Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 6: Phương trình vi phân cấp 1 & ứng dụng - Nguyễn Văn Tiến

26/05/2017 1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 & ỨNG DỤNG CHƯƠNG 6 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Khái niệm chung • Trong thực tế khi nghiên cứu sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đối tượng, nhiều khi chúng ta không thể thiết lập trực tiếp mối quan hệ phụ thuộc dạng hàm số giữa các đối tượng đó, mà chỉ có thể thiết lập mối liên hệ giữa các đối tượng mà ta cần tìm mối quan hệ hàm số, cùng với đạo hàm hoặc tích phân của hàm số chưa biết ấy. • Trong nhiều mô hình, hệ thức liên hệ được viết dưới dạng phương trình có chứa đạo hàm, đó là phương trình vi phân. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa • Phương trình mà trong đó có xuất hiện biến số độc lập, hàm cần tìm và các đạo hàm (hay vi phân) của nó gọi chung là phương trình vi phân. • Ví dụ.   2' ' 0 ; 2dyy y x x y xy dx       , , ', ,..., 0nF x y y y y  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cấp của PTVP • Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình. • Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng: • Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng: • Phương trình vi phân cấp n là phương trình có dạng:    , , ' 0 ' ,F x y y hay y f x y    , , , ,..., 0nF x y y y y   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Nêu cấp của các PTVP sau:       2 2 2 ) ' ' 0 ) 2 1 1 0 ) '' 4 2 ' a y y x x y b x dx x y dy c y xy xy          Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương trình vi phân cấp 1 • Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng: • Trong đó: • - F xác định trong miền G thuộc R3 • - x là biến độc lập, y là hàm cần tìm  , , ' 0 , , 0 dy F x y y hay F x y dx        26/05/2017 2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Nghiệm của PTVP cấp 1 • Nghiệm tổng quát • Nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn (tích phân tổng quát) • Nghiệm riêng • Nghiệm kỳ dị Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Nghiệm tổng quát • Dạng: • Thỏa mãn PTVP với mọi giá trị của C • Với mọi điểm (0, 0) ∈ ta đều tìm được C0 sao cho  ,y x C  0 0 0,y x C Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Nghiệm tổng quát dạng ẩn • Tên khác: tích phân tổng quát • Hệ thức Φ , , = 0 hay Φ , ) = gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân trong miền D nếu nó xác định nghiệm tổng quát của phương trình trong D. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Nghiệm riêng • Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với hằng số C0 xác định được gọi là nghiệm riêng. • Nghiệm riêng: • Tích phân riêng: Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Nghiệm kỳ dị • Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể nhận được từ nghiệm tổng quát với bất kỳ giá trị nào của C. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến PTVP cấp 1 thường gặp • PT biến số phân ly • PT biến số phân ly được • PT đẳng cấp cấp 1 • PT tuyến tính cấp 1 • PT Bernoulli • PT vi phân toàn phần 26/05/2017 3 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến PT biến số phân ly • Dạng: g(y)dy=f(x)dx • Lấy tích phân bất định hai vế theo biến x. • Ta có: • Ví dụ.        g y dy f x dx G y F x C     2 2 1 x ydy dx x   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến PT biến số phân ly được • Dạng 1. • Cách giải: • Chia hai vế cho f1(x)g2(y) để đưa về dạng biến số phân ly • Xét riêng tại những giá trị f1(x)g2(y)=0        1 1 2 2f x g y dy g y f x dx Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Giải phương trình: • Đáp án: • Nghiệm tổng quát: • Nghiệm: y=-1 • Nghiệm: x=1     2 31 1 1 0x y dx x y dy     31 ln 1 2ln 1 3 x y y C     Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến PT biến số phân ly được • Dạng 2. • Cách giải: • Đặt z=ax+by • Đưa về phương trình biến số phân ly dx, dz  y f ax by   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Giải phương trình sau: • Đáp số: 3y x y   1 3 3 xCe x y    Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương trình đẳng cấp cấp 1 • Dạng: • Cách giải: • Đặt t=y/x • Đưa về dạng biến số phân ly y y f x         26/05/2017 4 