Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5a: Toán tài chính - Nguyễn Văn Tiến

12/09/2017 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến TOÁN TÀI CHÍNH Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Nội dung • Chương 1: Toán cho tài chính • Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng • Chương 3: Hàm nhiều biến • Chương 4: Tích phân và ứng dụng • Chương 5: Đại số tuyến tính và ứng dụng • Chương 6: Phương trình vi phân • Chương 7: Chuỗi thời gian • Thời lượng: 75 tiết, 25 buổi Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chương 1 • Lãi suất • 1.1 Dãy số, chuỗi số • 1.2 Lãi đơn, Lãi gộp • 1.3 Khấu hao • 1.4 Giá trị hiện tại ròng và tỷ lệ hoàn vốn nội bộ • 1.5 Niên kim, các khoản cho vay và thế chấp • 1.6 Mối liên hệ giữa lãi suất và giá của trái phiếu • Số chỉ số • 1.7 Số chỉ số và năm cơ sở • 1.8 Ghép các dãy số chỉ số • 1.9 Số chỉ số hỗn hợp • 1.10 Các chỉ số thông dụng CPI, RPI... Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chương 2 • Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng • 2.1 Hệ số góc của đường cong và đạo hàm • 2.2 Ứng dụng của đạo hàm, hàm cận biên, hàm bình quân • 2.3 Tối ưu hàm một biến, các điểm cực trị • 2.4 Ứng dụng kinh tế • 2.5 Độ cong và ứng dụng • 2.6 Hệ số co dãn Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chương 3 • Chương 3: Hàm nhiều biến số • 3.1 Đạo hàm riêng • 3.2 Áp dụng của đạo hàm riêng • 3.3 Tối ưu không điều kiện • 3.4 Tối ưu có điều kiện và nhân tử Lagrange Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chương 4 • Chương 4: Tích phân và ứng dụng • 4.1 Nguyên hàm, Tích phân • 4.2 Các tính chất • 4.3 Tích phân của hàm mũ exp • 4.4 Diện tích dưới một đường • 4.5 Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất • 4.6 Giải phương trình vi phân bậc 1 • 4.7 Phương trình vi phân cho tăng trưởng giới hạn và tăng trưởng không giới hạn 12/09/2017 2 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chương 5 • Chương 5: Đại số tuyến tính và ứng dụng • 5.1 Quy hoạch tuyến tính 2 biến • 5.2 Ma trận • 5.3 Giải hệ phương trình: phương pháp khử • 5.4 Định thức • 5.5 Ma trận nghịch đảo và phân tích input/output • 5.6 Tự tương quan và hồi qui tuyến tính đơn biến Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chương 6 • Chương 6: Phương trình vi phân • 6.1 Giới thiệu phương trình vi phân • 6.2 Giải phương trình vi phân bậc 1 • 6.3 Ứng dụng của phương trình vi phân bậc 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chương 7 (đọc thêm) • Chương 7 : Chuỗi thời gian • 7.1 Thành phần và mô hình chuỗi thời gian • 7.2 Dự báo xu hướng tuyến tính • 7.3 Dự báo thành phần theo mùa • 7.4 Điều chỉnh theo mùa • 7.5 Dịch chuyển theo trung bình • 7.6 Đánh giá các mô hình dự báo Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Kiểm tra – Đánh giá • Điểm danh: 10% • Kiểm tra giữa kì: 20% (01 bài) • Thi cuối kì: 70% • Hình thức: – Giữa kỳ: trắc nghiệm hoặc tự luận (60 phút) – Cuối kỳ: tự luận (75 phút) Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tài liệu học tập chính • 1. Nguyễn Thị Toàn (chủ biên), Lý thuyết Toán cao cấp 1, NXB Thông tin và truyền thông, năm 2012. • 2. Phùng Duy Quang (chủ biên), Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh tế, NXB Thông tin và truyền thông, năm 2012. • 3. Lê Sĩ Đồng (chủ biên), Toán cao cấp (phần giải tích), NXB Giáo dục, 2007. • 4. Lê Đình Thúy (Chủ biên), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế (Phần I, II), NXB ĐH KTQD, 2013. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tài liệu tham khảo • 5. Graham Eaton: CIMA C03 Fundamentals of Business math (Study text) • 6. Marvin L. Bittinger, David J. Ellenbogen, Scott: Calculus and its applications (10th- edition) • 7. Linda Almgren Kime, Judith Clark, Beverly K. Michael: Explorations in College Algebra (3rd Edition) • 8. G. Keller : Statistics for Management and Economics (9th edition) 12/09/2017 3 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tài liệu giảng viên • Slide bài tập • Slide lý thuyết • File bài giảng • Đề thi tham khảo (đang chỉnh sửa lại) • Liên lạc: nguyenvantien0405@yahoo.com • Website: nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Yêu cầu • Đi học đầy đủ, đúng giờ • Học bài và làm bài tập đầy đủ. • Tinh thần tự học và chú ý cao • Giữ trật tự trong khi học. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO PHÂN TÍCH INPUT/OUTPUT Chương 5a Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Nhắc lại về ma trận nghịch đảo • Ma trận A khả nghịch khi? • Công thức: • Ma trận C là gì? 1 1 det TA C A   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ma trận nghịch đảo_1 • Ta có: • Với C là ma trận chứa các phần bù đại số của A. • Ma trận C gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A 1 1 1 det det T A A C P A A     ij ij1 det i j ij c A M     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm ma trận nghịch đảo của A nếu có: 2 5 7 6 3 4 5 2 3 A            12/09/2017 4 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương trình ma trận • Ma trận A vuông hay số phương trình bằng số ẩn. • Nếu ma trận A khả nghịch thì: .AX B       1 1 1 1 1 . . . . . . AX B A AX A B A A X A B X A B             Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải phương trình ma trận a) Xét phương trình: A.X=B Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B b) Xét phương trình: X.A=B Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=B.A-1 c) Xét phương trình: A.X.C=B Giả sử A, C khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B.C-1 Nhân tương ứng từng phía theo thứ tự của phương trình. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm các ma trận X và Y sao cho: A.X=B và Y.A=B 1 2 3 1 3 0 3 2 4 10 2 7 2 1 0 10 7 8 A B                       Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Mô hình cân đối liên ngành • Mô hình Input-Output Leontief • Mỗi một ngành trong n ngành công nghiệp của một nền kinh tế phải đảm bảo một mức sản xuất hàng hóa đầu ra bằng bao nhiêu để vừa vặn đủ thỏa mãn tổng cầu về loại hàng hóa đó, tức là thỏa mãn chính các ngành công nghiệp đó và nhu cầu chung của xã hội. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bảng vào ra (I/O) • Được Wasily Liontief đưa ra năm 1927 • Ghi lại sự phân phối của các ngành trong nền kinh tế quốc dân và quá trình hình thành sản phẩm kinh tế mỗi ngành • Mỗi ngành đều có 2 chức năng: sản xuất ra sản phẩm cung cấp cho chính mình và cho các ngành khác như yếu tố đầu vào và một phần dùng cho tích lũy tiêu dùng và xuất khẩu Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Mô hình I/O • Phân tích các mối liên hệ kinh tế giữa các ngành – Giá trị sản phẩm mỗi ngành được phân phối cho ai, phân phối như thế nào – Giá trị sản phẩm của mỗi ngành được hình thành như thế nào – Phân tích tác động dây chuyền trong ngành kinh tế 12/09/2017 5 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Các giả thuyết • Mỗi một ngành công nghiệp j chỉ sản xuất một loại hàng hóa j hoặc nhiều loại hàng hóa với tỷ lệ cố định. • Mỗi ngành công nghiệp sử dụng một tỷ lệ đầu vào cố định để sản xuất hàng hóa đầu ra. • Việc sản xuất mỗi loại hàng hóa có tính chất hiệu suất không đổi (constant return to scale), tức là nếu mở rộng đầu vào k lần thì đầu ra sẽ tăng k lần. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ma trận hệ số kỹ thuật • Gọi tỷ lệ đầu vào cố định là aij • Để ngành công nghiệp j sản xuất ra một đơn vị hàng hóa (loại j) cần có các tỷ lệ đầu vào cố định aij các hàng hóa loại I • Ví dụ: a23 = 0,35 có nghĩa gì? Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ma trận hệ số kỹ thuật • Ma trận A=[aij] gọi là ma trận các hệ số đầu vào hay ma trận hệ số kỹ thuật. • Tổng phần tử cột j có ý nghĩa gì? 