ho dãy số {an}, định nghĩa dãy số mới
{Sn} được gọi là chuỗi số, ký hiệu:
( Nếu {an} bắt đầu từ 0 thì số hạng đầu của
S
n là a0 )
• S
n : tổng riêng thứ n
• a
n : số hạng tổng quát
46 trang |
Chia sẻ: thanhle95 | Lượt xem: 407 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Giải tích 2 - Chương 5: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA
Chương 5:
Phần 1: CHUỖI SỐ
ĐỊNH NGHĨA
1 2 ,n nS a a a n N
Cho dãy số {an}, định nghĩa dãy số mới
{Sn} được gọi là chuỗi số, ký hiệu:
1
n
n
a
( Nếu {an} bắt đầu từ 0 thì số hạng đầu của
Sn là a0 )
• Sn : tổng riêng thứ n
• an : số hạng tổng quát
ĐỊNH NGHĨA
1
n
n
a
{Sn} có giới hạn hữu hạn khi n
hội tụ
Ngược lại ta nói chuỗi phân kỳ.
Đặt:
1
limn n
nn
a S
: tổng chuỗi
VÍ DỤ
1
1
( 1
1/
)n n n
1 1 1
1.2 2.3 ( 1)
nS
n n
1 1 1 1 1
1
2 2 3 ( 1)n n
Khảo sát sự hội tụ và tính tổng nếu có:
Tổng riêng:
1
1
( 1)n
1n
1
1
1
( 1)n n n
Vậy chuỗi hội tụ và
12 /
1
n n
1 1 1
1
2 3
nS
n
n
n
n
Vậy chuỗi phân kỳ.
1
1
3
( 1)
2
/
n
n
n
1
2 3
1 1 1 1
( 1)
2 2 2 2
n
n n
S
1
1
1 2
12 1
2
n
1
3
Vậy chuỗi hội tụ và có tổng là 1/3.
TÍNH CHẤT
1
n
n
a
, 0, và có cùng bản chất
1
2 / n
n
a
p
n
n
a
và có cùng bản chất (ht/pk)
1
1/
n
na
TÍNH CHẤT
1 1
3 / ,n n
n n
a A b B
1
( )n n
n
a b A B
• Tổng 2 chuỗi hội tụ là hội tụ
• Tổng 1 chuỗi hội tụ và 1 chuỗi phân kỳ là
phân kỳ
Điều kiện cần của sự hội tụ
1
n
n
a
lim 0n
n
a
lim 0n
n
a
Nếu chuỗi hội tụ thì
Áp dụng:
Nếu
1
n
n
a
( hoặc không tồn tại ) thì
không hội tụ.
11 /
( 1)nn
n
n n
phân kỳ vì
lim lim 1 0
( 1)
n nn n
n
a
n n
1
3 2
( 1)
2 1
2 /
n
n
n
n
n
chuỗi phân kỳ
Ví dụ
3 2
2 1
n
n
n
n
a
n
0na
Ví dụ
1
, 1
1
, 1
nx
x x
x
n khi x
3/ Ks sự hội tụ và tính tổng nếu có:
1
n
n
x
1 2
1
n
k n
n
k
S x x x x
khi x = 1: lim n
n
S
chuỗi pk
khi |x| > 1: lim n
n
x
hoặc không tồn tại
lim n
n
S
hoặc không tồn tại
chuỗi pk
khi |x| < 1: lim 0n
n
x
lim
1nn
x
S
x
Chuỗi ht và có tổng là
1
x
x
CHUỖI KHÔNG ÂM.
1
n
n
a
Cho an 0, khi đó dãy tổng riêng phần {Sn} là
dãy tăng.
Vậy {Sn} hội tụ {Sn} bị chận trên.
Hay:
hội tụ khi và chỉ khi {Sn} bị chận trên.
Tiêu chuẩn tích phân Maclaurin - Cauchy
1
( )f x dx
1
( )
n
f n
2 3
1 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
n n
n
f x dx f x dx f x dx f x dx
Cho f(x) không âm, liên tục, giảm trên [1,+),
khi đó
và có cùng bản chất
Chứng minh:
1
( ) (1) (2) ( 1) ( )
n
nf x dx f f f n S f n
1
( ) (2) ( ) (1)
n
nf x dx f f n S f
Ví dụ
2
2
1
/
ln
1
n n n
2
1
( ) , [2, )
ln
f x x
x x
2
2 2
1
( )
lnn n
f n
n n
Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
f(x) dương, ltục và giảm nên
cùng bản chất với
2
2 2
( )
ln
dx
I f x dx
x x
2ln 2
dt
t
h tụ
12 /
1
n n
• 0 : chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần
• > 0 : xét hàm số
1
( )f x
x
f(x) > 0, liên tục, giảm trên [1, +)
1
1
n n
cùng bản chất với
1 1
( )
dx
f x dx
x
chuỗi hội tụ khi và chỉ khi > 1.
