Bài giảng Toán tài chính - Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng

ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Hệ số góc của đường cong và đạo hàm 2.2 Ứng dụng của đạo hàm, hàm cận biên, hàm bình quân 2.3 Tối ưu hàm một biến, các điểm cực trị 2.4 Ứng dụng kinh tế 2.5 Độ cong và ứng dụng 2.6 Hệ số co dãn HỆ SỐ GÓC ĐƯỜNG THẲNG Phương trình tổng quát: Dạng đặc biệt: Với a, b là??? Ax By C  y ax b  2 1 2 1 tan y y y a x x x         Gọi a là hệ số góc của đường thẳng D NHẬN XÉT • Ý nghĩa của hệ số góc: khi x thay đổi một đơn vị thì y thay đổi a đơn vị. • Đường thẳng D như thế nào nếu: • a>0 • a<0 • a=0 • a=∞ HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG CONG Tiếp tuyến và cát tuyến của đường tròn Nếu điểm Q trong hình trên di chuyển càng gần điểm P thì góc tạo bởi đường thẳng PQ và tiếp tuyến tại điểm P càng nhỏ. HỆ SỐ GÓC ĐƯỜNG CONG Hệ số góc cát tuyến         2 1 2 1 f a h f ay y k x x a h a f a h f a k h           VÍ DỤ 1 Cho hàm số y=x2 a) Tìm hệ số góc của cát tuyến với a=1 và h=2 và 1. Vẽ đồ thị f(x) và hai cát tuyến trên. b) Tìm và biểu diễn hệ số góc của cát tuyến với a=1 và h khác 0 bất kỳ. c) Tìm giới hạn của biểu thức trong câu b và giải thích ý nghĩa. HỆ SỐ GÓC ĐƯỜNG CONG Đồ thị hàm số và 2 cát tuyến Đồ thị hàm số và tiếp tuyến tại x=1 HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG CONG Định nghĩa. Cho hàm số y=f(x), hệ số góc của đồ thị hàm số tại điểm (a, f(a)) được xác định bởi: (nếu giới hạn này tồn tại) Khi đó, đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số chỉnh là đường thẳng đi qua điểm (a, f(a)) với hệ số góc cho bởi công thức trên.     0 lim h f a h f a h   ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x), đạo hàm của hàm số tại x định nghĩa như sau: (nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn). Nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a,b) thì ta nói hàm số khả vi trên (a,b) Nếu giới hạn không tồn tại thì hàm số không có đạo hàm hay không khả vi. ( ) ( ) ( ) 0 ' lim h f x h f x f x h® + - = VÍ DỤ 2 Tìm đạo hàm của hàm: tại x=2 theo định nghĩa. Ta xét giới hạn sau: Vậy: ( ) 2 8 9f x x x= - + ( ) ( ) 2 2 0 0 2 8 2 9 3 4 lim lim 4 h h h h h h h h® ® + - + + + - = = - ( )' 2 4f = - ( ) ( ) 0 2 2 lim h f h f h® + - VÍ DỤ 3. Tổng doanh thu của một công ty (đơn vị triệu $) trong t tháng được cho bởi công thức sau: a) Cho biết ý nghĩa của S(25) và S’(25) b) Sử dụng kết quả câu a để ước lượng tổng doanh thu sau 26 tháng; sau 27 tháng.   2S t t  VÍ DỤ 4. Một hãng sản xuất vải với chiều rộng mỗi cây vải là cố định. Chi phí sản xuất x (mét) vải là: A) Cho biết ý nghĩa và đơn vị của f’(x) B) Trong thực tế, khi nói f’(1000)=9 ta biết điều gì?    $C f x VÍ DỤ 5. Gọi D(t) là nợ quốc gia của Mỹ tại thời điểm t. Bảng dưới đây cho ta con số xấp xỉ giá trị của hàm này vào cuối mỗi năm theo đơn vị triệu $ kể từ năm 1980 đến năm 2000. Giải thích và ước lượng giá trị của D’(1990) T 1980 1985 1990 1995 2000 D(t) 930,2 1945,9 3233,3 4974,0 5674,2 ĐẠO HÀM PHẢI – TRÁI Đạo hàm trái của f(x) tại a là: Đạo hàm phải của f(x) tại a là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ' lim lim x a h f x f a f a h f a f a x a h- - - ® ® - + - = = - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ' lim lim x a h f x f a f a h f a f a x a h+ + + ® ® - + - = = - ĐỊNH LÝ Định lý: Hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm a khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái; đạo hàm phải tại a và hai đạo hàm này bằng nhau. Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì hàm số liên tục tại a. Chiều ngược lại có thể không đúng. ( ) ( ) ( )' ' 'f a L f a f a L- += Û = = ( ) ( ) ( )' lim x a f a L f x f a ® = Û = VÍ DỤ 6 Cho hàm số: Tìm Ta có: Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại 0. ( ) 1/ , 0 0 , 0 xe x f x x ìï ¹ï= í ï =ïïî ( ) ( )' 0 ; ' 0f f- + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1/ 1/ 0 0 0 0 0 0 0 ' 0 lim lim lim 0 0 0 0 ' 0 lim lim h u h uh h h h f h f e u f h h e f h f e f h h - - + + - + ® + ¥® ® ® ® + - - - = = = = + - - = = = + ¥ HÀM SỐ ĐẠO HÀM Với a cố định ta có: Thay a bằng x ta có: Với mỗi giá trị khác nhau của x ta tính được f’(x) nếu giới hạn tồn tại hữu hạn. Như vậy giá trị của f’(x) phụ thuộc vào biến độc lập x nên có thể xem f’ là một hàm theo x và gọi là đạo hàm của hàm f. ( ) ( ) ( ) 0 ' lim h f a h f a f a h® + - = ( ) ( ) ( ) 0 ' lim h f x h f x f x h® + - = HÀM SỐ ĐẠO HÀM Hàm số đạo hàm của hàm y=f(x). Ký hiệu: Tập xác định của hàm f’ là tập các giá trị của x sao cho f’(x) tồn tại. Nó có thể nhỏ hơn TXĐ của hàm số f(x). ( )'; '; ; ;df dy df y f x dx dx dx VÍ DỤ 7 Tìm hàm số đạo hàm của hàm y=x2. Ta có: Giới hạn này tồn tại hữu hạn với mọi x thuộc TXĐ. Vậy đạo hàm của hàm số: ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 lim lim 2 h h f x h f x x h x x h h® ® + - + - = = ' 2y x= VÍ DỤ 8 Tìm đạo hàm của hàm: Ta có: Vậy: Chú ý: tập xác định của hàm f(x) là: [0; ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 ' lim lim 2h h f x h f x x h x f x h h x® ® + - + - = = = ( ) ( )1' . D : 0; 2 f x T X x = + ¥ ( )f x x= QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 1 Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đó đạo hàm theo x của các hàm sau là: Đạo hàm dạng:uv Cách tính: lấy logarit Nêpe hai vế hàm số: ( ) ( ) ( ) 2 . ' ' ' . ' . ' ' . . ' . . ' ' . . ' . i u v u v ii ku k u u u v u v iii u v u v u v iv v v ± = ± = ¢æ ö -÷ç ÷= + =ç ÷ç ÷çè ø ( ) '' . ln .v v uu u v u v u é ù¢ ê ú= + ê ú ë û vy u= QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 2 Đạo hàm của hàm hợp: Ví dụ: Hàm là hàm hợp của 2 hàm: Vậy: ( )0 .x g xy f g x y f g¢ ¢ ¢= Þ = ( )ln cosy x= ( ) ( ) ( ) ( )ln ; cosf x x g x x= = ( )1. . sin t an cosx g x y f g x x x ¢ ¢ ¢= = - = - CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1. 