Bài giảng Toán cao cấp - Bài 1: Hàm số - Giới hạn - Liên tục - Nguyễn Hải Sơn

1 v1.0 BÀI 1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN - LIÊN TỤC Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn 2 v1.0 LÍ THUYẾT 1. Hàm số một biến số: Định nghĩa, đồ thị, tính đơn điệu, tính chẵn lẻ,, hàm số hợp và hàm ngược. 2. Dãy số: Khái niệm dãy số, dãy đơn điệu, dãy bị chặn, các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn, các định lí về giới hạn. 3. Giới hạn: Khái niệm, các tính chất của giới hạn hàm số, VCB, VCL, các phương pháp tính giới hạn. 4. Sự liên tục của hàm số: Hàm số liên tục và các tính chất. 3 v1.0 VÍ DỤ 1 Cho các hàm số và Xác định hàm số hợp của g và f , hàm hợp của f và g. Hướng dẫn: • Một hàm số được xác định khi biết tập xác định và công thức của hàm số đó. • Khái niệm hàm số hợp: “ Cho thỏa mãn • Hàm hợp của và :   f : , f(x) 2x    g : ,g(x) 1 x : X , x u (x)     f : U ,u y f(u)   : , ( ) ( ( ))h X x h x f x    f (x) U, x X    4 v1.0 VÍ DỤ 1 (tiếp theo) Lời giải: Hàm số hợp của g và f là: và hàm số hợp của f và g là: Nhận xét: • • Sai lầm thường gặp: nhầm lẫn giữa “hàm hợp của f và g” với “hàm hợp của g và f”. h : , x h(x)   h(x) g(f(x)) g(2x) 2x 1    k : , x k(x)   k(x) f(g(x)) f(1 x) 2(1 x) 2x 2       f(g(x)) g(f(x)) 5 v1.0 Hàm hợp của hai hàm số f(u) = cosu và u(x) = 2x là hàm số nào sau đây? VÍ DỤ 2 a. h(x) = cos(2x) b. h(x) = 2cosx c. h(x) = cosx d. h(x) = 2cos(2x) 6 v1.0 Hàm hợp của hai hàm số f(u) = cosu và u(x) = 2x là hàm số nào sau đây?  f(u(x)) f(2x) cos(2x)  VÍ DỤ 2 (tiếp theo) a. h(x) = cos(2x) b. h(x) = 2cosx c. h(x) = cosx d. h(x) = 2cos(2x)  x x x 7 v1.0 Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng: a. Dãy bị chặn trên. b. Dãy đơn điệu tăng. c. Dãy đơn điệu giảm. d. Dãy bị chặn. VÍ DỤ 3 Cho dãy số:    n 1;2;3,4;...;n;... 8 v1.0 VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem lại khái niệm về dãy đơn điệu và bị chặn Dãy gọi là: • Dãy tăng nếu xn < xn+1 • Dãy giảm nếu xn > xn+1 • Dãy đơn điệu nếu nó là dãy tăng hoặc dãy giảm • Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho x • Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho xn • Bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Như vậy, dãy là bị chặn nếu có các số m và M sao cho  xn m x M, nn   n  n  M, n   m, n   9 v1.0 Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng: VÍ DỤ 3 (tiếp theo) a. Dãy bị chặn trên. b. Dãy đơn điệu tăng. c. Dãy đơn điệu giảm. d. Dãy bị chặn.  x x x n nx n   1 2(x 1 x 2)   (1 2 3 4 ...)    Cho dãy số:    n 1;2;3,4;...;n;... Nhận xét: Sai lầm thường gặp: • Cho rằng “dãy đơn điệu là dãy vừa đơn điệu tăng, vừa đơn điệu giảm”; • Cho rằng “dãy bị chặn là dãy bị chặn trên hoặc bị chặn dưới”. 