Bài giảng Toán cao cấp - Bài 7: Tích phân bất định, xác định và

1 TÍCH PHÂN Tích phân bất định, xác định và ứng dụng Lecture 7 Nguyen Van Thuy Tích phân bất định 𝑓(𝑥): đạo hàm của 𝐹(𝑥)  (𝐹(𝑥))’ = 𝑓(𝑥) 𝐹(𝑥): 1 nguyên hàm của 𝑓(𝑥)  𝑥3 3 + 1 ′ = 𝑥2⟹ 𝑥3 3 + 1 là một nguyên hàm của 𝑥2  𝑥3 3 − 5 ′ = 𝑥3 3 + 𝐶 ′ = ⋯ = 𝑥2 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-2 Tích phân bất định  số nguyên hàm của hàm 𝑥2?  dạng tổng quát?  tích phân bất định của hàm 𝑥2 𝑥2𝑑𝑥 = 𝑥3 3 + 𝐶 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-3 Tích phân bất định  Vậy  Tính chất  𝐶𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐶 𝑓 𝑥 𝑑𝑥  𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 ( ( )) ' ( ) ( ) ( )F x f x f x dx F x C    12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-4 Công thức tích phân cơ bản 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy ln | | 1 1 sin( ) cos( ) 1 cos( ) sin( ) ax b ax b dx x a C x a e dx e C a ax b dx ax b C a ax b dx ax b C a                      2 2 2 2 2 2 2 2 1 a r c t a n a r 1 ln 2 l c s | i n | n d u u a C u a a d u u C u a a u a d u u u a d u u C k a C k u u a                     7-5 Tích phân bất định  Phương pháp đổi biến số  Phương pháp tích phân từng phần  Tích phân hàm hữu tỷ  Tích phân hàm vô tỷ  Tích phân hàm lượng giác  Maple: int(f(x),x)  GG: Tichphan[f(x)] 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-6 2 Tích phân bất định  Câu 313. Tính tích phân 𝐼 = 𝑑𝑥 𝑥(𝑥+1)  𝑎) 𝐼 = arctan 𝑥 + 𝐶 𝑏) 𝐼 = 2arctan 𝑥 + 𝐶  𝑐) 𝐼 = arcsin 𝑥 + 𝐶 𝑑) 𝐼 = ln 𝑥 + 𝐶  Câu 345. Tính tích phân 𝐼 = 4𝑥3𝑑𝑥 1−𝑥8  𝑎) 𝐼 = 2 1 − 𝑥8 + 𝐶 𝑏) 𝐼 = ln 𝑥4 − 1 − 𝑥8 + 𝐶  𝑐) 𝐼 = ln 𝑥4 + 1 − 𝑥8 + 𝐶 𝑑) 𝐼 = arcsin 𝑥4 + 𝐶 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-7 Tích phân bất định  Câu 387. Tính tích phân 𝐼 = 4 𝑥cos 2𝑥𝑑𝑥  𝑎) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶 𝑏) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶  𝑐) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶 𝑑) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶  Câu 393. Tính tích phân 𝐼 = ln 𝑥 𝑥3 𝑑𝑥  𝑎) 𝐼 = − 2𝑙𝑛𝑥−1 4𝑥2 + 𝐶 𝑏)𝐼 = − 2𝑙𝑛𝑥+1 𝑥2 + 𝐶  𝑐) 𝐼 = 2𝑙𝑛𝑥+1 4𝑥2 + 𝐶 𝑑) 𝐼 = − 2𝑙𝑛𝑥+1 4𝑥2 + 𝐶 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-8 Bài toán diện tích  Tính diện tích hình phẳng S {( , ) | ,0 ( )}S x y a x b y f x     12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-9 Bài toán diện tích 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-10 Bài toán diện tích 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-11 * * * 1 2()lim[() () ()]n n dtSfxxfxxfxx    Bài toán diện tích  Ví dụ 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-12 𝑦 = 𝑥2 S=? 