Bài giảng Toán cao cấp - Bài 2: Đạo hàm - Vi phân - Nguyễn Hải Sơn

1 v1.0 BÀI 2 ĐẠO HÀM - VI PHÂN Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn 2 v1.0 1. Đạo hàm, đạo hàm cấp cao, bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản, các phép toán về đạo hàm, đạo hàm hàm hợp; 2. Vi phân, vi phân cấp cao, các phép toán về vi phân, vi phân hàm hợp; 3. Công thức Taylo, quy tắc L’Hospitan (Lôpitan); 4. Ứng dụng tính giới hạn và khảo sát hàm số: Sự biến thiên, cực trị, LÍ THUYẾT 3 v1.0 Khẳng định nào đúng: a. f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0. b. f(x) liên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x0. d. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không xác định tại x0. c. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không liên tục tại x0. VÍ DỤ 1 4 v1.0 Khẳng định nào đúng: Hướng dẫn: Xem khái niệm đạo hàm, có nhận xét sau: a. f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0. b. f(x) liên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x0. d. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không xác định tại x0. c. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không liên tục tại x0. VÍ DỤ 1 (tiếp theo) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0. 5 v1.0 Khẳng định nào đúng: a. f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0. b. f(x) liên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x0. d. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không xác định tại x0. c. f(x) không có đạo hàm tại x0 thì f(x) không liên tục tại x0.  Chú ý: f(x) = |x| xác định tại x = 0, liên tục tại x = 0, có đạo hàm phải và đạo hàm trái tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0. (=> b, c, d sai). VÍ DỤ 1 (tiếp theo)    6 v1.0 Cho hàm số f(x)=|x|. Khẳng định nào sau đây không đúng? a. f(x) có đạo hàm với mọi x khác 0. b. f(x) có đạo hàm phải tại x = 0. c. f(x) có đạo hàm trái tại x = 0. d. f(x) có đạo hàm tại x = 0. VÍ DỤ 2 7 v1.0 Cho hàm số f(x)=|x|. Khẳng định nào sau đây không đúng? a. f(x) có đạo hàm với mọi x khác 0. b. f(x) có đạo hàm phải tại x = 0. c. f(x) có đạo hàm trái tại x = 0.     VÍ DỤ 2 (tiếp theo) d. f(x) có đạo hàm tại x = 0. 8 v1.0 VÍ DỤ 3 Đạo hàm của hàm số f(x) = x5 bằng: a. 5x b. 5x4 c. d. 0 6x 6 9 v1.0 VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Hướng dẫn: • Xem bảng đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản (tr.25); • Đây là hàm có dạng x. 10 v1.0 BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 11 v1.0 Đạo hàm của hàm số f(x) = x5 bằng: a. 5x b. c. 5x4 d. 0 Nhận xét: Sai lầm chủ yếu do không nắm được công thức đạo hàm của các hàm số.     VÍ DỤ 3 (tiếp theo) 6x 6 (x5)’ = 5x5 – 1 = 5x4 12 v1.0 Đạo hàm của hàm số f(x) = arccosx bằng: a. b. c. d. VÍ DỤ 4 2 1 1 x 2 1 1 x   2 1 1 x 2 1 1 x   13 v1.0 Đạo hàm của hàm số f(x) = arccosx bằng: a. b. c. d. VÍ DỤ 4 (tiếp theo) 2 1 1 x 2 1 1 x   2 1 1 x    211 x  f(x) = arccosx 14 v1.0 Đạo hàm của hàm số f(x) = tg(lnx) bằng: a. b. c. d. VÍ DỤ 5 2 1 xcos (ln x) 2 1 cos (ln x) 2 1 ln x cos x 2 ln x cos x 15 v1.0 Hướng dẫn: Xem các phép toán về đạo hàm, đạo hàm của hàm hợp (mục 1.2.1, tr.24). VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm theo x, hàm số y = f(x) có đạo hàm theo u thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). 