Bài giảng trọng tâm mũ– loga

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Trang 1 LUYỆN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN §ÆNG VIÖT HïNG BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM MŨ – LOGA Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Trang 2 I. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LŨY THỪA 1) Khái niệm về Lũy thừa
Lũy thừa với số mũ tự nhiên: . . ... ,=na a a a a với n là số tự nhiên.
Lũy thừa với số nguyên âm: 1 ,− =n n a a với n là số tự nhiên.
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: ( )= =m mn m nna a a với m, n là số tự nhiên. Đặt biệt, khi m = 1 ta có 1 .= nna a 2) Các tính chất cơ bản của Lũy thừa
Tính chất 1: 0 1 1, ,  = ∀  = ∀ a a a a a
Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến): 1: 0 1:  > > ⇔ >  ⇔ < m n m n a a a m n a a a m n
Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): với a > b > 0 thì 0 0  > ⇔ >  < ⇔ < m m m m a b m a b m Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0. + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương. 3) Các công thức cơ bản của Lũy thừa
Nhóm công thức 1: ( ) ( ) . + − = = = = m n m n m m n n n m m mn n a a a a a a a a a
Nhóm công thức 2: ( ) 1 11 3 32 ; ; . , , 0 , , 0 = = → = = = = ∀ ≥ = ∀ ≥ > m m n m n nn n n n n n n n a a a a a a a a a ab a b a b a a a b b b Ví dụ 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, (coi các biểu thức đã tồn tại) a) 24 3 .=A x x b) 5 3 .= b aB a b c) 5 32 2 2 .=C d) 3 32 3 2 . 3 2 3 =D e) 4 3 8 .=D a f) 25 3 .= b bF b b Ví dụ 2: Có thể kết luận gì về số a trong các trường hợp sau? a) ( ) ( ) 2 1 3 31 1 .− −− +a a c) 0,2 21 . −   <    a a d) ( ) ( ) 1 1 3 21 1 .− −− > −a a e) ( ) ( ) 3 2 42 2 .− > −a a f) 1 1 2 21 1 . −     >       a a Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau: a) ( ) ( ) 11 1 2 23 2 3 2 3 2 3 2 −     = + − − + + −           A 01. ĐẠI CƯƠNG VỀ MŨ VÀ LOGARITH Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Trang 3 b) 4 10 2 5 4 10 2 5 .= + + + − +B Ví dụ 4: Cho hàm số 4( ) . 4 2 = + x x f x a) Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1. b) Tính tổng 1 2 2010... . 2011 2011 2011       = + + +            S f f f Ví dụ 5: So sánh các cặp số sau a) 5 2pi 2       và 10 3pi 2       b) 2 pi 2       và 3 pi 5       c) 10 43 5       và 5 24 7       d) 3 7 6       và 2 8 7       e) 5 pi 6       và 2 pi 5       Ví dụ 6: Tìm x thỏa mãn các phương trình sau? 1) 54 1024=x 2) 15 2 8 2 5 125 +   =    x 3) 1 3 18 32 − = x 4) ( ) 22 13 3 9 −   =     x x 5) 2 8 27. 9 27 64 −     =        x x 6) 2 5 63 1 2 − +   =    x x 7) 2 81 0,25.32 0,125 8 − −   =     x x 8) 0,2 0,008=x 9) 3 7 7 39 7 49 3 − −     =        x x 10) ( ) ( ) 112 . 3 6 = x x 11) 1 1 17 .4 28 − − = x x II. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LOGARITH 1) Khái niệm về Logarith Logarith cơ số a của một số x > 0 được ký hiệu là y và viết dạng log= ⇔ = yay x x a Ví dụ: Tính giá trị các biểu thức logarith sau ( )2 3 2 2log 4; log 81; log 32; log 8 2 Hướng dẫn giải: • 2 2log 4 2 4 2 log 4 2= ⇔ = ⇔ = → = yy y • y 4 3 3log 81 y 3 81 3 y 4 log 81 4= ⇔ = = ⇔ = → = • ( ) ( )y 1052 2log 32 y 2 32 2 2 y 10 log 32 10= ⇔ = = = ⇔ = → = • ( ) ( ) ( ) ( )732 2log 8 2 2 8 2 2 . 2 2 7 log 8 2 7= ⇔ = = = ⇔ = → =yy y Chú ý: Khi a = 10 thì ta gọi là logarith cơ số thập phân, ký hiệu là lgx hoặc logx Khi a = e, (với e ≈ 2,712818…) được gọi là logarith cơ số tự nhiên, hay logarith Nepe, ký hiệu là lnx, (đọc là len- x) 2) Các tính chất cơ bản của Logarith • Biểu thức logarith tồn tại khi cơ số a > 0 và a ≠ 1, biểu thức dưới dấu logarith là x > 0. • log 1 0 ;log 1,= = ∀ a a a a • Tính đồng biến, nghịch biến của hàm logarith: 1 log log 0 1 > ⇔ > > ⇔  < ⇔ < < a a b c a b c b c a 3) Các công thức tính của Logarith
