Bài giảng Ước lượng các tham số thống kê (Estimation)

CHÖÔNG 5 ÖÔÙC LÖÔÏNG CAÙC THAM SOÁ THOÁNG KEÂ (Estimation) Khaùi nieäm chung: - Xeùt moät taäp hoïp chính goâøm N bieán ngaãu nhieân X tuaân theo luaät phaân phoái coù haøm maät ñoä xaùc suaát laø f (x,θ); trong ñoù θ laø caùc tham soá thoáng keâ cuûa taäp hoïp chính. Thí duï: • Trong phaân phoái nhò thöùc: f x Cn x x n x( , ) ( )θ ρ ρ= − −1 => θ = ρ , θ ∈ [0 , 1] • Trong phaân phoái poisson f x e x x ( , ) ! θ λ λ = => θ = λ θ > 0 • Trong phaân phoái chuaån f x e x ( , ) ( ) θ πσ µ σ= − −1 2 2 2 2 2 => θ = (µ , σ2) , -∞ < µ < +∞ 0 < σ2 < +∞ - Goïi {x1, x2,.... , xn} laø maãu ngaãu nhieân, côõ maãu n ñöôïc duøng laáy ra töø taäp hoïp chính tuaân theo haøm maät ñoä xaùc suaát f (x,θ). ÔÛ ñaây daïng cuûa haøm f xem nhö ñaõ bieát coøn caùc tham soá thoáng keâ θ cuûa taäp hoïp chính xem nhö chöa bieát. Vaán ñeà ñaët ra ôû chöông trình naøy laø döïa vaøo caùc maãu quan saùt {x1,x2,...,xn} ta öôùc löôïng xem giaù trò cuï theå cuûa θ baèng bao nhieâu (baøi toaùn ñoù goïi laø öôùc löôïng ñieåm ) hoaëc öôùc löôïng xem θ naèm trong khoaûng naøo (baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng). 1. ÖÔÙC LÖÔÏNG ÑIEÅM (Point Estimation) 1.1 Öôùc löôïng vaø giaù trò öôùc löôïng (estimator and estimate) 1.1.1 Öôùc löôïng (Estimatir) oâ haøm öôùc löôïng • Laø bieán ngaãu nhieân hay caùc tham soá thoáng keâ cuûa maãu ñöôïc duøng ñeå öôùc löôïng caùc tham soá thoáng keâ chöa bieát cuûa taäp hôïp chính. • Öôùc löôïng cuûa tham soá thoáng keâ θ cuûa taäp hoïp chính ñöôïc kyù hieäu laø θ∧ . • Döïa vaøo maãu {x1,x2...,xn} ngöôøi ta laäp ra laøm θ∧ = θ∧ (x1,x2,....,xn) ñeå öôùc löôïng cho θ. θ∧ ñöôïc goïi laø haøm öôùc löôïng cuûa θ hay goïi taét laø öôùc löôïng cuûa θ. θ∧ chæ phuï thuoäc vaøo giaù trò quan saùt x1, x2, ... ,xn chöù khoâng phuï thuoäc vaøo caùc tham chöa soá bieát θ cuûa taäp hoïp chính. 1.1.2 Giaù trò öôùc löôïng (estimate) hay coøn goïi laø giaù trò öôùc löôïng ñieåm (point estimate) • Laø giaù trò cuï theå cuûa öôùc löôïng θ∧ vaø ñöôïc xem nhö giaù trò öôùc löôïng cuûa tham soá thoáng keâ θ cuûa taäp hoïp chính. Tham soá thoáng keâ vaø taäp hoïp chính (population patameter) Öôùc löôïng (Estimation) Giaù trò öôùc löôïng Estimate (Point estimate) Soá trung bình µx Phöông sai σx2 Ñoä leäch chuaån σx Trò soá p f x n = p X Sx2 Sx f ∧ px ∧ x Sx2 Sx f ∧ px ∧ 1.2 Öôùc löôïng khoâng cheäch: (Unbiased estimators) 1.2.1 Öôùc löôïng khoâng cheäch: • Öôùc löôïng θ ñöôïc goïi laø öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa tham soá thoáng keâ θ neáu kyø voïng cuûa θ∧ laø θ. E (θ∧ ) = θ Thí duï E(X) = µx => X laø öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa µx E(Sx2) = σx2 => Sx2 laø öôùc löôïng khoâng cheäch cuaû σx2 E ( f ∧ ) = p => f ∧ laø öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa p 12.2. Ñoä cheäch (The bias) • Goïi θ∧ laø öôùc löôïng cuûa θ. Bias(θ∧ ) = E (θ∧ ) - θ • Ñoái vôùi öôùc löôïng khoâng cheäch => Bias = ñoä cheäch = 0 1.3 Öôùc löôïng hieäu quaû toát nhaát: • Goïi θ∧ 1 vaø θ∧ 2 laø 2 öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa θ döïa treân soá löôïng cuûa maãu quan saùt gioáng nhau. * θ∧ 1 ñöôïc goïi laø hieäu quaû hôn θ∧ 2 neáu Var (θ∧ 1) < Var (θ∧ 2) * Hieäu quaû töông ñoái giöõa hai öôùc löôïng laø tæ soá giöõa 2 phöông sai cuûa chuùng. Hieäu quaû töông ñoái = Var Var ( ) ( ) θ θ 2 1 ∧ ∧ (Relative efficency) • Neáu θ∧ laø öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa θ vaø neáu khoâng coù moät öôùc löôïng khoâng cheäch naøo coù phöông sai nhoû hôn phöông sai cuûa θ∧ thì θ∧ ñuôïc goïi laø öôùc löôïng toát nhaát (best estimator) hay θ∧ coøn goïi laø öôùc löôïng khoâng cheäch coù phöông sai nhoû nhaát cuûa θ (minimum variance unbiased estimator of θ) 1.4 Sai soá bình phöông trung bình (men spuared eveor) MSE • Sai soá bình phöông trung bình cuûa öôùc löôïng θ∧ ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: MSE(θ∧ ) = E [(θ∧ - θ)2] Ngöôøi ta chöùng minh ñöôïc raèng: MSE (θ∧ ) = Var(θ∧ ) + [θ - E (θ∧ )]2 MSE (θ∧ ) = Var (θ∧ ) + [ Bias(θ∧ )]2 • Neáu θ∧ laø öôùc löôïng khoâng cheäch ta coù Bias(θ∧ ) = 0 => MSE (θ∧ ) = Var (θ∧ ) 1.5 Öôùc löôïng nhaát quaùn vöõng (Consistent estimators) θ∧ n = θ∧ (x1, x2,... xn) goïi laø öôùc löôïng vöõng cuûa θ neáu vôùi moïi ε > 0 ta coù: lim P( |θ∧ n - θ | ≤ ε ) = 1] n - ∞ töùc laø daõy θ∧ n hoäi tuï theo xaùc suaát tôùi θ khi n -> ∞ 2. ÖÔÙC LÖÔÏNG KHOAÛNG (Interal estimation) 2.1 Khoaûng tin caäy (Confidence interval) 2.1.1. Öôùc löôïng khoaûng vaø giaù trò öôùc löôïng khoaûng (interval estimator and interval estimate). * Öôùc löôïng khoaûng: Öôùc löôïng khoaûng ñoái vôùi tham soá thoáng keâ cuûa taäp hoïp chính θ laø moät quy taéc döïa treân thoâng tin cuûa maãu ñeå xaùc ñònh mieàn (range) hay khoaûng (interval) maø tham soá θ haàu nhö naèm trong ñoù. * Gía trò öôùc löôïng khoaûng: laø giaù trò cuï theå cuûa mieàn hay khoaûng maø tham soá θ naèm trong ñoù. 2.1.2 Khoaûng tin caäy vaø ñoä tin caäy (Confidence interval and level of confidence) Goïi θ laø tham soá thoáng keâ chöa bieát. Giaû söû döïa treân thoâng tin cuûa maãu ta coù theå xaùc ñònh ñöôïc 2 bieán ngaãu nhieân A vaø B sao cho P (A < θ < B) = 1 - α vôùi 0 < α < 1 • Neáu giaù trò cuï theå cuûa bieán ngaãu nhieân A vaø B laø a vaø b thì khoaûng (a,b) töø a ñeán b ñöôïc goïi laø khoaûng tin