Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng - Nguyễn Văn Tiến

19/09/2017 1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm tại một điểm • Định nghĩa: Đạo hàm của hàm f tại điểm a, ký hiệu f’(a) là: (nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn). • Chú ý: đặt h=x-a, ta có:       ' lim x a f x f a f a x a          0 ' lim h f a h f a f a h    Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm đạo hàm của hàm: tại a=2 theo định nghĩa. Ta xét giới hạn sau: Vậy:   2 8 9f x x x       2 2 0 0 2 8 2 9 3 4 lim lim 4 h h h h h h h h            ' 2 4f       0 2 2 lim h f h f h   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm phải – trái • Đạo hàm trái của f(x) tại a là: • Đạo hàm phải của f(x) tại a là:           0 ' lim lim x a h f x f a f a h f a f a x a h                     0 ' lim lim x a h f x f a f a h f a f a x a h           Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý • Định lý: Hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm a khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái; đạo hàm phải tại a và hai đạo hàm này bằng nhau. • Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì hàm số liên tục tại a. Chiều ngược lại có thể không đúng.      ' ' 'f a L f a f a L          ' lim x a f a L f x f a     Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho hàm số: Tìm Ta có: Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại 0.   1/ , 0 0 , 0 xe x f x x         ' 0 ; ' 0f f              1/ 1/ 0 0 0 0 0 0 0 ' 0 lim lim lim 0 0 0 0 ' 0 lim lim h u h uh h h h f h f e u f h h e f h f e f h h                          19/09/2017 2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ý nghĩa đạo hàm tại điểm • Ta có: • Là hsg của tiếp tuyến tại điểm (a;f(a)). • f’(a+): hsg của nửa tiếp tuyến bên phải điểm (a; f(a)) • f’(a-): hsg của nửa tiếp tuyến bên trái điểm (a; f(a)) • Thể hiện tốc độ biến thiên của hàm số tại a.       0 ' lim slope secant line h f a h f a f a h     Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm số đạo hàm • Hàm số đạo hàm của hàm y=f(x). • Tập xác định của hàm f’ là tập các giá trị của x sao cho f’(x) tồn tại. Nó có thể nhỏ hơn TXĐ của hàm số f(x). • Ký hiệu:     Lagrange : '; ' Leibnitz : ; ; Cauchy : ; f y df dy d f x dx dx dx Dy Df x Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1 • Tìm (hàm số) đạo hàm của hàm y=x2. • Ta có: • Giới hạn này tồn tại hữu hạn với mọi x thuộc TXĐ. • Vậy đạo hàm của hàm số:       2 2 0 0 lim lim 2 h h f x h f x x h x x h h        ' 2y x Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Qui tắc tính đạo hàm 1 • Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đó đạo hàm theo x của các hàm sau là: • Đạo hàm dạng:uv • Cách tính: lấy logarit Nêpe hai vế hàm số:       2 . ' ' ' . ' . ' ' . . ' . . ' ' . . ' . i u v u v ii ku k u u u v u v iii u v u v u v iv v v                '' . ln .v v uu u v u v u          vy u Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Qui tắc tính đạo hàm 2 • Đạo hàm của hàm hợp: • Ví dụ: Hàm là hàm hợp của 2 hàm: Vậy:  0 .x g xy f g x y f g      ln cosy x        ln ; cosf x x g x x    1 . . sin tan cosx g x y f g x x x        Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm f’(x) biết: • Ta có: • Vậy:   2 3 4 7 1 . sin x f x y x x       2 2 4 ln ln 1 ln 7 ln sin 3 ' 2 4 7 cos 3 sin1 y x x x y x x y x xx         2 23 4 7 2 4 7 cos ' . 