Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 1: Ma trận - Định thức & ma trận nghịch đảo

10/10/2019 1 MA TRẬN - ĐỊNH THỨC & MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO CHƯƠNG 1 10/10/2019 1 NỘI DUNG Ma trận  Các loại ma trận  Phép toán ma trận:  Cộng  Trừ  Nhân vô hướng  Nhân hai ma trận Ma trận nghịch đảo Ứng dụng ma trận 10/10/2019 2 ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN Một ma trận cấp mxn là một bảng số hình chữ nhật gồm mxn phần tử, gồm m hàng và n cột. (m x n): cấp của ma trận A = [aij] // aij is called (i, j)-entry 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a hay A a a a 10/10/2019 3 VÍ DỤ Một ma trận cấp 2x3 // 2 dòng, 3 cột 7 -3 1/2 3 -5 0 (1,3)-phần tử a[1,3] = 1/2 a13 = 1/2 3 x 3matrix, a square matrix 3 x 1 matrix column matrix A = 10/10/2019 4 VÍ DỤ Ký hiệu ma trận: Ví dụ: Đây là ma trận thực cấp 3x4. Gồm có 3 hàng và 4 cột Các phần tử ij m n A a 1 2 7 0 4 5 7 1 0 2 8 9 A 11 12 13 14 22 32 1 2 7 0 5 ? a a a a a a 10/10/2019 5 CÁC LOẠI MA TRẬN  Ma trận vuông  Ma trận không  Ma trận hàng - ma trận cột  Ma trận tam giác trên – dưới  Ma trận chéo  Ma trận đơn vị  Ma trận chuyển vị  Ma trận bậc thang  Ma trận đối xứng  Ma trận phản đối xứng 10/10/2019 6 10/10/2019 2 MA TRẬN VUÔNG Nếu m=n ta nói A là ma trận vuông cấp n. Đường chéo chính gồm các phần tử: 11 12 1 21 22 2 ij 1 2 n n n n nn n n a a a a a a A a a a a 11 22 , ,..., nn a a a 10/10/2019 7 MA TRẬN KHÔNG Tất cả các phần tử đều bằng 0. Ký hiệu: 0 hay 0mxn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m n 10/10/2019 8 MA TRẬN HÀNG, CỘT Ma trận hàng: chỉ có một hàng Ma trận cột: chỉ có một cột 1 2 1 2 3 4 5 4 5 A B 10/10/2019 9 MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN Ma trận vuông Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0 1 2 3 4 1 2 3 0 0 2 1 0 4 5 0 0 8 9 0 0 6 0 0 0 4 A B 0 ij a i j 10/10/2019 10 MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI Ma trận vuông Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 3 4 0 0 6 8 0 5 0 6 9 3 1 4 A B 0 ij a i j 10/10/2019 11 MA TRẬN CHÉO Ma trận vuông  Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0  Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 8 0 0 0 0 6 0 0 0 4 a A B C b 0 ij a i j 10/10/2019 12 10/10/2019 3 MA TRẬN ĐƠN VỊ Ma trận chéo Các phần tử chéo đều bằng 1. Ký hiệu: In là ma trận đơn vị cấp n 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I I I 10/10/2019 13 MA TRẬN BẬC THANG – STAIRCASE MATRIX Phần tử cơ sở của hàng: phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng kể từ bên trái. Ma trận bậc thang: Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng. Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải (không cùng cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên. 10/10/2019 14 VÍ DỤ 1 2 1 0 0 0 0 7 1 0 4 8 9 0 0 0 9 3 1 0 0 3 0 0 0 1 2 0 0 0 9 1 A B Không là bậc thang Không là bậc thang 10/10/2019 15 VÍ DỤ 2 2 1 0 0 0 4 8 9 0 0 7 1 0 0 0 0 3 1 0 0 3 0 0 3 1 2 0 0 0 9 1 C D bậc thang bậc thang 10/10/2019 16 MA TRẬN CHUYỂN VỊ 10/10/2019 17 MA TRẬN ĐỐI XỨNG – PHẢN ĐỐI XỨNG 10/10/2019 18 10/10/2019 4 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN HÀNG 1. Đổi chỗ hai hàng với nhau 2. Thay một hàng bởi hàng đó nhân với một số khác 0 3. Thay một hàng bởi hàng đó cộng với hàng khác nhân với một số. 4. Tổng hợp phép 2 và 3. Tương tự ta có các phép bđsc trên cột. i j h h . 0 i i h k h k . i i j h h h . . i i j h k h h 10/10/2019 19 VÍ DỤ 3 Thực hiện phép biến đổi ma trận sau: Ma trận A’ gọi là ma trận tương đương hàng với ma trận A. Ký hiệu: A’ ~ A 2 2 1 3 3 1 3 3 29 2 3 2 8 1 2 3 4 8 7 5 3 ? ?? 2 3 0 1 ?? ' h h h h h h h h h h h A A 10/10/2019 20 ĐƯA MA TRẬN VỀ DẠNG BẬC THANG Định lý. Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng. Chú ý. Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta thu được nhiều ma trận bậc thang khác nhau ' , elementary row operations A A arbitrary form staircase form not unique 10/10/2019 21 VÍ DỤ 4 10/10/2019 22 VÍ DỤ 4 10/10/2019 23 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 1. Ma trận bằng nhau 2. Cộng hai ma trận cùng cấp 3. Nhân một số với ma trận 4. Nhân hai ma trận 5. Lũy thừa của một ma trận 10/10/2019 24 10/10/2019 5 HAI MA TRẬN BẰNG NHAU Hai ma trận A và B bằng nhau (ký hiệu A = B) khi và chỉ khi: 1. Chúng có cùng cấp. 2. Các phần tử tương ứng bằng nhau. Example. Given discuss the possibility that A = B, B = C, A = C 10/10/2019 25 PHÉP TOÁN MA TRẬN Cộng hai ma trận A + B = [aij + bij] Trừ hai ma trận A – B = [aij – bij] Nhân vô hướng Nhân hai ma trận Hai ma trận phải cùng cấp 10/10/2019 26 CỘNG HAI MA TRẬN Cộng các phần tử tương ứng với nhau Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp 1 2 4 5 2 1 4 5 a d A B b c a d A B b c 10/10/2019 27 CỘNG HAI MA TRẬN Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp 1 2 4 3 2 6 ; 3 0 5 1 5 7 A B ) ) ) a A B b A B c B A 10/10/2019 28 NHÂN MỘT SỐ VỚI MA TRẬN Nhân một số với ma trận ta lấy số đó nhân vào tất cả các phần tử của ma trận. Ví dụ. 1 2 2 2 2 2 2 10 6 2 4 5 a a A A b c b c B B x 10/10/2019 29 TÍNH CHẤT ) ) ) 0 ) ) ) a A B B A b A B C A B C c A A d k A B kA kB e k mA km A f k m A kA mA . : 1 2 3 4 0 2 10 4 8 7 5 3 1 7 6 0 2 3 0 1 2 3 2 4 : 1 2 ) )2 3 ) 3 7 Example Given that A B Compute a A B b A B c A B use your calculator 10/10/2019 30 10/10/2019 6 VÍ DỤ Rút gọn biểu thức: 2(A + 3C) - 3(2C-B) - 3[2(2A +B - 4C) - 4(A - 2C)] Trong đó A, B, C là các ma trận cùng cấp. Đáp án: 2A-3B 10/10/2019 31 ADDITION. DIFFERENCE SCALAR MULTIPLICATION day 1 day 2 110 230 280 300 155 389 35 117 201 day 1 + day 2? day 1 – day 2? 2(day 1)? addition difference Scalar multiplication 10/10/2019 32 PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN - INTRO peanuts soda hot dogs group A 8 5 12 group B 15 7 13 selling price store 1 store 2 store 3 store 4 peanuts 2 2.5 2 2.5 soda 2.5 2 2.75 2 hot dogs 3 3 2.5 3 store 1 store 2 store 3 store 4 group A 64.5 66 59.75 66 group B 86.5 87.5 81.75 90.5 8x2.5 + 5x2 + 12x3 = 66$ 10/10/2019 33 PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN Am  n . Bn  p = Cm  p // cấp và thứ tự phải phù hợp Phần tử cij = (hàng i của A).(cột j của B) Q. Điều kiện để hai ma trận nhân được với nhau? A. 2                               0121 2101 02 10 21 1.1+2.13 4 1 -1 -2 -1 0 -2 0 2 -4 10/10/2019 34 VÍ DỤ 5 Các ma trận nào nhân được với nhau? 1 2 3 4 0 2 10 4 8 7 5 3 1 7 6 0 2 3 0 1 2 3 2 4 1 2 2 4 1 2 3 0 1 2 4 1 3 7 A B C D 10/10/2019 35 QUI TẮC NHÂN HAI MA TRẬN Phần tử nằm ở vị trí ij của ma trận mới bằng hàng i của ma trận đầu nhân với cột j của ma trận sau. Ví dụ. Muốn tìm phần tử c23 ta lấy hàng 2 của A nhận với cột 3 của B. (giống nhân tích vô hướng các vecto) hang cot ij c i j C A B 10/10/2019 36 10/10/2019 7 VÍ DỤ 6 10/10/2019 37 VÍ DỤ 7. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN 10/10/2019 38 TÍNH CHẤT 10/10/2019 39 ỨNG DỤNG A     (0, 0) (5, 0) (3, 5) (2, 3) (4, 3) 0 5 2 4 3 0 0 3 3 5 D= Cho A = 2 0 0 2 , 𝑇ì𝑚 𝐴𝐷. 0 10 4 8 6 0 0 6 6 10 A     10/10/2019 40 LŨY THỪA CỦA MA TRẬN 10/10/2019 41 VÍ DỤ 8 10/10/2019 42 10/10/2019 8 VÍ DỤ 9 10/10/2019 43 VÍ DỤ 10 10/10/2019 44 VÍ DỤ 11 10/10/2019 45 HẠNG CỦA MA TRẬN Định nghĩa. Giả sử Amxn tương đương hàng (cột) với ma trận bậc thang E. Khi đó ta gọi hạng của ma trận A là số các hàng khác không của ma trận bậc thang Ký hiệu: r(A) hay rank(A) r(A) = số hàng khác không của ma trận bậc thang E Ma trận bậc thang của A: A→..bđsc theo dòng →A’ (có dạng bậc thang) 10/10/2019 46 VÍ DỤ 12 10/10/2019 47 VÍ DỤ 13 Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp tìm hạng các ma trận sau. 1 0 3 2 2 0 1 2 0 1 2 1 0 1 2 3 2 0 6 4 5 0 6 4 1 2 3 3 2 3 1 4 2 4 6 9 3 4 2 9 2 6 7 6 2 0 1 3 A B C D                                             10/10/2019 48 10/10/2019 9 VÍ DỤ 14 Tìm hạng của ma trận 3 21 0 9 0 1 7 1 2 1 2 14 0 6 1 6 42 1 13 0 A 10/10/2019 49 TÍNH CHẤT ) ) ) min , ) 0 0 T ij m n i r A r A ii A B thì r A r B iii A a thì r A m n iv r A A 10/10/2019 50 VÍ DỤ 15 10/10/2019 51 VÍ DỤ 16 10/10/2019 52 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Định nghĩa. Cho A là một ma trận vuông A, ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo (inverse) của ma trận A nếu: Ma trận A có ma trận nghịch đảo thì được gọi là ma trận khả nghịch (invertible matrix) Ma trận nghịch đảo của A kí hiệu là A-1 Tính chất: 1 1 . . AA I A A I . . AB I B A I 10/10/2019 53 VÍ DỤ 10/10/2019 54 10/10/2019 10 CHÚ Ý  Chỉ ma trận vuông mới có thể khả nghịch (khả đảo)  Không phải bất kỳ ma trận vuông A nào cũng khả nghịch. Có rất nhiều ma trận vuông không khả nghịch Ma trận khả nghịch được gọi là ma trận không suy biến. Ma trận không khả nghịch được gọi là ma trận suy biến. 10/10/2019 55 THE INVERSE OF 2X2 MATRICES Example: determinant of A, denoted by det(A) 1 1a b d bA A c d c aad bc 1 1 2 3 21 4 14 3 5 A A 10/10/2019 56 MA TRẬN SƠ CẤP Ma trận thu được từ ma trận đơn vị I bằng đúng 1 phép biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp. Ví dụ. 10/10/2019 57 CHÚ Ý Một phép biến đổi sơ cấp đối với hàng của ma trận A đồng nghĩa với nhân bên trái A với ma trận sơ cấp tương ứng. Một phép biến đổi sơ cấp đối với cột của ma trận A đồng nghĩa với nhân bên phải A với ma trận sơ cấp tương ứng. 10/10/2019 58 VÍ DỤ 17 10/10/2019 59 BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Ta có: 10/10/2019 60 10/10/2019 11 VÍ DỤ 18 - TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 10/10/2019 61 VÍ DỤ 18 - TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 10/10/2019 62 CLASS WORK Hãy tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu có. 10/10/2019 63 TÍNH CHẤT Cho hai ma trận A, B đều khả nghịch. Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 ) ) . . ) T T i A A ii AB B A iii A A ) . . ) . . iv AB AC B C v B A C A B C 10/10/2019 64 SỰ TỒN TẠI MA TRẬN KHẢ NGHỊCH 10/10/2019 65 VÍ DỤ 19 Tìm m để các ma trận sau khả nghịch. 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 3 1 4 3 2 1 3 3 1 A m B m m 10/10/2019 66 10/10/2019 12 VÍ DỤ 10/10/2019 67 COROLLARY If A and C are square matrices such that AC = I, then also CA = I. In particular, both A and C are invertible: C = A-1, and A = C-1. Corollary above is false if A and C are not square matrices 10/10/2019 68 TỔNG HỢP Ma trận là gì? Phân loại? Các phép toán với ma trận? Hạng của ma trận? Ma trận khả nghịch? 10/10/2019 69 BÀI 1 10/10/2019 70 BÀI 2 10/10/2019 71 BÀI 3 10/10/2019 72 10/10/2019 13 BÀI 4 10/10/2019 73 BÀI 5 10/10/2019 74 BÀI 6 10/10/2019 75 ĐỊNH THỨC DETERMINANT 10/10/2019 76 NỘI DUNG  Cách tính định thức của một ma trận vuông  Biến đổi định thức Ứng dụng định thức 10/10/2019 77 ĐỊNH THỨC Cho ma trận A vuông, cấp n. Định thức của ma trận A, ký hiệu: Đây là một số thực, được xác định dựa trên các phần tử trong ma trận. det A hay A 10/10/2019 78 10/10/2019 14 ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG CẤP 1, 2 Ma trận vuông cấp 1: Ma trận vuông cấp 2: 111 22 2 21 2 2 a A a a a 11 11 det A a hay A a 11 1 1 A a 11 22 21 12 11 12 11 22 21 12 21 22 det . . . . A a a a a a a a a a a a a 10/10/2019 79 ĐỊNH THỨC (MA TRẬN VUÔNG) CẤP 3 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 det(A) = +a.det 𝑒 𝑓 ℎ 𝑖 - b.det 𝑑 𝑓 𝑔 𝑖 + c.det 𝑑 𝑒 𝑔 ℎ = aei – afh – (bdi – bgf) + cdh – cge + - + 10/10/2019 80 QUY TẮC TÍNH ĐỊNH THỨC CẤP 3 Ta có quy tắc Sarrus. 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 a a a a a A a a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12 det . . . . . . . . . . . . A a a a a a a a a a a a a a a a a a a 10/10/2019 81 VÍ DỤ Tính các định thức sau bằng quy tắc Sarrus 1 2 3 1 2 1 0 5 7 0 1 0 1 2 8 2 2 2 5 7 6 0 1 1 1 2 5 1 2 2 0 3 9 3 3 A C m m m B D m 10/10/2019 82 ĐỊNH THỨC CẤP N TỔNG QUÁT Dùng phần bù đại số và khai triển theo hàng (cột) Ký hiệu Mij là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j. Phần bù đại số (cofactor) của phần tử aij ký hiệu và xác định như sau: 11 12 1 21 22 2 1 2 ...... ...... ............................. ...... n n n n nn n n a a a a a a A a a a ij ij ij 1 det 1 i j i j A M M 10/10/2019 83 Cho ma trận: 4 4 3 21 0 9 1 7 1 2 2 14 0 6 6 42 1 13 A VÍ DỤ 1 M23=??? Cofactor(a23)= A23=??? Ma trậnGiá trị, số 10/10/2019 84 10/10/2019 15 VÍ DỤ 1 23 23 3 21 9 2 14 6 6 42 13 M Mboû haøng 2 vaø coät 3 23 ???A 10/10/2019 85 KHAI TRIỂN THEO HÀNG/CỘT Định thức của ma trận vuông cấp n: Đây là khai triển theo dòng 1. Ta có thể khai triển dòng bất kỳ hoặt cột bất kỳ. 11 11 12 12 1 1 det . . ... n n A a A a A a A 1 1 2 2 ij ij 1 det n i i i i in in j A a A a A a A a A n 1j 1j 2j 2j nj nj ij ij i=1 detA = a A + a A + a A = a A 10/10/2019 86 TỔNG QUÁT 11 111 1 11 12 11 22 21 12 11 11 12 12 21 22 2 2 11 12 13 21 22 23 11 11 12 12 13 13 31 32 33 ) 1 : det ) 2 : det . . . . ) 3 : det . . a k A a thì A a a a b k A thì A a a a a a A a A a a a a a c k A a a a thì A a A a A a A a a a 10/10/2019 87 VÍ DỤ 3 Tính định thức sau: Khai triển theo dòng 1: Khai triển theo cột 1. Nên chọn cột có nhiều số 0 để khai triển. 1 2 3 0 5 7 0 2 8 A 1+1 1+2 1+35 7 0 7 0 5 detA=1. -1 +2. -1 +3. -1 2 8 0 8 0 2 detA=1. 5.8-2.7 -2 0.8-0.7 +3 0.2-5.0 =26 1+1 21 31 5 7 detA=1. -1 +0.A +0.A 1. 5.8-2.7 =26 2 8 10/10/2019 88 ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC DETERMINANT = a11.a22ann 10/10/2019 89 ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC Ví dụ. Tính định thức của hai ma trận sau: 1 2 3 4 21 0 0 0 0 5 7 6 2 5 0 0 0 0 61 5 3 9 6 0 0 0 0 2 4 8 1 2 A B 10/10/2019 90 10/10/2019 16 VÍ DỤ Tìm det(A), det(B), det(AB), det(A+B) biết rằng: 𝐴 = −2 1 3 2 𝑣à 𝐵 = 5 −2 1 4 det(A.B) = det(A).det(B) det(A+B)  det(A) + det(B) 10/10/2019 91 VÍ DỤ Tìm det(A), det(3A), det(A2) nếu: 𝐴 = −2 3 1 5 o det(cA) = cndet(A) o det(Ak) = [det(A)]k 10/10/2019 92 TÍNH CHẤT Cho A, B là các ma trận vuông cấp n. Ta có: o det(A.B) = det(A).det(B) o det(kA) = kndet(A) o det(AT) = det(A) o det(A-1) = 1/det(A) o det(Ak) = [det(A)]k 10/10/2019 93 VÍ DỤ o Tính các định thức sau: |𝐴| = −1 2 3 0 3 2 0 0 −2 = −1.3. −2 = 6, 0 3 2 −1 2 3 0 0 −2 = −6 // đổi dòng 1 với dòng 2 từ ma trận A, 2 −4 −6 0 3 2 0 0 −2 = −12 // nhân hàng 1 của ma trận A với số -2 10/10/2019 94 VÍ DỤ o Tính định thức sau: −1 2 −2 0 5 1 2 −4 5 = −5 và −1 2 −2 0 5 1 0 0 1 = −5 Ma trận trong định thức sau có được từ ma trận ban đầu bằng cách thay dòng 3 bằng (2* dòng2 + dòng 3) Chúng có cùng định thức 10/10/2019 95 BIẾN ĐỔI SƠ CẤP VÀ GIÁ TRỊ ĐỊNH THỨC 10/10/2019 96 10/10/2019 17 ELEMENTARY OPERATIONS AND DETERMINANTS 10/10/2019 97 EXAMPLE 10/10/2019 98 VÍ DỤ 4 10/10/2019 99 TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG BĐSC 10/10/2019 100 VÍ DỤ 5 10/10/2019 101 VÍ DỤ 5 10/10/2019 102 10/10/2019 18 NGUYÊN TẮC TÍNH BẰNG BĐSC 1. 2. 3. 10/10/2019 103 VÍ DỤ 6 – SINH VIÊN TỰ LÀM Tính định thức ma trận sau: 1 2 3 4 1 2 3 0 5 7 6 0 5 7 1 2 8 5 1 2 8 0 0 0 2 A B 1 2 1 5 0 6 4 3 C= 1 3 4 6 1 2 4 5 10/10/2019 104 VÍ DỤ 10/10/2019 105 ĐỊNH THỨC – HẠNG – KHẢ NGHỊCH Định thức con của ma trận: Cho A là ma trận cấp mxn. Chọn các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột của A ta được một ma trận vuông cấp k. Định thức của ma trận vuông cấp k này ta gọi là định thức con cấp k của A. Hỏi. Có bao nhiêu định thức con cấp k trong 1 ma trận A cấp mxn - Số cách chọn k dòng - Số cách chọn k cột  Số định thức con cấp k??? 10/10/2019 106 VÍ DỤ 8 Cho ma trận A. Hãy lập tất cả các định thức con cấp 1; cấp 2; cấp 3? Định thức con cấp mấy lớn nhất? 1 0 1 2 0 1 2 1 1 1 3 3           A 10/10/2019 107 HẠNG CỦA MA TRẬN Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp m.n khác O. Hạng của ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A) là cấp cao nhất trong các định thức con khác 0 của ma trận A. Nếu rank(A)=r thì: a) Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 của A . b) Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r (nếu có) thì phải bằng 0. 10/10/2019 108 10/10/2019 19 ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH & TÍNH CHẤT Cho ma trận A vuông cấp n. Ta có: Nếu ma trận A khả nghịch thì: det 0 det 0 n A A I A r A n A A A A i) khaû nghòch ii) khaû nghòch iii) khaû nghòch iv) khoâng khaû nghòch 11 1) det )det det det n A a A b P A A 10/10/2019 109 MA TRẬN PHỤ HỢP (CONJUGATE MATRIX) Ma trận phụ hợp của ma trận A, ký hiệu adj(A) hay PA  Là ma trận chuyển vị của ma trận chứa các phần bù đại số của ma trận A. 11 12 1 1 21 22 11 12 21 2 1 22 21 2 2 ... ... ... ... ... ... ...                             