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Giải phương trình sau: • Đáp án: 2 2 2 x y y xy    2 2 2 1 12 1 y x C y x C x x           Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương trình tuyến tính cấp 1 • Dạng phương trình: • trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục trong khoảng (a,b) nào đó. • Nếu q(x)=0 ta có phương trình thuần nhất. • Nếu q(x) ≠ 0 ta có phương trình không thuần nhất.    y p x y q x   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương pháp giải • B1. Giải phương trình thuần nhất • B2. Giải phương trình không thuần nhất bằng phương pháp biến thiên hằng số • B3. Công thức nghiệm tổng quát:   0y p x y         0y p x y q x q x         p x dx p x dx y e q x e dx C          Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho phương trình vi phân: • A) Giải phương trình • B) Tìm nghiệm riêng thỏa mãn y(1)=-1 • Đáp số: • Nghiệm tổng quát: • Nghiệm riêng: 1 2y y x x    22y x Cx  22 3y x x  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Giải phương trình sau: • Đáp số: 2 2 xy xy xe     22 xy x C e  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương trình Bernoulli • Dạng phương trình: • Cách giải: • Chia hai vế phương trình cho • Đặt ta có:    y p x y q x y   1z y   1 1 z z y y hay y y           26/05/2017 5 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương trình Bernoulli • Chú ý: • Nếu > 0 thì y=0 cũng là nghiệm. • Nếu > 1 thì y=0 là nghiệm riêng. • Nếu 0 < < 1 thì y=0 là nghiệm kỳ dị Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Giải phương trình sau: • Đáp số: • Nghiệm tổng quát: • Nghiệm kì dị: y=0 2y xy y  x y x C   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phương trình vi phân toàn phần • Dạng: • Điều kiện: • Nghiệm tổng quát:    , , 0M x y dx N x y dy  M N y x                  0 0 0 0 0 0 , , , , , , y yx x y yx x y u x y M x y dx N x y dy C u x y M x y dx N x dy C           Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1 • Giải phương trình vi phân: • Ta có:    2 2 2 33 6 6 4 0x xy dx x y y dy           2 2 2 3, 3 6 , 6 4 12 M x y x xy N x y x y y M N xy y x           Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1 • Nghiệm tổng quát của phương trình:      2 2 3 0 0 , 3 6 0 4 yx x y x xy dx y dy C       3 2 2 43x x y y C   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 2 • Giải phương trình vi phân:            2 2 ) 1 3 0 ) .cos sin cos 0 a x y dx x y dy b xy xy xy dx x xy dy          26/05/2017 6 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Thừa số tích phân • Xét phương trình vi phân dạng: • Nếu phương trình trên chưa có dạng phương trình vi phân toàn phần thì ta có thể tìm hàm (, ) sao cho phương trình: • Là phương trình vi phân toàn phần. • Hàm (, ) gọi là thừa số tích phân.    , , 0M x y dx N x y dy         , . , , . , 0x y M x y dx x y N x y dy   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Giải phương trình sau: • Bằng cách sử dụng thừa số tích phân dạng () • Chú ý: – Thừa số tích phân khá khó tìm – Ta tìm dạng đặc biệt như () hay () – Sinh viên không cần trình bày cách tìm thừa số TP    2 3 22 3 7 3 0xy y dx xy dy    Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Giải các ptvp sau      2 2 2 2 ) tan ln 0 ) 2 1; 0 1 ) 0 ) ln ; 1 1 1 ) 2 1 2 ) 3 a ydx x xdy b y x y y y c x y y xy x d xy y y x x y e y xy x f y x y                       Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài tập 1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài tập 2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài tập 3 26/05/2017 7 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài tập 4 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài tập 5 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài tập 6 • Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp thừa số tích phân Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng PTVP cấp 1 • Phân tích định tính bằng phương pháp đồ thị • Tìm hàm số khi biết hệ số co giãn • Mô hình điều chỉnh giá thị trường • Mô hình tăng trưởng Domar (tự tham khảo) • Mô hình tăng trưởng Solow (tự tham khảo) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Phân tích định tính bằng phương pháp đồ thị • Xét phương trình vi phân cấp 1 dạng: • Đồ thị pha (đồ hình