caäy cuûa θ vôùi xaùc suaát la (1 - α) • Xaùc suaát (1 - α) ñöôïc goïi laø ñoä tin caäy cuûa khoaûng. Ghi chuù: • Trong thöïc teá, ñoä tin caäy (1 -α) do nhaø thoáng keâ choïn theo yeâu caàu cuûa mình, thoâng thöôøng ñoä tin caäy ñöôïc choïn laø 0,90; 0,95; 0,99... • α laø xaùc suaát sai laàm khi choïn khoaûng tin caäy (a, b) 2.2 Khoaûng tin caäy ñeán vôùi soá trung bình cuûa phaân phoái chuaån trong tröôøng hôïp ñaõ bieát phöông sai cuûa taäp hoïp chính: Nghóa laø ñi tìm öôùc löôïng cuûa µ trong N (µ, σx2) khi ñaõ bieán σx2 2.2.1 Ñieåm phaàn traêm giôùi haïn treân Z (Upper percentage cut off point) Goïi Z laø bieán ngaãu nhieân chuaån hoùa vaø α laø soá baát kyø sao cho 0 <α < 1 Zα laø ñieåm phaàn traêm giôùi haïn treân neáu. P (Z > Zα ) = α Ghi chuù: • P (Z > Zα) = FZ (zα) = 1 - α Hình 2 (p5) • P (-Zα/2 < Z < Zα/2) = 1 - α Chöùng minh: P(Z > Zα/2 ) = α 2 Do tính ñoái xöùng => P (-Zα/2 < Z < Zα/2) = 1 - α 2 - α 2 = 1 - α P (Z < -Zα/2) = α 2 Hình 3 (P5) 2.2.2 Khoaûng tin caäy cuûa µ trong N(µ,σx2) khi ñaõ bieát σx2 Giaû söû ta coù maãu ngaãu nhieân vôí côõ maãu n töø phaân phoái chuaån N(µ,σx2). Neáu σz2 ñaõ bieát vaø soá trung bình maãu coù giaù trò trung bình taäp hoïp chính ñöôïc tính bôûi. x Z n x Z n x x − −− < < +α ασ µ σ/ /2 2 Trong ñoù Zα/2 laø soá coù P (Z > zα/2) = α/2 vôùi Z laø bieán ngaãu nhieân chuaån chuaån hoùa. Chöùng minh: Ta coù: P ( - Zα/2 < Z < Zα/2) = 1 - α P (-Zα/2 < X Z x n − <µσ α/ / )2 = 1 - α P(− < − <Z n X Z n x Xα ασ µ σ/ / )2 2 = 1 - α P ( X Z n X Z n x X− < < +α ασ µ σ/ / )2 2 = 1 - α Thí duï: Giaû söû troïng löôïng cuûa caùc hoïc sinh lôùp 2 tuaân theo phaân phoái chuaån vôùi ñoä leäch chuaån 1,2kg. Maãu ngaãu nhieân goàm 25 hoïc sinh coù trung bình laø 19,8kg. Tìm khoaûng tin caäy 95% ñoái vôùi troïng löôïng trung bình cuûa taát caû hoïc sinh lôùp 2 trong 1 tröôøng. Giaûi: Ta coù 100 (1 - α) = 95 => α = 0.05 => Zα/2 = Z 0.025 => P(Z > Z0.025) = 0.025 P(Z < Z0.025) = FZ (Z0.025) = 1 - 0.025 = 0.975 Tra baûng ta coù: Z0.025 = 1.96 Khoaûng tin caäy 95% ñoái vôùi soá trung bình taäp chính µ seõ laø x Z n x Z n x X− < < +α ασ µ σ/ /2 2 Vôùi x = 19,8 kg σx = 1,2 kg x = 25 Zα/2 = 1,96 => 19,33 < µ < 20,27 Ghi chuù: a) ε σα= Z n x/ 2 goïi laø ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng hay dung sai b) x laø trung taâm cuûa khoaûng tin caäy vôùi beà roäng cuûa khoaûng tin caäy cuûa µ laø x Z n x− =α σ/ ,2 19 33 x = 19,8 x Z n x+ =α σ/ ,2 20 83 2 2Z n xα σ/ W Z n x= =2 22α σ ε/ c) + W caøng nhoû thì öôùc löôïng caøng chính xaùc (≡ ε caøng nhoû) + Vôùi xaùc suaát α vaø côõ maãu nhoû tröôùc, σx caøng lôùn thì W caøng lôùn. + Vôùi α vaø σx cho tröôùc, n caøng lôùn thì W caøng