Bài giảng Toán tài chính - Chương 1: Toán cho tài chính

TOÁN CHO TÀI CHÍNH 1 CHƯƠNG 1 NỘI DUNG Lãi suất 1.1 Dãy số, chuỗi số 1.2 Lãi đơn, Lãi gộp 1.3 Khấu hao 1.4 Giá trị hiện tại ròng và tỷ lệ hoàn vốn nội bộ 1.5 Niên kim, các khoản cho vay và thế chấp 1.6 Mối liên hệ giữa lãi suất và giá của trái phiếu Số chỉ số 1.7 Số chỉ số và năm cơ sở 1.8 Ghép các dãy số chỉ số 1.9 Số chỉ số hỗn hợp 1.10 Các chỉ số thông dụng CPI, RPI... 1.11 Excel DÃY SỐ Khái niệm. Một dãy số là một danh sách các số được viết theo một trật tự nhất định. Ký hiệu dãy số: an : số hạng thứ n hay số hạng tổng quát. Dãy số: hàm số xác định trên tập các số tự nhiên khác 0. Dãy số có thể xác định theo nhiều cách: liệt kê, số hàng tổng quát, hàm số 3 1 2 3 4, , , a ..., ,..na a a a     1n n n a hay a   DÃY SỐ Ví dụ 1. 4             1 1 1 3 1 1 3 1 12 3 4 5 , , , , ..., ,... 3 9 27 81 3 n n n n n n n n a n n n                         DÃY SỐ Ví dụ 2. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số sau: Ví dụ 3. Một số dãy số không có được công thức của số hạng tổng quát đơn giản. A) Dãy số thể hiện dân số thế giới vào ngày 1/1 B) Dãy chữ số thập phân của số e C) Dãy Fibonacci 5 3 4 5 6 7 , , , , , ... 5 25 125 625 3125        CHUỖI SỐ Khái niệm. Cho dãy số thực u1, u2, u3, , un, Biểu thức: Được gọi là một chuỗi số. Các số u1, u2, u3, , un, gọi là các số hạng của chuỗi số Biểu diễn dạng tổng sigma 6 1 2 3 ... ... n u u u u+ + + + + ( ) 4 2 2 2 2 2 2 0 6 3 ) 0 1 2 3 4 ) 4 1 13 17 21 25 k k a k b k = = = + + + + + = + + + å å CHUỖI SỐ Ví dụ 4. Hãy viết chuỗi số sau thành tổng các số hạng Ví dụ 5. Hãy viết chuỗi đan dấu sau dưới dạng tổng sigma Với chỉ số bắt đầu từ 0; từ 1. 7 5 2 1 1k k k= + å 1 1 1 1 1 1 ) 2 4 6 8 10 12 1 1 1 1 1 1 b) ... 2 4 6 8 10 12 a - + - + - - + - + - + CẤP SỐ CỘNG Định nghĩa. Một dãy số a1,a2,a3,,an, được gọi là cấp số cộng nếu tồn tại một hằng số d, gọi là công sai, sao cho: Có nghĩa là: 8 1n n a a d - - = ( )1 1n na a d n-= + " > CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa. Một dãy số a1,a2,a3,,an, được gọi là cấp số cộng nếu tồn tại một hằng số r khác 0, gọi là công bội, sao cho: Có nghĩa là: 9 1 n n a r a - = ( )1. 1n na r a n-= " > CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Cấp số cộng Cấp số nhân 10 ( ) ( )1 1 1na a n d n= + - " > ( )11. 1 n n a a r n-= " > TỔNG RIÊNG THỨ N Cấp số cộng Cấp số nhân Tổng vô hạn của CSN (-1<r<1) 11 ( ) ( )1 12 12 2n n n n S a n d a aé ù= + - = +ê úë û ( ) ( )1 1 1 1 1 1 n n n a r ra a S r r r - - = = ¹ - - ( )1lim 1 1 1nn a S S r r¥® ¥ = = - < < - VÍ DỤ Ví dụ 6. Một người mượn 3600$ và đồng ý trả nợ khoản vay hàng tháng trong vòng 3 năm. Thỏa thuận là phải trả 100$ mỗi tháng cộng thêm 1% số dư chưa thanh toán. Tổng chi phí của khoản vay trong vòng 3 năm là bao nhiêu ? 12 VÍ DỤ Ví dụ 7. Chính phủ đã quyết định một chương trình giảm thuế nhằm kích thích nền kinh tế. Giả sử bạn nhận được 1.200 đô la và bạn chi tiêu 80% số tiền này, và mỗi người nhận được số tiền bạn chi tiêu cũng chi tiêu 80% số tiền họ nhận được, và giả sử quá trình này tiếp tục mà không có kết thúc. Theo nguyên tắc nhân trong kinh tế, tác động của việc giảm cho bạn 1.200 USD tiền thuế đối với nền kinh tế được nhân lên gấp nhiều lần. Tổng số tiền chi tiêu là bao nhiêu nếu quá trình này tiếp tục như đã nêu? 13 LÃI ĐƠN, LÃI GỘP 14 LÃI TỨC (TIỀN LỜI) (INTEREST) Khái niệm: Số tiền lãi I phụ thuộc vào: • P: vốn gốc (Principal Value); • n: thời gian đầu tư; • r: lãi suất (interest rate); • Rủi ro. 15 Lãi tức = Tổng số vốn tích lũy − Vốn gốc I = F - P LÃI SUẤT Định nghĩa. Thể hiện quan hệ tỷ lệ giữa lãi trong một đơn vị thời gian với vốn gốc trong thời gian đó. Ví dụ 8. Đầu tư 100 triệu đồng sau một năm thu được 112 triệu đồng. Như vậy sau 1 năm nhà đầu tư lãi là 12 triệu đồng và lãi suất là 12%/năm. 16 ã ấ = ã ộ đơ ị ờ ố ố ờ đó . % = . % TƯƠNG ĐƯƠNG THEO LÃI SUẤT Từ lãi suất chúng ta có thể thiết lập khái niệm tương đương. Đó là những số tiền khác nhau ở các thời điểm khác nhau có thể bằng nhau về giá trị kinh tế. Ví dụ 9. Nếu lãi suất là 12%/năm thì 1 triệu đồng hôm nay sẽ tương đương với 1,12 triệu đồng sau một năm. 17 LÃI ĐƠN Lãi đơn là lợi tức chỉ tính trên số vốn vay ban đầu trong suốt thời hạn vay. Số lãi tính theo tỷ lệ phần trăm trên vốn gốc chính là lãi đơn. Chỉ có vốn sinh lời còn lãi không sinh lợi. Lãi đơn thường được áp dụng trong các nghiệp vụ tài chính ngắn han. 18 LÃI KÉP Việc tính lãi bằng cách lấy lãi của kỳ trước nhập vào vốn để tính lãi cho kỳ sau đó là phương pháp tính theo lãi kép. Số tiền lãi thu được theo phương pháp này gọi là lãi kép. Lãi kép thường áp dụng trong các nghiệp vụ tài chính dài hạn. 19 LÃI GHÉP (COMPOUND INTEREST) Việc tính lãi tức bằng cách lấy lãi của kỳ trước nhập vào vốn để tính lãi cho kỳ sau đó là phương pháp tính theo lãi kép. Số tiền lãi thu được theo phương pháp này gọi là lãi kép. Đặc điểm của lãi kép là chẳng những vốn sinh ra lãi mà lãi cũng sinh ra lãi (lãi mẹ đẻ lãi con). Lãi kép thường áp dụng trong các nghiệp vụ tài chính dài hạn. 20 LÃI SUẤT THỰC TRẢ VÀ LÃI SUẤT DANH NGHĨA Thông thường giá trị lãi suất là tiền lãi trong thời đoạn 1 năm hay còn gọi là thời đoạn phát biểu lãi là 1 năm. Trên thực tế, thời đoạn phát biểu lãi có thể ít hơn 1 năm. Ví dụ 10. Lãi suất 12%/năm, ghép lãi theo quý, 6 tháng tính lãi 1 lần. + Thời đoạn phát biểu lãi: 1 năm + Thời đoạn ghép lãi: quý + Thời đoạn trả lãi: 6 tháng Khi thời đoạn phát biểu lãi phù hợp với thời đoạn ghép lãi thì đó là lãi suất thực. Nếu thời đoạn phát biểu lãi khác thời đoạn ghép lãi thì đó là lãi suất danh nghĩa. 