) nếu Hàm số f liên tục trên D nếu liên tục tại mọi điểm (a,b) trên D. Chú ý. Các hàm đa thức liên tục trên R2 , các hàm hữu tỉ liên tục trên miền xác định của nó.         , , lim , , x y a b f x y f a b   VÍ DỤ 3. Tìm các khoảng liên tục của hàm số:   2 2 2 2 , x y f x y x y    ĐẠO HÀM RIÊNG Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên tập D. Xem y như hằng số ta được hàm một biến theo x. Lấy đạo hàm của hàm số này ta được đạo hàm riêng theo biến x. Tương tự ta được đạo hàm riêng theo biến y Ký hiệu: ( ) ( ) ( ) ( ) , , ' , , ' x x x x y y y y f z f x y f f x y D f z x x x f z f x y f f x y D f z y y y ¶ ¶ ¶ ¢ ¢= = = = = = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¢ ¢= = = = = = ¶ ¶ ¶ ĐẠO HÀM RIÊNG Đạo hàm riêng của hàm f(x,y) tại điểm (x0,y0) Lấy đạo hàm riêng theo biến nào thì xem biến còn lại như hằng số và tiến hành lấy đạo hàm như hàm 1 biến. ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , ' lim , , ' lim x x x y y y f x y f x yf f x x x f x y f x yf f y y y ® ® -¶ = = ¶ - -¶ = = ¶ - VÍ DỤ 4. Cho hàm số Đạo hàm riêng theo x (xem y là hằng số) Đạo hàm riêng theo y (xem x là hằng số) 3 2 43z x xy y= + - 3' 6 4 y z xy y= - 2 2' 3 3 x z x y= + VÍ DỤ 5. Tìm các đạo hàm riêng của các hàm số sau: Với hàm nhiều hơn hai biến ta làm tương tự.       3 2 3 2) , 2 ) , sin 1 ) , , lnxy a f x y x x y y x b f x y y c f x y z e z            ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO Đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp 1 gọi là ĐHR cấp 2 Tương tự cho các cấp cao hơn. Ký hiệu:         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x xx x xyx y y yx y yyx y z f z z f z f f f f x x x x y x x y x y z f z z f z f f f f x y y x y x y y y y                                                                             VÍ DỤ 6. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số sau. Đáp án 3 2z x y xy   2' 3 ' 2 " 6 " 1 " 1 " 2 x y xx xy yy z x y z y x z x z z z          yx VÍ DỤ 7. Tính các ĐHR cấp 2 của hàm số: ) ) ) lny xy x a z x b z e c z y          VÍ DỤ 8. Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số: Hỏi: - Hàm 2 biến có bao nhiêu ĐHR cấp 2? - Hàm n biến có bao nhiêu ĐHR cấp 2? - Thứ tự lấy ĐHR có ảnh hưởng đến kết quả???   3 2 3 2, 2f x y x x y y   ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO Định lý Clairaut. Giả sử hàm f được xác định trên đĩa D chứa điểm (a,b). Nếu các hàm số à liên tục trên D thì: Ma trận Hessian.    , ,xy yxf a b f a b  1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x f f f f f f H f f f                            VÍ DỤ 9. Tìm ma trận Hess của hàm ba biến sau Sinh viên kiểm tra lại kết quả dưới đây 3 4 5( , , )f x y z x y z 2 4 5 2 3 5 2 4 4 2 3 5 3 2 5 3 3 4 2 4 4 3 3 4 3 4 3 6 12 15 12 12 20 15 20 20 x y z x y z x y z H x y z x y z x y z x y z x y z x y z            VI PHÂN TOÀN PHẦN HÀM NHIỀU BIẾN Cho hàm hai biến f(x,y) có các đạo hàm riêng f’x; f’y Khi đó biểu thức: Được gọi là vi phân toàn phần của hàm hai biến đã cho. Ý nghĩa:  dx  dy  df x yd f f dx f dy   VÍ DỤ 10. Hàm số Có vi phân toàn phần là 3 2z x y xy      23 2dz x y dx x y dy    VI PHÂN CẤP 2 Vi phân cấp 2 của hàm hai biến f(x,y) là biểu thức có dạng: Chú ý: 2 2 2 2 22 xyx yd f f dx f dxdy f dy        