Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5c: Hồi qui và tương quan - Nguyễn Văn Tiến

19/10/2017 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến HỒI QUI VÀ TƯƠNG QUAN CHƯƠNG 5C Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tương quan • Hai biến được nói là có tương quan nếu chúng có quan hệ với nhau, chính xác hơn, sự thay đổi của biến này có ảnh hưởng đến thay đổi của biến còn lại. • Ký hiệu (x,y) là cặp giá trị quan sát được của hai biến X, Y. • Ta có thể vẽ đồ thị của các quan sát thông qua biểu đồ phân tán (scatter diagram) Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Một công ty nghiên cứu ảnh hưởng của quảng cáo tới doanh số bán hàng. Dữ liệu quảng cáo và doanh thu từng tháng được thu thập như sau: • Hãy vẽ biểu đồ phân tán. Chi phí quảng cáo 1,3 0,9 1,8 2,1 1,5 Tổng doanh số tháng tới 151,6 100,1 199,3 221,2 170,0 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Biểu đồ phân tán • Biến độc lập: chi phí quảng cáo • Biến phụ thuộc: doanh số bán hàng Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hệ số tương quan Pearson • Ký hiệu: r hay rX,Y • Công thức: • Trong đó n là số lượng quan sát            1 2 2 2 21 1 , ; cov , cov , . 1 ; 1 1 n i i i n n i i i X Y X Y X i Y x x y y x y n x y r x x y y n n                             1 , 2 2 1 1 . n i i i X Y n n i i i i x x y y r x x y y            Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hệ số tương quan Pearson • Ký hiệu: r hay rX,Y • Công thức: • Trong đó n là số lượng quan sát           , 2 2 2 22 2 2 2 . . . . X Y n xy x y xy x y r n x x n y y x x y y                       1 , 2 2 1 1 . n i i i X Y n n i i i i x x y y r x x y y            19/10/2017 2 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Trung bình; phương sai và hiệp phương sai • Đối với quan sát mẫu • Ta có: 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 1 1 1 1 ... ... ; ... ... ; ... n n i i n i n i n n i i n i n i n i i n n i x y x x x y y y x y n n n n x y x x x y y y x y n n n n x y x y x y xy n n                                   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đánh giá hệ số tương quan • Miền giá trị: • Nếu thì tương quan âm. rXY càng gần -1 thì mối liên hệ tuyến tính nghịch giữa X, Y càng mạnh • Nếu thì tương quan dương. rXY càng gần -1 thì mối liên hệ tuyến tính thuận giữa X, Y càng mạnh • rXY càng gần 0 thì quan hệ tuyến tính càng yếu. ,1 1X Yr   ,1 0X Yr   ,0 1X Yr  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đánh giá hệ số tương quan Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Hãy tính hệ số tương quan Pearson giữa chi phí quảng cáo và doanh số trong ví dụ sau. Chi phí quảng cáo 1,3 0,9 1,8 2,1 1,5 Tổng doanh số tháng tới 151,6 100,1 199,3 221,2 170,0 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ X Y X2 Y2 XY 1,3 151,6 1,69 22.982,56 197,08 0,9 100,1 0,81 10.020,01 90,09 1,8 199,3 3,24 39.720,49 358,74 2,1 221,2 4,41 48.929,44 464,52 1,5 170,0 2,25 28.900,00 255,00 7,6 842,2 12,40 150.552,50 1.365,43 Σ Σ Σ2 Σ2 Σ 5 5 1 1 5 5 5 2 2 1 1 1 5 7,6 842,2 12,40 150.552,50 1365,43 i i i i i i i i i i i n x y x y x y                 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Ta có: • Hệ số tương quan: • Hoặc: 2 2 1,52 2,48 168,44 30110,5 273,086 x x y y xy        2 2 273,086 1,52.168,44 2,48 1,52 30110,5 168 0 ,44 ,993371434XYr         1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 5.1365, 43 7,6*842, 2 0,993371434 5.12,4 7,6 5.150552,5 842,2 . . n n n i i i i i i i XY n n n n i i i i i i i i n x y x y r x x y yn n                                              19/10/2017 3 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Các giá trị trung bình • Độ lệch chuẩn: • Hệ số tương