2 u (x) (tgu(x)) cos u(x)   1(ln x) (x 0) x    16 v1.0 Đạo hàm của hàm số f(x) = tg(lnx) bằng: a. b. c. d. VÍ DỤ 5 (tiếp theo) 2 1 xcos (ln x) 2 1 cos (ln x) 2 1 ln x cos x 2 ln x cos x     2 2 1 1 1(tg(ln x)) tg (ln x).(ln x) .(ln x) . cos (ln x) cos (ln x) x       17 v1.0 Đạo hàm của hàm số f(x) = sin(cos22x) bằng:         2 2 2 a. cos cos 2x b. cos 2cos2x c. cos sin 2x d. 2cos cos 2x sin4x– VÍ DỤ 6 18 v1.0 Đạo hàm của hàm số f(x) = sin(cos22x) bằng:         2 2 2 a. cos cos 2x . b. cos 2cos2x . c. cos sin 2x . d. 2cos cos 2x sin4x.– Chú ý: 2sin .cos sin2    VÍ DỤ 6 (tiếp theo)             2 2 2 2 2 2 2 sin(cos 2x) cos(cos 2x). cos 2x cos(cos 2x).2cos2x cos2x cos(cos 2x).2cos2x.( sin(2x)). 2x 2.cos(cos 2x).2cos2x.sin2x 2.cos(cos 2x).sin4x          19 v1.0 VÍ DỤ 7 Đạo hàm cấp hai của hàm số bằng:2f(x) ln 1 x        2 22 2 22 22 1 xa. 1 x 1b. 1 x xc. 1 x 2xd. 1 x      20 v1.0 VÍ DỤ 7 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem khái niệm Đạo hàm cấp cao: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp một của f(x). Đạo hàm, nếu có của đạo hàm cấp một gọi là đạo hàm cấp hai. Kí hiệu là: y” = f”(x). Vậy: y” = f”(x) = (f’(x))’. Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) của f(x) gọi là đạo hàm cấp n, kí hiệu là f(n)x: Vậy y(n) = f(n)(x) = (f(n – 1)(x))’. 21 v1.0 Đạo hàm cấp n của hàm số f(x) = lnx bằng: VÍ DỤ 8 n (n) n 1 n 1 (n) n n 1 (n) n n ( 1) n!a. f (x) x ( 1) n!b. f (x) x ( 1) .(n 1)!c. f (x) x (n 1)!d. x          22 v1.0 Đạo hàm cấp n của hàm số f(x) = lnx bằng: Hướng dẫn: • Xem lại khái niệm đạo hàm cấp cao (tr.30). • Tính thử các đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp 3, của f(x), rồi kiểm tra các phương án với n = 1, 2, 3. Từ đó chọn ra phương án thỏa mãn. VÍ DỤ 8 (tiếp theo) n (n) n 1 n 1 (n) n n 1 (n) n n ( 1) n!a. f (x) x ( 1) n!b. f (x) x ( 1) .(n 1)!c. f (x) x (n 1)!d. x              2 3 1 1f (x) ; f (x) ; x x 2f (x) x       Kiểm tra n = 1, 2, 3. 23 v1.0 Vi phân của hàm số là: 2f(x) ln(x x 4)   VÍ DỤ 9 2 2 2 2 1a. x 4 dxb. x 4 1c. x 4 dxd. x 4       24 v1.0 Hướng dẫn: Công thức df(x) = f’(x).dx VÍ DỤ 9 (tiếp theo) 2 2 2 2 1a. x 4 dxb. x 4 1c. x 4 dxd. x 4               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 / 2 2 1f (x) . x x 4 x x 4 x 41 1 2x1 1 x x 4 2 x 4 x x 4 2 x 4 1 x 4 x 1. x x 4 x 4 x 4 1 dxdf(x) f (x)dx dx x 4 x 4                                           Nhận xét: • Việc tính vi phân của f(x) thực ra là việc tính đạo hàm của f(x), sau đó thay vào công thức. • Sai lầm thường gặp: Thiếu dx trong công thức df(x) = f’(x).dx 25 v1.0 Vi phân của hàm số f(x) = x(ln x – 1) là: a. dx b. ln xdx c. 1 d. ln x VÍ DỤ 10 26 v1.0 Vi phân của hàm số f(x) = x(ln x – 1) là: a. dx b. ln xdx c. 1 d. ln x VÍ DỤ 10 (tiếp theo)     1f (x) (ln x 1) x. ln x x      27 v1.0 Giới hạn bằng: 2x 1 x xlim x 1   VÍ DỤ 11 1a. 2 1b. 2 1c. 4 1 d. 4   28 v1.0 VÍ DỤ 11 (tiếp theo) Hướng dẫn: Qui tắc L’Hospital (Lôpitan) (tr.33) Định lý: Giả sử các hàm số u(x) và v(x) thỏa mãn các điều kiện: Giới hạn có dạng vô định hoặc , tức là hai hàm số u(x) và v(x) cùng có giới hạn hoặc cùng có giới hạn vô hạn. Tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô hạn). Khi đó . x a u(x) lim v(x) 0 0   x a u '(x) lim v '(x) x a x a u(x) u '(x) lim lim v(x) v '(x)   29 v1.0 Giới hạn bằng: 2x 1 x xlim x 1   VÍ DỤ 11 (tiếp theo) 1a. 2 1b. 2 1c. 4 1 d. 4   Chú ý: Trong phát biểu của định lý a có thể hữu hạn hoặc vô cùng.     (L) 2 2x 1 x 1 x 1 x x ( x x)lim lim x 1 (x 1) 1 11 1 12 x 2lim 2x 2 4              30 v1.0 Nhận xét: • Để làm tốt phương pháp này, cần tính thành thạo đạo hàm các hàm số; • Khi tính một giới hạn có thể sử dụng quy tắc Lôpitan nhiều lần; • Sai lầm thường gặp: Tiếp tục dùng qui tắc Lôpitan khi giới hạn đã về dạng xác định. Chẳng hạn: 2 (L ) 3 2 2x 1 x 1 2 (L ) (L ) 3 2 2x 1 x 1 x 1 x 1 2x 2lim lim = 2 ( úng) x x 3x 2x 3 2 x 1 2x 2 2 1 lim lim lim = (sai) x x 3x 2x 6x 2 6 2 2 ®                 Lưu ý: là dạng xác định. VÍ DỤ 11 (tiếp theo) 2x 1 2xlim 3x 2x  31 v1.0 Giới hạn bằng: 3 2 3 2x 2x 5x 1lim 3x x 6x     VÍ DỤ 12 2a. 3 5b. 6 c. 0 d.  32 v1.0 Giới hạn bằng: 3 2 3 2x 2x 5x 1lim 3x x 6x     VÍ DỤ 12 (tiếp theo) 2a. 3 5b. 6 c. 0 d.      3 2 2 (L ) 3 2 2x x (L ) (L ) x x 2x 5x 1 6x 10xlim lim 3x x 6x 9x 2x 6 12x 10 12 2 lim lim 18x 2 18 3                     33 v1.0 Giới hạn bằng:2 x 0 lim x ln x VÍ DỤ 13 a. 1 b. 0 c. 2 d. – 1 34 v1.0 • Dạng vô định 0. • Dạng vô định  –  1 1 u 0 v lim(uv) lim (d ng ) ho c lim(uv) lim (d ng ) v 0 u ¹ Æ ¹     1 1 0v ulim(u v) lim (d ng ) 1 0 uv ¹    Hướng dẫn: Xem mục 2.6.1.2, tr.33. Tất cả các dạng vô định khác đều có thể biến đổi về dạng hoặc .0 0   VÍ DỤ 13 (tiếp theo) 35 v1.0 Giới hạn bằng:2 x 0 lim x ln x VÍ DỤ 13 (tiếp theo) a. 1 b. 0 c. 2 d. – 1   2 x 0 x 0 2 / 2 (L ) / x 0 x 0 x 0 3 2 ln xlim x ln x lim 1 x 1ln x xxlim lim lim 0 2 21 x x                       36 v1.0 Giới hạn bằng: x 2 1lim tgx cos x     VÍ DỤ 14 a. 0 b. 1 c. + d. – 37 v1.0 Giới hạn bằng: x 2 1lim tgx cos x     VÍ DỤ 14 (tiếp theo) a. 0 b. 1 c. + d. – (L) x x x 2 2 2 1 1 sin x cosxlim tgx lim lim 0 cos x cos x sin x                 38 v1.0 Giới hạn bằng: 2 1 x x 1 lim x  VÍ DỤ 15 a. –1 b. 2 c. e–2 d. e2 39 v1.0 VÍ DỤ 15 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem mục 2.6.1.2, tr.33. Các dạng vô định 1, 00 và 0 xuất hiện khi tính giới hạn của biểu thức uv, trong đó u = u(x) > 0 và v = v(x): • Nếu u  1 và v   thì lim uv có dạng vô định 1; • Nếu u  0 và v  0 thì lim uv có dạng vô định 00; • Nếu u  + và v  0 thì lim uv có dạng vô định 0. • Nếu đặt y = uv thì trong cả ba trường hợp này giới hạn của biểu thức lny = vlnu đều có dạng 0. (dạng này đã được chỉ dẫn cách tính ở trên); • Nếu tính được lim(lny) = k thì ta được: limy = lim elny = ek. 40 v1.0 Giới hạn bằng: 2 1 x x 1 lim x  VÍ DỤ 15 (tiếp theo) a. –1 b. 2 c. e–2 d. e2 Nhận xét: Phương pháp thay tương đương (Bài 1) và pp sử dụng quy tắc Lôpitan là 2 phương pháp tính giới hạn rất hiệu quả.     x 1 2 2 lim ln x 1 x 1 x x 1 (L) x 1 x 1 2 21 x x 1 lim x e 2 2.ln x xlim lim 2 1 x 1 lim x e               41 v1.0 Giới hạn bằng: 2x x 0 lim x VÍ DỤ 16 a. 1 b. 0 c. + d. e 42 v1.0 Giới hạn bằng: 2x x 0 lim x VÍ DỤ 16 (tiếp theo) a. 1 b. 0 c. + d. e     43 v1.0 Câu 1: Qui tắc Lôpitan có thể áp dụng cho những trường hợp nào? Trả lời: Chỉ cho 2 dạng vô định: . Muốn sử dụng quy tắc Lopitan cho các dạng vô định khác phải biến đổi về 2 dạng trên. Câu 2: Trong qui tắc Lôpitan, nếu giới hạn không tồn tại có suy ra được không tồn tại không? Trả lời: Không suy được như vậy. x a u (x) lim v (x)   x a u(x) lim v(x) 0 , 0   MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP