Bài giảng Toán cao cấp - Bài 6: Hàm nhiều biến

1 HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm riêng và ứng dụng Lecture 6 Nguyen Van Thuy Hàm hai biến  Định nghĩa. Hàm 2 biến là một quy tắc gán mỗi cặp số thực (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 với duy nhất một số thực ký hiệu 𝑓(𝑥, 𝑦). Tập D được gọi là miền xác định và miền giá trị của hàm f là tập 𝑇 = *𝑓(𝑥, 𝑦)|(𝑥, 𝑦)𝐷+ 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 𝑓(𝑥, 𝑦) (𝑥, 𝑦) 𝐷 𝑥 𝑦 𝑓 𝑧 𝑂 6-2 Ví dụ  Cho hàm số a) b) c) không xác định d) Miền xác định: 𝐷 = *(𝑥, 𝑦)|(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)+ 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2 2 2 ( , ) xy f x y x y   2 2 2.1.2 4 (1,2) 1 2 5 f    2 2 2.1.0 (1,0) 0 1 0 f    2 2 2.0.0 0 (0,0) : 0 0 0 f    6-3 Ví dụ  Cho hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln (𝑥 + 𝑦 − 1) a) Tính 𝑓(1,1) b) Tính 𝑓(𝑒, 1) c) Tìm và vẽ miền xác định của hàm 𝑓  Tìm và vẽ miền xác định của hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 4 − 𝑥2 − 𝑦2 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 6-4 Đồ thị  Định nghĩa. Đồ thị của hàm 𝑓 là tập hợp 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 3{( , , ) | ( , ), ( , ) }G x y z z f x y x y D    (𝑥, 𝑦, 0) (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑆 D 𝑥 𝑦 𝑧 O Mặt cong 𝑆 Miền xác định 6-5 Đồ thị  Ví dụ. Dùng Maple, vẽ đồ thị hàm số sau 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2  plot3d(sqrt(x^2+y^2), x = -10 .. 10, y = -10 .. 10) 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 6-6 2 Vẽ đồ thị  Ví dụ. Vẽ đồ thị các hàm sau 𝑎) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑏) 𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥2 + 3𝑦2)𝑒−𝑥 2−𝑦2 𝑐) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 6-7 Đạo hàm riêng  Định nghĩa. Đạo hàm riêng của hàm 𝑓 theo biến 𝑥 tại điểm (𝑎, 𝑏) Tương tự 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy ' 0 ( , ) ( , ) ( , ) limx h f a h b f a b f a b h    ' 0 ( , ) ( , ) ( , ) limy h f a b h f a b f a b h    6-8 Đạo hàm riêng  Nhận xét  Khi tính , ta xem 𝑦 là hằng số  Khi tính , ta xem 𝑥 là hằng số  Ví dụ. Cho hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑦2 + 2𝑥 − 1 Tính  Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy ' xf ' yf ' '(1,2), (1,2)x yf f 6-9 Đạo hàm riêng  Ví dụ. Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số 𝑧 = 𝑥𝑦  Maple  diff(x^y,x)  diff(x^y,y) 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 6-10 Đạo hàm riêng  Câu 259. Tìm vi phân cấp 1 của hàm 𝑧 = ln 𝑥 − 𝑦 𝑎) 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 𝑥 − 𝑦 𝑏) 𝑑𝑧 = 𝑑𝑦 − 𝑑𝑥 𝑥 − 𝑦 𝑐) 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 2(𝑥 − 𝑦) 𝑏) 𝑑𝑧 = 𝑑𝑦 − 𝑑𝑥 2(𝑥 − 𝑦) 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 6-11 Đạo hàm riêng cấp 2  Định nghĩa  Câu 268. Tìm vi phân cấp hai 𝑑2𝑧 của hàm 𝑧 = 𝑥2𝑦3 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy " ' ' " ' ' " ' ' " ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) xx x x xy x y yx y x yy y y f f f f f f f f     6-12 3 GTLN-GTNN địa phương  Tìm điểm dừng  Tính  Nếu 𝐷 < 0: 𝑀(𝑥0, 𝑦0) là điểm yên ngựa  Nếu 𝐷 = 0: chưa có kết luận  Nếu 𝐷 > 0  : 𝑓 đạt GTNN địa phương tại 𝑀(𝑥0, 𝑦0)  : 𝑓 đạt GTLN địa phương tại 𝑀(𝑥0, 𝑦0) 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy ' 0 ' 0 0 0 x y x xf y yf        " " " 2 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( ( , ))xx yy xyD f x y f x y f x y  " 0 0( , ) 0xxf x y  " 0 0( , ) 0xxf x y  6-13 GTLN-GTNN địa phương  Câu 290. Cho hàm 𝑧 = 𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 10𝑦2 + 2𝑥 + 16𝑦. Khẳng định nào sau đây đúng? a) 𝑧 đạt cực đại tại 𝑀 −1,1 b) 𝑧 đạt cực tiểu tại 𝑀 −1,1 c) 𝑧 đạt cực đại tại 𝑁 1, −1 d) 𝑧 đạt cực tiểu tại 𝑁 1, −1 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 6-14 GTLN-GTNN địa phương  Maple  maximize(𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 10𝑦2 + 2𝑥 + 16𝑦,location)  minimize(𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 10𝑦2 + 2𝑥 + 16𝑦,location) −7, *,*𝑥 = 1, 𝑦 = −1+, −7-+ 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 6-15 GTLN-GTNN địa phương  Ví dụ. Tìm GTLN, GTNN địa phương và điểm yên ngựa (nếu có) của các hàm số sau 𝑎) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 + 3𝑥𝑦2 − 15𝑥 − 12𝑦 𝑏) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 9 − 2𝑥 + 4𝑦 − 𝑥2 − 4𝑦2 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 6-16 Cực trị có điều kiện  Câu 300. Tìm cực trị của hàm 𝑧 = 𝑥2 𝑦 + 1 − 3𝑥 + 2 với điều kiện 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0. Khẳng định nào sau đây đúng? a) 𝑧 đạt cực đại tại 𝐴(−1,0) và 𝐵(1, −2) b) 𝑧 đạt cực tiểu tại 𝐴(−1,0) và 𝐵(1, −2) c) 𝑧 đạt cực tiểu tại 𝐴(−1,0) và đạt cực đại tại 𝐵(1, −2) d) 𝑧 không có cực trị 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 6-17 Bài tập  Câu 258 --> câu 307 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 6-18