1 . si sn 3 in1 x x x y x xxx x         19/09/2017 3 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm của hàm ngược • Định lý. Giả sử hàm y=f(x) khả vi liên tục trên đoạn (a,b) và f’(x)≠0 trên (a;b) • Khi này có hàm ngược: x=g(y) hay x=f-1(y) • Chú ý:          : ; ;f a b f a f b x f x y           1 : ; ;g f a f b a b y f y x   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm của hàm ngược • Khi đó: • Ví dụ 1: Hàm y=arccotx có hàm ngược x=cotny 1 1 y x x y x y y x        22 1 1 1 11 cot x y y x xy         Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Ví dụ 2: Hàm y=arcsinx • Ta có: • Ta biết: • Vậy: 1 1; 2 2 x y         2 2 arcsin sin ' cos 1 sin 1 y x x y x y y x         2 1 1 ' ' 1 x y y x x    Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm ẩn • Hàm y=f(x) với x(a;b) là hàm ẩn cho bởi phương trình F(x,y)=0 nếu thay y=f(x) vào ta được đẳng thức đúng. • Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x(a;b). • Ví dụ: Phương trình: xác định hai hàm ẩn:   2 2, 1F x y x y   2 1 1 , 1;1y x x        2 2 1 , 1;1y x x         Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm hàm ẩn • Cho phương trình: F(x;y)=0 • Để tính: y’x • B1. Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo x. Chú ý y là hàm theo x. • B2. Giải phương trình tìm y’. • B3. Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình. Ví dụ: Cho phương trình: Tính đạo hàm của y theo x. 3 2ln 0yx y x e   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm hàm ẩn • B1. Lấy đạo hàm theo x • B2. Giải tìm y’  3 2ln 0y x x y x e                 2 2 2 2 2 2 * 3 2 . . 0 3 2 . 1 0 3 2 . ' ' ' 1 'y y y y y y x y xy e x ye x y xy e x y y ye x y xy e y x ye y                  2 2'3 . . 0 *'2 .y yx x e xy ye y      19/09/2017 4 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm hàm ẩn • B3. Tính y’(0). • Ta có: • Thay x=0 và y(0)=1 vào ta có:   3 2ln 0 0 ln 0 1 0 yx y x e x y y y              2 2 3 2 . ' 1 y y x y xy e y x ye          1 1 1 10 03. . 2. . . ' 0 0 . 10.1 e y e     Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân Cho  y f x và 2 1x x x   ta có:    2 1 1 1y y y f x x f x                   0 0 0 ' lim ' lim lim h x x f x h f x f x h f x x f x y f x x x                  ' .y f x x   Vi phân của f(x) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân của hàm số • Vi phân của hàm số y=f(x) là biểu thức: • Ký hiệu vi phân là dy hay df. Do đó: • Vi phân là một hàm số, phụ thuộc 2 biến là x và Δx  ' .f x x  ' . dfy xd fx  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân của hàm số • Nếu y=f(x)=x thì: • Như vậy ta thường ghi dx=Δx. Do đó: • Điều này giải thích tại sao ta còn ký hiệu đạo hàm là dy/dx    ' . ' dy dy f x dx f x dx     ' '.dx f x x x x x      Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ý nghĩa vi phân • Tính xấp xỉ giá trị hàm số khi biến độc lập thay đổi một lượng khá nhỏ • hay      0 0 0' .f x x f x f x x            0 0 0' .f x f x f x x x   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho hàm số: a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1 b) Tính gần đúng: Giải:   3f x x  4, 03     1 1 2 3 2 3 f x df x dx x x          1 1 11 1 4 42 1 3 df dx dx x     19/09/2017 5 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho hàm số: a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1 b) Tính gần đúng: Giải: Nếu tính bằng máy tính:   3f x x  4, 03             1 1 1 4 1 0, 03 4, 03 1, 03 1 1, 03 1 2 2, 0075 4 4 f x f x f f           4, 03 2, 00748599.. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân của hàm hợp • Xét hàm số: • Ta có: • Giả sử x là hàm số theo biến t, chẳng hạn x=g(t) • Khi này hàm số y có thể đưa về theo t. Do đó: • Ta có: • Do đó vi phân cấp 1 có tính bất biến.  y f x ' x dy f dx ' t dy f dt ' . ' . ' . ' . t x t x dy f dt f x dt f dx   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho hàm số . Hãy tìm dy? • Hãy tính: 1 ln 1 x x e y e        cos ? sin d x d x  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến ĐỊNH LÝ CƠ BẢN HÀM KHẢ VI • Cực trị địa phương • Định lý Ferma • Định lý Rolle • Định lý Lagrange • Định lý Cauchy Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cực trị địa phương • Cho hàm y=f(x) xác định trong khoảng (a,b) • Xét điểm c thuộc (a,b) • Hàm số đạt cực đại địa phương tại c nếu tồn tại số δ>0 sao cho: f(x)≤f(c) với mọi x thuộc (c- δ;c+ δ) • Hàm số đạt cực tiểu địa phương tại c nếu tồn tại số δ>0 sao cho: f(x)≥f(c) với mọi x thuộc (c- δ;c+ δ) • Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cực trị địa phương Các điểm cực trị địa phương của hàm số là??? 19/09/2017 6 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý Fermat • Cho hàm số y=f(x) xác định trong lân cận c. • Nếu f(x) đạt cực trị tại c và có đạo hàm tại c thì:  ' 0f c  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý Rolle • Hàm f(x) liên tục trên [a,b], • Hàm f(x) khả vi trên (a,b) • f(a)=f(b) • Khi đó: tồn tại ít nhất một điểm c thuộc (a,b) sao cho f’(c)=0 • Đặc biệt nếu f(a)=f(b)=0 thì định lý Rolle có nghĩa giữa hai nghiệm của hàm số có ít nhất một nghiệm của đạo hàm. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý Lagrange (ĐL số gia hữu hạn) • Nếu f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c thuộc (a,b) sao cho: • Trên dây cung AB tìm được tiếp tuyến song song với AB      ' f b f a f c b a    Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý Cauchy • Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và g(x) khác 0 trên (a,b) thì tồn tại c thuộc (a,b) sao cho:             ' ' f b f a f c g b g a g c    Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho hàm số: • Tìm giá trị trung gian c của công thức số gia hữu hạn đối với hàm số f(x) trên đoạn [0;2]   23 , 0 1 2 1 ,1 x x f x x x           Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm, vi phân cấp cao • Đạo hàm cấp cao • Vi phân cấp cao • Công thức Taylor 19/09/2017 7 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm cấp cao • Cho f là hàm khả vi. Đạo hàm (nếu có) của f’ gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x). • Ký hiệu: • Đạo hàm cấp 3 của hàm f là đạo hàm của đạo hàm cấp 2.   2 2 d df d f f f dx dx dx             2 3 2 3 d d f d f f f dx dx dx           Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm cấp cao • Đạo hàm cấp n của hàm f là đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1). • Ví dụ: Cho hàm: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số. Giải:      1 1 1 n n n n n n d d f d f f f dx dx dx               . xf x x e        . . . 1x x x x xf x x e x e e x e x e       Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm cấp cao • Ta có: • Tương tự: • Tổng quát:        1 1 2x x x xf x x e e x e x e                    43 ; 4x xf x x e f x x e          n xf x x n e  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm cấp cao thường gặp                                    1 1 ) 1 ... 1 1 1 ) 1 ! ) . 1 ! ) ln 1 ) sin . sin 2 ) cos . cos 2 n n n n n n ax n ax n n n n n n n i x a n x a ii n x a x a iii e a e n iv x x v ax a ax n vi ax a ax n                                                   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chú ý                               1 ) 1 ... 1 . 1 ! ) ln 1 . ) sin . sin 2 ) cos . cos 2 n n n n n n n n n n n i ax b n ax b n iv ax b ax b v ax b a ax b n vi ax b a ax b n a a                                             Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính đạo hàm cấp n của:       2 1 1 ) ) 3 21 a f x b g x x xx x     19/09/2017 8 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức Leibnitz • Dễ thấy: • Mở rộng:       . . . . . . . 