21 LÃI SUẤT DANH NGHĨA Lãi suất danh nghĩa trong một thời kỳ = Lãi suất danh nghĩa trong một thời đoạn x Số thời đoạn trong thời kỳ. a) Lãi suất danh nghĩa 3%/quý thì lãi suất danh nghĩa theo năm là: 3% x 4=12%/năm b) Lãi suất i=12%/quý thì lãi suất thực là 12% ghép lãi theo quý c) Lãi suất i=20%/năm, ghép lãi theo quý. Đây là lãi suất danh nghĩa vì thời đoạn ghép lãi là quý. Lãi suất thực là 5%/quý. 22 CÁC CÔNG THỨC TÍNH TOÁN Công thức tính lãi đơn Công thức tính lãi kép (ghép) Một vài so sánh 23 CÔNG THỨC TÍNH LÃI ĐƠN I: lãi tức đơn (Interest) F: giá trị đạt được, (Amount, Future Value) P: giá trị hiện tại hay vốn gốc (Principal Value) r: lãi suất tính theo thời đoạn (năm, quý, tháng ) (Interest Rate) t: số thời đoạn vay 24 . .I P r t  1 .F P r t  VÍ DỤ 11 a) Gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo phương thức gửi có kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 1%/tháng. Xác định giá trị đạt được và số lãi vào cuối đợt đầu tư 6 tháng? b) Đầu tư 100 triệu, lãi suất 12%/năm (tính theo lãi đơn), sau một thời gian thu được cả vốn lẫn lời 118 triệu vào cuối đợt đầu tư. Hỏi thời gian đầu tư bao lâu? c) Với lãi suất 12%/năm thì phải bỏ số vốn ban đầu là bao nhiêu để thu được 28,4 triệu trong 3 năm 6 tháng (tính theo lãi đơn)? 25 LÃI KÉP Công thức cơ bản: Trong đó:  i: mức lãi suất  P: vốn gốc  n: thời gian đầu tư (tương ứng với i)  F: giá trị đạt được sau đầu tư 26  1 n F P i  HỆ QUẢ Vốn đầu tư ban đầu (vốn gốc): Thời gian đầu tư: Lãi suất đầu tư: 27    1 1 n n F P i P F i                1 log / 1 log / log 1 n i F P F P i n F P i        1 1 n n F F P i i P      VÍ DỤ 12 a) Đầu tư một khoản tiền với lãi suất 10%/năm. Sau 4 năm thu được cả vốn lẫn lời là 146,41 triệu đồng (tính theo lãi kép). Hỏi vốn đầu tư ban đầu là bao nhiêu? b) Đầu tư một khoản 100 triệu đồng với lãi suất 10%/năm. Sau một thời gian thu được cả vốn lẫn lời là 161,051 triệu đồng (tính theo lãi kép). Hỏi thời gian đầu tư là bao lâu? c) Đầu tư một khoản tiền 100 triệu, sau 8 năm thu được cả vốn lẫn lời là 214,358881 triệu (tính theo lãi kép). Hỏi lãi suất đầu tư (tỷ lệ sinh lời của đầu tư) là bao nhiêu? 28 SO SÁNH LÃI ĐƠN VÀ LÃI KÉP. Lãi đơn: Lãi kép: Ta có: 29  1 .F P n i   1 n F P i  ) ) = 1 ⇒ = ) > 1 ⇒ < ã đơ ã kép 10 SO SÁNH LÃI ĐƠN VÀ LÃI KÉP. Ví dụ 13. Đầu tư 200 triệu đồng theo lãi suất thực 12%/năm. Hãy tính : a) Lãi đơn và giá trị đạt được sau khoảng thời gian: 6 tháng; 1 năm; 3 năm. b) Lãi kép và giá trị đạt được sau khoảng thời gian: 6 tháng; 1 năm; 3 năm c) Vẽ đồ thị của các lãi suất. 30 LÃI SUẤT NGANG GIÁ (TƯƠNG ĐƯƠNG) Hai lãi suất i1 và i2 tương ứng với hai chu kỳ khác nhau được gọi là tương đương nhau khi với cùng một số vốn, đầu tư trong cùng một thời gian sẽ cho cùng mức lãi như nhau (cùng giá trị đạt được). GỌI • i1 là lãi suất thực trả ở thời đoạn ngắn (ví dụ: tháng) • i2 là lãi suất thực trả ở thời đoạn dài (ví dụ: năm) • m là số thời đoạn ngắn có trong thời đoạn dài (ví dụ: 12) • P là vốn gốc 31 LÃI SUẤT NGANG GIÁ Tính theo lãi đơn: Tính theo lãi kép: 32     2 1 1 2 2 1 1 . 