T T ij n n n n A nnn nn n nn A A A adjA A A A A A A A A A P AA A A A A A 10/10/2019 110 VÍ DỤ Cho ma trận A) Tìm ma trận phụ hợp của A B) Tính các ma trận tích sau: . .                                                                 A A A P P A 10/10/2019 111 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO – MA TRẬN PHỤ HỢP 1 1 det A A P A Định lý. Nếu A là ma trận vuông thì: Nếu detA≠0 thì ma trận A khả nghịch và ma trận nghịch đảo của A cho bởi công thức sau:  A A detA.P =P .A=k.I, k A 10/10/2019 112 VÍ DỤ                                                1 1 1 2 2 1 3 0 2 1 det 2, 0 1 1 0 0 1 0 0 2 2 1 3 1 1 / 2 3 / 2 1 1 0 1 1 0 1 / 2 1 / 2 det 2 0 0 2 0 0 1 A A A A P A P A Chú ý: 10/10/2019 113 VÍ DỤ 9 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu có 3 4 6 0 1 1 2 3 4 A det ???A 10/10/2019 114 10/10/2019 20 VÍ DỤ 9 Bước 1. Tính detA Ta có: detA≠0 nên ma trận A khả nghịch. Ta tìm các phần bù đại số và lập ma trận phụ hợp PA 3 4 6 3 4 2 3 2 det 0 1 1 0 1 0 1 2 1 2 3 4 2 3 1 A 10/10/2019 115 VÍ DỤ 9 Ta có: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 1 0 1 0 1 1 2 2 3 4 2 4 2 3 4 6 3 6 3 4 2 0 1 3 4 2 4 2 3 4 6 3 6 3 4 2 3 3 1 1 0 1 0 1 A A A A A A A A A 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 2 2 1 2 2 2 0 1 2 0 1 2 3 3 2 3 3 T A A A A A A A P A A A 10/10/2019 116 VÍ DỤ 13 Ta có: 1 2 2 1 2 2 2 0 1 2 0 3 2 3 3 2 1 3 1 2 2 1 2 2 1 1 2 0 3 2 0 3 det 1 2 1 3 2 1 3 T A A P A P A 10/10/2019 117 BÀI 1 Tính định thức của các ma trận sau: B 10/10/2019 118 BÀI 2 10/10/2019 119 BÀI 3 10/10/2019 120 10/10/2019 21 BÀI 3 10/10/2019 121 BÀI 4 10/10/2019 122 BÀI 5 10/10/2019 123 BÀI 6 10/10/2019 124 BÀI 7 10/10/2019 125 GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES 1. Nhập ma trận. Nhấn Mode 6 (Matrix)  Chọn 1( matA)  Chọn matrix có số dòng và cột tương ứng cần tính toán. Nhập kết quả vào bằng phím =, Sau khi nhập xong ma trận A, có thể nhập thêm ma trận B bằng cách: Nhấn Shift 4 (Matrix)  1 (Dim)  2 (MatB) Lập lại tương tự cho MatC. Lưu ý: nên nhập qua Shift +4 +1 để đỡ bị lỗi 10/10/2019 126 10/10/2019 22 GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES 2. Tính định thức Thao tác như sau để tính định thức cho MatA: Shift 4 (Matrix)  7 (Det)  Shift 4 (Matrix)  3 (MatA)  = 3. Tìm ma trận nghịch đảo Thao tác như sau để tìm ma trận nghịch đảo của MatA: Shift 4 (Matrix)  3 (MatA)  x-1 (x-1: là phím nghịch đảo của máy tính, dưới Mode) 4. Giải phương trình: AX = B Thao tác theo các bước bên trên để tính: MatA  x-1  x  MatB để cho kết quả của X. 10/10/2019 127 KIỂM TRA 20PH Bài 1. Cho hai ma trận: Tìm: Bài 2. Tìm r(A) và ma trận nghịch đảo của A nếu có: 3 4 6 0 1 1 2 3 4 A 3 4 6 1 2 3 0 1 1 2 4 9 2 3 4 2 16 5 A B 2) 3 2 ) 2 ) .Ta A B I b A B c AB 10/10/2019 128