10 v1.0 Cho dãy số: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng: a. Dãy đơn điệu. b. Dãy đơn điệu tăng. c. Dãy đơn điệu giảm. d. Dãy bị chặn.      n n1 1;1; 1;1;..., 1 ,...     VÍ DỤ 4 11 v1.0 Cho dãy số: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng: a. Dãy đơn điệu. b. Dãy đơn điệu tăng. c. Dãy đơn điệu giảm. d. Dãy bị chặn.      n n1 1;1; 1;1;..., 1 ,...     VÍ DỤ 4 (tiếp theo)  x x x 1 2x 1 x 1    2 3x 1 x 1    n n1 x ( 1) 1, n      12 v1.0 Mệnh đề nào sai? a. Dãy không hội tụ thì phân kỳ b. Dãy không phân kỳ thì hội tụ c. Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không phân kỳ. d. Không có dãy số nào không hội tụ, mà cũng không phân kỳ. VÍ DỤ 5 13 v1.0 VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Hướng dẫn: Bài 1, mục 1.2.2: Dãy {xn} được gọi là dãy hội tụ nếu tồn tại số a để . Trong trường hợp ngược lại, ta nói dãy phân kỳ. Như vậy, một dãy số chỉ có thể là hội tụ hoặc phân kỳ. nx limx a  14 v1.0 Mệnh đề nào sai? a. Dãy không hội tụ thì phân kỳ b. Dãy không phân kỳ thì hội tụ c. Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không phân kỳ. d. Không có dãy số nào không hội tụ, mà cũng không phân kỳ. VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Nhận xét: Sai lầm thường gặp: Hiểu sai khái niệm • Dãy hội tụ; • Dãy phân kì; => Đọc kĩ các khái niệm.  x x x 15 v1.0 Mệnh đề nào đúng? a. Dãy bị chặn thì hội tụ. b. Dãy hội tụ thì bị chặn. c. Dãy phân kỳ thì không bị chặn. d. Dãy không hội tụ thì không bị chặn. VÍ DỤ 6 16 v1.0 VÍ DỤ 6 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem lại mục 1.2.3 (tr.13) 1.2.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 1.2.3.1. Tính duy nhất của giới hạn Định lý: Nếu một dẫy có giới hạn (hữu hạn) thì: • Dãy đó là dãy bị chặn; • Giới hạn là duy nhất. 17 v1.0 Mệnh đề nào đúng? a. Dãy bị chặn thì hội tụ. b. Dãy hội tụ thì bị chặn. c. Dãy phân kỳ thì không bị chặn. d. Dãy không hội tụ thì không bị chặn. VÍ DỤ 6 (tiếp theo) Chú ý: vừa là dãy bị chặn, vừa là dãy phân kì nhưng không hội tụ. n( 1)  x x x 18 v1.0 Hàm số f(x) gọi là một VCB khi x  a nếu: x 0 x a x a x a a. lim f(x) a b. lim f(x) c. lim f(x) d. lim f(x) 0           VÍ DỤ 7 19 v1.0 VÍ DỤ 7 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem khái niệm VCB, VCL (tr.16) 1.3.3. Vô cùng lớn, vô cùng bé 1.3.3.1. Khái niệm • Đại lượng f(x) gọi là một vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi nếu Ở đây, a có thể là hữu hạn hay vô cùng. Từ định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra rằng nếu: f(x) A khi x a thì f(x) A (x)     x 2 lim f(x) 0  x a Trong đó là một VCB khi • Đại lượng F(x) gọi là một vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi nếu x a(x) x a x 2 lim F(x)   20 v1.0 Nhận xét: Sai lầm thường gặp: • Hiểu VCB là rất nhỏ nên cho rằng f(x) là VCB khi nếu cũng như VCL là số rất lớn. nên cho rằng f(x) là VCL khi nếu • Không để ý đến quá trình . Chú ý cùng là một hàm số f(x), có lúc là VCB, có lúc là VCL tùy thuộc vào quá trình x tiến đến đâu. Ví dụ: f(x) = x là VCB khi và là VCL khi x a x a lim f(x)   x  x a x a lim f(x)   x a x 0 x a x 0 x a x a a. lim f(x) a b. lim f(x) c d. lim f(x) 0 . lim f(x)            x x x VÍ DỤ 7 (tiếp theo) 21 v1.0 Hàm số f(x) gọi là một VCL khi x  a nếu: x 0 x a x a x a a. lim f(x) b. lim f(x) c. limf(x) d. limf(x) 0            VÍ DỤ 8 22 v1.0 Hàm số f(x) gọi là một VCL khi x  a nếu: VÍ DỤ 8 (tiếp theo) x x a x a x a 0 b. lim f a. lim f(x) c. limf(x) d. limf( ) (x) x 0             x x x 23 v1.0 2f(x) xVCB nào sau đây là tương đương với VCB khi x0 ?     1 2 3 2 4 2x a. f (x) arcsin x b. f (x) e 1 c. f (x) 1 cos x d. f (x) arc tg x       VÍ DỤ 9 24 v1.0 VÍ DỤ 9 (Tiếp theo) Hướng dẫn: Xem phần “So sánh các vô cùng bé” (tr. 17) và “các vô cùng bé tương đương thường gặp”(tr.18). Chẳng hạn, là VCB bậc cao hơn nếu m>n và cùng bậc nếu m= n khimx nx Bậc của các VCB Định nghĩa: Giả sử là hai VCB khi . • Nếu ; ta nói rằng là VCB bậc cao hơn. • Nếu ; ta nói rằng là VCB bậc thấp hơn. • Nếu ; ta nói rằng và là hai VCB cùng bậc. • Nếu không tồn tại, ta nói rằng không thể so sánh hai VCB và (x), (x)  x a x a (x)lim 0 (x)   x a (x)lim (x)    x a (x)lim A ( 0, ) (x)      x a (x)lim (x)   (x) (x) x 0 25 v1.0 VÍ DỤ 9 (tiếp theo) usinu tgu arcsinu arct gu ln(u 1) (e 1) u       Khi u = u(x)  0 , ta có: • Nhận xét: 2 VCB tương đương là trường hợp đặc biệt của 2 VCB cùng bậc. x a x a (x) lim 1 (x)   VCB tương đương • Định nghĩa: Hai VCB và khác 0 khi gọi là tương đương với nhau nếu (x) (x) • Ký hiệu: (x) (x)  Một số các VCB tương đương thường gặp (nên ghi nhớ) là: 26 v1.0 VÍ DỤ 9 (tiếp theo)   1 3 2 4 2 2x a. f (x) arcsin x c. f (x) 1 cos x d. f (x) arc tg b. f (x) 1 x e          x x x (arcsin x x) 22xe 1 x     2 2 2x x x1 cosx 2sin 2 2 2 2                2 2arc tg x x x 27 v1.0 VCB nào sau đây có bậc thấp hơn VCB khi x  0 ?     1 5 x 2 3 3 24 2a. f ( x ) s in x b . f ( x ) e 1 c . f ( x ) ln ( c o s x ) d. f ( x ) tg x      2f(x) x VÍ DỤ 10 28 v1.0 VCB nào sau đây có bậc thấp hơn VCB khi x  0 ?2f(x) x VÍ DỤ 10 (tiếp theo)    3 24 1 5 x 2 3 2a. f ( x ) s in x b . f ( x ) e 1 c . d f . ( x ) l f ( x ) tg x n ( c o s x )         2 2 22sin x sin x x x     2xln(cosx) ln[1 (1 cosx)] 1 cosx ... 