2 . f g f g g f f g f g g f f g f g f g                        0 . . nn k n kk n k f g C f g     Gần giống khai triển nhị thức Newton Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính đạo hàm cấp 3 của: • Đặt • Ta có: • Thay thế ta có: • Đạo hàm cấp 10 của y là???  2 1 siny x x   2 1 ; g sinf x x            3 3 2 2 3 3 ' 3 ' .y f g f g f g f g       3 26 cos 6 sin 1 cosy x x x x x    Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số sau    . ' 3y x f x a f a x    Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân cấp cao • Cho f là hàm số khả vi cấp n • Vi phân cấp 2 của hàm f, ký hiệu: d2f xác định bằng công thức sau: • Tổng quát, vi phân cấp n của hàm f:  2d f d df  1n nd f d d f Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân cấp cao • Vi phân cấp 2: x là biến độc lậpdx như hằng số • Vi phân cấp 2: x là biến phụ thuộc dx biến thiên • Vi phân cấp cao không có tính bất biến               2 2 ' . ' . . d f x d df d f x dx dx d f x dx f x dx f x dx                     2 2 2 ' . ' . . ' . ' . '' . ' . ' ' . '' . ' . x t x t xx t t x tt d f x d df d f x dt dt d f x dt f x x f x dt f x dx f x d x        Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính vi phân cấp 2 của: • Giải. ) arctan ) arctan ; sin a y x b y x x t        2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 2 sin ) . 11 x a d y dx x x t b d y dx dt xx        19/09/2017 9 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức Taylor • Nếu hàm f khả vi tại x0 thì: • Trong đó O(h) là vô cùng bé bậc cao hơn so với h. • Công thức này cho ta cách tính giá trị f(x) trong lân cận của điểm x0 khi đã biết f(x0) và f’(x0). • Vấn đề: nếu biết thêm các đạo hàm cấp cao của hàm f(x) tại x0 thì ta có thể tính chính xác hơn giá trị hàm f(x) trong lân cận x0 hay không?        0 0 0' 0f x h f x f x h h    Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức Taylor • Khai triển một hàm số phức tạp thành dạng đơn giản • Khai triển hàm phức tạp thành hàm đa thức. • Ví dụ: khai triển Taylor tại x=0       2 5 2 1 1 2 2 3 arctan ... 1 0 3 5 2 1 1 ... 0 2 ! 3 ! ! n n n n x n x x x x x x n x x x e x x n                  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức Taylor Cho hàm số f(x): • Liên tục trên [a,b] • Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b) • Xét x0(a,b). Khi đó trên [a,b] ta có: • Với c là điểm nằm giữa x và x0                           20 0 0 0 0 1 10 0 0 ' " 1 ! 2 ! ... ! 1 ! n n n n f x f x f x f x x x x x f x f x x x n n c x              Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phần dư trong công thức Taylor • Dạng Lagrange: • Dạng Peano: (thường dùng hơn)         1 1 0 1 ! n n n f c R x x n       0 lim 0n nx R x x     00 n n R x x  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức Maclaurin Cho hàm số f(x): • Liên tục trên [a,b] • Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b) • Xét x0=0 (a,b). Khi đó trên [a,b] ta có:              2 ' 0 " 0 0 0 ... 0 1 ! 2 ! ! n n n f x f f f f x x x x n       Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Khai triển Maclaurin các hàm số sau: • Chú ý.    ) ) sin ) ln 1 ) 1xa e b x c x d x                         1 sin sin cos ??? 2 ! ln 1 1 1 ??? 1 n n n n n n k x x x n x x x                       19/09/2017 10 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Khai triển hàm y=ex. Ta có: • Thay vào công thức khai triển: • Nhận xét: phải tính được đạo hàm cấp cao tại 0 của hàm số cần khai triển.           