1 .1 . i i P i m P i m i m i                1 21 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 m m m i i P i P i i i             VÍ DỤ 14 Đầu tư 20 triệu trong vòng 9 tháng với lãi suất 12%/năm theo phương thức lãi đơn. Kết thúc đợt đầu tư, giá trị đạt được là: Theo lãi suất hàng tháng: Theo lãi suất hàng năm: 33  20. 1 9.1% 21,8F    9 20. 1 .12% 21,8 12 F         = 12 = 1% LÃI SUẤT BÌNH QUÂN TRONG LÃI ĐƠN Lãi suất bình quân (tỷ suất lợi tức bình quân) trong lãi đơn được tính theo phương pháp bình quân có trọng số. Trong đó: ij là các mức lãi suất khác nhau trong các khoảng thời gian nj khác nhau. 34 1 1 1 2 2 1 2 1 . . . ... . ... k j j j k k k k j j n i n i n i n i i n n n n             LÃI SUẤT BÌNH QUÂN TRONG LÃI KÉP. Ta có: Với là tổng thời gian đầu tư. ik là mức lãi suất trong các khoảng thời gian nk. 35 = + +. . . +      1 21 21 1 ... 1 1 knn nn ki i i i     LÃI SUẤT BÌNH QUÂN TRONG LÃI KÉP. Ví dụ 15. Người ta đầu tư 150 triệu đồng tính lãi kép với lãi suất lũy tiến. 8%/năm trong vòng 2 năm đầu tiên; 9%/năm trong vòng 3 năm tiếp theo; 11%/năm trong vòng 4 năm cuối. a) Vào cuối năm thứ 9 tổng lãi là bao nhiêu? b) Lãi suất trung bình hàng năm là bao nhiêu? 36 VÍ DỤ 16 Một doanh nghiệp vay với lãi đơn 100 triệu đồng với lãi suất thay đổi như sau: 8%/năm trong 6 tháng đầu; 10%/năm trong 3 tháng tiếp theo và 12%/năm trong 4 tháng cuối cùng. Tính: a) Lãi suất trung bình của số vốn vay. b) Tính tổng số tiền doanh nghiệp phải trả khi đáo hạn 37 VÍ DỤ 17 Ông A gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo lãi suất 6%/6 tháng. Ông B cũng gửi ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 12,36%/năm. Hãy tính số tiền lãi mà ông A và ông B nhận được sau 1 năm gửi. Cho nhận xét. Giải Điều này chứng tỏ rằng hai lãi suất 6%/6 tháng và 12,36%/1 năm là tương đương nhau. 38     2 100 1 0,06 100 12,36 100 1 0,1236 100 12,36 A B I I         1.2.6. LÃI KÉP LIÊN TỤC Ví dụ 18. Đầu tư 1000$ trong 5 năm với mức lãi suất 8%/năm, tính theo lãi kép. Hãy tính lãi thu được nếu ghép lãi theo: a) Năm b) Nửa năm c) Quý d)Tháng E) Nếu số lần ghép lãi trong năm tăng lên vô hạn thì?  Lãi kép liên tục 39 LÃI KÉP LIÊN TỤC Số tiền thu được: 40   ./ .1lim lim 1 . / n r t r n r t t F P P e t r                   .n . . / . / 1 1 1 1 1 1 / / n r t n t r r t r n r F P r P P P t t r t r                              . 5.0,08. 1000. 1.491,8247 $n rF P e e   LÃI KÉP LIÊN TỤC Định lý. Nếu P là số vốn đầu tư ban đầu với lãi suất theo năm là r và tính lãi kép liên tục thì giá trị đạt được khi đầu tư số vốn P sau n năm là: Ví dụ 19. Bạn cần đầu tư bao nhiêu để mua một chiếc xe hơi sau 5 năm. Giả sử giá của chiếc là 8.000$ và lãi suất hàng năm là 10%, tính theo lãi kép với thời gian ghép lãi: a) Hàng quý b) Ghép lãi liên tục 41 .. n rF P e KHẤU HAO 42 GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA MỘT NIÊN KIM Ví dụ 20. Bạn cần phải gửi bao nhiêu tiền vào tài khoản với lãi gộp 6%/năm, ghép lãi 6 tháng 1 lần, để có thể rút 1000$ mỗi 6 tháng trong vòng 3 năm? (Sau lần rút cuối cùng thì cũng hết tiền trong tài khoản) 43 GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA MỘT NIÊN KIM Ta có sơ đồ. Giá trị hiện tại của tất cả các khoản tiền trong tương lai. 44             2 3 4 5 6 1000 1000 1000 1000 1000 1000 5.417,19 1 0,03 1 0,03 1 0,03 1 0,03 1 0,03 1 0,03 PV              TỔNG QUÁT Tổng quát. Nếu bạn muốn gửi một khoản tiền hiện tại là PV với mức lãi suất i sao cho trong n kỳ tiếp theo, mỗi kỳ bạn thu về được một khoản tiền là PMT thì: Ví dụ 21. Giá trị hiện tại của một dòng tiền 200$ hàng tháng trong 5 năm là bao nhiêu nếu lãi suất là 6%/năm và ghép lãi hàng tháng? 45  1 1 n i PV PMT i     Ví dụ 22. Bài toán nghỉ hưu Lincoln Benefit Life đề nghị một khoản niên kim với lãi suất 6,5%/năm. Một người lên kế hoạch tích lũy tiền vào tài khoản trong 25 năm để đến khi nghỉ hưu sẽ rút ra mỗi năm 25.000$ trong vòng 20 năm sau đó. Như vậy hàng năm anh ta cần cho vào tài khoản bao nhiêu tiền để có thể rút như vậy. Lãi suất tổng cộng trong quá trình 45 năm đó là bao nhiêu? 46 KHẤU HAO Giả sử bạn vay 5.000 đô la từ một ngân hàng để mua một chiếc ô tô và đồng ý hoàn trả khoản vay với 36 khoản, thanh toán hàng tháng bằng nhau, bao gồm tất cả các khoản lãi phải trả. Nếu ngân hàng tính phí 1% mỗi tháng trên số dư chưa thanh toán (12% mỗi năm cộng dồn hàng tháng), thì mỗi khoản thanh toán phải trả bao nhiêu để trả hết nợ, kể cả lãi trong 36 tháng? Trên thực tế, ngân hàng đã mua một niên kim từ bạn. Câu hỏi đặt ra là: nếu ngân hàng trả cho bạn $ 5.000 (giá trị hiện tại) cho một khoản tiền hằng năm trả cho họ $PMT mỗi tháng trong 36 tháng với lãi suất 12% hàng tháng, thì số tiền trả hàng tháng (PMT) là bao nhiêu? (Lưu ý rằng giá trị của niên kim vào cuối 36 tháng là bằng không?) 47 Nói chung, khấu hao một khoản nợ có nghĩa là thanh toán khoản nợ này trong một khoảng thời gian nhất định bằng các khoản thanh toán định kỳ với lãi kép. Ta quan tâm đến các khoản thanh toán định kỳ bằng nhau. Từ công thức giá trị hiện tại ta có công thức khấu hao sau: 48  1 1 n i PMT PV i     Ví dụ 23. Giả sử bạn mua một chiếc ti vi trị giá 800$ và đồng ý trả trong vòng 18 tháng với các khoản thanh toán bằng nhau. Giả sử lãi suất là 1,5%/tháng đối với khoản nợ còn lại. a) Hàng tháng bạn phải trả bao nhiêu tiền? b) Khoản tiền lãi bạn phải trả tổng cộng là bao nhiêu? 