1/
1
2
3
n
n
1
( ) , [1, )
2 x
f x x
1
1
2 nn
dương, ltục và giảm nên
cùng bản chất với
1 1
( )
2 x
dx
I f x dx
1 1
2
22
tx
dx tdt
I
Chọn:
2
1
( )g t
t
, khi đó
1
( )g t dt
hội tụ.
Đồng thời:
3
2
2 1 2
lim : lim 0
2 2t tt t
t t
t
Theo tiêu chuẩn so sánh của tp suy rộng
thì I hội tụ, do đó chuỗi đã cho hội tụ.
Tiêu chuẩn so sánh
1
n
n
b
Dạng 1: an, bn 0, an Kbn, n N0
hội tụ
1
n
n
a
hội tụ
1
n
n
b
phân kỳ
1
n
n
a
phân kỳ
Dạng 2: an, bn > 0, lim
n
n n
a
K
b
1
n
n
b
hội tụ
1
n
n
a
hội tụ
1
n
n
b
phân kỳ
1
n
n
a
phân kỳ
• 0 < K < : hai chuỗi cùng bản chất
• K = 0
• K =
Chuỗi cơ bản
nx
0
,
1
1
n
n
x
x
1 1
n
n
x
x
x
Chuỗi cấp số nhân:
hội tụ |x| < 1
Chuỗi điều hòa:
1
1
n n
hội tụ > 1
Ví dụ
2 2
1n n
n n
e e
n e e
2
1
1
1/
n
nn
e
n e
1 1
1 1
n
n
n n ee
là chuỗi CSN hội tụ.
Theo tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi đã cho ht.
( 1)
1
n ne
1
, 1
n
n
e
Ví dụ
na
1 1
1
1 c2 os/ n
nn
an
n
Chuỗi đã cho cùng bản chất với chuỗi điều hòa
1
1
n n
nên phân kỳ.
2
1 1 1 1
2 2
n
nn
hay
1
1/ 2
nna K
n
khi n
13
1 3
ln
2
2 / n
nn n
a
n
n
3/2
1 5 5
2nn n
1 5
ln 1
2n
a
nn
khi n
hay
3/2
5
1 /
nna K
n
Chuỗi đã cho cùng bản chất với chuỗi điều hòa
3/2
3
1
n n
nên hội tụ
21
ln( !
3 /
)n n
1 1 1
ln( !) ln( )ln( )nn n nn
2
1
ln( )n n n
cùng bản chất với
2 ln 2
ln
dx dt
x x t
nên phân kỳ.
Theo tiêu chuẩn ss 1 chuỗi đã cho phân kỳ.
24 n/
1 1
si
n
n
n n
3 3
1 1 1 1 1 1 1
sin
6
o
n n n n n n
3
1 1
6n
3
1 1 1 1
sin
6
n
n n n
chuỗi đã cho cùng bản chất với 3
1
1
n n
Vậy
2
1 1
sin
n
n
n n
hội tụ 3 – > 1
< 2
2 2
2
.ln .sin
25 /
2nn
n n n
2
3
2
1
6 / ln
1
n
n
n e n
nn
1
1
7 /
3nn n
Tiêu chuẩn D’Alembert
1
n
n
a
1n
n
n
a
D
a
2
1 1
1 1
&
n nn n
Xét chuỗi số dương:
• q < 1: Dn < q : chuỗi hội tụ
• Dn 1 : chuỗi phân kỳ
Đặt :
Xét 2 chuỗi:
1lim lim nn
n n n
a
D D
a
• D < 1 : hội tụ
• D > 1 : phân kỳ
• D = 1 : không có kết luận
Tiêu chuẩn Cauchy
2
n
n
a
n
n nC a
2
1 1
1 1
n nn n
&
Xét chuỗi số không âm:
• q < 1: Cn < q : chuỗi hội tụ
• Cn 1 : chuỗi phân kỳ
Đặt :
Xét 2 chuỗi:
lim lim nn n
n n
C C a
• C < 1 : hội tụ
• C > 1 : phân kỳ
• C = 1 : không có kết luận
Tiêu chuẩn Rapb
(sử dụng khi D = 1 và Dn < 1)
11
lim
n
n
n
n
n
a
R n
a
R R
• R > 1 : hội tụ
• R < 1 : phân kỳ
• R = 1 : không có kết luận
Ví dụ-Khảo sát sự hội tụ
12
( 1)!
2
!
n
n
n
n
2
1n
0
2
!
1/
n
n
n
1nn
n
a
D
a
Vậy chuỗi ht theo tc D’A.
2
lim 0 1
1n
D
n
0!
2 /
n
n
n
e n
n
1
1
( 1)!