3 Bài toán diện tích 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-13 𝑛 = 4, 𝑝𝑕ả𝑖, 𝐴 ≈ 0.46875 𝑛 = 4, 𝑡𝑟á𝑖, 𝐴 ≈ 0.21875 Bài toán diện tích 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-14 𝑛 = 10, 𝑡𝑟á𝑖, 𝐴 ≈ 0.285 𝑛 = 10, 𝑝𝑕ả𝑖, 𝐴 ≈ 0.385 Bài toán diện tích 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-15 𝑦 = 𝑥2 Định nghĩa tích phân xác định  Chia đoaṇ [𝑎, 𝑏] thành 𝑛 đoaṇ con  Lấy tùy ý 𝑐𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]  Lập tổng tích phân 𝑆𝑛 = 𝑓(𝑐𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) 𝑛 𝑖=1 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-16 𝑎 𝑏 𝑥0 𝑥1 𝑥𝑖−1 𝑥𝑛 𝑐𝑖 𝑥𝑖 Tích phân xác định  Định nghĩa 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = lim 𝑛→∞ 𝑓 𝑐𝑖 𝑛 𝑖=1 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)  Công thức Newton-Leibniz 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-17 Tính chất ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )]. '( ) [ ( )]. '( ) b b a a b b b a a a x a v x u x C f x dx C f x dx f x g x dx f x dx g x dx f t d t f x f t d t f v x v x f u x u x                           12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-18 4 Tính tích phân xác định  Tương tự như tích phân bất định  Phương pháp đổi biến số  Phương pháp tích phân từng phần 𝑢𝑑𝑣 𝑏 𝑎 = 𝑢𝑣 𝑏 𝑎 − 𝑣𝑑𝑢 𝑏 𝑎  Tích phân hàm hữu tỷ, hàm vô tỷ  Tích phân hàm lượng giác 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-19 Tính tích phân xác định  Maple: int(f(x),x=a..b)  GG: Tichphan[f(x),a,b]  (406)  (409) 1 4 ln e I x xdx  12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-20 2 2) 1 ) 1 ) 1 )a I e b I e c I d I e      1 0 2arccosI xdx  ) 2 ) 2 ) 2 ) 1a I b I c I d I       Ví dụ  Tính  (395)  (398) 0 20 sin lim x x tdt L x   2 0 2 100 ( 1) ln(cos ) lim t x x e t dt L x    12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-21 1 ) 0 ) ) 1 ) 2 a L b L c I d I     1 1 1 1 ) ) ) ) 10 10 20 20 a L b L c I d I      Diện tích giữa đường cong và trục hoành {( , ) ( ) ( | ,0 ( } ) ) b a S x y a x b y f A S f x d x x       12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-22 Diện tích giữa 2 đường cong ( ) [ ( ) {( , ) | , ( ) ( )} ( )] b a S x y a x b g x y f x A S f x g x dx        12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-23 Diện tích giữa 2 đường cong  Ví dụ. Tính diện tích phần hình phẳng được tô đậm sau 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-24 5 Diện tích giữa 2 đường cong ( ) [ ( ) {( , ) | , ( ) ( )} ( )] d c S x y c y d g y x f y A S f y g y dy        S 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-25 Diện tích giữa 2 đường cong  Ví dụ. Tính diện tích phần hình phẳng được tô đậm sau 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-26 Diện tích giữa 2 đường cong  Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường 21, 2 6y x y x    12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-27 Thể tích 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy ( ) b a V A x dx  7-28 Thể tích  Ví dụ. Tính thể tích hình cầu bán kính r 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 3 r r r r r r y r x A x y r x V A x dx r x dx x r x r                           7-29 Thể tích vật thể tròn xoay 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2 ( ) b y a V xf x dx 2[ ( )] b x a V f x dx  7-30 6 Bài tập  308  448  508  547 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-31