nhoû. + Vôùi σx vaø n cho tröôùc, ( 1 - α) caøng lôùn thì W caøng nhoû 2.2.3 Khoaûng tin caäy ñoái vôùi soá trung bình cuûa taäp hôïp chính µ trong tröôøng hôïp côõ maãu lôùn. Giaû söû ta coù maãu vôùi côõ maãu laø n ñöôïc laáy töø taäp hoïp chính coù soá trung bình laø µ. Goïi x laø soá trung bình cuûa maãu vaø Sx laø phöông sai cuûa maãu. Neáu n lôùn thì khoaûng tin caäy vôùi xaùx suaát 100(1- α) % ñoái vôùi µ ñöôïc xem nhö ñuùng laø. x Z S n x Z S n X x− < < +α αµ/ /2 2 Ghi Chuù: • Söï öôùc löôïng naøy gaàn ñöùng ngay caû khi taäp hôïp chính khoâng theo phaân phoái chuaån. • Khi n lôùn ta coù theå xem gaàn ñuùng Sx = σx 2.3 Phaân phoái Stutent t: Trong phaàn tröôùc, ta ñi tìm khoaûng tin caäy cuûa µ trong N(µ,σx2) khi ñaõ bieát σx2 hoaëc tìm khoaûng tin caäy cuûa µ khi coù maãu lôùn. Trong tröôøng hôïp khoâng bieát phöông sai σx2 vaø côõ maãu khoâng lôùn, ñeå tìm khoaûng tin caäy cuûa µ ta caàn phaûi coù moät phaân phoái thích hoïp hôn, ñoù laø phaân phoái Student t. 23.1 Phaân phoái Student t Cho maãu ngaãu nhieân vôùi côõ n vôùi soá trung bình cuûa maãu X vaø ñoä leäch chuaån maãu Sx; maãu ñöôïc laáy ra töø taäp hoïp chính vôùi soá trung bình laø µ. Bieán ngaãu nhieân t x S nx = − µ / t tuaân theo phaân phoái Student t vôùi ñoä töï do laø n - 1 Hình n = 25 , σx = 1.2 , 1-α = 0.95 19.33 19.80 20.27 n = 64 , σx = 1.2 , 1-α = 0.95 19.51 19.80 20.09 n = 25 , σx = 2 , 1-α = 0.95 19.02 19.80 20.58 n = 25 , σx = 1.2 , 1-α = 0.99 19.18 19.80 20.24 Bieán ngaãu nhieân X ñöôïc goïi laø tuaân theo phaân phoái Studen t vôùi ñoä töï do υ neáu haøm maät ñoä xaùc ñònh coù daïng. f x x B x ( ) ( ) ( , ) ( ) = + − + 1 1 2 2 2 1 2 ϑ ϑ ϑ ϑ ,∀x 2.3.2 Ñieåm phaàn traêm giôùi haïn treân tυ ,α: Bieán ngaãu nhieân tuaân theo phaân phoái Student t vôùi ñoä töï do υ ñöôïc kyù hieäu laø tυ tυ , α laø ñieåm phaàn traêm giôùi haïn treân neáu: P(tυ > tυ , α) = α Hình Ngöôøi ta laäp baûng tính saún cho caùc giaù trò dieän tích ôû döôùi ñöôøng cong töø tυ, α ñeán +∞ Töông töï phaàn traêm treân ta coù: P(-tυ , α/2 < tυ < tυ, α/2) = 1 -α Hình 2.4 Khoaûng tin caäy ñoái vôùi soá trung bình µ trong phaân phoái chuaån khi chöa bieát phöông sai: (Khoaûng tin caäy cuûa µ trong N(µ,σx2) khi chöa bieát σx2) Giaû söû ta coù maãu ngaãu nhieân vôùi côõ maãu n töø phaân phoái chuaån vôùi soá trung bình laø µ vaø phöông sai σx2 chöa bieát. Neáu soá trung bình maãu laø x vaø ñoä leäch chuaån maãu laø Sx thì khoaûng tin caäy cuûa soá trung bình taäp hôïp chính µ seõ ñöôïc tính bôûi . x t S n x t S n n X n x− < < +− −1 2 1 2, / , /α αµ Trong ñoù tn-1, α/2 laø soá coù P(tn-1 > tn-1, α/2) = α 2 vaø tn-1 laø bieán ngaãu nhieân tuaân theo phaân phoái Student vôùi ñoä töï do laø n - 1 Chöùng minh: P(-tn-1 ,α/2 < tn-1 < tn-1, α/2) = 1 - α P t X S n t P t S n X t S n P X t S n X t S n n x n n x n x n x n x − < − <     = − − < − <   = − − < < +   = − − − − − − − 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 , / , / , / , / , / , / / α α α α α α η α µ α µ α Thí duï: Maãu ngaãu nhieân cuûa troïng löôïng 6 hoïc sinh lôùp 2 coù giaù trò nhö sau: 18,6kg 18,4kg 19,2kg 20,8kg 19,4kg 20,5kg Tìm khoaûng tin caäy 90% ñoái vôùi soá trung bình cuûa taát caû hoïc sinh lôùp 2. Gæa söû raèng phaân phoái troïng löôïng cuûa taát caû hoïc sinh lôùp 2 laø phaân phoái chuaån. Giaûi: Tröôùc heát ta phaûi tìm soá trung bình maãu x vaø phöông sai maãûu Sx I xi x2i 1 2 3 4 5 6 Toång 18.6 18.4 19.2 20.8 19.4 20.5 116.9 345.96 338.56 368.64 432.64 376.36 420.25 2282.41 Soá trung bình maãu x n xi= ∑ = =1 1 6 116 9 19 4833( . ) . Phöông sai maãu: S n x nxx i 2 2 21 1 = − ∑ −( ) = 1 5 2 282 41 6 19 4833 0 962( . , , ) ,− × = Ñoä leäch chuaån: Sx = =0 96 0 98, . Khoaûng tin caäy 90% ñoái vôùi troïng löôïng trung bình cuûa taát caû hoïc sinh lôùp 2 laø: x l S n x t S n n x n x− < < +− −1 2 1 2, ,/ /α αµ x = 19.4833 , Sx = 0.98 , n = 6 100 (1-α) = 90 => α = 0.10 => α/2 = 0.05 Tra baûng ta coù: tn-1 , α/2 = t5 , 0.05 = 2.015 19 48 2 015 0 098 6 19 48 2 015 0 98 6 18 67 20 29 . . . . . . . . − × < < + × < < µ µ 2.5 Khoaûng tin caäy ñoái vôùi phöông sai cuûa phaân phoái chuaån σx2 Nhaéc laïi, Giaû söû ta coù maãu ngaãu nhieân vôùi côõ maãu n ñöôïc laáy ra töø taäp hoïp chính coù phaân phoái chuaån N(µx,σx2) vaø goïi Sx2 laø phöông sai cuûa maãu. Bieán ngaãu nhieân X n S n x x − = −12 2 2 1( ) σ seõ tuaân theo phaân phoái X 2 vôùi ñoä töï do n - 1 2.5.1 Ñieåm phaàn traêm giôùi haïn treân X2γ,α Bieán ngaãu nhieân tuaân theo phaân phoái X2 vôùi ñoä töï do γ ñöôïc kyù hieäu X2γ X2γ,α laø ñieåm phaàn traêm giôùi haïn treân neáu P(X2γ > X2γ,α ) = α Hình Thí duï: Tìm X26 , 0.05 P (X26 > X26, 0.05) = 0.05 X26, 0.05 = 12.59 Töông töï ta coù P (X2γ, > X2γ , α/2) = α 2 P X X( ) , γ γ α α2 1 2 2 2 < = − Vì P X X( ) , γ γ α α2 1 2 2 1 2 > = − − => P X X X( ) , , /γ α γ γ α α 1 2 2 2 2 2 1 − < < = − Hình Khoaûng tin caäy 80% 18.89 19.48 20.07 Khoaûng tin caäy 90% 18.67 19.48 20.29 Khoaûng tin caäy 95% 18.45 19.48 20.51 Khoaûng tin caäy 99% 17.87 19.48 21.09 2.5.2 Khoaûng tin caäy cuûa phöông sai phaân phoái chuaån σx2: Khoaûng tin caäy vôùi xaùc suaát 100 (1- α)% cuûa σx2 laø ( ) ( ) , , n S X n S X x n x x n − < < − − − − 1 12 1 2 2 2 2 1 1 2 2 α α σ Trong ñoù X2n-1, α/2 laø soá xoù P(X2γ > X2n-1 , α/2) = α/2 X2n-1 , 1 - α/2 laø soá P(X2γ > X2n-1 , 1 - α/2) = α/2 vaø bieán ngaãu nhieân X2n-1 tuaân