Công thức 1: log ,= ∀ ∈
xa a x x ,(1) Chứng minh: Theo định nghĩa thì hiển nhiên ta có log = ⇔ =x x xa a x a a Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Trang 4 Ví dụ 1: ( )85 42 2 2 2 2log 32 log 2 5;log 16 log 2 log 2 8...= = = = = Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau: a) 3 25 1 4 log . a a a aP a a = b) log . a Q a a a a= Hướng dẫn giải: a) Ta có 1 2 1 2 28 671 28 3 67 673 25 5 3 5 3 15 60 15 4 60 60 1 11 1 1 1 34 2 4 2 4 4 . . 1 67log log . 60 . a a a a a a a a a a a a P a aa a a a a a + + − − +  = = = = = → = = =−   b) Ta có ( ) 157 15 151 3 88 16 162 4 15 . . . log log . 8a a a a a a a a a a a a a a a a Q a a= = = = → = = = Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau: 1) 1 5 log 125 .....................................................= 2) 2log 64 ....................................................................= 3) 16log 0,125 ..................................................= 4) 0,125log 2 2 ..........................................................= 5) 3 33log 3 3 ................................................= 6) 7 8 7 7log 7 343 ............................................................= Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức sau: a) ( )3 5log ..................................................................................................................................aP a a a= = b) ( )23 54log ............................................................................................................................= =aQ a a a a
Công thức 2: log , 0= ∀ >a xa x x , (2) Chứng minh: Đặt ( )log , 2= ⇒ = ⇔ =t t ta x t x a a a Ví dụ 1: ( ) ( ) ( ) ( )33 352 log 4 11 1log 4 log 4log 6log 3 22 22 3, 5 6, 3 3 3 4 2...   = = = = = =     Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau: 1) 8log 152 .....................................................= 2) 2 2log 642 ....................................................................= 3) 81log 51 ..................................................... 3   =   4) ( ) 3 log 43 9 ....................................................................=
Công thức 3: ( )log . log log= +a a ax y x y , (3) Chứng minh: Áp dụng công thức (2) ta có log log log log log log . . +  = → = = = a a a a a a x x y x y y x a x y a a a y a Áp dụng công thức (1) ta được : ( ) log loglog . log log log+= = + ⇒a ax ya a a ax y a x y dpcm Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau: a) ( ) 32 2 2 2 2 2 2log 24 log 8.3 log 8 log 3 log 2 log 3 3 log 3= = + = + = + b) ( ) 33 3 3 3 3 3log 81 log 27.3 log 27 log 3 log 3 log 3 3 1 4= = + = + = + = Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau: a) 4 23 3 3 2 2 2 2 2 4 10log 4 16 log 4 log 16 log 2 log 2 2 . 3 3 = + = + = + = Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Trang 5 b) 131 333 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 10log 27 3 log 27 log 3 log 3 log 3 log log 3 . 3 3 3 3 − −      = + = + = + =− − =−        c) ( ) ( ) 6 235 5 2 2 2 2 2 2 2log 8 32 log 8 log 32 log 2 log 2 log 2 log 2 6 2 8.= + = + = + = + =