2 2 2 2 2 2 22 x y xx xy yx yy xx xy yy d f d df d f dx f dy d f f dx f dxdy f dydx f dy d f f dx f dxdy f dy                 VÍ DỤ 11. A) Vi phân cấp 2 của hàm số: là B) Tính vi phân cấp 2 của hàm số:     2 2 2 3 3 2 2 ) ln ) ) z sin a z x y b z xy x y c x y       3 2z x y xy   2 2 26 2 2d z xdx dxdy dy   CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN Cuc dai Cuc tieu KHÔNG PHẢI CỰC TRỊ (SADDLE POINT) CỰC TRỊ HÀM HAI BIẾN_CỰC ĐẠI Khái niệm: cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên D Xét điểm M0(x0; y0) ∈ Nếu tại các điểm M(x,y) nằm quanh M0 và M≠ M0 ta có: Thì M0 gọi là điểm cực đại của hàm số.        0 0 0, ,f M f M hay f x y f x y  CỰC ĐẠI HÀM HAI BIẾN        0 0 0, ,f M f M hay f x y f x y  CỰC TRỊ HÀM HAI BIẾN_CỰC TIỂU Khái niệm: cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên D Xét điểm M0(x0; y0) ∈ Nếu tại các điểm M(x,y) nằm quanh M0 và M≠ M0 ta có: Thì M0 gọi là điểm cực tiểu của hàm số.        0 0 0, ,f M f M hay f x y f x y  CỰC TIỂU HÀM HAI BIẾN        0 0 0, ,f M f M hay f x y f x y  VÍ DỤ 12. Xét hàm số f(x,y)=x2+y2-2x+3 và điểm M0 1; 0 ∈ = 2 Ta có: Do giá trị hàm số tại M0 nhỏ hơn giá trị hàm số tại mọi điểm xung quanh nó (khác M0) nên M0 là điểm cực tiểu của hàm số.           0 22 2 2 1;0 2 , 2 3 1 2 2 f M f f M f x y x y x x y                  0 0f M f M M M  CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Một cách tương tự ta định nghĩa cực đại, cực tiểu của hàm nhiều biến. Cho hàm nhiều biến f(x1,x2,,xn) xác định và có các đạo hàm riêng theo tất cả các biến độc lập trong D. Điểm là điểm: Cực đại khi? Cực tiểu khi? 1 2( , ,...., )nM x x x D ĐIỀU KIỆN CẦN Nếu hàm số f(x1,x2,,xn) xác định và có các đạo hàm riêng theo tất cả các biến độc lập trong D và đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm thì Điểm thỏa mãn điều kiện trên được gọi là điểm dừng của hàm số Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng. Đây chỉ là điều kiện cần, chưa phải là điều kiện đủ. 1 2( , ,...., )nM x x x D 1 2( , ,...., ) 0 , 1,2, ,n i f x x x i n x      ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ Để hàm số đạt cực trị tại điểm M thì: + Điều kiện cần: + Điều kiện đủ: theo ma trận Hess tại M 1. Xác định dương  Cực tiểu 2. Xác định âm  Cực đại 3. Còn lại  Chưa kết luận   0 , 1,2, , i f M i n x      ĐIỀU KIỆN ĐỦ CỦA CỰC TRỊ Giả sử là điểm dừng của hàm số f(x1,x2,,xn) và tại điểm đó hàm số có tất cả các đạo hàm riêng cấp hai liên tục. Đặt: 1 2( , ,...., )nM x x x D 2 1 2( , ,...., ) ( , 1,2, , )ij n i j f a x x x i j n x x       ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ CÓ CỰC TRỊ Ma trận Hess: Xét các định thức con chính: 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a H a a a                    11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 211 12 1 11 2 21 2 1 2 1 2 , , , , , k n k n k n k k kk n n nn a a a a a a a a a a a aa a D a D D D a a a a a a a a                     TIÊU CHUẨN XÉT CỰC TRỊ i) Nếu D1>0, D2>0, , Dn>0 thì M là điểm cực tiểu của hàm số ii) Nếu D10, , (-1) n Dn>0 thì M là điểm cực đại của hàm số iii) Nếu Di≥0 (hay (-1) i Di>0 ) và tồn tại k sao cho Dk=0 thì chưa thể kết luận về cực trị địa phương của hàm số tại . Hàm số có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại điểm M. Muốn có được kết luận ta phải sử dụng phương pháp khác. iv) Trong các trường hợp khác thì M không phải là điểm cực trị. ÁP DỤNG CHO HÀM 2 BIẾN Ma trận Hess hàm 2 biến: 1 2 2 ( ) ; ( ) ( ); ( )xx xy yx yy A B A f M B f M f M C f M H B C D A A B D AC B B C                      xx xy yx yy f f H f f      ÁP DỤNG CHO HÀM 2 BIẾN i) Nếu A>0, ∆>0 thì M là điểm cực tiểu ii) Nếu A0 thì M là điểm cực đại iii) Nếu ∆<0 thì M không là điểm cực trị iv) Nếu ∆=0 thì chưa có kết luận. CÁC BƯỚC TÌM CỰC TRỊ HÀM 2 BIẾN 1. Tìm tập xác định 2. Tính các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 3. Giải hệ pt tìm điểm dừng 4. Tính các đhr cấp 2 tại điểm dừng 5. Xét dấu định thức cấp 2 6. Kết luận về điểm cực trị và tính cực trị (nếu có) ' 0 ' 0 x y z z    VÍ DỤ 13. Tìm cực trị của hàm số Đ/S: cực tiểu tại M(1;1) 3 3( , ) 3f x y x y xy   VÍ DỤ 14. Tìm cực trị của hàm số: 4 4 2 2 5 5 2 2 3 3 ) 2 ) 5 8 ) ) 3 6 ) 6 a z x y x xy y b z xy x y x c z y d z x xy y x y x y e z x y xy                    VÍ DỤ 15. (cực trị hàm 3 biến) Tìm cực trị của hàm số Đ/S: cực tiểu tại M(1;-2;1/2) 3 2 2( , , ) 2 2 3 1.f x y z x xy y xz z y       CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Tìm cực trị của hàm số: Với điều kiện: Hướng dẫn. Giải điều kiện, đưa về hàm 1 biến Nhưng nếu điều kiện phức tạp thì???  , 2f x y xy x  8 4 120x y  CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Cho hàm số z=f(x,y) với ràng buộc ϕ(x,y)=0 Giả sử M(x0;y0) là điểm cực trị của hàm số z với ràng buộc trên thì tồn tại số λ sao cho: Số λ được gọi là nhân tử Lagrange. Hàm số L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y) được gọi là hàm số Lagrange. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) 0 f x y x y x x f x y x y y y x y                      CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Ta viết lại phương trình đã cho dạng: Trong đó: L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y) Giải phương trình ta có λ, x0,y0 0 0 0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0 L x y x L x y y L x y          HAI BIẾN CHỌN – ĐK ĐỦ Ta xét giá trị của định thức Hoặc Tại các điểm dừng tìm được xx xy x yx yy y x y L L L D L L L L L L               0x y x y x xx xy x xx xy y yx yy y yx yy L L L D L L L L L L L L L L                            ĐIỀU KIỆN ĐỦ Nếu D>0 thì M(x0;y0) là điểm cực đại có điều kiện của hàm số. Nếu D<0 thì M(x0;y0) là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm số. Nếu D=0 thì chưa có kết luận gì về điểm M(x0;y0) đang xét. CÁCH 2. SỬ DỤNG VI PHÂN CẤP 2 Tính giá trị sau: Nếu D>0 thì là cực tiểu Nếu D<0 thì là cực đại.     2 2 2xx y yy x xy x yD L L L            VÍ DỤ 16. Tìm cực trị của hàm số với điều kiện: Đ/S: cực tiểu tại M(4/3; 5/3) Cực đại tại N(-4/3;-5/3) ( , ) 6 4 3f x y x y   2 2 1.x y  VÍ DỤ 17. 1. Tìm cực trị của hàm số: Với điều kiện: 2. Tìm cực trị của hàm số: Với điều kiện:  , 5f x y x y   2 2 1x y   , 8 15 2f x y x y   2 22 3 107x y  GTLN, GTNN (THAM KHẢO) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập đóng, bị chặn Cho D là tập đóng, bị chặn trong miền có biên cho bởi phương trình ϕ(x1,x2,,xn)=0 Giả sử f(x1,x2,,xn) là hàm số liên tục trên D. Sau đây là quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của trên D. GTLN, GTNN (THAM KHẢO) B1. Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị của với điều kiện ϕ(x1,x2,,xn)=0. B2. Tìm các điểm dừng của f(x1,x2,,xn) thuộc D. B3. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của f trên D là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm tại các điểm tìm được ở trên. VÍ DỤ 18. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm trong miền Đ/S: 2 2( , ) x 2f x y y x   2 2: 1D x y  1 1 1 3 9 min ,0 ; max , 2 4 2 2 4D D f f f f                 VÍ DỤ 19. Miền D: 2 + 2 ≤ 1 Biên của miền D là 2 + 2 = 1 Bước 1. Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị với điều kiện: Bước 2. Tìm các điểm dừng thuộc D của hàm số Bước 3. So sánh giá trị hàm số tại các điểm tìm được và kết luận. 2 2 1 0x y   2 2( , ) 2f x y x y x   VÍ DỤ 19. Bước 1. Hàm Lagrange: Ta có hệ phương trình:    2 2 2 2, , 2 1L x y x y x x y             2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 10 2 1 2 0 0 0 4 2 0 2 0 2 1 00 1 0 1 0 x y x xL x x y L y y y x yL x y x y                                                   VÍ DỤ 19. Giải tiếp hpt ta có 4 nghiệm Như vậy có 4 điểm nghi ngờ có cực trị với điều kiện: Đặt 4 điểm như sau: 1/ 2 3 / 2 2 2 0 0 1/ 2 1/ 2 1 1 3 / 2 3 / 2 y y x x x x y y                                      2 2 1 0x y          1 2 3 41;0 ; 1;0 ; 1 / 2; 3 / 2 ; 1/ 2; 3 / 2M M M M   VÍ DỤ 19. Bước 2. Hệ phương trình tìm điểm dừng: Ta nhận điểm này vì thuộc miền D do:  5 0 2 1 0 1/ 2 1/ 2;0 0 4 0 0 x y f x x M f y y                 2 2 1 10 1 4 4 x y     VÍ DỤ 19. Bước 3. Ta có: Tương tự:     2 21 1;0 1 2.0 1 0f M f                   2 2 2 3 4 5 1;0 1 2.0 1 2 1 3 9 1 3 9 ; ; ; 2 2 4 2 2 4 1 1 ;0 2 4 f M f f M f f M f f M f                                   VÍ DỤ 19. So sánh giá trị hàm số tại M1, M2, M3, M4, M5 ta có:       5 3 4 1 1 min ,0 2 4 1 3 9 max , 2 2 4 D D f f M f f f M f M f                     KHÁI NIỆM HÀM ẨN Trong nhiều trường hợp, mặc dù ta có thể chứng minh được rằng phương trình F(x,y)=0 xác định một hàm số y=y(x) nhưng ta không thể biểu diễn y theo x một cách trực tiếp. Trong trường hợp đó ta phải xét hàm số y gián tiếp dưới dạng phương trình F(x,y)=0. Kí hiệu y=y(x) chỉ mang ý nghĩa hình thức để nói y là hàm số của biến số x. ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN Giả sử y=y(x) là hàm ẩn xác định bởi phương trình F(x,y)=0. Ta có: ( , ) ( ) ( , ) F x y xy x F x y y       ' ' ' x x y F y F   VÍ DỤ 20. A) Tính đạo hàm của hàm y là hàm ẩn của x xác định bởi phương trình: Đ/S: B) Tìm đạo hàm của y biết  2 22 1 0 0x y y    2 'x x y y   3 3 6x y xy  ỨNG DỤNG HÀM NHIỀU BIẾN TRONG KINH TẾ HÀM SẢN XUẤT Hàm sản xuất là hàm dạng: Q=Q(K,L) trong đó K là vốn, L là lao động. Hàm Cobb-Douglas là hàm sản xuất dạng: trong đó a, α, β là hằng số dương. ,Q aK L  HÀM TỔNG CHI PHÍ, TỔNG DOANH THU, TỔNG LỢI NHUẬN Hàm tổng chi phí là hàm TC=TC(Q) nếu tính theo các yếu tố sản xuất thì: TC=WKK+WLL+C0 trong đó WK là giá thuế một đơn vị vốn, WL là giá thuế đơn vị lao động, C0 là chi phí cố định. Hàm tổng doanh thu là hàm TR=PQ=PQ(K,L) trong đó P là giá thị trường của sản phẩm. Hàm tổng lợi nhuận là hàm TT=TR-TC HÀM LỢI ÍCH Người ta dùng biến lợi ích u để biểu diễn mức độ ưa thích của người tiêu dùng đối với mỗi