Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Phép tính vi phân hàm một biến - Nguyễn Văn Tiến

03/04/2017 1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN CHƯƠNG 2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm tại một điểm • Định nghĩa: Đạo hàm của hàm f tại điểm a, ký hiệu f’(a) là: (nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn). • Chú ý: đặt h=x-a, ta có:       ' lim x a f x f a f a x a          0 ' lim h f a h f a f a h    Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm đạo hàm của hàm: tại a=2 theo định nghĩa. Ta xét giới hạn sau: Vậy:   2 8 9f x x x       2 2 0 0 2 8 2 9 3 4 lim lim 4 h h h h h h h h            ' 2 4f       0 2 2 lim h f h f h   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm phải – trái • Đạo hàm trái của f(x) tại a là: • Đạo hàm phải của f(x) tại a là:           0 ' lim lim x a h f x f a f a h f a f a x a h                     0 ' lim lim x a h f x f a f a h f a f a x a h           Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý • Định lý: Hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm a khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái; đạo hàm phải tại a và hai đạo hàm này bằng nhau. • Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì hàm số liên tục tại a. Chiều ngược lại có thể không đúng.      ' ' 'f a L f a f a L          ' lim x a f a L f x f a     Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho hàm số: Tìm Ta có: Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại 0.   1/ , 0 0 , 0 xe x f x x         ' 0 ; ' 0f f              1/ 1/ 0 0 0 0 0 0 0 ' 0 lim lim lim 0 0 0 0 ' 0 lim lim h u h uh h h h f h f e u f h h e f h f e f h h                          03/04/2017 2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm số đạo hàm • Với a cố định ta có: • Thay a bằng x ta có: • Với mỗi giá trị khác nhau của x ta tính được f’(x) nếu giới hạn tồn tại hữu hạn. Như vậy giá trị của f’(x) phụ thuộc vào biến độc lập x nên có thể xem f’ là một hàm theo x và gọi là đạo hàm của hàm f.       0 ' lim h f a h f a f a h          0 ' lim h f x h f x f x h    Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm số đạo hàm • Hàm số đạo hàm của hàm y=f(x). • Ký hiệu: • Tập xác định của hàm f’ là tập các giá trị của x sao cho f’(x) tồn tại. Nó có thể nhỏ hơn TXĐ của hàm số f(x).  '; '; ; ; df dy d f y f x dx dx dx Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1 • Tìm hàm số đạo hàm của hàm y=x2. • Ta có: • Giới hạn này tồn tại hữu hạn với mọi x thuộc TXĐ. • Vậy đạo hàm của hàm số:       2 2 0 0 lim lim 2 h h f x h f x x h x x h h        ' 2y x Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 2 • Tìm đạo hàm của hàm: • Ta có: • Vậy: • Chú ý: tập xác định của hàm f(x) là: [0; )       0 0 1 ' lim lim 2h h f x h f x x h x f x h h x            1' . D : 0; 2 f x TX x     f x x Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Qui tắc tính đạo hàm 1 • Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đó đạo hàm theo x của các hàm sau là: • Đạo hàm dạng:uv • Cách tính: lấy logarit Nêpe hai vế hàm số:       2 . ' ' ' . ' . ' ' . . ' . . ' ' . . ' . i u v u v ii ku k u u u v u v iii u v u v u v iv v v                '' . ln .v v uu u v u v u          vy u Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Qui tắc tính đạo hàm 2 • Đạo hàm của hàm hợp: • Ví dụ: Hàm là hàm hợp của 2 hàm: Vậy:  0 .x g xy f g x y f g      ln cosy x        ln ; cosf x x g x x    1 . . sin tan cosx g x y f g x x x        03/04/2017 3 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức tính đạo hàm 1               1 2 2 1. 0 2. . 3. 1 4. ln 5. sin cos 6. cos sin 1 7. tan cos 1 8. cot sin x x C x x e e x x x x x x x x x x                     Đạo hàm hàm hợp             2 2 3. . ' 1 4. ln . ' 5. sin ' . cos 6. cos sin 1 7. tan . ' cos 1 8. cot . ' s ' . in u ue e u u u u u u u u u u u u u u u u              Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức tính đạo hàm 2             2 2 2 2 9. . ln 1 10. log . ln 1 11. arcsin 1 1 12. arccos 1 1 13. arctan 1 1 14. arc cot 1 x x a a a a x x a x x x x x x x x                   Đạo hàm hàm hợp             9. 