Công thức 4: log log log  = −    a a a x x y y , (4) Chứng minh: Áp dụng công thức (2) ta có log log log log loglog −  = → = = = a a a a aa x x x y yy x a x a a y ay a Áp dụng công thức (1) ta được : log loglog log log log−  = = − ⇒    a ax y a a a a x a x y dpcm y Ví dụ: 45 3 32 2 2 2 2 23 32 5 4 7log log 32 log 16 log 2 log 2 . 2 3 616 = − = − = − =
Công thức 5: log .log=ma ab m b , (5) Chứng minh: Theo công thức (2) ta có ( )log log .log= ⇒ = =a a amb b m bmb a b a a Khi đó .loglog log .log= = ⇒am bma a ab a m b dpcm Ví dụ 1: ( ) 3 2 2 2 2 5 5 5 1 4 42 2 2 log 27 log 3 3log 3; log 36 log 6 2log 6 1 5log 32 log 32 log 32 4 4 = = = = = = = Ví dụ 2: 42 23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 6 .45 12log 6 log 400 3log 45 log 6 log 400 log 45 log log 81 log 4. 2 20 3 −   − + = − + = = = = −    Ví dụ 3: 5 5 5 5 5 5 5 5 1 50 3log 3 log 12 log 50 log 3 log 12 log 50 log log 25 2. 2 2 3 − + = − + = = =
Công thức 6: 1log log=n aa b bn , (6) Chứng minh: Đặt ( )log = ⇒ = ⇔ =n yn nya b y a b a b Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được : 1log log log log= ⇔ = ⇒ =nya a a aa b ny b y b n hay 1log log= ⇒n aa b b dpcmn Ví dụ 1 : 1 2 5 1 5 22 2 22 2 1log 16 log 16 log 16 2.4 8.1 2 1log 64 log 64 log 64 5.6 30.1 5 = = = = = = = = Hệ quả: Từ các công thức (5) và (6) ta có : log log=n m aa mb b n Ví dụ 2: ( ) ( ) ( ) ( )3 1 33 1 1134 4 5 2 2 25 2 5 3 9 11 114log 125 log 5 log 5 ; log 32 2 log 2 log 2 .1 4 3 3 3 = = = = = = Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Trang 6 Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức 13 3 5 3 4 13 3 27log 27 log 9 . 1 1log log 81 3   +     =   +     A Hướng dẫn giải:
( )23 3 3 3log 27 log 3 3 2= =
1 2 133 5 1 325 33 5 27 3 1 13 26log log log 3 2. .1 5 59 3 2 −     = = = − = −     − 
1 2 13 3 5 4 3 3 43 3 13 3 27 26log 27 log 291 45log log 3 4.2log 3 8 . 81 8 4 51 1log log 81 3 −   +   −   = = − = − → = = = − +  +     A
Công thức 7: (Công thức đổi cơ số) loglog log = c a c bb a , (7) Chứng minh: Theo công thức (2) ta có ( )log log loglog log log .log log log= ⇒ = = ⇒ = ⇒a ab b cc c a c a c bb a b a b a b dpcm a Nhận xét : + Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau log log .log= a a c b c b + Khi cho b = c thì (7) có dạng log 1log . log log = = b a b b bb a a Ví dụ 1: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho: a) Cho 2 2log 14 log 49 ?= → = =a A b) Cho 15 25log 3 log 15 ?= → = =a B Hướng dẫn giải: a) Ta có ( )2 2 2 2log 14 log 2.7 1 log 7 log 7 1.= ⇔ = = + ⇒ = −a a a Khi đó ( )2 2log 49 2log 7 2 1 .= = = −A a b) Ta có 3 15 3 3 5 1 1log 5 11 1log 3 log 15 1 log 5 log 3 1 − = − = = ⇔ = = → +  =  − a a a a a a a ( ) ( ) 3 25 3 3 1 1 log 15 1 1log 15 .1log 25 2log 5 2 1 2 12 = = = = = → = − − − a aB B a a a a Ví dụ 2: Cho log 3.a b= Tính a) log .= b a bA a b) log .= ab bB a Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta có 1log 3 log . 