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ... ...1 ...2 ... ... ... ...... ... n n n n nn n a a a a a a A a a an              Đầu ra Đầu vào   1 1 , 1,2,...,n n ij i a j    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tổng cầu, cầu trung gian và cầu cuối cùng • xi là tổng cầu hàng hóa của ngành i hay mức sản xuất hàng hóa ngành i • xij là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành j cần sử dụng cho việc sản xuất (cầu trung gian); • bi là giá trị hàng hóa của ngành i cần tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng); 1 2) ) ij i i i in i ij j x i x x x x b ii a x       Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bảng I-O dạng giá trị Tổng cầu Cầu trung gian Cầu cuối cùng x1 x11 x12 x1n b1 x2 x21 x22 x2n b2 xn xn1 xn2 xnn bn • Ta có: • Công thức: 1 2) ) ik i i i in i ik k x i x x x x b ii a x       Mua của ngành 1 Bán của ngành 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Mô hình I-O • Ta có mô hình I-O: • Dạng ma trận: 1 11 1 12 2 1 1 11 12 11 1 2 21 1 22 2 2 2 2 21 22 2 2 1 1 2 2 1 2 ... ... ... ........................................ ... n n n n n n nn n n nn n n n n nn x a x a x a x b a a ax x x a x a x a x b x a a a x hay xx a x a x a x b a a a                                        1 2 ... n n b b x b                          . .X A X B X A X B I A X B          1 X I A B    12/09/2017 6 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Một số thuật ngữ • A gọi là ma trận hệ số đầu vào hay ma trận hệ số kĩ thuật • X là ma trận tổng cầu (hay véc tơ sản xuất) • B là ma trận cầu cuối cùng • T=(I-A) ma trận Leontief hay ma trận công nghệ • C=(I-A)-1: ma trận hệ số chi phí toàn bộ • Hệ số cij: để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của ngành j thì ngành i cần phải sản xuất một lượng sản phẩm có giá trị là cij Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho bảng I/0: • A) Xác định ma trận hệ số kỹ thuật, ma trận hệ số chi phí cuối cùng • B) Giải thích ý nghĩa của a32 và c21 Ngành GTSX Nhu cầu trung gian Nhu cầu cuối cùng 1 100 20 10 8 62 2 50 10 16 14 3 40 10 10 8 12 GTGT 60 88 GTSX 100 50 40 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đáp án • Ta có: • a32=0,2 nghĩa là để ngành 2 sx một đơn vị sp thì ngành 3 phải cung cấp cho ngành 2 một khối lượng sp có giá trị là 0,2   1 0,2 0,2 0,2 0,1 0,2 0,4 0,1 0,2 0,2 1,3681 0,495 0,594 0,297 1,5346 0,8415 0,2475 0,4455 1,5346 A C I A                        Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đáp án • Ta có: • c21=0,297 nghĩa là để ngành 1 sx một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng thì ngành 2 phải cung cấp cho ngành 1 một khối lượng sp có giá trị là 0,297   1 1,3681 0,495 0,594 0,297 1,5346 0,8415 0,2475 0,4455 1,5346 C I A              Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1 • Giả sử trong 1 nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành 3. Cho biết ma trận hệ số kĩ thuật: • a) Giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A • b) Cho biết mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 10; 5; 6 triệu USD. Hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành 0,2 0,3 0,2 0,4 0,1 0,2 0,1 0,3 0,2          Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải • a) Số 0,4 ở dòng thứ 2 và cột thứ nhất của ma trận hệ số kĩ thuật có nghĩa là để sản xuất 1 $ hàng hóa của mình, ngành 1 cần sử dụng 0,4$ hàng hóa của ngành 2 • b) Ta có:   1 0,8 0,3 0,2 0,66 0,30 0,24 1 0,4 0,9 0,2 0,34 0,62 0,24 0,384 0,1 0,3 0,8 0,21 0,27 0,60 I A I A                             12/09/2017 7 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải • Ma trận tổng cầu: • Như vậy tổng cầu đối với hàng hóa của ngành 1 là 24,84; đối với hàng hóa của ngành 2 là 20,68; đối với hàng hóa của ngành 3 là 18,36 (triệu USD)   1 0,66 0,30 0,24 10 24,84 1 0,34 0,62 0,24 5 20,68 0,384 0,21 0,27 0,60 6 18,36                                 X I A B Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phân tích thêm • Với j=2 ta có: • Như vậy khi sản xuất 1$ hàng hóa loại 2 ta có tiền lãi là 0,3$. Tiền lãi này được dành để trả lương cho đầu vào cơ bản (dịch vụ, lao động sử dụng trong ngành công nghiệp 2 cho việc sản xuất ra 1$ hàng hóa loại 2).   3 2 02 1 1 1 0,3 0,1 0,3 0,3 0i i a a          Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phân tích thêm • Ta có: • Mức lương ngành 1: • Mức lương cả nền kinh tế:   01 1 02 03 28,84 0,3 . 20,68 ; 0,3 18,36 0,4 a X I A B a a                           3 0 1 . 0,3.28,84 0,3.20,68 0,4.18,36 21($)j j j a x      01 1. 