00 1,n nx xf x e f x e f e n                       2 2 ' 0 " 0 0 0 ... 0 1 ! 2 ! ! 1 ... 0 1 ! 2 ! ! n n n n x n f f f f x f x x x x n x x x e x n              Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Khai triển Maclaurin Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức L’Hospital • Áp dùng tìm giới hạn dạng:             Ñònh lyù: Cho giôùi haïn: coù daïng Neáu thì 0 lim ; 0 lim lim x a x a x a f x g x f x f x L L g x g x          0 ; 0           lim lim x a x a f x f x L g x g x      Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến CÁC HÀM KINH TẾ • Hàm chi phí • Hàm thu nhập • Hàm cung và hàm cầu Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến HÀM CHI PHÍ • Tổng chi phí: (Total Cost – TC) – Chi phí cố định (Fixed Cost – FC) – Chi phí biến đổi(Variable Cost- VC) • Ta có: TC=f(Q), Q là sản lượng • FC là chi phí một xí nghiệp nhất thiết phải trả dù không sản xuất gì • VC là chi phí tăng lên cùng với mức tăng của sản lượng • Chi phí cận biên (Marginal Cost – MC) chi phí gia tăng để sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm • Chi phí bình quân (Average Cost – AC) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến HÀM CHI PHÍ • Ta có: TC FC VC AC AFC AVC Q Q Q    19/09/2017 11 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm thu nhập • Tổng thu nhập (Total Revenue – TR) • TR=f(Q)=P.Q • Điểm hòa vốn (Break – Even Point): mức sản lượng mà tại đó TR=TC Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm lợi nhuận • Lợi nhuận: Total Profit – TP • Thường ký hiệu là π=TR-TC Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm cầu • Thường gọi là đường cầu (Demanded Curve) • Thể hiện tương quan giữa giá và lượng cầu của một mặt hàng • Ký hiệu: QD=f(P) • Tương quan giữa giá và lượng cầu là nghịch biến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Quan hệ giá và lượng cầu • Giá tăng thì lượng cầu giảm và ngược lại • Độ dốc của đường cầu phản ánh mức đáp ứng của lượng cầu với các thay đổi về giá. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm cung • Thường gọi là đường cung (Supply Curve) • Thể hiện tương quan giữa giá và lượng cung của một mặt hàng khi các giá trị khác được giữ nguyên • Ký hiệu: QS=f(P) • Tương quan giữa giá và lượng cung là đồng biến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Quan hệ giá và lượng cung • Giá tăng thì lượng cung tăng và ngược lại • Độ dốc của đường cung phản ánh mức đáp ứng của lượng cung với các thay đổi về giá. 19/09/2017 12 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Sự cân bằng cung cầu • Thị trường cân bằng khi đường cung gặp đường cầu. Giao điểm của đường cung và đường cầu là điểm cân bằng • Ở điểm cần bằng ta có giá cân bằng và lượng cân bằng • Trên thực tế cung và cầu không phải lúc nào cũng trong trạng thái cân bằng, nhưng xu lướng các thị trường đều tiến tới cân bằng Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng hàm liên tục • Cho mô hình cân bằng thị trường QS=QD. Trong đó: • Chứng minh rằng mô hình trên có giá cân bằng thuộc khoảng (3;5) 2 500,1 5 10; . 2 S DQ P P Q P      Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM • 1. Ý nghĩa của đạo hàm • 2. Giá trị cận biên • 3. Hệ số co dãn • 4. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 1. Ý nghĩa của đạo hàm • Ví dụ 1. Hàm cầu của một loại hàng hóa là p=50-Q2 • Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi • Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q=1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 1. Ý nghĩa của đạo hàm • Ví dụ 2. Hàm cầu của một loại hàng hóa là = 45 − 2 • Tìm tốc độ th