10. log 11. arcsin 12. arccos 13. arctan 14. arc cot u a a u u u u u             Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm f’(x) biết: • Ta có:   3ln 1 cos xe f x x     1 ln 1 cos 3 1 sin 1 sin ' 1 1 3 1 cos 3 1 cos y x x x x y x x                       Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm f’(x) biết: • Ta có: • Vậy:   2 3 4 7 1 . sin x f x y x x       2 2 4 ln ln 1 ln 7 ln sin 3 ' 2 4 7 cos 3 sin1 y x x x y x x y x xx         2 23 4 7 2 4 7 cos ' . 1 . si sn 3 in1 x x x y x xxx x         Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm số cho bởi tham số • Hàm số y=f(x) thỏa điều kiện: • Khi đó hàm số đã cho gọi là hàm cho bởi phương trình tham số. • Ví dụ: Cho hàm Đặt: ta có dạng tham số sau:     x x t y y t      ln x y x  tx e t t x e t y e      Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức đạo hàm tham số • Cho hàm y=f(x) dạng tham số: • Khi đó: • Ví dụ:     x x t y y t      / / t x t ydy dy dt y dx dx dt x       2 2 1 1 1 1 ln t t t t t x t t x e t y e t t xey e e x               ln t t x e x y t x y e        03/04/2017 4 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm của hàm ngược • Hàm số có hàm ngược là: • Khi đó: • Ví dụ 1: Hàm y=arctanx có hàm ngược x=tany  1x f y 1 1 y x x y x y y x      2 2 1 1 1 1 tan 1 x y y x y x         y f x Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm của hàm ngược • Ví dụ 2: Hàm y=arcsinx có hàm ngược x=siny • Ví dụ 3: Hàm y=arccosx có hàm ngược x=cosy 2 2 1 1 1 1 cos 1 sin 1 2 2 x y y x y y x do y                     2 2 1 1 1 1 sin 1 cos 1 0 x y y x y y x do y               Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm ẩn • Hàm y=f(x) với x(a;b) là hàm ẩn cho bởi phương trình F(x,y)=0 nếu thay y=f(x) vào ta được đẳng thức đúng. • Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x(a;b). • Ví dụ: Phương trình: xác định hai hàm ẩn:   2 2, 1F x y x y   2 1 1 , 1;1y x x        2 2 1 , 1;1y x x         Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm hàm ẩn • Cho phương trình: F(x;y)=0 • Để tính: y’x • B1. Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo x. Chú ý y là hàm theo x. • B2. Giải phương trình tìm y’. • B3. Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình. Ví dụ: Cho phương trình: Tính đạo hàm của y theo x. 3 2ln 0yx y x e   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm hàm ẩn • B1. Lấy đạo hàm theo x • B2. Giải tìm y’  3 2ln 0y x x y x e                 2 2 2 2 2 2 * 3 2 . . 0 3 2 . 1 0 3 2 . ' ' ' 1 'y y y y y y x y xy e x ye x y xy e x y y ye x y xy e y x ye y                  2 2'3 . . 0 *'2 .y yx x e xy ye y      Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm hàm ẩn • B3. Tính y’(0). • Ta có: • Thay x=0 và y(0)=1 vào ta có:   3 2ln 0 0 ln 0 1 0 yx y x e x y y y              2 2 3 2 . ' 1 y y x y xy e y x ye          1 1 1 10 03. . 2. . . ' 0 0 . 10.1 e y e     03/04/2017 5 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm cấp cao • Cho f là hàm khả vi. Đạo hàm (nếu có) của f’ gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x). • Ký hiệu: • Đạo hàm cấp 3 của hàm f là đạo hàm của đạo hàm cấp 2.   2 2 d df d f f f dx dx dx             2 3 2 3 d d f d f f f dx dx dx           Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm cấp cao • Đạo hàm cấp n của hàm f là đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1). • Ví dụ: Cho hàm: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số. Giải:      1 1 1 n n n n n n d d f d f f f dx dx dx               . xf x x e        . . . 1x x x x xf x x e x e e x e x e       Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm cấp cao • Ta có: • Tương tự: • Tổng quát:        1 1 2x x x xf x x e e x e x e                    43 ; 4x xf x x e f x x e          n xf x x n e  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm cấp cao thường gặp                                    1 1 ) 1 ... 1 1 1 ) 1 ! ) . 1 ! ) ln 1 ) sin . sin 2 ) cos . cos 2 n n n n n n ax n ax n n n n n n n i x a n x a ii n x a x a iii e a e n iv x x v ax a ax n vi ax a ax n                                                   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chú ý                               1 ) 1 ... 1 . 