0 2. . 3. 1 4. ln 5. sin cos 6. cos sin 1 7. t an cos 1 8. cot sin x x C x x e e x x x x x x x x x x a aa - ¢¢= = - - ¢ = ¢ = ¢ = ¢ = ¢ = ¢ = Đạo hàm hàm hợp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3. . ' 1 4. ln . ' 5. sin ' . cos 6. cos sin 1 7. t an . ' cos 1 8. cot . ' s ' . in u ue e u u u u u u u u u u u u u u u u ¢ = ¢ = ¢ = ¢ - ¢ = ¢ = -= CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 9. . ln 1 10. log . ln 1 11. a rcsin 1 1 12. a rccos 1 1 13. a rct an 1 1 14. a rc cot 1 x x a a a a x x a x x x x x x x x ¢ = ¢ = ¢ = - ¢ = - ¢ = + ¢ - = + - Đạo hàm hàm hợp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9. 10. log 11. arcsin 12. arccos 13. arctan 14. arc cot u a a u u u u u ¢ = ¢ = ¢= ¢ = ¢= ¢ = VÍ DỤ 9 Tìm f’(x) biết: Ta có: ( ) 3ln 1 cos xe f x x = + ( )1 ln 1 cos 3 1 sin 1 sin ' 1 1 3 1 cos 3 1 cos y x x x x y x x é ù= - +ê úë û é ù æ ö- ÷çê ú ÷= - = +ç ÷çê ú ÷ç+ +è øë û VÍ DỤ 10 Tìm f’(x) biết: Ta có: Vậy: ( ) 2 3 4 7 1 . sin x f x y x x + = = ( ) ( )2 2 4 ln ln 1 ln 7 ln sin 3 ' 2 4 7 cos 3 sin1 y x x x y x x y x xx = + - - = - - + 2 23 4 7 2 4 7 cos ' . 1 . si sn 3 in1 x x x y x xxx xæ ö÷ç ÷= - -ç ÷ççè ø + ÷+ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ CHO BỞI THAM SỐ Hàm số y=f(x) thỏa điều kiện: Khi đó hàm số đã cho gọi là hàm cho bởi phương trình tham số. Ví dụ: Cho hàm có thể tham số hóa như sau Đặt: ta có dạng tham số sau: ( ) ( ) x x t y y t ìï =ïïí ï =ïïî ln x y x = tx e= t t x e t y e ìï =ïïïí ï =ïïïî CÔNG THỨC ĐẠO HÀM THAM SỐ Cho hàm y=f(x) dạng tham số: Khi đó: Ví dụ: ( ) ( ) x x t y y t ìï =ïïí ï =ïïî / / t x t ydy dy dt y dx dx dt x ¢ ¢ = = = ¢ 2 2 1 1 1 1 ln t t t t t x t t x e t y e t t xey e e x ìï ¢=ïïïí -ï ¢=ïïïî - - - ¢Þ = = = ln t t x e x y t x y e ìï =ïïï= Û í ï =ïïïî ĐẠO HÀM CỦA HÀM NGƯỢC Hàm số có hàm ngược là: Khi đó: Ví dụ: Hàm y=arctanx có hàm ngược x=tany ( )1x f y-= 1 1 y x x y x y y x ¢ ¢= = ¢ ¢ 2 2 1 1 1 1 t an 1x y y x y x ¢ = = = ¢ + + ( )y f x= ĐẠO HÀM CỦA HÀM NGƯỢC Ví dụ: Hàm y=arcsinx có hàm ngược x=siny Ví dụ: Hàm y=arccosx có hàm ngược x=cosy 2 2 1 1 1 1 cos 1 sin 1 2 2 x y y x y y x do y p p ¢ = = = = ¢ - - æ ö÷ç ÷- £ £ç ÷ç ÷çè ø ( ) 2 2 1 1 1 1 sin 1 cos 1 0 x y y x y y x do y p - - ¢ = = = = ¢ - - - £ £ ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN Hàm y=f(x) với x(a;b) là hàm ẩn cho bởi phương trình F(x,y)=0 nếu thay y=f(x) vào ta được đẳng thức đúng. Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x(a;b). Ví dụ: Phương trình: xác định hai hàm ẩn: ( ) 2 2, 1F x y x y= + = 2 1 1 , 1;1y x x é ù= - Î -ê úë û 2 2 1 , 1;1y x x é ù= - - Î -ê úë û ĐẠO HÀM HÀM ẨN Cho phương trình: F(x;y)=0 Để tính: y’x B1. Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo x. Chú ý y là hàm theo x. B2. Giải phương trình tìm y’. B3. Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình. Ví dụ: Cho phương trình: Tính đạo hàm của y theo x. 3 2ln 0yx y x e+ - = ĐẠO HÀM HÀM ẨN B1. Lấy đạo hàm theo x B2. Giải tìm y’ ( )3 2ln 0y x x y x e ¢ + - = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 * 3 2 . . 0 3 2 . 1 0 3 2 . ' ' ' 1 'y y y y y y x y xy e x ye x y xy e x y y ye x y xy e y x ye y Û + - + = Û - + - = - Û = - ( ) ( )2 2'3 . . 0 *'2 .y yx x e xy ye y Û + - + = ĐẠO HÀM HÀM ẨN B3. Tính y’(0). Ta có: Thay x=0 và y(0)=1 vào ta có: ( ) 3 2ln 0 0 ln 0 1 0 yx y x e x y y y + - = = Þ = Û = = ( ) ( ) 2 2 3 2 . ' 1 y y x y xy e y x ye - = - ( ) ( ) ( ) 1 1 1 10 03. . 2. . . ' 0 0 . 10.1 e y e - = = - ĐẠO HÀM CẤP CAO Cho f là hàm khả vi. Đạo hàm (nếu có) của f’ gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x). Ký hiệu: Đạo hàm cấp 3 của hàm f là đạo hàm của đạo hàm cấp 2. ( ) 2 2 d df d f f f dx dx dx æ ö¢ ÷碢 ¢ ÷= = =ç ÷ç ÷çè ø ( ) 2 3 2 3 d d f d f f f dx dx dx æ ö¢ ÷ç ÷¢¢ ¢¢= = =ç ÷ç ÷çè ø ĐẠO HÀM CẤP CAO Đạo hàm cấp n của hàm f là đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1). Ví dụ: Cho hàm: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số. Giải: ( ) ( )( ) 1 1 1 n n n n n n d d f d f f f dx dx dx - - - æ ö¢ ÷ç ÷= = =ç ÷ç ÷çè ø ( ) . xf x x e= ( ) ( ) ( ) ( ). . . 1x x x x xf x x e x e e x e x e¢¢¢ = + = + = + ĐẠO HÀM CẤP CAO Ta có: Tương tự: Tổng quát: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2x x x xf x x e e x e x e¢é ù¢¢ = + = + + = +ê úë û ( ) ( ) ( )( ) ( )43 ; 4x xf x x e f x x e¢¢¢ = + = + ( )( ) ( )n xf x x n e= + ĐẠO HÀM CẤP CAO THƯỜNG GẶP ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ) 1 ... 1 1 1 ) 1 ! ) . 1 ! ) ln 1 ) sin . sin 2 ) cos . cos 2 n n n n n n ax n ax n n n n n n n i x a n x a ii n x a x a iii e a e n iv x x v ax a ax n vi ax a ax n a a a a a p p - + - é ù + = - - + +ê ú ê úë û æ ö÷ç ÷ = -ç ÷ç ÷ç +è ø + = - = - æ ö÷ç ÷= +ç ÷ç ÷çè ø æ ö÷ç ÷= +ç ÷ç ÷çè ø CHÚ Ý ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 ) 1 ... 1 . 1 ! ) ln 1 . ) sin . sin 2 ) cos . cos 2 n n n n n n n n n n n i ax b n ax b n iv ax b ax b v ax b a ax b n vi ax b a ax b n a a a a a a a p p - - é ù + = - - + +ê ú ê úë û - + = - + æ ö÷ç ÷+ = + +ç ÷ç ÷çè ø æ ö÷ç ÷+ = + +ç ÷ç ÷çè ø VÍ DỤ 12 Tính đạo hàm cấp n của: ( ) ( ) ( ) 2 1 1 ) ) 3 21 a f x b g x x xx x = = - +- ĐẠO HÀM CẤP CAO HÀM ẨN Biết: . CM: Đạo hàm 2 vế theo x: Do đó: Thay y’ vào: 4 4 16x y+ = 2 7 48x y y ¢¢= - 3 3 3 3 4 4 . ' 0 ' x x y y y y + = Þ = - ( )23 2 3 3 2 3 6 4 3 '3 3 . ' x xy yx x y x y y y y y y ¢æ ö --÷ç ÷¢¢= - = - =ç ÷ç ÷çè ø ( ) 3 2 2 4 4 2 4 7 7 3 3 3 48 x x y x x y x y y x y y y æ ö÷ç ÷-ç ÷ç - +÷ç -è ø ¢ = = - ¢= CÔNG THỨC LEIBNITZ Dễ thấy: Mở rộng: ( ) ( ) ( ) . . . . . . . 