pha) • Trên mặt phẳng tọa độ với trục hoành biểu diễn y và trục tung biểu diễn y’ ta lập đồ thị hàm số f(y). • Đồ thị đó được gọi là đường pha   dy f y dt  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đồ thị pha • Tại các điểm trên trục hoành thì y’ dương nên y tăng theo thời gian, y đi từ trái sang phải • Tại các điểm dưới trục hoành thì y’ âm nên y giảm theo thời gian, y đi từ phải sang trái • Tại giao điểm với trục hoành, giả sử là tại , ta có y’=0. Ta gọi là trạng thái cân bằng. 26/05/2017 8 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đồ thị pha – dạng 1 • Trạng thái cân bằng ổn định động y y 0 y • Tại các điểm trên trục hoành y đi từ trái sang phải • Tại các điểm dưới trục hoành y đi từ phải sang trái • Tại giao điểm với trục hoành là trạng thái cân bằng. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đồ thị pha – dạng 2 • Trạng thái cân bằng không ổn định động y y 0 y • Tại các điểm trên trục hoành y đi từ trái sang phải • Tại các điểm dưới trục hoành y đi từ phải sang trái • Tại giao điểm với trục hoành là trạng thái cân bằng. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Trạng thái cân bằng ổn định y 0y 0y Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Trạng thái cân bằng không ổn định y 0y 0y Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Nhận xét • Tính ổn định của trạng thái cân bằng phụ thuộc dấu của đạo hàm tại điểm cân bằng • Trạng thái cân bằng ổn định động khi:   0f y  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Xét mô hình ptvt tuyến tính cấp 1: • Ta có: • Trạng thái cân bằng ổn định động khi và chỉ khi: 0p  26/05/2017 9 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tìm y(x) biết hệ số co giãn • Ta có: • Giả sử: • Ta có pt vi phân sau: ' .xy y dy x x y dx y     xy x     'x y xy dy x x dx y y x       Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1 • Biết hệ số co giãn của hàm cầu theo giá: • Tìm hàm cầu QD biết 10 = 500 • Đáp số: 25 2 D P Q P P Q     2650 5Q P P   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 2 • Biết hệ số co giãn của hàm cầu: • Tìm hàm cầu QD biết 0 = 2000 2 2000 2D P Q P P     Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Biến động của giá trên thị trường • Giả sử hàm cầu, hàm cung của một loại hàng hóa cho bởi: • Điểm cân bằng thị trường: • Nếu giá ban đầu là thì thị trường cân bằng. Còn nếu không thì thị trường sẽ đạt giá cân bằng sau một quá trình điều chỉnh nào đó. ;D sQ p Q p        p         0p p Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Biến động của giá trên thị trường • Trong quá trình điều chỉnh, các Qs, Qd và p đều thay đổi theo t (biến thời gian). • Giả sử theo thời gian t, giá p(t) tại thời điểm t luôn tỷ lệ với độ chênh lệch giữa cầu và cung tại thời điểm đó. Nghĩa là: • Với k>0 là hằng số.      ' d sp t k Q t Q t    Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Biến động của giá trên thị trường • Từ đó ta có: • Do đó:         'p t k p p k p k p p                                      0 0 .. ln . ln . k t k t dp k dt p p k t C p p p p C p pe Ce                      26/05/2017 10 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Biến động của giá trên thị trường • Với t=0, ta có giá tại thời điểm ban đầu: • Vậy: • Dễ thấy:    0 0p p C C p p         00 k tp t p p p e           0 0lim lim 0 0k t t t p t p p p e p dok          Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Nhận xét biến động của P(t) theo t • Nếu giá ban đầu p(0) cao hơn giá cân bằng ̅ thì P(t) là hàm giảm theo t và • Nếu giá ban đầu p(0) thấp hơn giá cân bằng ̅ thì P(t) là hàm tăng theo t và • Như vậy trong mọi trường hợp cùng với thời gian giá cả sẽ dần dần trở về với giá tại điểm cân bằng. Do đó điểm cân bằng thị trường có tính chất ổn định động  lim t p t p    lim t p t p   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Biến động của giá trên thị trường • Ví dụ: Cho: • Tìm thời gian t sao cho:  1 2 ; 2 3 ; 0,2; 0 0,4d sQ p Q p k p       1%p p    Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải • Ta có: • Vậy: • Vậy sau 3 đơn vị thời gian thì giá thỏa mãn yêu cầu trên    0 0,2. 2 3 1; 0,6k k p        0 0 1 . 0 . 5 k t k t tp p C e p p e e          1 0,01 0,05 ln 0,05 5 ln 20 3 t tp p e e t t            