2        3 32 2tgx x     55 5x 2e 1 x x    x x x 29 v1.0 Giới hạn bằng: a. 0 b. 1 3c. 2 2d. 3 2xx 0 sin3xlim e 1  VÍ DỤ 11 30 v1.0 Giới hạn bằng:2xx 0 sin3xlim e 1  Hướng dẫn: Phương pháp thay tương đương Định lý: Nếu và là hai VCB khi 1 1x a, (x) (x), (x) (x)     (x) (x) 1 x a x a 1 (x)(x)lim lim (x) (x)    khi x a thì: VÍ DỤ 11 (tiếp theo) 2x 2xx 0 x 0 sin3x 3x 3Khi x 0 : sin3x 3x; e 1 2x lim lim 2x 2e 1        a. 0 b. 3c. 2 1 2d. 3     31 v1.0 VÍ DỤ 12 Giới hạn bằng: a. 0 b. 1 3c. 2 2d. 3   x 0 arctg 2x lim 3x 32 v1.0 VÍ DỤ 12 (tiếp theo) Giới hạn bằng:  x 0 arctg 2x lim 3x       x 0 x 0 arctg 2x 2x 2Khi x 0: arctg(2x) 2x lim lim 3x 3x 3      a. 0 b. 1 3c. 2d 2 . 3 33 v1.0 Giới hạn bằng: 2a. 3 1b . 5 3c. 2 d. 2 2n 2n n 1lim 3n 5    Không tồn tại VÍ DỤ 13 34 v1.0 Giới hạn bằng: 2a. 3 1b . 5 3c. 2 d. 2 2n 2n n 1lim 3n 5    Không tồn tại VÍ DỤ 13 (tiếp theo)     2 2 2n n 2 1 122n n 1 2n nlim lim 53n 5 33 n         Nhận xét: Phương pháp giải dạng bài này là chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của tử và mẫu rồi dùng giới hạn kn n 1lim 0 n  35 v1.0 2a. 3 1b. 2 1c. 2 2d. 3   2 2n n 3n 4lim 2n 3    Giới hạn bằng: VÍ DỤ 14 36 v1.0 2 2n n 3n 4lim 2n 3    Giới hạn bằng: VÍ DỤ 14 (tiếp theo)   2a. 3 1c. 1b. 2 2d 2 . 3     37 v1.0 Khẳng định nào sau đây đủ để kết luận f(x) liên tục tại thuộc MXĐ? 0x x x0x x0 lim f(x), lim f(x)    a. c. b. x x0x x0 lim f (x ) lim f (x )    x 0 lim f(x) d. 0x x0lim f (x) f (x )  VÍ DỤ 15 38 v1.0 Khẳng định nào sau đây đủ để kết luận f(x) liên tục tại thuộc MXĐ? 0x VÍ DỤ 15 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem khái niệm hàm số liên tục (tr.18) 1.3.4. Hàm số liên tục 1.3.4.1. Định nghĩa • f là một hàm số xác định trong khoản (a, b), x0 là một điểm thuộc (a, b). Ta nói rằng hàm số f liên tục tại x0 nếu: • Nếu hàm số f không liên tục tại x0, ta nói rằng nó gián đoạn tại x0. 0x x0 lim f(x) f(x )      x x0x x0 lim f(x), lim f(x)    a. c. b. x x0x x0 lim f (x ) lim f (x )    x 0 lim f(x) d. 0x x0lim f (x) f (x )  39 v1.0 Với số a bằng bao nhiêu thì hàm số sau liên tục trên , xe khi x 0 f(x) a x khi x 0     a. 0 b. 1 c. Không tồn tại d. Với mọi a VÍ DỤ 16 40 v1.0 Với số a bằng bao nhiêu thì hàm số sau liên tục trên , xe khi x 0 f(x) a x khi x 0     a. 0 b. 1 c. Không tồn tại d. Với mọi a Hướng dẫn: f(x) liên tục trên f(x) liên tục tại x = 0  x 0 x 0 lim f(x) lim f(x) f(0)      x 0 lim f(x) f(0)  VÍ DỤ 16 (tiếp theo) x x 0 x 0 x 0 x 0 x 0x 0 lim f(x) lim(a x) a; lim f(x) lim e 1, f(0) a Do lim f(x) lim f(x) f(0) a 1                   đó    41 v1.0 Câu 1. Có phải nếu ta có quan hệ giữa các VCB khi x  a m nf(x) x ,g(x) x  và m > n thì f(x) là VCB có bậc lớn hơn g(x) không? Điều này có áp dụng được cho các VCL hay không? Trả lời: Đúng và có thể áp dụng cho các VCL. Câu 2. Cách làm sau đúng hay sai? Khi x0 thì 3 3x 0 x 0 tgx sin x x xtgx sin x x lim lim 0 x x       Trả lời: Sai, vì định lí thay tương đương chỉ áp dụng cho các thừa số chứ không áp dụng cho các số hạng. MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP