Bài giảng Giải tích 2 - Chương 5: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA Chương 5: Phần 1: CHUỖI SỐ ĐỊNH NGHĨA 1 2 ,n nS a a a n N     Cho dãy số {an}, định nghĩa dãy số mới {Sn} được gọi là chuỗi số, ký hiệu: 1 n n a    ( Nếu {an} bắt đầu từ 0 thì số hạng đầu của Sn là a0 ) • Sn : tổng riêng thứ n • an : số hạng tổng quát ĐỊNH NGHĨA 1 n n a     {Sn} có giới hạn hữu hạn khi n  hội tụ Ngược lại ta nói chuỗi phân kỳ. Đặt: 1 limn n nn a S    : tổng chuỗi VÍ DỤ 1 1 ( 1 1/ )n n n     1 1 1 1.2 2.3 ( 1) nS n n       1 1 1 1 1 1 2 2 3 ( 1)n n          Khảo sát sự hội tụ và tính tổng nếu có: Tổng riêng: 1 1 ( 1)n    1n 1 1 1 ( 1)n n n     Vậy chuỗi hội tụ và 12 / 1 n n    1 1 1 1 2 3 nS n      n n n    Vậy chuỗi phân kỳ. 1 1 3 ( 1) 2 / n n n     1 2 3 1 1 1 1 ( 1) 2 2 2 2 n n n S       1 1 1 2 12 1 2 n             1 3  Vậy chuỗi hội tụ và có tổng là 1/3. TÍNH CHẤT 1 n n a   , 0, và có cùng bản chất 1 2 / n n a    p n n a   và có cùng bản chất (ht/pk) 1 1/ n na    TÍNH CHẤT 1 1 3 / ,n n n n a A b B        1 ( )n n n a b A B          • Tổng 2 chuỗi hội tụ là hội tụ • Tổng 1 chuỗi hội tụ và 1 chuỗi phân kỳ là phân kỳ Điều kiện cần của sự hội tụ 1 n n a    lim 0n n a   lim 0n n a   Nếu chuỗi hội tụ thì Áp dụng: Nếu 1 n n a    ( hoặc không tồn tại ) thì không hội tụ. 11 / ( 1)nn n n n      phân kỳ vì lim lim 1 0 ( 1) n nn n n a n n        1 3 2 ( 1) 2 1 2 / n n n n n           chuỗi phân kỳ Ví dụ 3 2 2 1 n n n n a n       0na  Ví dụ 1 , 1 1 , 1 nx x x x n khi x           3/ Ks sự hội tụ và tính tổng nếu có: 1 n n x    1 2 1 n k n n k S x x x x         khi x = 1: lim n n S    chuỗi pk  khi |x| > 1: lim n n x    hoặc không tồn tại lim n n S     hoặc không tồn tại  chuỗi pk  khi |x| < 1: lim 0n n x   lim 1nn x S x    Chuỗi ht và có tổng là 1 x x CHUỖI KHÔNG ÂM. 1 n n a    Cho an  0, khi đó dãy tổng riêng phần {Sn} là dãy tăng. Vậy {Sn} hội tụ  {Sn} bị chận trên. Hay: hội tụ khi và chỉ khi {Sn} bị chận trên. Tiêu chuẩn tích phân Maclaurin - Cauchy 1 ( )f x dx   1 ( ) n f n    2 3 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n f x dx f x dx f x dx f x dx         Cho f(x) không âm, liên tục, giảm trên [1,+), khi đó và có cùng bản chất Chứng minh: 1 ( ) (1) (2) ( 1) ( ) n nf x dx f f f n S f n        1 ( ) (2) ( ) (1) n nf x dx f f n S f      Ví dụ 2 2 1 / ln 1 n n n    2 1 ( ) , [2, ) ln f x x x x    2 2 2 1 ( ) lnn n f n n n       Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau: f(x) dương, ltục và giảm nên cùng bản chất với 2 2 2 ( ) ln dx I f x dx x x      2ln 2 dt t     h tụ 12 / 1 n n     •   0 : chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần •  > 0 : xét hàm số 1 ( )f x x  f(x) > 0, liên tục, giảm trên [1, +) 1 1 n n     cùng bản chất với 1 1 ( ) dx f x dx x      chuỗi hội tụ khi và chỉ khi  > 1. 