quan 2 212, 4 150552,5 1365,432,48; 30110,5; 273,086 5 5 5 x y xy      2 212,4 150552,5 1365,432,48; 30110,5; 273,086 5 5 5 0,460435 46,61634X Y x y xy           0,993371r  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Số liệu về thời gian quảng cáo trên truyền hình và lượng sản phẩm tiêu thụ ở một công ty sản xuất đồ chơi trẻ em như sau: • Thời gian: phút/tuần • Lượng tiêu thụ: 1000sp/tuần • Hãy tính hệ số tương quan mẫu và cho kết luận Thời gian 28 37 44 36 47 35 26 29 33 32 31 28 Lượng tiêu thụ 41 32 49 42 38 33 27 24 35 30 34 25 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Đáp số: r=0,63882 • Kết luận: mối liên hệ tương quan giữa thời gian quảng cáo và số sản phẩm tiêu thụ được là tương quan thuận, ở mức trung bình. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hệ số tương quan Spearman • Hệ số tương quan hạng • Ký hiệu R • Công thức: • Trong đó n là cỡ mẫu và d là hiệu số của các hạng.   2 2 6 1 1 d R n n     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hệ số tương quan Spearman • Khi tuyển dụng, một công ty đánh giá các ứng viên thông qua phỏng vấn và bài kiểm tra. Khi phỏng vấn, các ứng viên được đánh giá từ A (xuất sắc) đến E (không phù hợp) và bài kiểm tra được tính theo thang điểm 100. Kết quả của 5 ứng viên như sau: • Tính hệ số tương quan hạng Spearman và cho nhận xét Ứng viên 1 2 3 4 5 Điểm phỏng vấn A B A C D Điểm bài thi 60 61 50 72 70 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Ta lập bảng sau: Ứng viên Hạng phỏng vấn Hạng kiểm tra Hiệu số Hiệu số bình phương 1 1,5 4 -2,5 6,25 2 3 3 0 0 3 1,5 5 -3,5 12,25 4 4 1 3 9 5 5 2 3 9 0 36,50     2 2 6 6 * 36, 50 1 1 0, 825 5. 25 11 d R n n         19/10/2017 4 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Một chuyên gia được yêu cầu nếm thử 8 loại rượu có giá dưới 4 $. Hương vị các loại rượu được xếp hạng từ 1 (dở nhất) đến 8 (ngon nhất). Bảng tổng hợp xếp hạng và giá cả các loại rượu như sau: Loại rượu Hương vị Giá tiền A 1 2,49 B 2 2,99 C 3 3,49 D 4 2,99 E 5 3,59 F 6 3,99 G 7 3,99 H 8 2,99 • Hãy tính hệ số tương quan hạng Spearman và cho kết luận Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Ta lập bảng sau: Loại rượu Hạng hương vị Hạng giá tiền Hiệu số Hiệu số bình phương A B C D E F G H 0 36,50 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phân tích hồi quy • Phân tích hồi quy được sử dụng để xác định mối liên hệ giữa: – Một biến phụ thuộc Y (biến được giải thích) – Một hay nhiều biến độc lập X1, X2, ,Xn (còn được gọi là biến giải thích) • Biến phụ thuộc Y phải là biến liên tục • Các biến độc lập X1, X2, , Xn có thể là biến liên tục, rời rạc hay phân loại. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Liên hệ hàm số và liên hệ thống kê • Liên hệ hàm số: Y=aX+b • Với một giá trị của X, có 1 giá trị duy nhất của Y • Liên hệ thống kê: Y=aX+b • Ví dụ: X: thời gian tự học; Y: điểm cuối kỳ • Một giá trị của X có thể có nhiều giá trị của Y • Dữ liệu X: dữ liệu mẫu • Dữ liệu mẫu  tìm đường hồi quy mẫu dự đoán cho đường hồi quy tổng thể. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Một công ty muốn ước lượng hàm chi phí cho một sản phẩm. Giá trị của hàm chi phí được xác định tại một vài mức sản xuất như sau. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Mặc dù những điểm quan sát không cùng nằm trên một đường thẳng nhưng tương quan tuyến tính rất mạnh • Công ty muốn xấp xỉ hàm chi phí bằng một hàm tuyến tính: .y a x b  • Ta cần xác định các hệ số a, b sao cho đường thẳng trên xấp xỉ tốt nhất cho hàm chi phí. 19/10/2017 5 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Thặng dư (residual) • Ta cần xác định a, b sao cho tổng bình phương thặng dư nhỏ nhất. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tổng bình phương thặng dư • Ta có: • Điểm dừng: M(0,58; 3,06) • Hàm số F(a,b) đạt cực tiểu tại M.           2 2 2 2 , 4 2 6 5 7 6 8 9F a b a b a b a b a b            2 2 304 292 44 50 44 8 292 44 8 292 * 8 44 0 a b aa ab bb F a b F a b A F B F C F AC B                        Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương trình hồi quy • Vậy phương trình cần tìm là: • Dự đoán: • Chi phí khi sản xuất 2000 sản phẩm? • Hàm chi phí biên? • Hàm chi phí trung bình? 0, 58 3, 06y x  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Số liệu về doanh số và số lượng nhân viên kinh doanh trong các khu vực của công ty X như sau: • Hãy tìm mô hình tuyến tính dự đoán doanh số theo số nhân viên kinh doanh Khu vực Doanh số Số nhân viên kinh doanh A 236 11 B 234 12 C 298 18 D 250 15 E 246 13 F 202 10 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tổng quát • Giả sử có n quan sát (x1,y1), (x2,y2),,(xn,yn) • Ta cần xác định đường thẳng y=a.x+b sao cho tổng bình phương của các thặng dư là nhỏ nhất. • Hay cần cực tiểu hóa hàm số sau: • Chú ý: • a, b: là hai ẩn cần tìm • xk; yk là các giá trị đã biết.     2 1 , . n k k i F a b y a x b     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tổng quát • Ta có: • Tìm điểm dừng:         1 1 . .2 . .2 1 n k k k i n k k i F y a x b x a F y a x b b                     1 1 1 2 2 22 1 1 . 0 . 0 n n n k k k k k k k n n k k k k a y b x F n x y x ya xy x y bF x xb n x x                                       2 1 1 1 2 2 2 n n n aa k ab k bb i i i A F x B F x C F              19/10/2017 6 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tổng quát • Ta có: • Đường hồi quy luôn đi qua điểm ( ; )        1 22 2 1 . . n k k k n k k a y b x x x y y xy x y b x xx x              Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Số liệu về doanh số và số lượng nhân viên kinh doanh trong các khu vực của công ty X như sau: • Hãy tìm mô hình tuyến tính dự đoán doanh số theo số nhân viên kinh doanh Khu vực Doanh số Số nhân viên kinh doanh A 236 11 B 234 12 C 298 18 D 250 15 E 246 13 F 202 10 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Hệ số tương quan Pearson: r=0,948 • Giữa doanh số và số nhận viên kinh doanh có tương quan tuyến tính mạnh; có thể giả sử doanh số phụ thuộc tuyến tính theo số lượng nhân viên kinh doanh Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ý nghĩa các hệ số hồi quy Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chú ý • Phương pháp trên gọi là hồi quy tuyến tính • Phương pháp bình phương thặng dư nhỏ nhất có thể áp dụng đối với các dạng hàm khác như: hàm bậc 2; bậc 3; bậc 4; logarit; hàm mũ và hàm lũy thừa • Trong trường hợp đó ta có các tên gọi hồi quy tương ứng Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng kinh tế • Nhu cầu sử dụng dầu nhiên liệu để sưởi ấm nhà ở Hoa Kỳ đã giảm đều đặn trong nhiều thập kỷ. Bảng sau liệt kê tỷ lệ hộ gia đình ở Hoa Kỳ sưởi ấm bằng dầu nhiên liệu từ 1960 đến 2009. Sử dụng hồi quy tuyến tính để ước lượng tỷ lệ hộ gia đình sử dụng dầu nhiên liệu vào năm 1995 • Đáp số: 12,44% 19/10/2017 7 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Thực hành Excel Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hồi quy tuyến tính • Vấn đề: có hai biến quan sát X và Y • Ta cần tìm phương trình thể hiện mối liên hệ giá trị giữa Y và X • Y: biến phụ thuộc; X: biến độc lập • Dùng mô hình hồi quy đơn giản nhất: hồi quy tuyến tính • Có thể sử dụng các mô hình khác: phi tuyến; bậc 2; bậc 3; mũ; logarit Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hồi quy tuyến tính • X và Y có tương quan tuyến tính mạnh • Ta giả sử X và Y có mối quan hệ tuyến tính với nhau. • Mô hình như sau: • β1 ∶ hệ số chặn (intercept) • β2: hệ số góc (slope) • u: sai số ngẫu nhiên (nhiễu ngẫu nhiên, nhiễu trắng) 1 2y x ub b   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hồi quy tuyến tính • Với giá trị quan sát được ta có: • yi : giá trị quan sát được của Y khi X nhận giá trị là xi. • xi: giá trị quan sát thứ i của X. • ui: sai số ngẫu nhiên khi X nhận giá trị xi. 1 2i i iy x ub b   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giả định về mô hình • Giả thiết 1: Các giá trị Xi được xác định trước và không phải là đại lượng ngẫu nhiên. • Giả thiết 2: Kỳ vọng hoặc trung bình số học của các sai số là bằng 0 (zero conditional mean), nghĩa là E = 0 • Giả thiết 3: Các sai số có phương sai bằng nhau (homoscedasticity). V = σ 2 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giả định về mô hình • Minh họa giả định 3 19/10/2017 8 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giả định về mô hình • Giả thiết 4: Các sai số không có sự tương quan, nghĩa là Cov(, ) = E() = 0, nếu i  j • Giả thiết 5: Các sai số độc lập với biến giải thích. Cov(, Xi) = 0 • Giả thiết 6: Đại lượng sai số ngẫu nhiên có phân phối chuẩn ~ N(0, σ 2 ) Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm hồi quy tổng thể • Hàm hồi quy tổng thể • Đối với một quan sát cụ thể ta có: • Mô hình chỉ có một biến phụ thuộc Y và một biến giải thích X. • và gọi là hệ số chặn (intercept) và hệ số góc (slope) của đường thẳng hồi quy.   1 2 1 2 | i E Y X X X Y X          1 2i i i Y X u    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm hồi quy mẫu SRF • Ta ít khi có số liệu của cả tổng thể mà chỉ có số liệu của mẫu (số liệu quan sát được) • Ta dùng số liệu mẫu để ước lượng tổng thể • Hàm hồi quy mẫu: • Đối với quan sát thứ i:    1 2i i Y X      1 2i i i Y X u    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Y X 46 1b 2bˆ 1bˆ PRF 2b SRF Hệ số hồi quy trong hàm hồi quy PRF và SRF PRF và SRF Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến PRF và SRF Trong đó • là ước lượng cho b1. •   là ước lượng cho b2. •   là ước lượng cho Y hay E(Y|Xi) • Ta sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường (OLS) để tìm  ;   47 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hồi quy tổng thể và hồi quy mẫu Dạng tổng quát Đối với quan sát thứ i Mô hình hồi quy tổng thể Đường hồi quy tổng thể Mô hình hồi quy mẫu Đường hồi quy mẫu 1 2y x ub b      1 2y x ub b      1 2y xb b  1 2y x b b     1 2i iy xb b  1 2iy i x b b  1 2i i iy x ub b      1 2i i iy x ub b   19/10/2017 9 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chú ý Tình trạng Biện pháp Hệ số β1 Tham số Không xác định được chính xác giá trị Ước lượng Kiểm địnhHệ số β Phương sai sai số 2 Hệ số Biến ngẫu nhiên Có thể tính được giá trị trên mẫu đã chọn Dùng để ước lượng cho các tham số tổng thể Hệ số Phương sai thặng dư mẫu 2 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ước lượng OLS • Tìm giá trị của β1; β2 sao cho: • Đạt giá trị nhỏ nhất (pp bình phương tối thiểu) • Dễ thấy:   2 2 1 2 1 1 n n i i i i i u y x                  1 2 2 1 22 2 2 2 1 2 2 1 . . . ; n i i i n i i x y x xy xy x y x x x x x x y y y x x x                     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hệ số hồi quy mẫu • Là các ước lượng của β1; β2 • Dạng biểu diễn khác:           1 2 2 2 1 1 1 1 2 ; n ni i ii i i in n i i i i i x x y x x c y c x x x x y x                     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Một số tính chất • Giá trị trung bình các hệ số hồi quy mẫu: • Phương sai các hệ số hồi quy mẫu: • Ta dùng các kết quả trên để ước lượng giá trị của các hệ số hồi quy tổng thể β1; β2 • Nhưng giá trị của 2 chưa xác định.    1 21 2;E E               2 2 2 1 22 2 1 1 1 n n i i i i x V V n x x