Bài giảng Toán tài chính - Chương 5a: Đại số tuyến tính và ứng dụng

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 5A CHƯƠNG 5 Chương 5: Đại số tuyến tính và ứng dụng 5.1 Quy hoạch tuyến tính 2 biến 5.2 Ma trận 5.3 Giải hệ phương trình: phương pháp khử 5.4 Định thức 5.5 Ma trận nghịch đảo và phân tích input/output 5.6 Tự tương quan và hồi qui tuyến tính đơn biến ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN Một ma trận A cấp mxn là một bảng số hình chữ nhật gồm mxn phần tử, gồm m hàng và n cột. 11 12 1 21 22 2 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn n n m m mn a a a a a a A a a a a a a a a a hay A a a a æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø é ù ê ú ê ú ê ú= ê ú ê ú ê ú ê úë û K L M M O M L K L M M O M L ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN Ký hiệu ma trận: Ví dụ: ij m n A a ´ é ù= ê úë û 1 2 7 0 4 5 7 1 0 2 8 9 A æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= - ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø MA TRẬN VUÔNG Nếu m=n ta nói A là ma trận vuông cấp n. Đường chéo chính gồm các phần tử: 11 12 1 21 22 2 ij 1 2 n n n n nn n n a a a a a a A a a a a ´ æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç é ù÷= =ç ÷ ê úç ÷ ë û÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø K L M M O M L 11 22 , , ..., nn a a a CÁC DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT 1. Ma trận không: 2. Ma trận hàng 3. Ma trận cột 4. Ma trận tam giác trên 5. Ma trận tam giác dưới 6. Ma trận chéo 7. Ma trận đơn vị 8. Ma trận bậc thang MA TRẬN KHÔNG Tất cả các phần tử đều bằng 0. Ký hiệu: 0 hay 0mxn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m n´ æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø L L M MO M L MA TRẬN HÀNG, CỘT Ma trận hàng: chỉ có một hàng Ma trận cột: chỉ có một cột ( ) 1 2 1 2 3 4 5 4 5 A B æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= - = ç ÷ç ÷- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN Ma trận vuông Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0 1 2 3 4 1 2 3 0 0 2 1 0 4 5 0 0 8 9 0 0 6 0 0 0 4 A B æ ö÷çæ ö ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç= = ç÷ ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ÷çç ÷ ÷ç÷ ÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI Ma trận vuông Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 3 4 0 0 6 8 0 5 0 6 9 3 1 4 A B æ ö÷çæ ö ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç= = ç÷ ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ÷çç ÷ ÷ç÷ ÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø MA TRẬN CHÉO Ma trận vuông Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0 Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 8 0 0 0 0 6 0 0 0 4 a A B C b æ ö÷çæ ö ÷ç÷ ÷ç ç æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷çç ç÷ ÷ ÷çç= = =ç÷ ÷ ÷çç ÷ ç ÷ ÷çç ÷÷ ÷ç è øç ÷ ÷ç÷ ÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø MA TRẬN ĐƠN VỊ Ma trận chéo Các phần tử chéo đều bằng 1. Ký hiệu: In là ma trận đơn vị cấp n 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I I I æ ö÷çæ ö ÷ç÷ ÷ç çæ ö ÷ ÷ç ç÷ ÷÷ç ç ç÷ ÷÷ç ç= = = ç÷ ÷÷ç ç ÷ ç ÷÷ç ç÷ ÷ ÷çè ø ç ÷ ÷ç÷ ÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø MA TRẬN BẬC THANG Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng kể tử bên trái gọi là phần tử cơ sở của hàng đó. Ma trận bậc thang:  Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng.  Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải (không cùng cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên. VÍ DỤ 1 2 1 0 0 0 0 7 1 0 4 8 9 0 0 0 9 3 1 0 0 3 0 0 0 1 2 0 0 0 9 1 A B æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø Không là bậc thang Không là bậc thang VÍ DỤ 2 2 1 0 0 0 4 8 9 0 0 7 1 0 0 0 0 3 1 0 0 3 0 0 3 1 2 0 0 0 9 1 C D æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø bậc thang bậc thang CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 1. Ma trận bằng nhau 2. Cộng hai ma trận cùng cấp 3. Nhân một số với ma trận 4. Nhân hai ma trận 5. Ma trận chuyển vị 6. Lũy thừa của một ma trận HAI MA TRẬN BẰNG NHAU Nếu các phần tử tương ứng bằng nhau. 1 2 4 5 2 1 4 5 a d A B b c a d A B b c æ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø ìï = -ïïï =ïï= Û í ï =ïïï =ïïî CỘNG HAI MA TRẬN Cộng các phần tử tương ứng với nhau Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp 1 2 4 5 2 1 4 5 a d A B b c a d A B b c æ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø æ ö- + ÷ç ÷ç+ = ÷ç ÷+ +ç ÷è ø NHÂN MỘT SỐ VỚI MA TRẬN Nhân số đó vào tất cả các phần tử 1 2 6 4 5 2 2 2 2 2 2 6 4 5 a d A B b c f a A b c k dk k kB k k fk æ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø æ ö÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷è ø æ ö- ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷è ø VÍ DỤ 3 1 2 3 4 0 2 10 4 8 7 5 3 1 7 6 0 2 3 0 1 2 3 2 4 ) ) 2 3 1 2 ) 3 7 A B a A B b A B c A B æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷- -÷ ÷ç çè ø è ø + - + PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN Cho 2 ma trận: Khi này ma trận A nhân được với ma trận B Điều kiện: số cột ma trận trước bằng số dòng ma trận sau. ; m n n k A B ´ ´ . m k kn mn A B C ´ ´ ´ = QUI TẮC NHÂN Phần tử nằm ở vị trí ij của ma trận mới bằng hàng i của ma trận đầu nhân với cột j của ma trận sau. ( )( )h ang cotijc i j C A B = VÍ DỤ 4 Các ma trận nào nhân được với nhau? 1 2 3 4 0 2 10 4 8 7 5 3 1 7 6 0 2 3 0 1 2 3 2 4 1 2 2 4 1 2 3 0 1 2 4 1 3 7 A B C D æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷- -÷ ÷ç çè ø è ø æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç æ ö÷ç ÷ ÷çç ÷ ÷ç= =ç ÷ ÷çç ÷ ÷- -ç ÷÷ç è ø÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø ĐỊNH THỨC Cho ma trận A vuông, cấp n. Định thức của ma trận A, ký hiệu: Đây là một số thực, được xác định như sau: ( )det A hay A ( ) ( ) ( ) 11 111 1 11 12 11 22 21 12 21 22 2 2 det det . . A a thì A a a a A thì A a a a a a a ´ ´ = = æ ö÷ç ÷ç= = -÷ç ÷ç ÷è ø ĐỊNH THỨC CẤP N≥3 Dùng phần bù đại số Ma trận phụ hợp của phần tử aij, ký hiệu Mij là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j. 11 12 1 21 22 2 1 2 ...... ...... ............................. ...... n n n n nn n n a a a a a a A a a a ´ æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø 4 4 3 21 0 9 1 7 1 2 2 14 0 6 6 42 1 13 A ´ æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç - ÷çè ø VÍ DỤ 5 Cho ma trận: ( )23 23 3 21 9 2 14 6 6 42 13 M M æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= Þ = ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø boûhaøng 2 vaø coät 3 M23=??? PHẦN BÙ ĐẠI SỐ Phần bù đại số của phần tử aij ký hiệu và xác định như sau: ( ) ( )ij ij1 det i j A M + = - ( )ij ij1 i j A M + = - KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC Định thức của ma trận vuông cấp n: Đây là khai triển theo dòng 1. Ta có thể khai triển dòng bất kỳ. ( ) 11 11 12 12 1 1d et . . ... n nA a A a A a A= + + + ( ) 1 1 2 2d et . . ...i i i i in inA a A a A a A= + + + VÍ DỤ 6 Tính định thức ma trận sau: 1 2 3 4 1 2 3 0 5 7 6 