Bài giảng Toán cao cấp - Bài 5: Phương trình vi phân - Bùi Minh Trí

ÀB I 5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PGS. TS. Bùi Minh Trí v2.3013103225 1 NỘI DUNG Bài này sẽ giới thiệu với các bạn các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân nói chung và một số vấn đề cơ bản như biểu diễn nghiệm, phương pháp giải một số loại phương trình vi phân cấp một, cấp hai đặc biệt. v2.3013103225 2 MỤC TIÊU • Nắm được khái niệm phương trình vi phân; • Làm được bài tập về phương trình vi phân. v2.3013103225 3 1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Định nghĩa: Phươ t ì h i hâ là hươ t ì h ất hiệ biế• ng r n v p n p ng r n xu n n số, hàm số cần tìm và các đạo hàm các cấp của hàm số đó. • Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm của hàm số cần tìm xuất hiện trong phương trình đó. v2.3013103225 4 1.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Phương trình vi phân cấp một được cho dưới một trong các dạng sau đây: • Dạng tổng quát: • Dạng đã giải ra đạo hàm: F(x, y, y ') 0 dy y ' f(x y) • Dạng đối xứng: , dx   M(x, y)dx N(x, y)dy 0  Ta thấy rằng có thể dễ dàng chuyển đổi giữa hai dạng của phương trình vi phân: Dạng đối xứng và giải ra đạo hàm. v2.3013103225 5 1.1.1. NGHIỆM TỔNG QUÁT VÀ NGHIỆM RIÊNG TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT VÀ TÍCH PHÂN RIÊNG • Định nghĩa: Họ hàm số được gọi là nghiệmy (x,C)  tổng quát của một phương trình vi phân cấp một nếu với một hằng số C, thì hàm số tương ứng là một nghiệm của phương trình. Mỗi nghiệm nhận được ổ ( x , C ) từ nghiệm t ng quát khi gán cho C một giá trị xác định được gọi là một nghiệm riêng của phương trình. • Định nghĩa: Nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân viết dưới dạng hàm ẩn được gọi là tích phân tổng quát của phương trình đó. Mỗi tích (x, y,C) 0  phân ứng với giá trị xác định C được gọi là một tích phân riêng của phương trình. v2.3013103225 6 1.1.1. NGHIỆM TỔNG QUÁT VÀ NGHIỆM RIÊNG TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT VÀ TÍCH PHÂN RIÊNG (tiếp theo) Ví dụ : 2 • Phương trình y' = x có nghiệm tổng quát là: Nghiệm là một nghiệm riêng của phương x y C 2   2x 1 y  trình ứng với 2 1 C 2  • Phương trình có tích phân tổng quát là2y dy xdx 0  Với C = 1 ta có tích phân riêng 3 2y x C 3 2   3 22 3 6 v2.3013103225 7 y x  1.1.2. BÀI TOÁN CAUCHY Xét phương trình vi phân cấp một cho ở dạng: (5.1) • Bài toán tìm nghiệm riêng của phương trình (5.1) thoả dy y ' f(x, y) dx   mãn điều kiện: (5.2) được gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện (5.2) được gọi là điều kiện ban đầu. 0 0y(x ) y • Ta thừa nhận định lý sau đây về tính tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy. v2.3013103225 8 1.1.3. PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ Phương trình phân ly biến số có dạng: f(x)dx = g(y)dy Lấy tích phân hai vế ta được: f(x)dx g(y)dy F(x) G(y) C     trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(y) là một nguyên hàm của g(y). • Ví dụ: Giải các phương trình vi phân sau: (1+x)dy = (1-y)dx • Nhận xét: y = 1 và x = -1 là hai nghiệm của phương trình này. Khi , ta biến đổi tương đương:y 1, x 1   Lấy tích phân hai vế ta có: dy dx (1 x)dy (1 y)dx y 1 x 1        Rõ ràng x = -1, y = 1 là tích phân riêng ứng với C= 0. Vậy tích phân tổng quát của phương trình ban đầu là (x+1) (y-1) = C ln y 1 ln C ln x 1 (x 1)(y 1) C         v2.3013103225 9 . . 