tổ hợp hàng hóa trong cơ cấu tiêu dùng. Mỗi tổ hợp hàng hóa gọi là một giỏ hàng. Giả sử cơ cấu của người tiêu dùng có 3 mặt hàng thì mỗi giỏ hàng là một bộ ba số thực (x,y,z). Hàm lợi ích cho tương ứng mỗi giỏ hàng với một giá trị duy nhất u=u(x,y,z) HÀM CUNG, HÀM CẦU Giả sử thị trường có n loại hàng hóa với giá trị tương ứng là P1, P2,,Pn. Khi đó Hàm cung: Hàm cầu: 1 2( , , , )iS i nQ S P P P  1 2( , , , )iD i nQ D P P P  ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ GIÁ TRỊ CẬN BIÊN Xét mô hình hàm kinh tế: trong đó xi là các biến số kinh tế. Đạo hàm riêng của hàm w theo biến xi tại điểm M được gọi là giá trị w – cận biên theo xi tại điểm đó. Ý nghĩa: biểu diễn lượng thay đổi giá trị của biến w khi giá trị xi thay đổi 1 đơn vị trong điều kiện giá trị các biến độc lập còn lại không thay đổi.  1 2, ,..., nw f x x x GIÁ TRỊ CẬN BIÊN_HÀM SX Xét hàm sản xuất: Q=f(K;L) Các đạo hàm riêng: được gọi tương ứng là hàm sản phẩm cận biên của tư bản (MPK) và hàm sản phẩm cận biên của lao động (MPL) tại điểm (K, L) ' ( , ); ' ( , )K L f f Q K L Q K L K L       GIÁ TRỊ CẬN BIÊN_HÀM SX Đạo hàm riêng: Biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị tư bản và giữ nguyên mức sử dụng lao động. Đạo hàm riêng: Biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao động và giữ nguyên mức sử dụng tư bản. ' ( , )K f Q K L K    ' ( , )L f Q K L L    VÍ DỤ 21. Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là: trong đó K, L, Q là mức sử dụng tư bản, mức sử dụng lao động và sản lượng hàng ngày. Giả sử doanh nghiệp đó đang sử dụng 16 đơn vị sản phẩm và 81 đơn vị lao động trong một ngày tức là K=16; L=81. Xác định sản lượng cận biên của tư bản và lao động tại điểm đó và giải thích ý nghĩa. 1 3 4 420Q K L GIÁ TRỊ CẬN BIÊN_HÀM LỢI ÍCH Cho hàm lợi ích: Đạo hàm riêng: MUi gọi là hàm lợi ích cận biên của hàng hóa thứ i. Biểu diễn xấp xỉ lợi ích tăng thêm khi người tiêu dùng có thêm một đơn vị hàng hóa thứ i trong điều kiện số đơn vị các hàng hóa khác không thay đổi. 1 2( , ,..., )nU U x x x ( 1, )i i U MU i n x     VÍ DỤ 22. Giả sử hàm tiêu dùng hàng ngày của một người tiêu dùng đối với 2 loại hàng hóa là. Trong đó x1, x2 là mức sử dụng hàng hóa 1 và hàng hóa 2, U là lợi ích của người tiêu dùng hàng ngày. Giả sử người tiêu dùng đang sử dụng 64 đơn vị hàng hóa 1 và 25 đơn vị hàng hóa 2 trong một ngày. Xác định lợi ích cận biên của các hàng hóa tại điểm đó và giải thích ý nghĩa. 3 1 2 2 1 22U x x HỆ SỐ CO GIÃN RIÊNG Cho hàm kinh tế w=f(x1,x2,,xn). Hệ số co giãn của của hàm w theo biến xi tại điểm M là số đo lượng thay đổi tính bằng phần trăm của w khi xi thay đổi 1% trong điều kiện giá trị của các biến độc lập khác không đổi, được ký hiệu và xác định như sau:       0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 20 0 0 1 2 , ,...., . , ,...., , ,....,i nf i x n i n f x x x x voi M x x x x f x x x     VÍ DỤ 23. Giả sử hàm cầu của hàng hóa 1 trên thị trường hai hàng hóa có liên quan có dạng: p1, p2: giá của hàng hóa 1, 2. a) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p1 đối với giá của hàng hóa đó tại (p1,p2) b) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p2 đối với giá của hàng hóa thứ hai tại (p1,p2) c) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá