Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính

1CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ánh xạ tuyến tính (phép biến đổi tuyến tính) từ một không gian véc tơ vào không gian véc tơ là ánh xạ bảo toàn phép cộng véc tơ và phép nhân một số với véc tơ Nhà toán học Peano (Italia) là người đầu tiên đưa ra khái niệm ánh xạ tuyến tính (1888) Tương ứng giữa ánh xạ tuyến tính và ma trận của nó là một đẳng cấu bảo toàn phép cộng, phép nhân một số với ma trận và phép nhân hai ma trận Chính vì lý do này nên một bài toán về ma trận, hệ phương trình tuyến tính có thể giải quyết bằng phương pháp ánh xạ tuyến tính và ngược lại Hạng của ánh xạ tuyến tính bằng hạng của ma trận của nó 10/07/2017 1 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1.1 Định nghĩa và ví dụ Ánh xạ f từ không gian véc tơ V vào không gian véc tơ W thoả mãn với mọi u, vV, R:  ( ) ( ) ( )( ) ( )f u v f u f vf u f u    được gọi là ánh xạ tuyến tính (đồng cấu tuyến tính hay gọi tắt là đồng cấu) từ V vào W Khi V W thì f được gọi là tự đồng cấu 10/07/2017 2 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.1 2) Ánh xạ đồng nhất Id :V V V Id ( )Vu u u 1) Ánh xạ không :V W0 ( ) 0u u 0 Ánh xạ 1), 2), 3) là ánh xạ tuyến tính; 2), 3) là tự đồng cấu; 10/07/2017 3 3) Phép vị tự tỉ số k VVf : kuufu )(a CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 6) Cho ma trận ij m n A a      Do đó ánh xạ : n mT   ),...,(),...,(),...,( 111 mnn yyxxTxx a 1 1 ij m n y x a y x                        là một ánh xạ tuyến tính Ngược lại ta có thể chứng minh được mọi ánh xạ tuyến tính từ Rn vào Rm đều có dạng như trên 1 1 1 1' ' ' 'n n n n x x x x A A A x x x x                                                      Ta có thể kiểm tra được đẳng thức Xác định bới 10/07/2017 4 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 7) Phép quay góc  2 2:f   ( , ) ( , ) ( , )x y f x y X Y  ( , )v x y ( ) ( , )f v X Y ( ) (cos sin )( )iX iY e x iy i x iy        ( cos sin ) ( sin cos )X iY x y i x y        ( , ) ( cos sin , sin cos )f x y x y x y       Vậy phép quay góc  là một ánh xạ tuyến tính 10/07/2017 5 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1.2. Tính chất Định lý 5.1 Nếu f : V  W là một ánh xạ tuyến tính thì (i) 00 )(f (ii) với mọi Vv : )()( vfvf  (iii) 1 1 ( ) n n i i i i i i f x v x f v           , 1 1,..., , ,...,n nx x v v V    . Định lý 5.2 Ánh xạ f : V  W là một ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi với mọi u, vV, R: ( ) ( ) ( )f u v f u f v      10/07/2017 6 2CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định lý 5.3 Mỗi ánh xạ tuyến tính V vào W hoàn toàn được xác định bởi ảnh một cơ sở của V. Tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính f : V  W sao cho niuef ii ,...,1,)(  Nghĩa là với cơ sở B  {e1, , en} cho trước của V khi đó với mỗi hệ véc tơ u1, , un  W  Tồn tại: Với mọi ,Vv giả sử ),...,( 1 nxx là tọa độ của v trong cơ sở B , nghĩa là nnexexv  ...11 . Đặt Wuxuxvf nn  ...)( 11 f là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn ,)( ii uef  với mọi ni ,...,1  Duy nhất: Giả sử WVg : là ánh xạ tuyến tính sao cho ,)( ii ueg  với mọi ni ,...,1 khi đó với bất kỳ nnexexvVv  ..., 11 1 1 1 1 1 1( ) ( ... ) ( ) ... ( ) ... ( )n n n n n ng v g x e x e x g e x g e x u x u f v          Vậy fg  10/07/2017 7 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Hệ quả 5.4 f , g : V  W là hai ánh xạ tuyến tính B  {e1, , en} là một cơ sở của V Khi đó ( ) ( ); 1,...,i if g f e g e i n     Giả sử f : V  W là đồng cấu tuyến tínhVí dụ 5.2 Chứng minh rằng f toàn cấu khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu g : W  V sao cho f g(v)  v, vW Giả sử f toàn cấu,  1,..., ne eB là một cơ sở của W Tồn tại 1,..., nu u V sao cho ( )i if u e Xét ánh xạ tuyến tính VWg : xác định bởi ( )i ig e u Vì ( ) ;i i if g e e e   B do đó IdWf g  10/07/2017 8 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1.3 Các phép toán trên các ánh xạ tuyến tính Ta định nghĩa phép cộng hai ánh xạ tuyến tính bởi công thức ( )( ) ( ) ( )f g v f v g v   ( )( ) ( )kf v kf v Và phép nhân một số với ánh xạ tuyến tính bởi công thức 10/07/2017 9 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.3: Cho hai ánh xạ tuyến tính f, g: R3  R2 có công thức xác định ảnh ( , , ) (3 5 2 ,4 6 )f x y z x y z x y z     ( , , ) (2 6 7 , 5 )g x y z x y z x z    3 ( , , ) (9 15 6 ,12 3 18 )f x y z x y z x y z      2 ( , , ) (4 12 14 ,2 10 )g x y z x y z x z    (3 2 )( , , ) (5 27 20 ,10 3 8 )f g x y z x y z x y z       10/07/2017 10 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Cho f và đa thức bậc n 0( ) n np t a a t   ta ký hiệu 0( ) Id n V np f a a f   Trong đó n n f f f  lÇn 0 IdVf  1f f Ví dụ 5.4: Cho ánh xạ tuyến tính f : R2  R2 có công thức xác định ảnh ( , ) (3 5 ,4 )f x y x y x y    2( , ) 3(3 5 ) 5(4 ),4(3 5 ) (4 ) ( 11 20 ,16 19 )f x y x y x y x y x y x y x y           Cho đa thức 2( ) 50 9 2p t t t    2( )( , ) 50Id 9 2 ( , ) ( 5 , 4 3 )Vp f x y f f x y x y x y        10/07/2017 11 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 10/07/2017 12 5.2 NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính Nhân của f    1Ker ( )f f v V f v V    0 0 : Ker ( )v V v f f v     0 Ảnh của f  Im ( ) ( )f f V f v v V W    : Im : ( )u W u f v V u f v       Hạng của f ( ) dimImr f f Định lý 5.5 Kerf là không gian con của V, Im f là kg con của W 3CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Với mọi ánh xạ tuyến tính f : V  W ta cóĐịnh lý 5.6 dim ( ) dimKerV r f f  Giả sử  1,..., me e là một cơ sở của Ker f (khi  Ker f  0 thì m = 0) Ta có thể bổ sung để  1 1,..., , ,...,m m m ke e e e  là một cơ sở của V Ta sẽ chứng minh  1( ),..., ( )m m kf e f e  là một hệ sinh, độc lập tuyến tính của Im f (do đó là một cơ sở) 1 1 1 1Im , : ( ); ... ...m m m m m k m ku f v V u f v v x e x e x e x e              1 1 1 1( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( )m m m m m k m ku f v x f e x f e x f e x f e          1 1( ) ... ( )m m m k m ku x f e x f e       1 1 1 1( ) ... ( ) ... Kerm k m k m k m ky f e y f e y e y e f         0 1 1 1 1... ...m k m k m my e y e z e z e       1 1 1 1 1... ... ... 0m k m k m m ky e y e z e z e y y           0 10/07/2017 13 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH S là một hệ sinh của V thì f (S) là một hệ sinh của Im f Do đó mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của  1( ),..., ( )nf e f e là cơ sở của Im f Đặc biệt nếu  1,..., ne eB là một cơ sở của V thì  1( ),..., ( )nf e f e là một hệ sinh của Im f 10/07/2017 14 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.5 Xét ánh xạ tuyến tính f : R4  R3 có công thức xác định ảnh:  ( , , , ) 2 3 5 ,3 2 3 4 , 3 6f x y z t x y z t x y z t x z t         Tìm một cơ sở của Im f, Ker f. Giải: 4( , , ) Im ( , , , ) : ( , , ) ( , , , )a b c f x y z t a b c f x y z t    Nói cách khác khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm ( , , ) Ima b c f 2 3 5 3 2 3 4 3 6 x y z t a x y z t b x z t c              Từ đó suy ra hạng r ( f ) 10/07/2017 15 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Sử dụng phương pháp khử Gauss ta được 2 1 3 5 1 0 3 6 1 0 3 6 3 2 3 4 0 1 3 7 2 0 1 3 7 2 1 0 3 6 0 1 3 7 0 0 0 0 2 a c c b a c a c c b a c b a c                                              Hệ phương trình có nghiệm khi 2 0b a c   ( , , ) Im ( ,2 , ) (1,2,0) (0, 1,1)u a b c f u a a c c a c        Vậy Im f có một cơ sở là  (1,2,0), (0, 1,1) ( , , , ) Kerv x y z t f  khi và chỉ khi (x,y,z,t) là nghiệm của hệ 2 3 5 0 3 2 3 4 0 3 6 0 x y z t x y z t x z t               ( 3, 3,1,0), ( 6, 7,0,1)    Vậy Ker f có một cơ sở là Hạng r ( f )  2 3 6 3 7 x z t y z t         ( 3 6 , 3 7 , , ) ( 3, 3,1,0) ( 6, 7,0,1)v z t z t z t z t           10/07/2017 16 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Nhận xét 5.1 Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính B  {e1, , en} là một cơ sở của V Có thể chứng minh được { f(e1), , f(en)} là một hệ sinh của Im f do đó mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của { f(e1), , f(en)} là cơ sở của Im f Ví dụ trên có hạng r ( f )  2 Vì vậy ngoài cơ sở  (1,2,0), (0, 1,1) hai véc tơ cột bất kỳ của ma trận 2 1 3 5 3 2 3 4 1 0 3 6         đều là cơ sở của Im f 10/07/2017 17 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.3. TOÀN CẤU, ĐƠN CẤU, ĐẲNG CẤU 5.3.1Toàn cấu Ánh xạ tuyến tính và toàn ánh được gọi là toàn cấu. Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính Ba mệnh đề sau tương đương (i) f toàn cấu (iii) r( f )  dimW (ii) Ảnh của hệ sinh của V là hệ sinh của W (i)  (ii): S là hệ sinh của V thì f(S) là một hệ sinh của f(V) và f(V) = W do đó f(S) là một hệ sinh của W (ii)  (i): Giả sử  1,..., ne e là một cơ sở của V thì  1( ),..., ( )nf e f e là hệ sinh của  1span ( ),..., ( ) ( )nW W f e f e f V f    toàn cấu ( ) ( ) : ( ) dim ( ) dim ( ) dimi iii f V W f V W r f W      10/07/2017 18 4CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ánh xạ tuyến tính đơn ánh được gọi là đơn cấu 5.3.2 Đơn cấu Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính Bốn mệnh đề sau tương đương (i) f đơn cấu (iv) r( f )  dimV (ii) Ker f  {0} (iii) Ảnh của hệ độc lập tuyến tính của V là hệ độc lập tuyến tính của W 10/07/2017 19 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH (i)  (ii): Hiển nhiên 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ii i f v f v f v f v f v v v v v v           0 0 ( ) ( )ii iii : Giả sử  1,..., mv v độc lập  1 1 1 1 1,..., : ( ) ... ( ) ... Kerm m m m mx x x f v x f v x v x v f         0 03 1 1 1... ... 0m m mx v x v x x       0 Do đó  1( ),..., ( )mf v f v độc lập ( ) ( )iii iv : Giả sử  1,..., ne e là một cơ sở của V thì  1( ),..., ( )nf e f e là hệ sinh độc lập tuyến tính của ( )f V . Do đó dim( )r f V   ( ) Ker Ker 0 Ker ( ) dim dim dim dim ( ) ( ) : V r f f f f V r f iv ii           0 10/07/2017 20 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.3.3 Đẳng cấu Ánh xạ tuyến tính vừa đơn cấu vừa toàn cấu được gọi là đẳng cấu Hai không gian V, W được gọi là đẳng cấu nếu có ánh xạ tuyến tính đẳng cấu f : V  W Định lý 5.8 Hai không gian V, W là đẳng cấu khi và chỉ khi dimV  dimW Định lý 5.9 Giả sử f : V  W là ánh xạ tuyến tính và dimV  dimW Khi đó f đơn cấu khi và chỉ khi f toàn cấu, do đó đẳng cấu 10/07/2017 21 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.6 Ánh xạ tuyến tính 2 2:f   xác định bởi  ( , ) 2 ,f x y x y x y   là một đơn cấu vì    ( , ) (0,0) 2 , (0,0) , (0,0)f x y x y x y x y       do đó f là một đẳng cấu Ví dụ 5.7 Ánh xạ tuyến tính xác định bởi 3 2:f P  2( , , ) ( 2 3 ) (2 5 6 ) ( 8 )f x y z x y z x y z t x z t        Hệ phương trình 2 3 0 2 5 3 0 8 0 x y z x y z x z           chỉ có nghiệm tầm thường do đó f là một đẳng cấu 10/07/2017 22 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN 5.4.1 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính B  {e1, , en} là một cơ sở của V B’  {1, ,  m} là một cơ sở của W Ma trận của hệ véc tơ { f (e1), , f (en)} trong cơ sở B’ Được gọi là ma trận của f trong cơ sở B và B’ Ký hiệu   ' A f B B ij m n A a      1 ( ) ; 1,..., m j ij i i f e a j n    Xác định như sau 10/07/2017 23 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Trường hợp tự đồng cấu f của không gian véc tơ V Ma trận của f trong cùng một cơ sở B  {e1, , en} của V được ký hiệu  A f B Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở chính tắc được gọi là ma trận chính tắc Ví dụ 5.8 Xét ánh xạ tuyến tính f : R3  R2 xác định bởi ( , , ) (2 4 ,3 5 )f x y z x y z x z    (1,0,0) (2,3) 2(1,0) 3(0,1)f    (0,1,0) (1,0) 1(1,0) 0(0,1)f    (0,0,1) ( 4,5) 4(1,0) 5(0,1)f      2 1 4 3 0 5 A        10/07/2017 24 5CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Nhận xét 5.2 Bằng cách tính toán như ví dụ trên ta có thể kiểm tra được rằng : m nf  Ánh xạ tuyến tính với công thức xác định ảnh 1 11 1 1 1 1( ,..., ) ( ,..., )m m m n nm mf x x a x a x a x a x      Có ma trận chính tắc 11 1 1 m n nm a a A a a               Ví dụ 5.9 Ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 xác định bởi ( , , ) ( 2 2 ,3 5 , )f x y z x y z x y z x y z       ma trận chính tắc 1 2 2 3 1 5 1 1 1 A          10/07/2017 25 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH B  {e1, , en} là một cơ sở của không gian véc tơ V B’  {1, ,  n} là một cơ sở của không gian véc tơ W Định lý 5.10 Với     ' ' ,A f B g  B B B B ta có các tính chất sau:       ' ' ' f g f g   B B B B B B     ' ' : f f     B B B B ( ) ( )r f r A 10/07/2017 26 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH B  {e1, , en}, B ’  {e’1, , e’m}, B”  {e”1, , e”l} lần lượt là các cơ sở của không gian véc tơ V, V’, V” Cho hai ánh xạ tuyến tính f, g : ' " f g V V V  Giả sử   ' A f B B   " ' B g B B ij m n A a      1 ( ) ' ; 1,..., m j ij i i f e a e j n     ki l mB b  1 ( ' ) " ; 1,..., l i ki k k g e b e i m          " " ' ' g f BA g f  B B B B B B Vậy 1 1 1 1 1 1 ( ) ' ( ' ) " " m m m l l m j ij i ij i ij ki k ki ij k i i i k k i g f e g a e a g e a b e b a e                                  10/07/2017 27 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Khi V  V’  V” và ta chọn cố định một cơ sở của V thì có tương ứng 1-1 giữa các tự đồng cấu của V và các ma trận vuông cấp n Định lý 5.11  A f B có các tính chất:      f g f g  B B B    : f f    B B  ( ) ( )r f r f B      f g f g B B B 10/07/2017 28 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Hệ quả 5.12 Cho f  End(V), B là một cơ sở của V. Đăt A  [ f ]B f là tự đẳng cấu khi và chỉ khi A khả nghịch Ma trận của f 1 trong cơ sở B có dạng [f 1]B  A 1 Hệ quả 5.13 Giả sử 0( ) n np t a a t   là một đa thức bậc n Ma trận của 0( ) Id n V np f a a f   trong cơ sở B là 0( ) n np A a I a A   10/07/2017 29 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.13 Xét ánh xạ tuyến tính 3 3:f   xác định bởi ( , , ) ( 2 2 ,3 5 , )f x y z x y z x y z x y z       Ma trận chính tắc của f là 1 2 2 3 1 5 1 1 1 A          có 1 6 4 8 1 2 1 1 2 4 3 5 A            Do đó f là một đẳng cấu và ánh xạ ngược xác định như sau 1 1( , , ) (6 4 8 ,2 , 4 3 5 ) 2 f x y z x y z x y z x y z         Cho đa thức 2( ) 2 4 3p t t t   Ma trận chính tắc của p( f ) là 2 25 2 34 ( ) 2 4 3 21 4 28 7 4 8 p A I A A              10/07/2017 30 6CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính 1 1' ijT t    B B là ma trận chuyển cơ sở  1 1,..., ne eB sang  nee ',...,'' 11B của V   2 2' kiP p B B  2 1,..., m B  m',...,'' 12 B của W   2 1 A f B B là ma trận của f trong cơ sở  2 1 ' ' 'A f B B 1 2,B B 1 2' , 'B B 1'A P AT Hoặc 'PA AT 10/07/2017 31 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH   2 2' 1 ' m ki i ki k i P p p      B B 1 1' 1 ' n ij j ij i i T t e t e        B B                    m i m k k m i ijki m k kkiij m i iijj appaaef 1 1 111 '''')'( 1 1 1 1 1 1 ( ' ) ( ) n n n m m n j ij i ij i ij ki k ki ij k i i i k k i f e f t e t f e t a a t                                    suy ra 1 1 ' ; 1,..., ; 1,..., m n ki ij ki ij i i p a a t j n k m        'PA AT    2 1 1 ( ) m ki i ki km n i A f a f e a        B B   2 1 ' ' 1 ' ' ( ' ) ' ' m ij j ij im n i A f a f e a           B B 10/07/2017 32 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đặc biệt nếu f là tự đồng cấu của không gian véc tơ V Gọi A, A’ là ma trận của f trong hai cơ sở B, B ’ và T là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B ’ thì ATTA 1'        1 ' ' ' ' 'ij ij ij ij f t f t t f t                     B B B B B B BB B B B Hai ma trận A, B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận không suy biến T sao cho B  T1AT Hai ma trận của một tự đồng cấu bất kỳ trong hai cơ sở khác nhau là đồng dạng Nếu A, B đồng dạng thì detA  det B . Vì vậy ta có thể định nghĩa định thức của một tự đồng cấu f là  det detf f B 10/07/2017 33 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.14 Tự đồng cấu tuyến tính f có ma trận trong cơ sở B  {e1, e2, e3, e4} 1 2 0 1 3 0 1 2 2 5 3 1 1 2 1 3 A             Ta tìm ma trận A’ của f trong cơ sở B’  {e1, e3, e2, e4} Đặt 1 1 2 3 3 2 4 4' , ' , ' , 'e e e e e e e e    1 1 1 2 3 4 1 2 3 4( ' ) ( ) 3 2 ' 2 ' 3 ' 'f e f e e e e e e e e e         2 3 2 3 4 2 3 4( ' ) ( ) 3 3 ' ' 'f e f e e e e e e e        3 2 1 3 4 1 2 4( ' ) ( ) 2 5 2 2 ' 5 ' 2 'f e f e e e e e e e       4 4 1 2 3 4 1 2 3 4( ' ) ( ) 2 3 ' ' 2 ' 3 'f e f e e e e e e e e e         1 0 2 1 2 3 5 1 ' 3 1 0 2 1 1 2 3 A             10/07/2017 34 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1 2 0 1 1 0 0 0 1 0 2 1 3 0 1 2 0 0 1 0 3 1 0 2 2 5 3 1 0 1 0 0 2 3 5 1 1 2 1 3 0 0 0 1 1 1 2 3 AT                                       1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1             2 3 5 1 3 1 0 2 Hoặc áp dụng công thức Gọi T là ma trận chuyển cơ sở B  {e1, e2, e3, e4} sang cơ sở B’  {e1, e3, e2, e4} 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 T             1'A T AT 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 T              1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1  1'A T AT 10/07/2017 35 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.15 Hai ánh xạ tuyến tính 2 3:f   3 2:g   ( , ) ( 2 , , 3 4 )f x y x y x x y    ( , , ) ( 2 5 ,3 4 )g x y z x y z x y    Ma trận chính tắc của f và g: 1 2 1 0 3 4 A          1 2 5 3 4 0 B         Ma trận chính tắc của g◦ f : 14 22 7 6 BA       Định thức 14 22 det( ) 70 7 6 g f      10/07/2017 36 7CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.4.3 Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính B  {e1, , en} là một cơ sở của V B’  {1, ,  m} là một cơ sở của W (x1, , xn)  (v)B là tọa độ của vV trong cơ sở B (y1, , ym)  ( f (v))B ’ là tọa độ của f (v)W trong cơ sở B’ 1 n i i i v x e   1 ( ) m k k k f v y    1 ( ) m i ki k k f e a      ' ij m n f a      B B là ma trận của f trong cơ sở B , B’ 10/07/2017 37 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B và B’       ' ' ( ) ( )f v f v f v Av   B B B B 1 1 ij m n m n y x a y x                          1 n i i i v x e   1 ( ) m k k k f v y    1 ( ) m i ki k k f e a    1 1 1 1 1 ( ) ( ) n n m m n i i i ki k ki i k i i k k i f v x f e x a a x                               1 n k ki i i y a x    10/07/2017 38 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.4.4 Ánh xạ tuyến tính và hệ phƣơng trình tuyến tính Đẳng thức 1 1 ij m n m n y x a y x                         có thể viết dưới dạng hệ phương trình tuyến tính 1 11 1 1 1 1 ... .................................... ... n n m m mn n y a x a x y a x a x        