1.1.4. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT(PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP) Phương trình thuần nhất là phương trình có dạng: (5.3) Đặt t đó ( ) là hà ố ủ T ó y y ' f x      • y = ux rong u x m s c a x. a c : du y ' xu' u f(u) x f(u) u dx       • Nếu , ta có , đây là phương trình phân ly biến số. f(u) u du dx f(u) u x  y• Nếu thì phương trình (5.3) có dạng nghiệm tổng quá của y = Cx. • Ví dụ: Giải phương trình vi phân f(u) u y ' x  2(x y)ydx x dy  Đặt 2 2 2 dy (x y)y y y ; dx xx x    du dx 1 xy 2y ' u ' x u u u    v2.3013103225 10 Đặt 2 ln Cx ln Cxx u yu      u,y xu;x   1.1.5. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Phương trình tuyến tính cấp một có dạng: y' + p(x)y = q(x) T đó ( ) ( ) là á hà ố liê t Phươ t ì h• rong p x , q x c c m s n ục. ng r n tuyến tính gọi là thuần nhất nếu là không thuần nhất nếu q(x) 0, q(x) 0. • Để giải phương trình tuyến tính, ta chia làm ba bước: Bước 1: Giải phương trình thuần nhất tương ứng Đây là phương trình ở dạng phân ly biến số, ta giải ra y ' p(x)y q(x)  ( )dp x xy Ce v2.3013103225 11 1.1.6. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tiếp theo) Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất: Nghiệm này được tìm ở dạng . Ở đây, ta coi C là hàm y ' p(x)y q(x)  p(x)dx*y C(x)e  số của x. Thay nghiệm y* vào phương trình trên ta được: p(x)dx p(x)dx C '(x) p(x)C(x) e p(x)C(x)e q(x)        Suy ra: vàp(x)dxC '(x) q(x)e p(x)dxC(x) q(x)e dx  v2.3013103225 12 1.1.6. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tiếp theo) Bước 3: Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính ban đầu là: Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất bằng tổng của nghiệm tổng quát của *y y y  phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng cộng với một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. v2.3013103225 13 1.1.6. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tiếp theo) Ví dụ: Giải phương trình vi phân • Giải phương trình thuần nhất tương ứng: 2(x 1)y ' xy x    2 2dy x 1 • Suy ra: Dễ thấy một nghiệm riêng của phương 2(x 1)y ' xy 0 dx ln y ln C ln(x 1)y 2x 1           2 C y x 1   trình không thuần nhất y* = -1, do đó nghiệm của phương trình đang xét là: • Nếu bài toán yêu cầu tìm nghiệm của phương trình thoả mãn * 2 C y y y 1 x 1      y(0) thì ta tìm ra C = 3. Nghiệm của phương trình với điều kiện ban đầu như trên là: v2.3013103225 142 3 y 1 x 1    1.1.7. PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI Phương trình Bernoulli có dạng: Trong đó là số thực khác 0 và 1. dy p(x)y y q(x) dx    • Nếu thì y = 0 là một nghiệm của phương trình Bernoulli. • Khi chia hai vế cho , ta được: 0  y 0 y (5.4) 1dyy p(x)y q(x) dx    • Đặt , ta có: . • Thay vào (5.4) ta thu được phương trình: 1z y  dz dy(1 )y dx dx    • Đây là phương trình tuyến tính đối với hàm số z(x). dz (1 )p(x)z (1 )q(x) dx       v2.3013103225 15 Ví dụ: Giải phương trình vi phân .2 4yy ' x y  1.1.7. PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI (tiếp theo) Đây là phương trình Bernoulli với: . Ta thấy y = 0 là một nghiệm x 4  của phương trình này. Khi , chia cả hai vế của phương trình cho y4, đặt z = y-3, ta được phương trình y 0 23z ' z 3x x    • Giải phương trình tuyến tính thuần nhất: • Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất 23z ' z 3x   33z ' z 0 z Cx x     dưới dạng . Th à hươ t ì h t đượ x * 3z C(x)x 3 C '( ) C( ) 3lay v o p ng r n a c: • Vậy nghiệm riêng: . x x n x x      * 3z 3x ln x  v2.3013103225 16 • Vậy phương trình đã cho có nghiệm: y = 0 và . 