0 5 7 1 2 8 5 1 2 8 0 0 0 2 A B æ ö÷çæ ö ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç= = ç÷ ÷ç ÷ ç ÷-ç ÷ ÷çç ÷ ÷ç- ÷ ÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø ĐỊNH THỨC CẤP 3 Ta dùng qui tắc sau: 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 a a a a a A a a a a a a a a a a æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø ( ) ( ) ( ) 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12 d et . . . . . . . . . . . . A a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + - + + VÍ DỤ 7 Tính lại định thức ma trận sau: ( ) ( ) 1 2 3 1 2 1 0 5 7 0 1 0 1 2 8 2 2 2 5 7 6 0 1 1 1 2 5 1 2 2 0 3 9 3 3 A C m m m B D m æ öæ ö ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç= = ÷÷ çç ÷÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ÷- ç÷ -ç ÷çè ø è ø æ ö æ ö+÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= - = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷÷ ÷ç çè ø è ø TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC 1. Ta có thể khai triển theo dòng hay cột bất kỳ để tính định thức. 2. det(A)=det(AT) 3. det(AB)=det(A). det(B) 4. det(kA)=kndet(A) 5. Đổi chỗ hai dòng(cột) của định thức thì định thức đổi dấu. 6. Nhân một dòng, một cột với số k khác không thì định thức tăng lên k lần. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC 7. Nếu thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên dòng thứ 3 thì định thức không thay đổi. 8. Nếu định thức có một dòng, một cột bằng 0 thì định thức bằng 0. 9. Nếu 2 dòng (cột) tỷ lệ thì định thức bằng 0. 10. Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. 11. Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số hạng thì tách tổng 2 định thức Các phép biến đổi trên dòng xem phía sau (phần tìm hạng ma trận) TÍNH CHẤT Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số hạng thì tách tổng 2 định thức 1 3 1 3 1 3 0 7 0 7 0 7 1 8 1 8 1 8 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 4 6 5 7 10 12 2 2 5 5 2 5 10 12 5 1 6 6 1 2 2 4 5 4 14 16 16 3 6 7 0 12 5 + + = + - + - - + + + = + MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho: Khi này B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A. Ký hiệu: A-1 . . n n A B I B A I ìï =ï í ï =ïî TÍNH CHẤT ( ) 1 1 1 1 1 . . n A A A A A I A - - - - - Û = = = i ) khaûnghòch toàn taïi ma traän nghòch ñaûo A ii) i i i) M a traän nghòch ñaûo cuûa ma traän A (neáu coù) thì duy nhaát, vaø: A TÍNH CHẤT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . ; 1 det det T T T A B B A A BC C B A A A A A - - - - - - - - - - = = = = iv) Cho A, B, C laø caùc ma traän khaû nghòch thì: v) Neáu A khaû nghòch thì A cuõng khaû nghòch: vi) ĐIỀU KIỆN ĐỂ MA TRẬN KHẢ NGHỊCH Cho ma trận A vuông cấp n. Ta có: ( ) ( ) ( ) det 0 det 0 n A A I A r A n A A A A Û Û = Û ¹ Û = :i ) khaûnghòch ii) khaûnghòch ii i) khaûnghòch iv) khoâng khaûnghòch HẠNG CỦA MA TRẬN Định thức con của ma trận: Cho A là ma trận cấp mxn. Chọn các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột của A ta được một ma trận vuông cấp k. Định thức của ma trận vuông cấp k này ta gọi là định thức con cấp k của A. Hỏi. Có bao nhiêu định thức con cấp k trong 1 ma trận A cấp mxn - Chọn k dòng - Chọn k cột VÍ DỤ 8 Cho ma trận A. Hãy lập các định thức con cấp 1; cấp 2; cấp 3? Định thức con cấp mấy lớn nhất? 1 0 1 2 0 1 2 1 1 1 3 3           A HẠNG CỦA MA TRẬN Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp m.n khác O. Hạng của ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A) là cấp cao nhất trong các định thức con khác 0 của ma trận A. Vậy hạng của A, rank(A)=r thỏa a) Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 của A . b) Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r (nếu có) thì phải bằng 0. VÍ DỤ 9 Tìm hạng của ma trận sau: 1 0 3 2 2 0 1 2 0 1 2 1 0 1 2 3 2 0 6 4 5 0 6 4 A B                       CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN DÒNG 1. Đổi chỗ hai dòng với nhau 2. Thay một dòng bởi dòng đó nhân với một số khác 0 3. Thay một dòng bởi dòng đó cộng với dòng khác nhân với một số. 4. Tổng hợp: i j d d« . i i d k d® . i i j d d d® + l . . i i j d k d d® + l VÍ DỤ 10 Thực hiện phép biến đổi ma trận: Ma trận A’ gọi là ma trận tương đương dòng với ma trận A. Ký hiệu: A’ ~ A 2 2 1 3 3 1 3 3 29 2 3 2 8 1 2 3 4 8 7 5 3 ? ?? 2 3 0 1 ?? ' d d d d d d d d d d d A A + ® - ® - ® - « æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ¾ ¾ ¾ ¾® ¾ ¾ ¾ ¾ ¾®÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ® HẠNG CỦA MA TRẬN Hạng của ma trận A là số dòng khác 0 của ma trận bậc thang của ma trận A. Ký hiệu: r(A) hay rank(A) Ma trận bậc thang của A: A→..bđsc theo dòng →A’ (có dạng bậc thang) VÍ DỤ 11 Tìm hạng của ma trận 3 21 0 9 0 1 7 1 2 1 2 14 0 6 1 6 42 1 13 0 A æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷- - -ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç - ÷çè ø TÍNH CHẤT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) ) m in , T ij m n i r A r A ii A B thì r A r B iii A a thì r A m n ´ = = é ù= £ê úë û : CÁCH TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Phương pháp Gauss – Jordan Phương pháp Định thức PP GAUSS JORDAN Bước 1: Lập ma trận [A|In] bằng cách ghép thêm vào bên phải A ma trân đơn vị In. Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa [A|In] về dạng [In|B] Nếu làm được như thế thì A khả nghịch và B=A-1 Chú ý: Trong quá trình biến đổi nếu ở khối bên trái xuất hiện một dòng 0 thì A không khả nghịch. Dùng phương pháp thứ hai không cần kiểm tra điều kiện khả đảo. VÍ DỤ 12 Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của: 1 2 2 3 3 7 4 6 A B              1 2 3 2 5 3 1 0 8 C          PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH THỨC Ta có: Với C là ma trận chứa các phần bù đại số của A. Ma trận C gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A 1 1 1 det det T A A C P A A - = = ( )i j i j1 det i j ij c A M + = = - VÍ DỤ 13 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu có 3 4 6 0 1 1 2 3 4 A æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷çè ø ( )det ???A = VÍ DỤ 13 Tìm ma trận phụ hợp của A: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 1 0 1 0 1 3 4 2 4 2 3 4 6 3 6 3 4 3 4 2 4 2 3 4 6 3 6 3 4 1 1 0 1 0 1 c c c c c c c c c = + = = - = = + = - - - - - - = - = = + = = - = - - - - - - = + = = - = = + = GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN a) Xét phương trình: A.X=B Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B b) Xét phương trình: X.A=B Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=B.A-1 c) Xét phương trình: A.X.C=B Giả sử A, C khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B.C-1 Nhân tương ứng từng phía theo thứ tự của phương trình. VÍ DỤ 14 Giải các phương trình sau: 1 2 3 5 ) . 3 4 5 9 3 10 5 6 4 16 ) . . 