0,3.28,84 8,65($)a x   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Dạng bài tập • Xác định ma trận tổng cầu X • Xác định tổng chi phí mỗi ngành • Giải thích ý nghĩa kinh tế của các phần tử • Lập bảng I-O từ A, X, B và ngược lại • Tính toán khi thay đổi các ma trận kỹ thuật, tổng cầu, cầu cuối • Xác định mức tiền lương trả của từng ngành, toàn ngành Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải toán ma trận bằng FX570 ES 1. Nhập ma trận. • Nhấn Mode 6 (Matrix)  Chọn 1( matA)  Chọn matrix có số dòng và cột tương ứng cần tính toán. • Nhập kết quả vào bằng phím =, • Sau khi nhập xong ma trận A, có thể nhập thêm ma trận B bằng cách: Nhấn Shift 4 (Matrix)  1 (Dim) 2 (MatB) • Lập lại tương tự cho MatC. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải toán ma trận bằng FX570 ES 2. Tính định thức Thao tác như sau để tính định thức cho MatA: Shift 4 (Matrix)  7 (Det)  Shift 4 (Matrix)  3 (MatA)  = 3. Tìm ma trận nghịch đảo Thao tác như sau để tìm ma trận nghịch đảo của MatA: Shift 4 (Matrix)  3 (MatA)  x-1 (x-1: là phím nghịch đảo của máy tính, dưới Mode) 4. Giải phương trình: AX = B Thao tác theo các bước bên trên để tính: MatA x-1  xMatB để cho kết quả của X. 12/09/2017 8 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 1 • Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2. Ma trận hệ số kỹ thuật: • Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của ngành 1 và ngành 2 theo thứ tự là 120 và 60 tỉ đồng. Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với mỗi ngành. 0,2 0,3 0,4 0,1 A        Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 2 • Xét mô hình I/O Leontief với ma trận đầu vào: • • Cho biết b1=30; b2=15; b3=10 (đơn vị là 100 tỷ đồng) • a) Hãy xác định các mức đầu ra cần thiết của các ngành công nghiệp. • b) Hãy xác định mức tiền lương trả cho đầu vào cơ bản đối với từng ngành công nghiệp và cho cả ba ngành công nghiệp. 0,2 0,3 0,2 0,4 0,1 0,2 0,1 0,3 0,2 A          Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 3 • Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2, 3. Ma trận hệ số kỹ thuật: • Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành là 40, 40, 110 • Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với từng ngành sx • Tăng cầu cuối cùng của ngành 3 lên 10 đơn vị, các ngành khác không đổi. Xác định giá trị tổng cầu của các ngành sx tương ứng. 0,4 0,1 0,2 0,2 0,3 0,2 0,1 0,4 0,3 A          Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 4 • Một nền kinh tế có 3 ngành sx và có mối quan hệ trao đổi hàng hóa như sau: • Xác định tổng cầu, tổng chi phí mỗi ngành • Lập ma trận hệ số kỹ thuật A Ngành cung ứng sp (Out) Ngành sử dụng sp (Input) 1 2 3 B 1 20 60 10 50 2 50 10 80 10 3 40 30 20 40 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 5 • Xét một nền kinh tế với hai ngành công nghiệp chủ đạo. Cho biết ngành công nghiệp 1 sử dụng một lượng sản phẩm loại hàng hóa 1 trị giá 0,1 triệu đồng và một lượng sản phẩm loại hàng hóa 2 trị giá 0,6 triệu đồng làm đầu vào để sản xuất ra một lượng sản phẩm hàng hóa 1 trị giá 1 triệu đồng. Trong khi đó ngành công nghiệp 2 chỉ sử dụng một lượng sản phẩm loại hàng hóa 1 trị giá 0,5 triệu đồng làm đầu vào để sản xuất ra được một lượng sản phẩm loại hàng hóa 2 trị giá 1 triệu đồng. • a) Hãy thiết lập ma trận đầu vào, ma trận hệ số công nghệ và phương trình ma trận xác định các mức đầu ra cho nền kinh tế trên. • b) Hãy tìm các mức đầu ra cần thiết thỏa mãn được các nhu cầu đầu vào sử dụng cho sản xuất cũng như nhu cầu của thành phần mở. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 6 • Xét mô hình I/O Leontief với ma trận đầu vào: • Cho b1=1800; b2=200 và b3=900 (đơn vị là 100 tỷ đồng) • a) Cho biết ý nghĩa các phần tử a21=0,33 và a33=0 trong ma trận A • b) Cho biết ý nghĩa của tổng các phần tử trên cột thứ 3 của ma trận A • c) Hãy xác định các mức đầu ra cần thiết của các ngành công nghiệp • d) Hãy xác định mức tiền lương trả cho đầu vào cơ bản đối với từng ngành công nghiệp và cho cả 3 ngành công nghiệp. 0,05 0,25 0,34 0,33 0,10 0,12 0,19 0,38 0 A         