( 1)
!
n
n
n
n
e n
n
e n
n
1nn
n
a
D
a
1
n
e
n
n
1
e
e
Không KL
1
1
n
e e
n
1nD pk
22
0
.2
3
( 1
/
)
n n
nn
n
n
n
n nC a
2
2
.2
( 1)
n n
n
n
n
n
.2
( 1)
n
n
n
n
2
1
1
n
n
2
lim 1n
n
C
e
chuỗi ht
1(2 1)!! 1
(2 )!
4 /
! 2 1
n
n
n n
2
1
(2 1)!! 1
(2 1)(2 2)!! 2 3
(2 1)!! 1 (2 2).(2 3)
(2 )!! 2 1
n
n
n
n
a nn n
D
na n n
n n
1& lim 1n n
n
D D
không dùng tc D’A được
2(2 1)
1 1
(2 2)(2 3)n n
n
R n D n
n n
6 5
(2 2)(2 3)
n
n
n n
2(2 1)
1 1
(2 2)(2 3)
n n
n
R n D n
n n
3
lim 1
2
n
n
R
chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Rapb
2 1
0
3 1
5
5 /
2
n
n
n
n
n
n nC a
2 1
3 1
2 5
n
n
n
n
2
3
lim 1
2
n
n
C
chuỗi pk
2 1
3 1
2 5
n
nn
n
Nên dùng điều kiện cần để có kết quả
nhanh hơn(đối với VD này)
ln
1
6 / , 0 n
n
a a
ln
ln 0 1
n
n n n
nC a a a
1ln( 1) ln 1
ln ln( 1) 01
ln
1
n
n n n
n n
a
D a a a
a
(không dùng được tiêu chuẩn C, D’A)
Biến đổi
ln ln ln lnn n a aa e n
Chuỗi đã cho là chuỗi điều hòa ln
1
1
a
n n
Chuỗi đan dấu – Tiêu chuẩn Leibnitz
1
( 1)n n
n
a
Chuỗi đan dấu có dạng
1
( 1)n n
n
a
với 0na
Tiêu chuẩn Leibnitz:
Nếu
{ }
lim 0
n
n
n
a
a
giaûm
thì hội tụ
Đặt:
1
( 1)n n
n
S a
10 S a
Chuoãi hoäi tuï theo tc treân goïi laø chuoãi Leibnitz
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ
1
( 1)
1 /
n
n n
1
na
n
đơn điệu giảm về 0
1
( 1)n
n n
là chuỗi Leibnitz (hội tụ)
11
( 1)
( 1) 1
2
1
/ n
n
n
n n
1
( 1) 1 1
n
n
a
n n
Xét hàm số:
2
3
( ) , 2
1
x
f x x
x
4
3 2
2
( ) 0 ( )
( 1)
x x
f x f x
x
Vậy {an} đơn điệu giảm và lim 0n
n
a
Chuỗi ht theo tc Leibnitz
2( 1)
( 1
3 /
) 1
n
n
n n
Mẫu số của thay đổi dấu
không phải chuỗi đan dấu
2 22 2
( 1) ( 1) 1( 1)
( 1) 1 ( 1) 1
n nn
n nn n
n
n n
2
( 1)
1
n
n
n
n
2
( 1)
1 1
n
n
n
n n
2 1n
n
n
2
( 1)
1
n
n n
là chuỗi dương pk vì cùng
bản chất với
2
1
n n
là chuỗi đan dấu ht theo tc L.
2
( 1)
1 1
n
n
n
n n
phân kỳ (ht + pk = pk)
CHUỖI CÓ DẤU TÙY Ý
Sự hội tụ tuyệt đối
1 1
n n
n n
a a
Neáu hoäi tuï thì hoäi tuï
1 1
n n
n n
a a
Chiều ngược lại không đúng:
1 1
phaân kyø phaân kyøn n
n n
a a
Tiêu chuẩn Cauchy và D’Alembert
Nếu
1
n
n
a
hội tụ hay phân kỳ theo tc
Cauchy hoặc D’Alembert thì
1
n
n
a
cũng vậy
Ghi nhớ:
Nếu
1
n
n
a
phân kỳ theo tc so sánh
thì không có kết luận gì cho
1
n
n
a
12 1
( 1)/
3 2
1
n
n
n
n
n
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ
2 1
3 2
n
n
n
a
n
2 1
( 1)
3 2
n
n
n
n
a
n
thay đổi dấu
n
n nC a
2 1
3 2
n
n
2
1
3
chuỗi ht tuyệt đối
20
.s
2 /
in
2
3n
n
n
n
2 sin
2
3
n n
n
n
a
thay đổi dấu
2
2sin
2
3 3
n nn n
n
n n
a b
Áp dụng tc D’A cho
1
n
n
b
21 1
3
n n
n n
n
b
2
2
( 1) 1 1
1
3 3
n
n
D
n
1
n
n
b
hội tụ
1
n
n
a
hội tụ tuyệt đối