x x                       Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Một vài tính chất • Kỳ vọng và phương sai của giá trị hồi quy               2 02 0 0 0 0 2 1 2 02 0 0 2 1 1 1 1 n i i n i i x x E y x y V y n x x x x V y y n x x                  Chú ý số 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Một vài tính chất • Ta có:    1 2 1 1 0 n n i i i i i u y xb b             1 1 1 1 0 n n n n i i i ii i i i i i i u y y y y y y               19/10/2017 10 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ký hiệu • Để thuận tiện ta ký hiệu như sau: • Ta có:      1 1 ??? ??? ??? n n xx i xy i i i i xu yy uy S x x S x x y y S S S                          2 1 2 1 21 2 2 2 2 1 2 ; ; ; 1 xy xx xx xx S y x E E S x V V n S S                            Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ký hiệu • Ta có:         2 2 0 02 2 0 0 0 1 1 ; 1 xx xx x x x x V y V y y n S n S           Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tách nhóm biến thiên: khái niệm • TSS = tổng của các mức độ khác biệt bình phương giữa từng giá trị yi và trị số trung bình của y. • ESS = tổng của các mức độ khác biệt bình phương giữa các giá trị quan sát và giá trị dự đoán của y. • RSS = tổng của các mức độ khác biệt bình phương giữa giá trị dự đoán của y và trị số trung bình của y. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đo sự biến thiên của dữ liệu • Tổng bình phương toàn phần (Total Sum of Squares) • Tổng bình phương hồi quy (Regression Sum of Squares) • Tổng bình phương sai số (Residual Sum of Squares)   2 1 n i i RSS y y       2 1 n i i TSS y y      2 1 n ii i ESS y y     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến RSS Tổng chênh lệch 59 ESS SRF Y X yi Xi  iy Ý nghĩa hình học của TSS, RSS và ESS Các tổng bình phương độ lệch   2 1 n i i RSS y y       2 1 n i i TSS y y      2 1 n ii i ESS y y     y y  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Các tổng bình phương độ lệch • Khi điểm quan sát càng gần đường thẳng ước lượng thì “độ thích hợp” càng cao, có nghĩa là ESS càng nhỏ và RSS càng lớn. • Tham số đo độ thích hợp: • R2 càng lớn càng tốt • ESS: biến thiên không giải thích được • RSS: biến thiên giải thích được • R2 nhỏ nghĩa là nhiều biến thiên của Y không giải thích được bằng X. Cần phải thêm nhiều biến khác vào mô hình. 20 1R  = 19/10/2017 11 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hệ số xác định • Coefficient of determination • Là tỷ lệ của tổng sự biến thiên trong biến phụ thuộc gây ra bởi sự biến thiên của các biến độc lập (biến giải thích) so với tổng sự biến thiên toàn phần. • Tên gọi: R_bình phương (R squared) • Ký hiệu: • Dễ thấy: 2 RSSR TSS  20 1R  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hệ số xác định • Đánh giá mô hình tìm được có giải thích tốt cho mối liên hệ giữa biến phụ thuộc Y và biến độc lập X hay không. • Là bình phương của hệ số tương quan mẫu             2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 i i XY x x x xRSS R TSS y y y y R r             Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tính chất của hệ số xác định R2 63 • 0≤ R2≤1 • Cho biết % sự biến động của Y được giải thích bởi các biến số X trong mô hình. • R2 =1: đường hồi quy phù hợp hoàn hảo • R2 =0: X và Y không có quan hệ • R2 càng lớn càng tốt • Đối với dữ liệu chuỗi thời gian thì R2 thường lớn hơn 0,9. Nếu thấp hơn 0,6 hay 0,7 thì xem là thấp • Với dữ liệu chéo thì R2 khoảng 0,6 hay 0,7 cũng chưa hẳn thấp Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ước lượng cho phương sai sai số 2 • Ta có: • Đặt • Ta dùng đại lượng này để xấp xỉ cho phương sai sai số 2         2 2 2 2 21 1 1 2 2 n in n i ii i i i u E y y E u n E n                           