1/ 1 2 3 n n    1 ( ) , [1, ) 2 x f x x   1 1 2 nn    dương, ltục và giảm nên cùng bản chất với 1 1 ( ) 2 x dx I f x dx      1 1 2 22 tx dx tdt I      Chọn: 2 1 ( )g t t  , khi đó 1 ( )g t dt   hội tụ. Đồng thời: 3 2 2 1 2 lim : lim 0 2 2t tt t t t t         Theo tiêu chuẩn so sánh của tp suy rộng thì I hội tụ, do đó chuỗi đã cho hội tụ. Tiêu chuẩn so sánh 1 n n b    Dạng 1: an, bn  0, an  Kbn, n  N0 hội tụ  1 n n a    hội tụ 1 n n b   phân kỳ  1 n n a    phân kỳ Dạng 2: an, bn > 0, lim n n n a K b  1 n n b    hội tụ  1 n n a    hội tụ 1 n n b   phân kỳ  1 n n a    phân kỳ • 0 < K <  : hai chuỗi cùng bản chất • K = 0 • K =  Chuỗi cơ bản nx 0 , 1 1 n n x x      1 1 n n x x x      Chuỗi cấp số nhân: hội tụ  |x| < 1 Chuỗi điều hòa: 1 1 n n     hội tụ   > 1 Ví dụ 2 2 1n n n n e e n e e    2 1 1 1/ n nn e n e      1 1 1 1 n n n n ee             là chuỗi CSN hội tụ. Theo tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi đã cho ht. ( 1) 1 n ne   1 , 1 n n e    Ví dụ na 1 1 1 1 c2 os/ n nn an n            Chuỗi đã cho cùng bản chất với chuỗi điều hòa 1 1 n n    nên phân kỳ. 2 1 1 1 1 2 2 n nn  hay 1 1/ 2 nna K n    khi n  13 1 3 ln 2 2 / n nn n a n n             3/2 1 5 5 2nn n 1 5 ln 1 2n a nn       khi n  hay 3/2 5 1 / nna K n   Chuỗi đã cho cùng bản chất với chuỗi điều hòa 3/2 3 1 n n    nên hội tụ 21 ln( ! 3 / )n n    1 1 1 ln( !) ln( )ln( )nn n nn  2 1 ln( )n n n    cùng bản chất với 2 ln 2 ln dx dt x x t     nên phân kỳ. Theo tiêu chuẩn ss 1 chuỗi đã cho phân kỳ. 24 n/ 1 1 si n n n n          3 3 1 1 1 1 1 1 1 sin 6 o n n n n n n           3 1 1 6n 3 1 1 1 1 sin 6 n n n n         chuỗi đã cho cùng bản chất với 3 1 1 n n      Vậy 2 1 1 sin n n n n          hội tụ  3 –  > 1   < 2 2 2 2 .ln .sin 25 / 2nn n n n          2 3 2 1 6 / ln 1 n n n e n nn            1 1 7 / 3nn n      Tiêu chuẩn D’Alembert 1 n n a    1n n n a D a  2 1 1 1 1 & n nn n       Xét chuỗi số dương: •  q < 1: Dn < q : chuỗi hội tụ • Dn  1 : chuỗi phân kỳ Đặt : Xét 2 chuỗi: 1lim lim nn n n n a D D a      • D < 1 : hội tụ • D > 1 : phân kỳ • D = 1 : không có kết luận Tiêu chuẩn Cauchy 2 n n a    n n nC a 2 1 1 1 1 n nn n       & Xét chuỗi số không âm: •  q < 1: Cn < q : chuỗi hội tụ • Cn  1 : chuỗi phân kỳ Đặt : Xét 2 chuỗi: lim lim nn n n n C C a     • C < 1 : hội tụ • C > 1 : phân kỳ • C = 1 : không có kết luận Tiêu chuẩn Rapb (sử dụng khi D = 1 và Dn < 1) 11 lim n n n n n a R n a R R           • R > 1 : hội tụ • R < 1 : phân kỳ • R = 1 : không có kết luận Ví dụ-Khảo sát sự hội tụ 12 ( 1)! 2 ! n n n n    2 1n   0 2 ! 1/ n n n    1nn n a D a  Vậy chuỗi ht theo tc D’A. 2 lim 0 1 1n D n     0! 2 / n n n e n n    1 1 ( 1)! ( 1) ! n n n n e n n e n n     1nn n a D a  1 n e n n        1 e e   Không KL 1 1 n e e n        1nD  pk 22 0 .2 3 ( 1 / ) n n nn n n     n n nC a 2 2 .2 ( 1) n n n n n n   .2 ( 1) n n n n   2 1 1 n n       2 lim 1n n C e    chuỗi ht 1(2 1)!! 