49 LỊCH TRÌNH KHẤU HAO (AMORTIZATION SCHEDULES) Khái niệm. Lịch trình khấu hao là bảng kế hoạch thể hiện từng khoản thanh toán cho khoản vốn vay và khoản lãi suất trong toàn bộ thời gian vay. Lịch trình khấu hao cũng thể hiện khoản dư nợ được giảm dần cho đến khi bằng 0. Ví dụ 24. Giả sử bạn vay 500$ và đồng ý trả góp trong vòng 6 tháng với số tiền góp bằng nhau. Lãi suất là 1% mỗi tháng trên số tiền chưa trả. Hãy lập kế hoạch trả nợ dần cho khoản vay? 50 LỊCH TRÌNH KHẤU HAO Số tiền phải trả hàng tháng: Ở cuối tháng thứ nhất, số tiền lãi phải trả là: 0,01*500=5$ Như vậy số tiền thanh toán 86,27$ ở tháng 1 gồm 2 phần: 5$ tiền lãi và 81,27$ tiền vốn gốc. Khoản dư nợ ở tháng thứ 2 là: 500 - 81,27=418,73 ($) Ở cuối tháng thứ nhất, số tiền lãi phải trả là: 0,01*418,73=4,19$ Cuối tháng thứ 2 ta thanh toán 86,27$, khoản tiền này gồm 4,19$ tiền lãi và 82,08$ tiền vốn gốc. Quá trình này tiếp tục cho đến khi nào dư nợ còn lại là 0. 51    6 0,01 500. 86,27 $ 1 1,011 1 n i PMT PV i        LỊCH TRÌNH KHẤU HAO Thứ tự thanh toán Khoản thanh toán Khoản lãi Giảm dư nợ Dư nợ 0 500 1 86,27 5,00 81,27 418,73 2 86,27 4,19 82,08 336,65 3 86,27 3,37 82,90 253,75 4 86,27 2,54 83,73 170,02 5 86,27 1,70 84,57 85,45 6 86,30 0,85 85,45 0,00 Tổng cộng 517,65 17,65 500 52 BẢNG KHẤU HAO Ví dụ 25. Lập bảng khấu hao cho khoản vay 1000$, trả góp hàng tháng, trong vòng 6 tháng với lãi suất 1,25%/tháng trên dư nợ. 53 Kỳ thanh toán PMT Tiền lãi Giảm dư nợ Dư nợ 0 1000 1 174.03 12.50 161.53 838.47 2 174.03 10.48 163.55 674.91 3 174.03 8.44 165.60 509.32 4 174.03 6.37 167.67 341.65 5 174.03 4.27 169.76 171.89 6 174.03 2.15 171.89 0.00 Tổng cộng 1,044.20 44.20 1,000.00 GIÁ TRỊ HIỆN TẠI RÒNG (NPV) Giá trị tương lai của tiền tệ là giá trị tại một thời điểm nhất định trong tương lai của một khoản đầu tư ở hiện tại với một mức lãi suất cho trước. Giá trị hiện tại của tiền tệ là giá trị tính đổi về thời điểm hiện tại của dòng tiền tệ tương lai. 54 GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA TIỀN TỆ 1.Giá trị tương lai của một khoản tiền đơn 2.Giá trị tương lai của dòng tiền 2.1. Giá trị tương lai của dòng tiền đều 2.2. Giá trị tương lai của dòng tiền không đều 55 GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA KHOẢN TIỀN ĐƠN Giá trị tương lai của một khoản tiền đơn (khoản tiền duy nhất): là giá trị của số tiền này ở thời điểm hiện tại cộng với số tiền lãi mà nó sinh ra trong khoảng thời gian từ hiện tại cho đến một thời điểm trong tương lai. 56 