2 . f g f g g f f g f g g f f g f g f g ¢ ¢ ¢= + ¢¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢¢= + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . . nn k n kk n k f g C f g - = = å Gần giống khai triển nhị thức Newton VÍ DỤ 13 Tính đạo hàm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 4 3 2 2 3 4 . 3 . 3 . . 4 . 6 . 4 . f g f g f g f g g f f g f g f g f g f g g f ¢ ¢= + + + ¢ ¢= + + + + ( ) ( ) ( )( )102 1 sin ???f x x x f x= + = VI PHÂN Vi phân tại một điểm Vi phân trên một khoảng Ứng dụng vi phân tính gần đúng SỐ GIA Cho hàm số y=f(x), ta nghiên cứu sự thay đổi của y khi x thay đổi một lượng rất nhỏ  Sự biến thiên của x gọi là số gia của x, ký hiệu ∆x  Sự biến thiên của y gọi là số gia của y, ký hiệu ∆y Ví dụ. Cho hàm số y=x3 Khi x thay đổi từ 2 lên 2,1 thì y thay đổi từ 8 lên 9,621 Ta có:     3 22,1 2 0,1 2,1 2 2,1 2 1,261x y f f          SỐ GIA Định nghĩa. Cho  y f x và 2 1x x x   ta có:    2 1 1 1y y y f x x f x        y biểu thị sự biến thiên của y tương ứng với sự biến thiên x của biến x.  Số gia x có thể âm hoặc dương  y phụ thuộc vào hàm số f, giá trị 1x và số gia x SỐ GIA VÀ ĐẠO HÀM Chú ý. Trong công thức tính đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x ta có: Nếu giới hạn tồn tại, tức hàm số có đạo hàm thì với sự biến đổi rất nhỏ của x ta có:           0 0 0 ' lim lim lim h x x f x h f x f x x f x y f x h x x                  0 ' lim x y y f x x x        VI PHÂN Như vậy nếu ∆x≠0 và rất nhỏ thì: Nên ta có: Ta có thể xấp xỉ độ biến thiên của y bằng biểu thức VP. Biểu thức này được đặt tên là vi phân, ký hiệu dy hay df.  ' .y f x x     0 ' lim x y y f x x x         ' .dy f x x  ĐỊNH NGHĨA VI PHÂN Định nghĩa vi phân. Cho hàm số khả vi  y f x khi này vi phân của hàm số, ký hiệu dy hay df xác định bởi:    ' . ' .dy f x dx hay df f x dx  trong đó dx x  . Chú ý. Vi phân dy hay df là một hàm số bao gồm 2 biến độc lập đó là x và dx Xấp xỉ bằng vi phân. y dy  VÍ DỤ 14 Ví dụ. Xét hàm số   26y f x x x   Khi x=2 ta có:           2 2 2 2 ; ' 2 6 2.2 2y f x f x x dy f dx x x               Bảng so sánh vi phân và số gia tại x=2 x y dy 0,1 0,19 0,2 0,2 0,36 0,4 0,3 0,51 0,6 Điều này cho thấy khi số gia của x càng nhỏ thì sự khác biệt giữa số gia và vi phân của y càng nhỏ. Ta có thể sử dụng vi phân để xấp xỉ cho số gia của y. VÍ DỤ 15 Ví dụ. Một công ty sản xuất và bán x sản phẩm một tuần. Giả sử chi phí và doanh thu hàng tuần của công ty là:       2 5000 2 10 0 8000 1000 x C x x R x x x      Hãy sử dụng vi phân để xấp xỉ cho sự biến thiên của doanh thu và lợi nhuận khi sản lượng tăng từ 2000 lên 2010 sản phẩm một tuần. ỨNG DỤNG VI PHÂN 0 y 0 x 0 x x+ D ( )0f x ( )0f x x+ D xD ( ) ( )0 0f x x f x+ D - fD ( )0' .f x xD ( )0' . 