1 (2 )! 4 / ! 2 1 n n n n      2 1 (2 1)!! 1 (2 1)(2 2)!! 2 3 (2 1)!! 1 (2 2).(2 3) (2 )!! 2 1 n n n n a nn n D na n n n n             1& lim 1n n n D D    không dùng tc D’A được   2(2 1) 1 1 (2 2)(2 3)n n n R n D n n n           6 5 (2 2)(2 3) n n n n       2(2 1) 1 1 (2 2)(2 3) n n n R n D n n n           3 lim 1 2 n n R    chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Rapb 2 1 0 3 1 5 5 / 2 n n n n          n n nC a 2 1 3 1 2 5 n n n n        2 3 lim 1 2 n n C         chuỗi pk 2 1 3 1 2 5 n nn n        Nên dùng điều kiện cần để có kết quả nhanh hơn(đối với VD này) ln 1 6 / , 0 n n a a     ln ln 0 1 n n n n nC a a a      1ln( 1) ln 1 ln ln( 1) 01 ln 1 n n n n n n a D a a a a               (không dùng được tiêu chuẩn C, D’A) Biến đổi ln ln ln lnn n a aa e n     Chuỗi đã cho là chuỗi điều hòa ln 1 1 a n n    Chuỗi đan dấu – Tiêu chuẩn Leibnitz 1 ( 1)n n n a    Chuỗi đan dấu có dạng 1 ( 1)n n n a    với 0na  Tiêu chuẩn Leibnitz: Nếu { } lim 0 n n n a a      giaûm thì hội tụ Đặt: 1 ( 1)n n n S a     10 S a   Chuoãi hoäi tuï theo tc treân goïi laø chuoãi Leibnitz Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ 1 ( 1) 1 / n n n     1 na n  đơn điệu giảm về 0 1 ( 1)n n n      là chuỗi Leibnitz (hội tụ) 11 ( 1) ( 1) 1 2 1 / n n n n n         1 ( 1) 1 1 n n a n n      Xét hàm số: 2 3 ( ) , 2 1 x f x x x    4 3 2 2 ( ) 0 ( ) ( 1) x x f x f x x         Vậy {an} đơn điệu giảm và lim 0n n a    Chuỗi ht theo tc Leibnitz 2( 1) ( 1 3 / ) 1 n n n n       Mẫu số của thay đổi dấu  không phải chuỗi đan dấu 2 22 2 ( 1) ( 1) 1( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 n nn n nn n n n n                 2 ( 1) 1 n n n n        2 ( 1) 1 1 n n n n n            2 1n n n     2 ( 1) 1 n n n      là chuỗi dương pk vì cùng bản chất với 2 1 n n    là chuỗi đan dấu ht theo tc L. 2 ( 1) 1 1 n n n n n            phân kỳ (ht + pk = pk) CHUỖI CÓ DẤU TÙY Ý Sự hội tụ tuyệt đối 1 1 n n n n a a      Neáu hoäi tuï thì hoäi tuï 1 1 n n n n a a       Chiều ngược lại không đúng: 1 1 phaân kyø phaân kyøn n n n a a       Tiêu chuẩn Cauchy và D’Alembert Nếu 1 n n a    hội tụ hay phân kỳ theo tc Cauchy hoặc D’Alembert thì 1 n n a    cũng vậy Ghi nhớ: Nếu 1 n n a    phân kỳ theo tc so sánh thì không có kết luận gì cho 1 n n a    12 1 ( 1)/ 3 2 1 n n n n n          Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ 2 1 3 2 n n n a n       2 1 ( 1) 3 2 n n n n a n        thay đổi dấu n n nC a 2 1 3 2 n n    2 1 3   chuỗi ht tuyệt đối 20 .s 2 / in 2 3n n n n     2 sin 2 3 n n n n a   thay đổi dấu 2 2sin 2 3 3 n nn n n n n a b     Áp dụng tc D’A cho 1 n n b    21 1 3 n n n n n b       2 2 ( 1) 1 1 1 3 3 n n D n      1 n n b    hội tụ 1 n n a    hội tụ tuyệt đối