i  1 n FV PV i  GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA MỘT KHOẢN TIỀN ĐƠN Ví dụ 26. Giả sử một người cha đã mở tài khoản tiết kiệm 5 triệu VNĐ cho con trai của ông ta vào ngày đứa trẻ chào đời, để 18 năm sau cậu bé có tiền vào đại học. Lãi suất hàng năm là 6%. Vậy số tiền mà người con trai sẽ nhận được khi vào đại học là bao nhiêu? Tính theo lãi kép. 57     18 5.000.000 1 6% 14.271.6951 n FV PV i   VÍ DỤ 27 Một người muốn để dành tiền cho tuổi già bằng cách gửi tiết kiệm vào ngân hàng, lãi suất ngân hàng là 13%/năm. Người đó phải gửi vào ngân hàng bao nhiêu tiền ở thời điểm hiện tại, để 20 năm sau nhận được số tiền 20 triệu VNĐ? (tính theo lãi kép) 58     20 20.000.000 1.736.000 1 1 0,13 n FV PV i      QUY TẮC 72 59 https://thanhnien.vn/chinh-tri/thu-tuong-tai-sao-thu-nhap-nguoi-viet-2400-usd-ma- khong-phai-5000-usd-941195.html TỐC ĐỘ TĂNG TRƯỞNG Mức tăng trưởng bình quân tầm 6.5% 60 QUY TẮC 72 Nếu lấy số 72 chia cho tốc độ tăng trưởng (lãi suất theo năm), thì kết quả là một ước lượng gần đúng với số năm cần thiết để con số ban đầu tăng gấp đôi. 61 72/6.5 = 11 khoảng 2029 thì thu nhập bình quân đầu người của Việt Nam sẽ đạt 4.800 đô-la (từ mức 2.400 đô-la hiện nay). 72 chia cho 8 được 9.  sẽ mất 9 năm để tăng gấp đôi số tiền của bạn với lãi suất hằng năm là 8%. 61 CƠ SỞ QUY TẮC 72 Ta có: 62   . . 1 . ln 2 720.69314 % 2 . ln 2 7 n n r n r F P r P e P Pe n r n r r r           DÒNG TIỀN (CHUỖI TIỀN TỆ) Dòng tiền tệ (gọi tắt là dòng tiền) là một chuỗi các khoản tiền (thu nhập hoặc chi trả) xảy ra qua một số thời kỳ nhất định Phân loại: - Dòng tiền đều - Dòng tiền không đều Giá trị tương lai của một dòng tiền sau n năm chính là tổng giá trị tương lai của từng khoản tiền xảy ra ở từng thời điểm khác nhau trong n năm. Tương tự cho giá trị hiện tại. 63 GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA NHIỀU KHOẢN TIỀN Ví dụ 28. Một người lập 1 sổ tiết kiệm gửi đầu tiên 1 triệu đồng. Sau 4 năm gửi 3 triệu đồng, sau 6 năm gửi 1,5 triệu đồng. Lãi suất là 12%/năm, ghép lãi nửa năm 1 lần. Hỏi sau 10 năm người đó có được bao nhiêu tiền? 64 DÒNG TIỀN ĐỀU & KHÔNG ĐỀU Khái niệm. Dòng tiền đều là dòng tiền bao gồm các khoản tiền bằng nhau được phân bố đều đặn theo thời gian. 3 loại dòng tiền đều : • Dòng tiền đều thông thường (ordinary annuity) – xảy ra vào cuối kỳ • Dòng tiền đều đầu kỳ (annuity due) – xảy ra vào đầu kỳ • Dòng tiền đều vĩnh cửu (perpetuity) – xảy ra cuối kỳ và không bao giờ chấm dứt 65 DÒNG TIỀN KHÔNG ĐỀU Dòng tiền không đều (mixed cash flows) Dòng tiền không đều là dòng tiền bao gồm các khoản tiền không bằng nhau phát sinh qua một số thời kỳ nhất định. 66 GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI DÒNG TIỀN ĐỀU Trường hợp cuối kỳ 67  1CF i 