1 ! ) ln 1 . ) sin . sin 2 ) cos . cos 2 n n n n n n n n n n n i ax b n ax b n iv ax b ax b v ax b a ax b n vi ax b a ax b n a a                                             Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính đạo hàm cấp n của:       2 1 1 ) ) 3 21 a f x b g x x xx x     03/04/2017 6 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm cấp cao hàm ẩn • Biết: . CM: • Đạo hàm 2 vế theo x: • Do đó: • Thay y’ vào: 4 4 16x y  2 7 48x y y    3 3 3 3 4 4 . ' 0 ' x x y y y y       23 2 3 3 2 3 6 4 3 '3 3 . ' x xy yx x y x y y y y y y               3 2 2 4 4 2 4 7 7 3 3 3 48 x x y x x y x y y x y y y               Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm cấp cao tham số • Ta đã biết: • Theo công thức đạo hàm hàm hợp: • Do đó:     ' ' t x t x x t y y y y t x             . . x t x x t x t xt x t y y y x y x y x              3 . . t t t x t y x y x y x        Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm y’’ biết: • Ta có: • Vậy: 2 sinx t y t      cos ; sin 2 ; 2 t t t t x t x t y t y            3 3 2 ; cos 2. cos 2 sin 2. cos 2 sin coscos x x t y t t t t t t t y tt         Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức Leibnitz • Dễ thấy: • Mở rộng:       . . . . . . . 2 . f g f g g f f g f g g f f g f g f g                        0 . . nn k n kk n k f g C f g     Gần giống khai triển nhị thức Newton Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính đạo hàm:                             3 3 2 2 3 3 4 3 2 2 3 4 . 3 . 3 . . 4 . 6 . 4 . f g f g f g f g g f f g f g f g f g f g g f                   102 1 sin ???f x x x f x   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến VI PHÂN • Vi phân tại một điểm • Vi phân trên một khoảng • Ứng dụng vi phân tính gần đúng 03/04/2017 7 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân tại một điểm • Định nghĩa. Hàm số f(x) gọi là khả vi tại x0 nếu: • Định nghĩa. Hàm số f(x) gọi là khả vi tại x0 nếu:      0 0 . 0f x h f x A h h        : haèng soá höõu haïn VCBù baäc cao hôn Ngöôøi ta coøn kyù hieäu laø . 0 0 0 : . lim 0 h A h h h h h x                0 0 . 0f x x f x A x x       Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân tại một điểm • Cho hàm f khả vi tại x0. Khi đó A.h gọi là vi phân của hàm số f(x) tại x0. Ký hiệu: Định lý: Hàm y= f(x) khả vi tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f’(x0). Ta chứng minh được:     0 0 . . df x A h hay df x A x     0'A f x Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân tại một điểm • Vi phân của hàm số f(x) tại x0. • Tính chất:         0 0 0 0 ' . ' . df x f x h hay df x f x x            2 ) 0 ) ) ) ) i d C ii d f df iii d f g df dg iv d fg gdf fdg f gdf fdg v d g g                  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân của hàm hợp • Cho hàm hợp: • Vi phân: • Hai công thức này có dạng giống nhau • Vậy vi phân cấp 1 có tính bất biến.      0f u x hay f u x        . . ' ' .df f x dx f u u x dx f u du    Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng vi phân 0 y 0 x 0 x x   0f x  0f x x  x    0 0f x x f x   f  0' .f x x  0' . 0f f x x khi x     Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng vi phân tính gần đúng • Cho hàm f(x) khả vi trong lân cận của x0. Ta có: • Hay công thức:      0 0 0' .f x x f x f x x            0 0 0' .f x f x f x x x   03/04/2017 8 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho hàm số: a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1 b) Tính gần đúng: Giải:   3f x x  4, 03     1 1 2 3 2 3 f x df x dx x x          1 1 11 1 4 42 1 3 df dx dx x     Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho hàm số: a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1 b) Tính gần đúng: Giải: Nếu tính bằng máy tính:   3f x x  4, 03             1 1 1 4 1 0, 03 4, 03 1, 03 1 1, 03 1 2 2, 0075 4 4 f x f x f f           4, 03 2, 00748599.. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân cấp cao • Vi phân cấp 1: • Là một hàm theo x. Nếu hàm số này có vi phân thì vi phân này gọi là vi phân cấp 2 của hàm f(x). • Vậy: • Tương tự vi phân cấp n là vi phân của vi phân cấp (n- 1).    df x f x dx               2 2 ' . ' . . d f x d df d f x dx dx d f x dx f x dx f x dx              1 .nn n nd f x d d f f x dx  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân cấp cao của hàm hợp • Cho hàm hợp: f(g(x)). • Vi phân cấp 2:                  2 2 2 ' ' . ' . d f d df d f u du d f u du f u d d u f u du f u d u           2 2d f x f x dx Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI • Định lý về giá trị trung bình (tham khảo) • Công thức Taylor • Qui tắc L’ Hospitale Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý Fermat • Cho hàm số y=f(x) xác định trong lân cận x0. • Nếu f(x) đạt cực đại tại x0 và có đạo hàm tại x0 thì:  0' 0f x  03/04/2017 9 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý Rolle • Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và f(a)=f(b) thị tồn tại điểm c thuộc (a,b) sao cho f’(c)=0 • Đặc biệt nếu f(a)=f(b)=0 thì định lý Rolle có nghĩa giữa hai nghiệm của hàm số có ít nhất một nghiệm của đạo hàm. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý Lagrange • Nếu f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c thuộc (a,b) sao cho:      ' f b f a f c b a    Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý Cauchy • Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và g(x) khác 0 trên (a,b) thì tồn tại c thuộc (a,b) sao cho:             ' ' f b f a f c g b g a g c    Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức Taylor • Khai triển một hàm số phức tạp thành dạng đơn giản • Khai triển hàm phức tạp thành hàm đa thức. • Ví dụ: khai triển Taylor tại x=0       2 5 2 1 1 2 2 3 arctan ... 1 0 3 5 2 1 1 ... 0 2 ! 3 ! ! n n n n x n x x x x x x n x x x e x x n                  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức Taylor Cho hàm số f(x): • Liên tục trên [a,b] • Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b) • Xét x0(a,b). Khi đó trên [a,b] ta có:                           20 0 0 0 0 1 10 0 0 ' " 1 ! 2 ! ... ! 1 ! n n n n f x f x f x f x x x x x f x f c x x x x n n              Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phần dư trong công thức Taylor • Dạng Lagrange: • Dạng Peano: (thường dùng hơn)         1 1 0 1 ! n n n f c R x x n       0 lim 0n nx R x x     00 n n R x x  03/04/2017 10 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức Maclaurin Cho hàm số f(x): • Liên tục trên [a,b] • Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b) • Xét x0=0 (a,b). Khi đó trên [a,b] ta có:              2 ' 0 " 0 0 0 ... 0 1 ! 2 ! ! n n n f x f f f f x x x x n       Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức L’Hospital • Áp dùng tìm giới hạn dạng:             Ñònh lyù: Cho giôùi haïn: coù daïng Neáu thì 0 lim ; 0 lim lim x a x a x a f x g x f x f x L L g x g x          0 ; 0           lim lim x a x a f x f x L g x g x      Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng hàm liên tục • Định lý Weierstrass • Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [a;b], tức là tồn tại x1, x2 ∈ ; sao cho: 1 2 [ , ][ , ] ( ) max ( ) ( ) min ( ) x a bx a b f x f x f x f x    Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng hàm liên tục • Định lý giá trị trung gian • Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)≠f(b). Khi đó lấy một giá trị c bất kỳ nằm giữa f(a) và f(b) thì tồn tại x0 ∈ (; )sao •  0f x c Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng hàm liên tục • Hệ quả Định lý giá trị trung gian • Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại x0 ∈ (; ) sao cho f(x0)=0. • Tức là phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng hàm liên tục • Cho mô hình cân bằng thị trường QS=QD. Trong đó: • Chứng minh rằng mô hình trên có giá cân bằng thuộc khoảng (3;5) 2 500,1 5 10; . 2 S DQ P P Q P      03/04/2017 11 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM • 1. Ý nghĩa của đạo hàm • 2. Giá trị cận biên • 3. Hệ số co dãn • 4. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 1. Ý nghĩa của đạo hàm • Cho hàm số y=f(x) • Tại x0 khi x thay đổi một lượng Δx • Thì y thay đổi: Δy = f(x0+ Δx)-f(x0) • Tốc độ thay đổi của y theo x tại điểm x0 chính là đạo hàm f’(x0)      0 0 0 0 ' lim x f x x f x f x x          0' y f x khi x rat nho x     Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 1. Ý nghĩa của đạo hàm • Ví dụ 1. Hàm cầu của một loại hàng hóa là p=50-Q2 • Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi • Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q=1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 1. Ý nghĩa của đạo hàm • Ví dụ 2. Hàm cầu của một loại hàng hóa là = 45 − 2 • Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi • Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q=4 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 2. Giá trị cận biên • Đo tốc độ thay đổi của y theo x, ký hiệu My(x) • Ta thường chọn xấp xỉ () ≈ ∆ tức là My(x) gần bằng lượng thay đổi của y khi x thay