1 /33y x (C 3ln x )     1.1.8. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN • Phương trình vi phân toàn phần là phương trình có dạng: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (5.5) Trong đó M(x, y); N(x, y) là những hàm số liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một trong một miền D và M N  Khi đó tồn tại hàm số u(x, y) sao cho du = M(x, y)dx + N(x, y)dy tức là vế trái của phương trình (5.5) là một biểu thức vi phân toàn , (x, y) D y x     phần. Ta có thể tìm được hàm số u(x, y) bởi một trong hai công thức sau đây: yx 0u(x, y) M(x, y )dy Q(x, y)dy K    0 0x y 0 0 yx 0 x y u(x, y) M(x, y)dy Q(x , y)dy K    trong đó K là một hằng số. • Giải phương trình (5.5) ta cần lấy tích phân hai vế và thu được tích phân tổng quát: u (x, y) = C v2.3013103225 17 1.1.8. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN (tiếp theo) Ví dụ: Giải phương trình vi phân (x + y + 1)dx + (x – y2 + 3)dy = 0 • Vì: nên đây là một phương trình vi phân toàn phần.         2(x y 1) (x y 3) 1 y x • Chọn x0 = y0 = 0, ta tìm được: Vậy tích phân tổng quát của phương trình đã cho là: yx 2 3 2 0 0 x y u(x, y) (x 1)dx (x y 3)dy x xy 3y 2 3            • 2 3x y x xy 3y C 2 3      v2.3013103225 18 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 N hiệ tổ át à hiệ iê • Phương trình vi phân cấp hai có dạng tổng quát: F(x y y' y") = 0 (5 6) g m ng qu v ng m r ng , , , . • Phương trình vi phân cấp hai ở dạng đã giải ra đạo hàm: y" = f(x, y, y') (5.6’) • Việc giải phương trình cấp hai là tìm tất cả các hàm số sao cho khi thay vào (5.6) và (5.6’) ta được các đồng nhất thức: hoặc y (x)     F(x (x) '(x) ''(x)) 0 ''(x) f(x, (x), '(x)).    • Định nghĩa: Ta gọi họ hàm số: là nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân cấp hai nếu khi gán cho mỗi ký hiệu , , , 1 2y (x,C ,C )  C1, C2 một giá trị xác định thì ta được một nghiệm của phương trình đó. Mỗi nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát khi gán cho C1, C2 các giá trị xác định gọi là nghiệm riêng của phương trình v2.3013103225 19 . 2.1. TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT VÀ TÍCH PHÂN RIÊNG • Tương tự như trường hợp phương trình vi phân cấp một, không phải lúc nào ta cũng có thể giải được tường minh nghiệm của một phương trình dưới dạng hàm số mà chỉ có thể đưay (x C C ) , về một phương trình hàm ẩn. ệ ổ á ủ ì â ế ớ 1 2, , • Định nghĩa: Nghi m t ng qu t c a phương tr nh vi ph n vi t dư i dạng hàm ẩn: 1 2(x, y,C ,C ) 0  • Được gọi là tích phân tổng quát của phương trình đó. Mỗi tích phân ứng với giá trị xác định C1, C2 được gọi là một tích phân riêng của phương trình đó. v2.3013103225 20 2.2. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CẤP 2 HẠ CẤP ĐƯỢC Sau đây ta xét một số trường hợp phương trình vi phân cấp hai có thể đưa được về phương trình cấp một. 1. Phương trình khuyết y, y‘: y" = f(x) • Ta lấy nguyên hàm hai vế hai lần: 1y ' f(x)dx g(x) C    • Ví dụ: Giải phương trình y" = x2 1 1 2y (g(x) C )dx G(x) C x C     3 2 1 x y ' x dx C 3     3 41 1 2x xy ( C )dx C x C3 12     v2.3013103225 21 2.2. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CẤP 2 HẠ CẤP ĐƯỢC (tiếp theo) 2. Phương trình khuyết y : y" = f(x, y‘) • Đặt ta đưa về giải phương trình vi phân ấ ột y ' z y '' z '   c p m . • Ví dụ: Giải phương trình z" = f(x z), Đặt y' = z, ta được phương trình: 1 z z ' y ' z C x x     1Lấy tích phân hai vế ta được: 2 1 2y C x C2   v2.3013103225 22 3. Phương trình khuyết x: y" = f(x, y') 2.2. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CẤP 2 HẠ CẤP ĐƯỢC (tiếp theo) • Đặt z = y', khi đó: 2 2 dy d y dz dz dy dz y ' z; z d d d d dd      • Phương trình đã cho trở thành zz' = f(y, z), là phương trình cấp một của hàm z = z(y). x x y x yx Ví dụ: Giải phương trình y'2 + 2yy" = 0 • Đặt y' = z, suy ra: dz dzy ''(x) y '(x) zz '(y) dx dy    • Phương trình đã cho trở thành: z2 + 2yzz' = 0 • Nếu suy ra y = C là một nghiệm củaz 0 y ' 0   phương trình. • Nếu z 0,  2 2 2 1z 2yzz ' 0 yz ' 0 yz C      v2.3013103225 23 3 1 2 1 1 C y 2 y y ' z dy dx x C y C 3 C            3. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP 2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phương trình dạng: (5.7)y '' p(x)y ' q(x)y f(x)   • Trong đó p(x), q(x), f(x) là các hàm số cho trước. • Nếu , (5.7) được gọi là phương trình thuần nhất. Nế (5 7) đ i là h t ì h khô th ầ hất f(x) 0 • u , . ược gọ p ương r n ng u n n . • Tương tự phương trình vi phân tuyến tính cấp một, ta nêu ra f(x) 0 cấu trúc của nghiệm của phương trình không thuần nhất trong mối liên hệ với nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng. Ta luôn giả sử f(x), p(x), q(x) là các hàm liên tục. v2.3013103225 24 3.1. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (5.8)y '' p(x)y ' q(x)y 0   • Định nghĩa: Hai hàm số y1(x) và y2(x) được gọi là phụ thuộc tuyến tính trên tập D nếu tồn tại các số không đồng thời bằng 0 sao cho: 1 1 2 2k y (x) k y (x) 0, x a,b       • Ngược lại nếu đồng nhất thức trên xảy ra chỉ khi k1 = k2 = 0 thì ta nói y1(x), y2(x) độc lập tuyến tính trên tập D. • Định lý: Nếu y1(x), y2(x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (5 8) thì nghiệm tổng quát của phương trình đó là:. y = C1y1(x) + C2y2(x) trong đó C1, C2 là các hằng số bất kỳ. v2.3013103225 25 3.2. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT (5.9) Tươ tự hư đối ới hươ t ì h i hâ ấ ột t ế tí h y '' p(x)y ' q(x)y f(x)   • ng n v p ng r n v p n c p m uy n n không thuần nhất, ta có định lý sau về cấu trúc nghiệm của phương trình không thuần nhất. • Định lý: Nghiệm tổng quát y(x) của phương trình không thuần nhất (5.9) bằng tổng của nghiệm tổng quát của phương trìnhy(x) thuần nhất (5.9) cộng với một nghiệm riêng y*(x) của phương trình không thuần nhất (5.9). v2.3013103225 26 4. PHƯƠNG PHÁP BIẾN THIÊN HẰNG SỐ • Trong trường hợp không dễ dàng nhẩm ra nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (5.8), ta có thể sử dụng phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng này. ổ• Giả sử là nghiệm t ng quát của phương trình thuần nhất (5.8), ta sẽ tìm nghiệm riêng của (5.7) dưới dạng: y* = C1(x)y1 + C2(x)y2 1 1 2 2y C y C y   y (x)C '(x) y (x)C '(x) 0 C1(x), C2(x) thoả mãn hệ phương trình: • Vậy ta giải phương trình tuyến tính không thuần nhất theo    1 1 2 2 1 2 2 2y '(x)C '(x) y '(x)C '(x) f(x) ba bước sau đây.  Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất * 1 1 2 2y C (x)y C (x)y  .  Bước 2: Tìm một nghiệm riêng y* của phương trình không thuần nhất (5.7). Ta có thể nhẩm nghiệm trong trường hợp đơn giản hoặc tìm nghiệm bằng phương v2.3013103225 27 , pháp biến thiên hằng số.  Bước 3. Kết luận nghiệm 1 1 2 2y C y C y .  Ví dụ: Giải phương trình (**) • Bước 1: Giải phương trình thuần nhất y" + y = 0 suy ra: 1 y '' y cos x   , (cách giải phương trình hệ số hằng này sẽ được trình bày trong phần sau). 1 2y C cos x C sin x  • Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình (**) dưới dạng: trong đó C x) C (x) là nghiệm của hệ: * 1 2y C (x) cos x C (x) sin x  1 , 2 1 2 1 2 1 2 cos xC '(x) sin xC '(x) 0 C '(x) tgx;C '(x) 1.1 sin xC '(x) cos xC '(x)         Ta tìm được: cos x 1 1C (x) tgxdx ln cos x C      trong đó là hai hằng số bất kỳ. Để có một nghiệm riêng, ta có thể chọn: 2 2C (x) x C  1 2C ,C 1 2C C 0  v2.3013103225 28 • Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: 1 2y C cos x C sin x cos x ln cos x x sin x    4.1. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG Xét phương trình y" + py' + qy = 0 (5.10) Trong đó q, p là các hằng số thực. • Định nghĩa: Phương trình đặc trưng của phương trình (5.10) là: (5.11) T ỳ th iá t ị hiệ ủ hươ t ì h đặ t ư (5 11) à t ó 2 p q 0     • u eo g r ng m c a p ng r n c r ng . m a c công thức nghiệm tổng quát của (5.10). Giả sử phương trình này có hai nghiệm ế à ệ â ệ ì ệ ổ á 1 2, .   N u l hai nghi m thực ph n bi t th nghi m t ng qu t:  Nếu thì nghiệm tổng quát 1 2   1 2x x 1 2y C e C e .    1 2    1x 1 2y e (C C x)   Nếu hai nghiệm phức thì1,2 i     x 1 2y e (C cos x C sin x)    v2.3013103225 29 4.1. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG (tiếp theo) Ví dụ : Giải các phương trình vi phân: • Phương trình đặc trưng là . y '' 2y ' 3y 0   2 2 3 0 1, 3.           Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là: • x 3x 1 2y C e C e   y '' 2y 5 0   Phương trình đặc trưng là Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: 2 1,22 5 0 1 2i.          x 1 2y e (C sin2x C cos2x).   v2.3013103225 30 4.2. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG • Ta đã biết phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng của y '' py ' qy f(x)   phương trình không thuần nhất y*. Tuy nhiên đối với một số dạng cụ thể của vế phải f(x), ta có cách lựa chọn dạng đặc biệt của nghiệm riêng y*. • Phương trình đặc trưng tương ứng là (5.15) • Nếu mà trong đó Pn(x) là một đa thức bậc n, là một hằng số 2 p q 0     x nf(x) e P (x)   .  Mà  không là nghiệm của (5.11) thì ta tìm nghiệm ở dạng: * x ny e Q (x)   Mà  là nghiệm đơn của (5.11) thì ta tìm nghiệm ở dạng:  Mà  là nghiệm kép của (5.11) thì ta tìm nghiệm ở dạng: * x ny xe Q (x)  v2.3013103225 31 trong đó Qn(x) là một đa thức bậc n.* 2 x ny x e Q (x)  4.2. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG (tiếp theo) Nếu trong đó là     xf x =e P x cos x+Q x sin x       các hằng số, Pn(x), Qm(x) là các đa thức với bậc tương ứng là n, m, max(n, m) = 1. n m , • Mà khác nghiệm phức của (5.15) thì ta tìm nghiệm ở dạng i   a ib        * x n ny =e R x cos x+S x sin x . • Mà là nghiệm phức của (5.15) thì ta tìm nghiệm ở dạng        * x n ny =xe R x cos x+S x sin x . i   a ib v2.3013103225 32 4.2. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG (tiếp theo) Ví dụ 1: Giải các phương trình vi phân: a. • Phương trình đặc trưng có hai nghiệm là ổ 2xy '' y (2x 1)e   2 1 0   1,2 1,   nên nghiệm t ng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là: . Ở vế phải không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng của phương x x 1 2y C e C e   2  , trình không thuần nhất ở dạng • Thay vào phương trình ta thu được: * xy (Ax B)e .  , 2x 2x 2x 2x 2 54Axe (4A 4B)e (Ax B)e (2x 1)e A ;B 3 9           2 5  2 5  v2.3013103225 33 nên và* 2xxy e 3 9     x x 2x 1 2 x y C e C e e . 3 9       4.2. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG (tiếp theo) b. xy '' 2y ' 3y xe   • Phương trình đặc trưng có hai nghiệm nên nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là: 2 2 3 0     1 21; 3     • Ở vế phải là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng, do đó ta tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất ở dạng: x 3x 1 2y C e C e   1   • Thay vào phương trình đã cho, ta thu được: * xy xe (Ax B)  1 nên và xy '' 2y ' 3y xe A ,B 0 8       2 * xxy e 8  2 x 3x x 1 2 x y C e C e e . 8     v2.3013103225 34 4.2. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG (tiếp theo) • Nếu , trong đó là các đax m nf(x) e P (x) cos x P (x) sin x       thức bậc m và n, là hằng số. • Nếu không là nghiệm của phương trình (5.15), ta tìm  i   nghiệm riêng ở dạng: trong đó l = max(m, n). * x l ly e Q (x) cos x R (x) sin x       • Nếu là một nghiệm của phương trình (5.15) ta tìm nghiệm riêng ở dạng:  * x l ly xe Q (x)cos x R (x) sin x    i   trong đó l = max(m, n) và Q1(x) là đa thức bậc l. v2.3013103225 35 4.2. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG (tiếp theo) Ví dụ 2: Giải phương trình vi phân y" + y = xcosx • Phương trình thuần nhất tương ứng là y" + y = 0. Phương trình đặc trưng có hai nghiệm2 1 0  i  , nên nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: ì ệ ê ủ ì ô ầ ấ   1 2y C cos x C sin x  • Ta t m nghi m ri ng c a phương tr nh kh ng thu n nh t y" + y = xcosx ở dạng: *y x (Ax B)cos x (Cx D)sin x      Thay vào phương trình ta được: suy ra: 1 A D 0,B C 4      * xy cos x x sin x  • Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: 4 v2.3013103225 36  1 2 xy C cos x C sin x cos x x sin x4    TÓM LƯỢC CUỐI BÀI T o bài à hú t hiê ứ ấ đề làr ng n y c ng a ng n c u v n : • Phương trình vi phân. • Nghiệm, nghiệm riêng, tích phân cơ bản, tích phân riêng của phương trình vi phân (cấp một và cấp hai). • Mối quan hệ giữa nghiệm của một phương trình thuần nhất và nghiệm của phương trình không thuần nhất. • Phương pháp giải một số loại phương trình vi phân cấp một và cấp hai. Bài này trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân: Định nghĩa phương trình vi phân, cấp, nghiệm riêng, và nghiệm tổng quát đường cong tích phân của phương trình vi phân, , phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp 1 và phương trình vi phân tuyến tính cấp 2. Học viên cần hiểu rõ các khái niệm đó nhận được các phương trình đã học và giải các phương trình v2.3013103225 37 , đó, hiểu được ý nghĩa hình học và ý nghĩa thực tiễn của bài.