5 2 7 8 9 10 a X b X æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç=÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø æ ö æ ö æ ö- ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç=÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Dạng tổng quát 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... ............................................... ... n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ìï + + + =ïïï + + + =ïïí ïïïï + + + =ïïî HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Dạng ma trận 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 ... ... ...................... ... ... ... n n m m mn n m a a a x b a a a x b a a a x b æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷´ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø A X B´ = HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Dạng ma trận Ma trận A gọi là ma trận hệ số. X: ma trận cột các ẩn số B: ma trận cột các hệ số tự do Nghiệm của phương trình là một bộ số: Sao cho khi thay vào thì mọi phương trình đều thỏa mãn. A X B´ = ( ) ( )1 2 1 2, , ..., , , ...,n nx x x c c c= ĐỊNH LÝ CRONECKER – CAPELI ( ) Cho phöông trình: Ñaët ma traän boå sung cuûa ma traän A Tìm haïng cuûa ma traän : : ; A X B A A B A A ´ = = ĐỊNH LÝ CRONECKER – CAPELI ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i ) Heä pt coù nghieäm duy nhaát i i) Heä pt coù voâ soá nghieäm ii i) Heä pt voâ nghieäm iv) Heä pt coù nghieäm r A r A n r A r A n r A r A r A r A Û = = Û = < Û ¹ Û = VÍ DỤ 15 Hệ phương trình sau có nghiệm hay vô nghiệm 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 2 4 1 3 4 0 2 4 1 x x x x x x x x x x x x ìï - + =ïïï + - = -ïïí ï - - =ïïï + + =ïïî CÁCH GIẢI HPT TUYẾN TÍNH Phương pháp Gauss – Jordan Phương pháp Cramer Phương pháp ma trận nghịch đảo PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS – JORDAN ( ) ( ) ( ) i ) Laäp ma traän boå sung . i i) Ñöa ma traän boå sung veà daïng baäc thang baèng bieán ñoåi sô caáp treân doøng. i i i ) Nghieäm cuûa heä cuoái laø nghieäm cuûa heä ñaàu. iv) Giaûi n bdsc dong r r A A B A A B A A B = ¢= ¾ ¾ ¾ ¾® = ghieäm töø döôùi leân treân. VÍ DỤ 16 Giải hệ phương trình sau: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 3 2 4 8 2 4 1 2 4 5 11 ) ) 3 4 0 4 3 2 1 2 4 1 6 7 10 x x x x y z x x x x y z a b x x x x y z x x x x y z ì ìï ï- + = + - =ï ïï ïï ï+ - = - + - =ï ïï ïí í ï ï- - = - + =ï ïï ïï ï+ + = + - =ï ïï ïî î PHƯƠNG PHÁP CRAMER Điều kiện: số ẩn bằng số phương trình Ma trận Ai là ma trận có được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ i bằng cột hệ số tự do. 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 ... ... ...................... ... ... ... n n n n nn m n a a a x b a a a x b a a a x b æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷´ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø PHƯƠNG PHÁP CRAMER Ví dụ: A1 Thay cột 1 bằng cột hệ số tự do 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 12 1 22 2 1 1 2 2 ... ... ...................... ... ... ... ... ...................... ... n n n n nn n n n n nn n a a a b a a a b A B a a a b a a a a A a a b b b æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø æ ççççç= ççççççè ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ç ø PHƯƠNG PHÁP CRAMER ( ) ( ) ( ) Ñaët: Neáu thì heä coù nghieäm duy nhaát: Neáu vaø toàn taïi thì heä voâ nghieäm. Neáu thì heä voâ nghieäm hoaëc voâ soá nghieäm. Ta giaûi tieáp 1 1 1 det ; d et ; ... ; det ) 0 ) 0 0 ) ... 0 n n i i i n A A A i x ii ii D = D = D = D ¹ D = D D = D ¹ D = D = = D = baèng phöông phaùp Gauss. VÍ DỤ 17 Giải và biện luận hệ phương trình sau 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 4 ) ) 8 2 4 mx x x ax y z a x mx x m b x by z x by zx x mx m ì ìï ï+ + = + + =ï ïï ïï ï+ + = + + =í í ï ïï ï + + =+ + =ï ïï ïîî PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Ma trận A vuông hay số phương trình bằng số ẩn. Nếu ma trận A khả nghịch thì: .A X B= 1. .A X B X A B-= Û = VÍ DỤ 18 Giải phương trình sau 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 1 2 3 6 1 7 x x x x x x x x x m ìï + + =ïïï + + =í ïï - + =ïïî MÔ HÌNH CÂN ĐỐI LIÊN NGÀNH Mô hình Input-Output Leontief Mỗi một ngành trong n ngành công nghiệp của một nền kinh tế phải đảm bảo một mức sản xuất hàng hóa đầu ra bằng bao nhiêu để vừa vặn đủ thỏa mãn tổng cầu về loại hàng hóa đó, tức là thỏa mãn chính các ngành công nghiệp đó và nhu cầu chung của xã hội. BẢNG VÀO RA (I/O) Được Wasily Liontief đưa ra năm 1927 Ghi lại sự phân phối của các ngành trong nền kinh tế quốc dân và quá trình hình thành sản phẩm kinh tế mỗi ngành Mỗi ngành đều có 2 chức năng: sản xuất ra sản phẩm cung cấp cho chính mình và cho các ngành khác như yếu tố đầu vào và một phần dùng cho tích lũy tiêu dùng và xuất khẩu MÔ HÌNH I/O Phân tích các mối liên hệ kinh tế giữa các ngành  Giá trị sản phẩm mỗi ngành được phân phối cho ai, phân phối như thế nào  Giá trị sản phẩm của mỗi ngành được hình thành như thế nào  Phân tích tác động dây chuyền trong ngành kinh tế CÁC GIẢ THUYẾT Mỗi một ngành công nghiệp j chỉ sản xuất một loại hàng hóa j hoặc nhiều loại hàng hóa với tỷ lệ cố định. Mỗi ngành công nghiệp sử dụng một tỷ lệ đầu vào cố định để sản xuất hàng hóa đầu ra. Việc sản xuất mỗi loại hàng hóa có tính chất hiệu suất không đổi (constant return to scale), tức là nếu mở rộng đầu vào k lần thì đầu ra sẽ tăng k lần. MA TRẬN HỆ SỐ KỸ THUẬT Gọi tỷ lệ đầu vào cố định là aij Để ngành công nghiệp j sản xuất ra một đơn vị hàng hóa (loại j) cần có các tỷ lệ đầu vào cố định aij các hàng hóa loại I Ví dụ: a23 = 0,35 có nghĩa gì? MA TRẬN HỆ SỐ KỸ THUẬT Ma trận A=[aij] gọi là ma trận các hệ số đầu vào hay ma trận hệ số kỹ thuật. Tổng phần tử cột j có ý nghĩa gì? 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ... ...1 ...2 ... ... ... ...... ... n n n n nn n a a a a a a A a a an              Đầu ra Đầu vào   1 1 , 1,2,...,n n ij i a j    TỔNG CẦU, CẦU TRUNG GIAN VÀ CẦU CUỐI CÙNG xi là tổng cầu hàng hóa của ngành i hay mức sản xuất hàng hóa ngành i xij là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành j cần sử dụng cho việc sản xuất (cầu trung gian); bi là giá trị hàng hóa của ngành i cần tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng); 1 2) ) ij i i i in i ij j x i x x x x b ii a x       BẢNG I-O DẠNG GIÁ TRỊ Ta có: Công thức: Tổng cầu Cầu trung gian Cầu cuối cùng x1 x11 x12 x1n b1 x2 x21 x22 x2n b2 xn xn1 xn2 xnn bn 1 2) ) ik i i i in i ik k x i x x x x b ii a x       Mua của ngành 1 Bán của ngành 1 MÔ HÌNH I-O Ta có mô hình I-O: Dạng ma trận: 1 11 1 12 2 1 1 11 12 11 1 2 21 1 22 2 2 2 2 21 22 2 2 1 1 2 2 1 2 ... ... ... ........................................ ... n n n n n n nn n n nn n n n n nn x a x a x a x b a a ax x x a x a x a x b x a a a x hay xx a x a x a x b a a a                                        1 2 ... n n b b x b                          . .X A X B X A X B I A X B          1 X I A B    MỘT SỐ THUẬT NGỮ A gọi là ma trận hệ số đầu vào hay ma trận hệ số kĩ thuật X là ma trận tổng cầu (hay véc tơ sản xuất) B là ma trận cầu cuối cùng T=(I-A) ma trận Leontief hay ma trận công nghệ C=(I-A)-1: ma trận hệ số chi phí toàn bộ Hệ số cij: để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của ngành j thì ngành i cần phải sản xuất một lượng sản phẩm có giá t