3 = ⇒ =a bb a a) 1 1 1 1log log log log log log log log log = = − = − = − =     − −            b b b b b a aa a a b a bA b a a b a b ab b a a Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Trang 7 1 1 1 1 3 1 3 1 .21 2log log 2 3 2 3 2 3 21 3 − − = − = − = → = − − − − − − b a A a b Cách khác: Ta có được 2 2 2 2 log log 1 3 1log log log log 2 3 2log a a bb b aaa a a b bb b b aA ba ba a a          − − = = = = = =   − −  b) 1 1 1 1log . log log log log log log log log = = − = − = − = + +ab ab ab b b ba a a bB b a a ab ab a b a b 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 .1 1 1 11 log 1 3 3 1 3 1log 2 2 22 3 − − = − = − = → = + + + ++ +ab B b a Cách khác: Ta có ( )2 2 2 2 log 2log 1 2 3 1log log log . log 1 log 1 3 a a abab ab a a b bb b b aB a ab ba a −  − = = = = = =  + +  Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau: a) 36log 3.log 36 ......................................................................= b) 43log 8.log 81 ......................................................................= c) 32 25 1log .log 2 ................................................................. 5 = Ví dụ 4: Cho log 7.a b= Tính a) 3 log .= a b aA b b) 3 2log .= b a B ab Ví dụ 5: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho: a) Cho 325 2 5 49log 7 ; log 5 log ? 8 = = → = =a b P b) Cho log 2 log ?= → = =ab ab b a Q a
Công thức 8: log log=b bc aa c , (8) Chứng minh: Theo công thức (7): ( )loglog log .log log log loglog log .log= ⇒ = ⇔ = = ⇒bb b a b a bac a c c c ab b ac a c a a a a c dpcm Ví dụ 1: ( ) 27 7 2 1log 27log 2 log 49 log 22 249 2 2 4; 2 27 27 3 3...= = = = = = Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau: a) 36 9log 4log 5 log 3636 3 3 ..........................................................................= + − =A b) 23 3 log 32 log 2 log 4 3 .4 ........................................................................................... 27 − = =B c) 3 9 9log 5 log 36 4log 781 27 3 .......................................................................C = + + = BÀI TẬP LUYỆN TẬP : Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau 1) 1 425log 5 5− 2) 3 3log 729 3) 9 3 log 27 4) 9 3log 3 5) ( )33log 3 3 6) 4log 2 1 3 9 1       7) 27log 811 3      8) 103 2log 310 + 9) 8 163log 3 2log 54 + Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Trang 8 10) 3 27 1 log 2 2log 3 29 − 11) 22 log 34 + 12) 9 1 3 log 2 log 5 3 − 13) 5 7log 6 log 825 49+ 14) 8log3 1010 15) 7 7 7 log 16 log 15 log 30− 16) 9 12521 log 4 log 272 log 33 4 5+ −+ + 17) 7log 1 5log 1 68 4925 + Bài 2. Quy đổi các biểu thức sau theo các ẩn đã cho a) Cho log23 = a ; log25 = b. Tính 32 2 2log 3; log 135; log 180 theo a, b. b) Cho log53 = a, tính log2515. c) Cho log96 = a, tính log1832. d) Cho lg5 = a; lg3 = b. Tính log308. Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa) a) ( )1lg lg lg 3 2 + = + a b a b , với a2 + b2 = 7ab. b) ( ) ( )1lg 2 2lg 2 lg lg 2 + − = +a b a b , với a2 + 4b2 = 12ab c) log log2 3log 4 2 ++ = c c c a ba b , với 4a2 + 9b2 = 4ab d) Cho log1218 = a, log2454 = b, chứng minh rằng: ab + 5(a – b) = 1. e) log 1 log log = +a a ab c b c f) ax log loglog 1 log + = + a a a b xbx x g) log log log log log log − = − a b a b c c N N N N N N , với b2 = ac. h) 2 1 1 1 ( 1) ... log log log 2log + + + + = ka aa a k k x x x x Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Trang 9 1. Hàm số mũ y = ax (với a > 0, a ≠ 1). • Tập xác định: D = R. • Tập giá trị: T = (0; +∞). • Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. • Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. 2. Hàm số logarit = logay x (với a > 0, a ≠ 1) • Tập xác định: D = (0; +∞). • Tập giá trị: T = R. • Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. • Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. 3. Giới hạn đặc biệt • 1 0 1lim (1 ) lim 1 x x x x x e x→ →±∞   + = + =    • 0 0 ln(1 ) ln(1 )lim 1 lim 1 → → + + = → = x u x u x u • 0 0 1 1lim 1 lim 1 → → − − = → = x u x u e e x u • 0 0 sin sin ( )lim 1 lim 1( )x x x u x x u x→ → = → = Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau: 1) 2 0 1lim → − x x e x 2) 3 0 1lim − → − x x e x 3) 3 2 0 lim → − x x x e e x 4) 0 ln(1 3 )lim → + x x x 5) 0 ln(1 4 )lim 2→ + x x x 6) 4 0 1lim 3 − → − x x e x Hướng dẫn giải: 1) 2 2 0 0 1 1lim lim .2 2 2→ →  − − = =    x x x x e e x x 2) 3 3 0 0 1 1 1 1lim lim . 3 3 3 − − → →     − − −  = = −   −      x x x x e e xx 3) ( ) ( )3 23 2 3 2 0 0 0 0 1 1 1 1lim lim lim lim 3 2 1. → → → → − − − − − − = = − = − = x xx x x x x x x x e ee e e e x x x x 4) 0 0 ln(1 3 ) ln(1 3 )lim lim .3 3 3→ → + +  = =  x x x x x x 5) 0 0 ln(1 4 ) ln(1 4 )lim lim .2 2 2 4→ → + +  = =  x x x x x x 6) 4 4 0 0 1 1 4 4lim lim . 3 4 3 3 − − → →  − − −  = = −   −    x x x x e e x x BÀI TẬP LUYỆN TẬP Tính các giới hạn sau: 1) ( ) 0 ln 1 4 lim sin 2 x x x→ + 2) 2 20 coslim x x e x x→ − 3) 0 lim ax bx x e e x→ − 02. HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Trang 10 4) sin 2 sin 0 lim x x x e e x→ − 5) lim 1 x x x x→+∞    +  6) 1 1lim 1 x x x x + →+∞   +    7) 2 11lim 2 x x x x − →+∞ +    −  8) 1 33 4lim 3 2 x x x x + →+∞ −   +  9) 2 1lim 1 x x x x→+∞ +    −  4. Đạo hàm của hàm mũ và logarith
Hàm mũ: .ln . .ln x x u u y a y a a y a y u a a  ′= → =   ′ ′= → = Đặc biệt, khi a = e thì ta có . x x u u y e y e y e y u e  ′= → =   ′ ′= → =
Hàm logarith: 1log .ln log .ln a a y x y x a uy u y u a  ′= → =  ′ ′= → =  Đặc biệt, khi a = e thì ta có 1ln ln y x y x uy u y u  ′= → =  ′ ′= → =  Chú ý: Bảng đạo hàm của một số hàm cơ bản thường gặp: Hàm sơ cấp Hàm hợp
0′= → =y k y
2 1 1 1 . 1 2 − ′= → = − ′= → = ⇒ ′= → = n n y y x xy x y n x y x y x
sin cos cos sin ′ = → =  ′= → = − y x y x y x y x
2 2 1 tan cos 1 cot sin  ′= → =  − ′= → =  y x y x y x y x
.′ ′= → =y ku y k u
2 1 1 . . 2 − ′ ′= → = − ′ ′= → = ⇒ ′ ′= → = n n uy y u uy u y n u u uy u y u
sin .cos cos .sin ′ ′ = → =  ′ ′= → = − y u y u u y u y u u
2 2 tan cos cot sin ′ ′= → =  ′− ′= → =  uy u y u uy u y u
2 . ′ ′ − ′= → =   ′ ′ ′= → = + u uv u vy y v v y u v y uv u v Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1) 4 3 3 2= − +y x x 2) 2 3 1 3 − + = + x xy x 4 3 3 2= − +y x x 3) ( )23 sin 2 1= −y x Hướng dẫn giải: 1) ( ) ( )( )1 34 3 3 2 34 413 2 3 2 . 3 3 3 24 − ′= − + = − + → = − − +y x x x x y x x x 2) 1 3 2 2 2 23 3 3 1 1 1 1 1 . . 3 3 3 3 3 − ′      − + − + − + − + ′= = → = =      + + + +      x x x x x x x xy y x x x x 3 3 2 2 2 23 3 2 2 1 1 (2 1)( 3) 1 1 1 5 4 . . . . 3 3 3 3( 3) ( 3) − −′      − + − + − + − − + + − = =      + ++ +      x x x x x x x x x x x xx x Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Trang 11 3) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 23 3 3 3 2 1 4 1 sin 2 1 sin 2 1 . . sin 2 1 . cos 2 1 3 3sin 2 1 sin 2 1 ′ ′= − =  −  → = − = −  − − y x x y x x x x BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1) 31 1 5 1 2 xy x + + = + 2) 11 5 99 6y x= + 3) 4 4sin 3 xy += 4) ( )2 4 4 xy x x e=