0f f x x khi xD » D D ® ỨNG DỤNG VI PHÂN TÍNH GẦN ĐÚNG Cho hàm f(x) khả vi trong lân cận của x0. Ta có: Hay công thức: ( ) ( ) ( )0 0 0' .f x x f x f x x+ D » + D ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0' .f x f x f x x x» + - VÍ DỤ 16 Cho hàm số: a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1 b) Tính gần đúng: Giải: ( ) 3f x x= + 4, 03 ( ) ( )1 1 2 3 2 3 f x df x dx x x ¢ = Þ = + + ( ) ( )1 1 11 1 4 42 1 3 df dx dx x= = = - + VÍ DỤ 17 Cho hàm số: a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1 b) Tính gần đúng: Giải: Nếu tính bằng máy tính: ( ) 3f x x= + 4, 03 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 4 1 0, 03 4, 03 1, 03 1 1, 03 1 2 2, 0075 4 4 f x f x f f » + - = » + - = + = 4, 03 2, 00748599..= CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI Định lý về giá trị trung bình (tham khảo) Công thức Taylor Qui tắc L’ Hospitale ĐỊNH LÝ FERMAT Cho hàm số y=f(x) xác định trong lân cận x0. Nếu f(x) đạt cực đại tại x0 và có đạo hàm tại x0 thì: ( )0' 0f x = ĐỊNH LÝ ROLLE Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và f(a)=f(b) thị tồn tại điểm c thuộc (a,b) sao cho f’(c)=0 Đặc biệt nếu f(a)=f(b)=0 thì định lý Rolle có nghĩa giữa hai nghiệm của hàm số có ít nhất một nghiệm của đạo hàm. ĐỊNH LÝ LAGRANGE Nếu f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c thuộc (a,b) sao cho: ( ) ( ) ( )' f b f a f c b a - = - ĐỊNH LÝ CAUCHY Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và g(x) khác 0 trên (a,b) thì tồn tại c thuộc (a,b) sao cho: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' f b f a f c g b g a g c - = - CÔNG THỨC TAYLOR Khai triển một hàm số phức tạp thành dạng đơn giản Khai triển hàm phức tạp thành hàm đa thức. Ví dụ: khai triển Taylor tại x=0 ( ) ( ) ( ) 2 5 2 1 1 2 2 3 arct an ... 1 0 3 5 2 1 1 ... 0 2 ! 3 ! ! n n n n x n x x x x x x n x x x e x x n - - = - + + + - + - = + + + + + + CÔNG THỨC TAYLOR Cho hàm số f(x): Liên tục trên [a,b] Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b) Xét x0(a,b). Khi đó trên [a,b] ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 20 0 0 0 0 1 10 0 0 ' " 1 ! 2 ! ... ! 1 ! n n n n f x f x f x f x x x x x f x f c x x x x n n + + = + - + - + + - + - + PHẦN DƯ TRONG CÔNG THỨC TAYLOR Dạng Lagrange: Dạng Peano: (thường dùng hơn) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 ! n n n f c R x x n + + = - + ( )0 lim 0n nx R x x ® ¥ = - ( )00 n n R x x= - CÔNG THỨC MACLAURIN Cho hàm số f(x): Liên tục trên [a,b] Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b) Xét x0=0 (a,b). Khi đó trên [a,b] ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 ' 0 " 0 0 0 ... 0 1 ! 2 ! ! n n n f x f f f f x x x x n = + + + + + CÔNG THỨC L’HOSPITAL Áp dùng tìm giới hạn dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ñònh lyù: Cho giôùi haïn: coù daïng Neáu thì 0 lim ; 0 lim lim x a x a x a f x g x f x f x L L g x g x ® ® ® ¥ ¥ ¢ = = ¢ 0 ; 0 ¥ ¥ ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x a x a f x f x L g x g x® ® ¢ = = ¢ ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC Định lý Weierstrass Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [a;b], tức là tồn tại x1, x2 ∈ ; sao cho: 1 2 [ , ][ , ] ( ) max ( ) ( ) min ( ) x a bx a b f x f x f x f x    ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC Định lý giá trị trung gian Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)≠f(b). Khi đó lấy một giá trị c bất kỳ nằm giữa f(a) và f(b) thì tồn tại x0 ∈ (; )sao  0f x c ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC Hệ quả Định lý giá trị trung gian Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại x0 ∈ (; ) sao cho f(x0)=0. Tức là phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b) ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC Cho mô hình cân bằng thị trường QS=QD. Trong đó: Chứng minh rằng mô hình trên có giá cân bằng thuộc khoảng (3;5) 2 500,1 5 10; . 2 S DQ P P Q P      ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. Ý nghĩa của đạo hàm 2. Giá trị cận biên 3. Hệ số co dãn 4. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Phân tích cận biên trong kinh tế và kinh doanh Trong kinh tế, từ cận biên đề cập đến tốc độ biến thiên, nghĩa là đạo hàm. Do đó, nếu C(x) là hàm tổng chi phí cho x đơn vị sản phẩm thì C’(x) chính là chi phí cận biên (chi phí biên) và thể hiện tốc độ biến thiên tức thời của hàm tổng chi phí theo số lượng sản phẩm. Tương tự ta có các khái niệm như doanh thu cận biên là đạo hàm của hàm tổng doanh thu và lợi nhuận cận biên là đạo hàm của hàm tổng lợi nhuận. CÁC HÀM CẬN BIÊN TRONG KINH TẾ Định nghĩa. Gọi x là số lượng sản phẩm được sản xuất ra trong một khoảng thời gian. Khi đó, ta có các hàm kinh tế sau: Các hàm cận biên thể hiện tốc độ biến thiên tức thời theo sản phẩm tại một mức sản xuất cho trước Hàm kinh tế Hàm cận biên Tổng chi phí: C(x) Chi phí cận biên: C’(x) Tổng doanh thu: R(x) Doanh thu cận biên: R’(x) Tổng lợi nhuận: P(x)=R(x)-C(x) Lợi nhuận cận biên: P’(x)=R’(x)-C’(x) HÀM CHI PHÍ C(X) - Là tổng chi phí để sản xuất ra x sản phẩm, - Không phải là chi phí để sản xuất ra 1 sản phẩm. Để tìm chi phí sản xuất ra 1 sản phẩm ta có thể sử dụng 2 giá trị của hàm chi phí như sau: Tổng chi phí sản xuất ra (x+1) sản phẩm: C(x+1) Tổng chi phí sản xuất ra x sản phẩm: C(x) Chi phí sản xuất ra sản phẩm thứ (x+1): C(x+1) – C(x) Tương tự cho các hàm còn lại VÍ DỤ 18. (PHÂN TÍCH CHI PHÍ) Một công ty sản xuất bình nhiên liệu cho xe hơi. Tổng chi phí hàng tuần ($) để sản xuất ra x bình được cho bởi: a) Tìm hàm chi phí c