theo phaân phoái X2 vôùi ñoäï töï do n - 1: Chöùng minh P X X X P X X X P X n S X P n S X n S X n n n n x x n x n x x n ( ) ( , / ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) , , / , , , / , / , / γ α γ γ α α α α α α α α α σ α σ α 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 − − − − − − − − − − − < < = − < < = − < − < = − − < < − = − Thí duï: Moät maãu ngaãu nhieân goàm 15 vieân thuoác nhöùc ñaàu cho thaáy ñoä leäch chuaån trong thaønh phaàn, caáu taïo thuoác. Söï taäp trung cuûa hoïp phaàn caáu taïo thuoác laø 0.8 Tìm khoaûng tin caäy 90% cuûa phöông sai cuûa loâ thuoác noùi treân. (loâ thuoác tuaân theo phaân phoái chuaån) Giaûi: n = 15 Sx2 = 0.82 = 0.64 100(1-α) = 90 => α = 0.10 => α/2 = 0.05 Tra baûng X2n-1 , 1-α/2 = X214,0.05 = 23.68 vaø X2n-1,1-α/2 = X214, 0.05 = 6.57 Khoaûng tin caäy 90% cuûa σx2 laø ( ) ( ) . . . . . . , / , / n S X n S X x n x x n x x − < < − × < < × < < − − − 1 1 14 0 64 2368 14 0 64 6 57 0 378 1364 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 α α σ σ σ => 0.61 < σX < 1.17 2.6 Öôùc löôïng khoaûng tin caäy cuûa tham soá thoáng keâ p trong phaân phoái nhò thöùc trong ñieàu kieän côõ maãu lôùn. - Nhaéc laïi, goïi f laø tæ soá cuûa soá laàn thaønh coâng trong n pheùp thöû ñoäc laäp f X n = X tuaân theo phaân phoái nhò thöùc coù: - Soá trung bình µ = np - Phöông sai σ2x = np (1-p) E(f) = p σ σ f f P p n p p n 2 1 1 = − = − ( ) ( ) - Do E(f) = p neân f laø öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa p. - Khi côõ maãu nhieàu lôùn, thì bieán ngaãu nhieân chuaån hoùa Z f p p p m = −−( ) /1 seõ gaàn ñuùng coù phaân phoái chuaån chuaån hoùa. σ σ f p p n f f n S f f n Sf f f = − ≈ − = ≈ − = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 Khi ñoù bieán ngaãu nhieân Z f p f f n = −−( ) /1 seõ coù phaân phoái chuaån chuaån hoùa. - Khi Z tuaân theo phaân phoái chuaån chuaån hoùa, ta coù: P(-Zα/2 < Z < Zα/2) = 1 - α P Z f p f f n Z P Z f f n f P Z f f n p f Z f f n p f Z f f n ( ( ) / ) ( ( ) / ( ) / ) ( ( ) / ( ) / ) / / / / / / − < −− < = − − − < − < − = − − − < < + − = − σ α α α α α α α α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Khoaûng tin caäy cuûa p: Goïi f laø tæ soá soá laàn thaønh coâng quan saùt ñöôïc trong n pheùp thöû ñöôïc ruùt ra töø taäp hoïp chính coù tæ soá soá laàn thaønh coâng laø p. Neáu n lôùn thì khoaûng tin caäy vôùi xaùc suaát 100(1 - 2)% cuûa p seõ laø. f Z f f n P f Z f f n − − < < + −α α/ /( ) ( )2 21 1 Trong ñoù Zα/2 laø soá coù P(Z > Zα/2) = α/2 vôùi Z laø bieán ngaãu nhieân chuaån chuaån hoùa. Thí duï: Moät coâng ty ñi nhaän moät loâ haøng goàm vaøi ngaøn saûn phaåm. Ngöôøi giaùm ñònh loâ haøng laáy ngaãu nhieân 81 saûn phaåm vaø nhaän thaáy coù 8 saûn phaåm khoâng ñaït yeâu caàu. Tìm khoaûng tin caäy 90% cuûa tæ leä soá saûn phaåm khoâng ñaït yeâu caàu trong toaøn boä loâ haøng. Giaûi: n = 81 , X = 8 (soá saûn phaåm khoâng ñaït yeâu caàu) f X n = = =8 81 0 099. 100(1 - α) = 90 => α = 0.01 => α/2 = 0.05 Tra baûng ta coù Zα/2 = 1.645 vi p (Z > 1.645) = 0.05 Sf f f n = − = − =( ) . ( . ) .1 0 099 1 0 099 81 0 033 Khoaûng tin caäy 90% cuûa P 0.099 - 1.645 x 0.033 < P < 0.099 + 1.645 x 0.033 0.045 < P < 0.153 2.7 Öôùc löôïng côõ maãu (Estimating the sample size) - Trong caùc phaàn tröôùc, chuùng ta ñi tìm caùc öôùc löôïng khoaûng ñoái vôùi caùc tham soá thoáng keâ θ (µx, σx2, p ...) cuûa taäp hôïp chính döïa treân caùc maãu ñöôïc cho tröôùc (nghóa laø ñaõ bieát côõ maãu n). Vôùi caùch laøm ñoù, ta coù theå gaëp nhöõng keát quaû khoâng mong muoán laø beà roäng cuûa khoaûng tin caäy w quaù lôùn coù nghóa laø ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng seõ nhoû (vì ñoä chính xaùc hay dung sai ε = w/2 coù giaù trò lôùn). w = 2ε θ∧ - ε θ∧ θ∧ + ε - ε noùi leân ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng, neáu ε caøng nhoû thì θ∧ caøng gaàn θ - Trong thöïc teá thöôùng sai soá cho pheùp ta aán ñònh ñoä chính xaùc ε (coù nghóa laø aán ñònh tröôùc beà roäng khoaûng tin caäy w) töø ñoù tính toaùn choïn côõ maãu n ñuû lôùn ñeå ñaûm baøo ñoä chính xaùc ε. - Ñeå xaùc ñònh côõ maãu ta caàn caùc thoâng tin sau: • Ñònh roõ ñoä tin caäy (1 - α) thöôøng laø 90; 95 hay 98% Thí duï: Neáu muoán möùc ñoä tin caäy 100% thì n = N -> Ñieàu naøy quaù toán keùm vaø khoâng thöïc teá • Ñoä chính xaùc hay sai soá cho pheùp ε hoaëc beà roäng khoaûng tin caäy w • Ñoä leäch chuaån σ - Côõ maãu n lôùn hay nhoû seõ tuøy thuoäc ñoä phaân taùn σ vaø sai soá cho pheùp ε chöù khoâng phuï thuoäc vaøo kích thöôùc taäp hoïp chính N 2.7.1 Côõ maãu ñoái vôùi khoaûng tin caäy cuûa soá trung bình trong phaân phoái chuaån khi ñaõ bieát phöông sai cuûa taäp hoïp chính: x Z n − α σ/ 2 x x Z n + α σ/ 2 x Z n x Z n − < < +α ασ µ σ/ /2 2 hay µ ε= ±x vôùi ε σα= Z n / 2 Vôùi ñoä chính xaùc ε cho tröôùc, côõ maãu n ñoái vôùi vieäc öôùc löôïng µ trong N(µ,σx2), σx2 ñaõ bieát ñöôïc bôûi coâng thöùc. n Z x= α σε / 2 2 2 2 Thí duï: Giaû söû ñoä leäch chuaån cuûa caùc ñöôøng oáng theùp ñöôïc saûn xuaát ra trong ngaøy ôû moät phaàn xöôûng laø 10 kg. Chuùng ta muoán öôùc löôïng troïng löôïng trung bình µ cuûa caùc ñöôøng oáng theùp ñöôïc saûn xuaát trong ngaøy ôû phaân xöôûng ñoù vôùi ñoä chính xaùc ± 2.5kg vaø vôùi ñoä tin caäy 95%. Tìm côõ maãu caàn thieát cho söï öôùc löôïng noùi treân. Giaûi ta coù: ε = ± 2.5 kg σ = 10 kg (1 - α) = 0.95 kg => α = 0.